Trigonomeetrilised võrrandid pole lihtne teema. Need on liiga mitmekesised.) Näiteks need:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = võrevoodi (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Jne...
Kuid neil (ja kõigil teistel) trigonomeetrilistel koletistel on kaks ühist ja kohustuslikku tunnust. Esiteks – te ei usu seda – võrrandites on trigonomeetrilised funktsioonid.) Teiseks: leitakse kõik x-iga avaldised samade funktsioonide raames. Ja ainult seal! Kui kuskil ilmub X väljas, Näiteks, sin2x + 3x = 3, see on juba segatüüpi võrrand. Sellised võrrandid nõuavad individuaalset lähenemist. Me ei võta neid siin arvesse.
Ka selles tunnis ei lahenda me kurje võrrandeid.) Siin käsitlemegi lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Miks? Jah, sest lahendus ükskõik milline trigonomeetrilised võrrandid koosnevad kahest etapist. Esimeses etapis taandatakse kurja võrrand mitmesuguste teisenduste abil lihtsaks. Teisel juhul lahendatakse see lihtsaim võrrand. Ei muud moodi.
Seega, kui teil on probleeme teises etapis, pole esimesel etapil palju mõtet.)
Kuidas näevad välja elementaartrigonomeetrilised võrrandid?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Siin A tähistab mis tahes numbrit. Ükskõik milline.
Muide, funktsiooni sees ei pruugi olla puhas X, vaid mingisugune avaldis, näiteks:
cos(3x+π /3) = 1/2
jne. See muudab elu keeruliseks, kuid ei mõjuta trigonomeetrilise võrrandi lahendamise meetodit.
Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid?
Trigonomeetrilisi võrrandeid saab lahendada kahel viisil. Esimene viis: loogika ja trigonomeetrilise ringi kasutamine. Vaatame seda teed siin. Teisest võimalusest – mälu ja valemite kasutamisest – tuleb juttu järgmises õppetükis.
Esimene viis on selge, usaldusväärne ja raskesti unustatav.) See on hea trigonomeetriliste võrrandite, võrratuste ja igasuguste keeruliste mittestandardsete näidete lahendamiseks. Loogika on tugevam kui mälu!)
Võrrandite lahendamine trigonomeetrilise ringi abil.
Sisaldame elementaarset loogikat ja trigonomeetrilise ringi kasutamise oskust. Kas sa ei tea, kuidas? Siiski... Teil on trigonomeetrias raske...) Aga see pole oluline. Heitke pilk õppetundidele "Trigonomeetriline ring...... Mis see on?" ja "Nurkade mõõtmine trigonomeetrilisel ringil". Seal on kõik lihtne. Erinevalt õpikutest...)
Oh, tead!? Ja isegi "Praktilist tööd trigonomeetrilise ringiga" omandanud!? Palju õnne. See teema on teile lähedane ja arusaadav.) Eriti meeldiv on see, et trigonomeetrilisel ringil pole vahet, millise võrrandi te lahendate. Siinus, koosinus, puutuja, kotangent – tema jaoks on kõik sama. Lahenduspõhimõte on ainult üks.
Seega võtame mis tahes elementaarse trigonomeetrilise võrrandi. Vähemalt see:
cosx = 0,5
Peame leidma X. Inimkeeles rääkides on vaja leida nurk (x), mille koosinus on 0,5.
Kuidas me varem ringi kasutasime? Joonistasime sellele nurga. Kraadides või radiaanides. Ja kohe Saag selle nurga trigonomeetrilised funktsioonid. Nüüd teeme vastupidi. Joonistame ringile koosinuse, mis on võrdne 0,5-ga ja kohe me näeme nurk. Jääb vaid vastus kirja panna.) Jah, jah!
Joonistage ring ja märkige koosinus 0,5-ga. Koosinusteljel muidugi. Nagu nii:
Nüüd joonistame nurga, mille see koosinus meile annab. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti oma tahvelarvutis) ja sa näed just see nurk X.
Millise nurga koosinus on 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Mõni naerab skeptiliselt, jah... Nagu, kas tasus ringi teha, kui kõik on juba selge... Mureda võib muidugi...) Aga fakt on see, et see on ekslik vastus. Õigemini, ebapiisav. Ringitundjad saavad aru, et siin on terve hunnik muid nurki, mis annavad samuti koosinuse 0,5.
Kui keerate liikuva külje OA täispööre, punkt A naaseb algasendisse. Sama koosinusega 0,5. Need. nurk muutub 360° või 2π radiaani võrra ja koosinus - ei. Uus nurk 60° + 360° = 420° on ka meie võrrandi lahendus, sest
Selliseid täielikke pöördeid saab teha lõpmatult palju... Ja kõik need uued nurgad on meie trigonomeetrilise võrrandi lahendused. Ja need kõik tuleb vastuseks kuidagi kirja panna. Kõik. Muidu otsus ei lähe arvesse, jah...)
Matemaatika saab seda teha lihtsalt ja elegantselt. Kirjutage ühe lühikese vastusega lõpmatu hulk otsuseid. Meie võrrandi puhul näeb see välja järgmine:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ma dešifreerin selle. Kirjuta ikka tähendusrikkalt See on meeldivam kui mõne salapärase tähe rumal joonistamine, eks?)
π /3 - see on sama nurk, mis meie Saag ringil ja kindlaks määratud koosinustabeli järgi.
2π on üks täielik pööre radiaanides.
n - see on täielike arv, st. terve p/min On selge, et n võib olla võrdne 0, ±1, ±2, ±3.... ja nii edasi. Nagu näitab lühike sissekanne:
n ∈ Z
n kuulub ( ∈ ) täisarvude hulk ( Z ). Muide, kirja asemel n tähti võib hästi kasutada k, m, t jne.
See märge tähendab, et võite võtta mis tahes täisarvu n . Vähemalt -3, vähemalt 0, vähemalt +55. Mida iganes sa soovid. Kui asendate vastuses selle numbri, saate konkreetse nurga, mis on kindlasti meie karmi võrrandi lahendus.)
Või teisisõnu x = π /3 on lõpmatu hulga ainus juur. Kõigi teiste juurte saamiseks piisab, kui lisada π /3-le suvaline arv täispöördeid ( n ) radiaanides. Need. 2π n radiaan.
Kõik? Ei. Ma pikendan meelega naudingut. Et paremini meeles pidada.) Saime ainult osa võrrandi vastustest. Kirjutan selle lahenduse esimese osa järgmiselt:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - mitte ainult üks juur, vaid terve rida juuri, mis on lühivormis kirja pandud.
Kuid on ka nurki, mis annavad ka koosinuse 0,5!
Tuleme tagasi oma pildi juurde, millelt vastuse kirja panime. Siin ta on:
Hõljutage kursorit pildi kohal ja me näeme teine nurk see annab ka koosinuse 0,5. Millega see teie arvates võrdne on? Kolmnurgad on samad... Jah! Tema võrdne nurgaga X , ainult viivitatud negatiivses suunas. See on nurk -X. Aga me oleme x juba välja arvutanud. π /3 või 60°. Seetõttu võime julgelt kirjutada:
x 2 = - π /3
Noh, loomulikult lisame kõik nurgad, mis saadakse täispöörete kaudu:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
See on nüüd kõik.) Trigonomeetrilisel ringil me Saag(kes mõistab muidugi)) Kõik nurgad, mis annavad koosinuse 0,5. Ja pani need nurgad lühidalt kirja matemaatiline vorm. Vastus andis tulemuseks kaks lõpmatut juurte jada:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
See on õige vastus.
Loodan, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üldpõhimõte ringi kasutamine on selge. Märgime ringjoonele etteantud võrrandist koosinuse (siinus, puutuja, kotangens), joonistame sellele vastavad nurgad ja kirjutame vastuse üles. Muidugi peame välja mõtlema, mis nurgad me oleme Saag ringi peal. Mõnikord pole see nii ilmne. Noh, ma ütlesin, et siin on vaja loogikat.)
Näiteks vaatame teist trigonomeetrilist võrrandit:
Palun arvestage, et arv 0,5 ei ole võrrandites ainuvõimalik arv!) Minu jaoks on lihtsalt mugavam kirjutada see kui juured ja murrud.
Töötame üldpõhimõtte järgi. Joonistame ringi, märgime (siinusteljel loomulikult!) 0,5. Joonistame kõik sellele siinusele vastavad nurgad korraga. Saame selle pildi:
Kõigepealt tegeleme nurgaga X esimesel kvartalil. Tuletame meelde siinuste tabeli ja määrame selle nurga väärtuse. See on lihtne asi:
x = π /6
Meenutame täispöördeid ja kirjutame puhta südametunnistusega esimesed vastuste seeriad kirja:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Pool tööd on tehtud. Aga nüüd peame otsustama teine nurk... See on keerulisem kui koosinuste kasutamine, jah... Aga loogika päästab meid! Kuidas määrata teist nurka läbi x? Jah Lihtne! Pildil olevad kolmnurgad on samad ja punane nurk X võrdne nurgaga X . Ainult seda loetakse nurgast π negatiivses suunas. Sellepärast on see punane.) Ja vastuseks vajame õigesti mõõdetud nurka positiivsest poolteljest OX, st. 0 kraadise nurga alt.
Hõljutame kursori joonise kohal ja näeme kõike. Esimese nurga eemaldasin, et pilti mitte keeruliseks ajada. Nurk, mis meid huvitab (joonistatud rohelisega), on võrdne:
π - x
X me teame seda π /6 . Seetõttu on teine nurk järgmine:
π - π /6 = 5π /6
Jällegi meenutame täispöörete lisamist ja kirjutame üles teise seeria vastused:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
See on kõik. Täielik vastus koosneb kahest juurte seeriast:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangens- ja kotangensvõrrandeid saab hõlpsasti lahendada, kasutades trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel sama üldpõhimõtet. Kui muidugi oskate trigonomeetrilisele ringile puutuja ja kotangenti joonistada.
Ülaltoodud näidetes kasutasin siinuse ja koosinuse tabeli väärtust: 0,5. Need. üks neist tähendustest, mida õpilane teab peab. Nüüd laiendame oma võimalusi kõik muud väärtused. Otsustage, nii et otsustage!)
Oletame, et peame lahendama selle trigonomeetrilise võrrandi:
Selline koosinusväärtus sisse lühikesed tabelid Ei. Me ignoreerime seda kohutavat tõsiasja külmalt. Joonista ring, märgi koosinusteljele 2/3 ja joonista vastavad nurgad. Me saame selle pildi.
Vaatame esiteks esimese kvartali nurka. Kui me vaid teaksime, millega x on võrdne, paneksime vastuse kohe kirja! Me ei tea... Ebaõnnestumine!? Rahune! Matemaatika ei jäta oma inimesi hätta! Ta mõtles selle juhtumi jaoks välja kaarekoosinused. Ei tea? Asjatult. Uurige, see on palju lihtsam, kui arvate. Sellel lingil pole ainsatki keerulist loitsu “trigonomeetriliste pöördfunktsioonide” kohta... See on siin teemas üleliigne.
Kui olete kursis, öelge endale: "X on nurk, mille koosinus on võrdne 2/3." Ja kohe, puhtalt kaarekoosinuse määratluse järgi, võime kirjutada:
Meenutame lisapöördeid ja kirjutame rahulikult üles meie trigonomeetrilise võrrandi esimesed juured:
x 1 = kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Teise nurga teine juurte seeria kirjutatakse peaaegu automaatselt üles. Kõik on sama, ainult X (arccos 2/3) on miinusega:
x 2 = - kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Ja see ongi kõik! See on õige vastus. Isegi lihtsam kui tabeliväärtustega. Pole vaja midagi meelde jätta.) Muide, kõige tähelepanelikumad märkavad, et sellel pildil on lahendus läbi kaarekoosinuse sisuliselt ei erine võrrandi cosx = 0,5 pildist.
Täpselt nii! Üldine põhimõte Sellepärast on see tavaline! Joonistasin meelega kaks peaaegu identset pilti. Ring näitab meile nurka X koosinuse järgi. Kas see on tabelikoosinus või mitte, pole kõigile teada. Mis nurk see on, π /3 või kaarekoosinus – see on meie otsustada.
Sama laul siinusega. Näiteks:
Joonistage uuesti ring, märkige siinus 1/3-ga, tõmmake nurgad. See on pilt, mille saame:
Ja jällegi on pilt peaaegu sama, mis võrrandi puhul sinx = 0,5. Taas alustame esimesel veerandajal nurgast. Millega võrdub X, kui selle siinus on 1/3? Pole probleemi!
Nüüd on esimene juurepakk valmis:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Tegeleme teise nurgaga. Näites tabeli väärtusega 0,5 oli see võrdne:
π - x
Täpselt sama saab olema ka siin! Ainult x on erinev, arcsin 1/3. Mis siis!? Teise juurepaki võite julgelt üles kirjutada:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
See on täiesti õige vastus. Kuigi see ei tundu väga tuttav. Aga see on selge, ma loodan.)
Nii lahendatakse ringi abil trigonomeetrilisi võrrandeid. See tee on selge ja arusaadav. Just tema salvestab trigonomeetrilistes võrrandites juurte valikuga antud intervallil, trigonomeetrilistes võrratustes - need lahendatakse üldiselt peaaegu alati ringis. Ühesõnaga kõigis tavalistest pisut raskemates ülesannetes.
Rakendame teadmisi praktikas?)
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine:
Esiteks lihtsam, otse sellest õppetükist.
Nüüd on asi keerulisem.
Vihje: siin peate ringi peale mõtlema. Isiklikult.)
Ja nüüd on need väliselt lihtsad... Neid nimetatakse ka erijuhtudeks.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Vihje: siin tuleb ringis välja mõelda, kus on kaks vastusesarja ja kus üks... Ja kuidas kirjutada kahe vastuserea asemel üks. Jah, nii et ükski juur lõpmatust arvust ei läheks kaotsi!)
Noh, väga lihtne):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Vihje: siin peate teadma, mis on arkosiin ja arkosiin? Mis on arctangent, arkotangens? Kõige lihtsad määratlused. Kuid te ei pea ühtegi tabeli väärtust meeles pidama!)
Vastused on muidugi segaduses):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Kõik ei õnnestu? Juhtub. Lugege õppetund uuesti läbi. Ainult mõtlikult(selline on olemas vananenud sõna...) Ja järgige linke. Peamised lingid on seotud ringiga. Ilma selleta on trigonomeetria nagu tee ületamine kinniseotud silmadega. Mõnikord see töötab.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Tund ja ettekanne teemal: "Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Geomeetria ülesannete lahendamine. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?
3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.
Mis on trigonomeetrilised võrrandid?
Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arktangentsi ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.
Trigonomeetrilised võrrandid on võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.
Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:
1) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:
3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk
5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk
Kõigi valemite puhul on k täisarv
Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: T(kx+m)=a, T on mingi trigonomeetriline funktsioon.
Näide.Lahendage võrrandid: a) sin(3x)= √3/2
Lahendus:
A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:
Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Pöördume tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.
Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.
Lahendage võrrandid: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Lahendus:
A) Liigume seekord otse võrrandi juurte arvutamise juurde:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk
Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.
B) Kirjutame selle kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.
Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendist kõik juured.
Lahendus:
Otsustame sisse üldine vaade meie võrrand: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X = ± π/16+ πk/2;
Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Punktis k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis.
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabame uuesti.
K=2 puhul x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et suure k puhul me ilmselgelt ka ei taba.
Vastus: x= π/16, x= 9π/16
Kaks peamist lahendusmeetodit.
Vaatasime lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid, kuid on ka keerulisemaid. Nende lahendamiseks kasutatakse uue muutuja sisseviimise meetodit ja faktoriseerimise meetodit. Vaatame näiteid.Lahendame võrrandi:
Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mis tähistab: t=tg(x).
Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0
Leiame juured ruutvõrrand t = -1 ja t = 1/3
Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saame lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Näide võrrandi lahendamisest
Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0
Lahendus:
Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Meie võrrand on kujul: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2
Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.
Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.
Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Vastus: x= ±2π/3 + 2πk
Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
Definitsioon: võrrandeid kujul a sin(x)+b cos(x) nimetatakse esimese astme homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks.Vormi võrrandid
teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagage see cos(x)-ga: 
Koosinusega ei saa jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii ei oleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei ole korraga võrdsed nulliga, saame vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.
Lahendage võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0
Lahendus:
Võtame välja ühisteguri: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:
Cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 juures x= π/2 + πk;
Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk
Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, järgige alati neid reegleid!
1. Vaata millega võrdub koefitsient a, kui a=0, siis saab meie võrrand kujul cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), mille lahenduse näide on eelmisel slaidil
2. Kui a≠0, siis peate jagama võrrandi mõlemad pooled koosinuse ruuduga, saame:
Muudame muutujat t=tg(x) ja saame võrrandi:
Lahenda näide nr:3
Lahendage võrrand:Lahendus:
Jagame võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga: 
Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Leiame ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1
Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk
Lahenda näide nr:4
Lahendage võrrand:Lahendus:
Muudame oma väljendit:
Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk
Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk
Lahenda näide nr.:5
Lahendage võrrand:Lahendus:
Muudame oma väljendit:
Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2
Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Probleemid iseseisvaks lahendamiseks.
1) Lahenda võrrandA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Lahendage võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].
3) Lahendage võrrand: võrevoodi 2 (x) + 2 võrevoodi (x) + 1 =0
4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Seosed trigonomeetriliste põhifunktsioonide - siinus, koosinus, puutuja ja kotangens - vahel on toodud trigonomeetrilised valemid. Ja kuna trigonomeetriliste funktsioonide vahel on üsna palju seoseid, siis see seletab trigonomeetriliste valemite rohkust. Mõned valemid ühendavad sama nurga trigonomeetrilisi funktsioone, teised - mitme nurga funktsioonid, teised - võimaldavad kraadi vähendada, neljandad - väljendavad kõiki funktsioone poolnurga puutuja kaudu jne.
Selles artiklis loetleme järjekorras kõik peamised trigonomeetrilised valemid, mis on piisavad enamiku trigonomeetriaülesannete lahendamiseks. Meeldejäämise ja kasutamise hõlbustamiseks rühmitame need eesmärgi järgi ja sisestame tabelitesse.
Leheküljel navigeerimine.
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid
Põhiline trigonomeetrilised identiteedid määratleda seos ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel. Need tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonist ning ühikringi mõistest. Need võimaldavad teil väljendada ühte trigonomeetrilist funktsiooni mis tahes teise funktsioonina.
Nende trigonomeetria valemite üksikasjalikku kirjeldust, nende tuletamist ja rakendusnäiteid leiate artiklist.
Vähendamise valemid
Vähendamise valemid tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadustest, see tähendab, et need peegeldavad trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse omadust, sümmeetria omadust, samuti antud nurga võrra nihke omadust. Need trigonomeetrilised valemid võimaldavad teil liikuda suvaliste nurkadega töötamiselt töötamisele nurkadega, mis jäävad vahemikku nullist 90 kraadini.
Artiklis saab uurida nende valemite põhjendusi, nende meeldejätmise mnemoloogilist reeglit ja näiteid nende kasutamise kohta.
Lisamise valemid
Trigonomeetrilised liitmisvalemid näidata, kuidas kahe nurga summa või erinevuse trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse nende nurkade trigonomeetriliste funktsioonidena. Need valemid on aluseks järgmiste trigonomeetriliste valemite tuletamisel.
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk (neid nimetatakse ka mitme nurga valemiteks) näitavad, kuidas topelt-, kolmik- jne trigonomeetrilised funktsioonid. nurgad () on väljendatud ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonidena. Nende tuletamine põhineb liitmisvalemitel.
Täpsem teave on kogutud artiklite valemitesse topelt-, kolmik- jne. nurk
Poolnurga valemid
Poolnurga valemid näidata, kuidas poolnurga trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse täisnurga koosinusena. Need trigonomeetrilised valemid tulenevad topeltnurga valemitest.
Nende järeldused ja rakendusnäited leiate artiklist.
Kraadide vähendamise valemid
Trigonomeetrilised valemid kraadide vähendamiseks on mõeldud ülemineku hõlbustamiseks looduslikud kraadid trigonomeetrilised funktsioonid siinustele ja koosinustele esimese astmeni, kuid mitu nurka. Teisisõnu, need võimaldavad teil vähendada trigonomeetriliste funktsioonide võimsusi esimesele.
Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid
Peamine eesmärk trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid on minna funktsioonide korrutisele, mis on lihtsustamisel väga kasulik trigonomeetrilised avaldised. Neid valemeid kasutatakse laialdaselt ka trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, kuna need võimaldavad arvutada siinuste ja koosinuste summat ja erinevust.
Siinuse, koosinuse ja siinuse korrutise valemid koosinuse kaupa
Üleminek trigonomeetriliste funktsioonide korrutiselt summale või erinevusele toimub siinuste, koosinuste ja siinuse koosinuse korrutise valemitega.
Universaalne trigonomeetriline asendus
Lõpetame trigonomeetria põhivalemite ülevaate valemitega, mis väljendavad trigonomeetrilisi funktsioone poolnurga puutuja kaudu. Seda asendust kutsuti universaalne trigonomeetriline asendus. Selle mugavus seisneb selles, et kõiki trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse ratsionaalselt ilma juurteta poolnurga puutuja kaudu.
Bibliograafia.
- Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Haridus, 1990. - 272 lk.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Autoriõigus nutikatele õpilastele
Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ükski osa saidist, sealhulgas sisemised materjalid Ja väline disain, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.
Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid lahendatakse reeglina valemite abil. Lubage mul teile meelde tuletada, et kõige lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x on leitav nurk,
a on suvaline arv.
Ja siin on valemid, mille abil saate nende lihtsamate võrrandite lahendid kohe kirja panna.
Siinuse jaoks:
Koosinuse jaoks:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Tangensi jaoks:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Kootangendi jaoks:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Tegelikult on see kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise teoreetiline osa. Pealegi kõike!) Üldse mitte midagi. Selle teema vigade arv on aga lihtsalt edetabelitest väljas. Eriti kui näide mallist veidi kõrvale kaldub. Miks?
Jah, kuna paljud inimesed kirjutavad need kirjad üles, nende tähendust üldse mõistmata! Ta kirjutab üles ettevaatlikult, et midagi ei juhtuks...) See tuleb lahendada. Trigonomeetria inimestele või inimesed trigonomeetria jaoks!?)
Mõtleme selle välja?
Üks nurk on võrdne arccos a, teine: -arccos a.
Ja see läheb alati nii. Iga A.
Kui te mind ei usu, hõljutage kursorit pildi kohal või puudutage pilti oma tahvelarvutis.) Muutsin numbrit A millelegi negatiivsele. Igatahes saime ühe nurga arccos a, teine: -arccos a.
Seetõttu saab vastuse alati kirjutada kahe juurte seeriana:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ühendame need kaks seeriat üheks:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ja ongi kõik. Oleme saanud üldvalemi lihtsaima koosinusega trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks.
Kui mõistate, et see pole mingi üliteaduslik tarkus, vaid vaid kahe vastuse seeria lühendatud versioon, Samuti saad hakkama ülesannetega “C”. Ebavõrdsustega, juurte valimisega antud intervallist... Seal pluss/miinus vastus ei tööta. Aga kui käsitlete vastust asjalikult ja jagate selle kaheks erinevaks vastuseks, laheneb kõik.) Tegelikult see on põhjus, miks me seda uurime. Mida, kuidas ja kus.
Kõige lihtsamas trigonomeetrilises võrrandis
sinx = a
saame ka kaks seeriat juuri. Alati. Ja neid kahte sarja saab ka salvestada ühes reas. Ainult see rida on keerulisem:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Kuid olemus jääb samaks. Matemaatikud koostasid lihtsalt valemi, et teha juurte seeriate jaoks kahe kirje asemel üks. See on kõik!
Kontrollime matemaatikuid? Ja kunagi ei tea...)
Eelmises õppetükis käsitleti üksikasjalikult siinuse trigonomeetrilise võrrandi lahendust (ilma valemiteta):
Vastus andis tulemuseks kaks juurte seeriat:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Kui lahendame sama võrrandi valemiga, saame vastuse:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Tegelikult on see lõpetamata vastus.) Õpilane peab seda teadma arcsin 0,5 = π /6. Täielik vastus oleks:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Siin see tekib huvi Küsi. Vasta kaudu x 1; x 2 (see on õige vastus!) ja läbi üksildase X (ja see on õige vastus!) - kas need on samad asjad või mitte? Saame nüüd teada.)
Asendame vastuses sõnaga x 1 väärtused n =0; 1; 2; jne, loendame, saame juurte jada:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 ja nii edasi.
Sama asendusega vastuseks x 2 , saame:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 ja nii edasi.
Nüüd asendame väärtused n (0; 1; 2; 3; 4...) ühekordse üldvalemisse X . See tähendab, et tõstame miinus ühe nullvõimsusele, seejärel esimesele, teisele jne. Muidugi, me asendame 0 teise liikmega; 1; 2 3; 4 jne. Ja me loeme. Saame sarja:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ja nii edasi.
See on kõik, mida näete.) Üldvalem annab meile täpselt samad tulemused nagu ka kaks vastust eraldi. Lihtsalt kõik korraga, järjekorras. Matemaatikud ei lasknud end petta.)
Samuti saab kontrollida tangensi ja kotangensiga trigonomeetriliste võrrandite lahendamise valemeid. Aga me ei tee seda.) Need on juba lihtsad.
Kirjutasin kogu selle asendamise ja kontrollimise konkreetselt välja. Siin on oluline mõista ühte asja lihtne asi: elementaarsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on olemas valemid, vaid lühike kokkuvõte vastustest. Selle lühiduse huvides pidime koosinuslahusesse sisestama pluss/miinus ja siinuslahendusse (-1) n.
Need lisad ei sega kuidagi ülesannetesse, kus tuleb lihtsalt elementaarvõrrandi vastus kirja panna. Kuid kui teil on vaja lahendada ebavõrdsus või siis vastusega midagi ette võtta: valida intervalli juured, kontrollida ODZ-d jne, võivad need sisestused inimese kergesti häirida.
Mida ma siis tegema peaksin? Jah, kas kirjuta vastus kahes seerias või lahenda võrrand/võrratus trigonomeetrilise ringi abil. Siis need sisestused kaovad ja elu muutub lihtsamaks.)
Võime kokkuvõtte teha.
Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on valmis vastusevalemid. Neli tükki. Need sobivad võrrandi lahendi koheseks kirjutamiseks. Näiteks peate lahendama võrrandid:
sinx = 0,3
Lihtsalt: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Pole probleemi: x = ± kaared 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Lihtsalt: x = arctaan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Üks jäänud: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Kui teie, teadmistest särades, kirjutate kohe vastuse:
x= ± kaared 1,8 + 2π n, n ∈ Z
siis sa juba särad, see... see... lombist.) Õige vastus: lahendusi pole. Ei saa aru, miks? Loe, mis on kaarekoosinus. Lisaks, kui algse võrrandi paremal küljel on siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi tabeliväärtused, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ja nii edasi. - vastus läbi kaare jääb lõpetamata. Kaared tuleb teisendada radiaanideks.
Ja kui puutute kokku ebavõrdsusega, nagu
siis vastus on:
x πn, n ∈ Z
seal on haruldane jama, jah...) Siin tuleb lahendada trigonomeetrilise ringi abil. Mida me vastavas teemas teeme.
Neile, kes neid ridu kangelaslikult ette loevad. Ma lihtsalt ei saa jätta hindamata teie titaanlikke pingutusi. Boonus teile.)
Boonus:
Ärevust tekitavas lahinguolukorras valemeid üles kirjutades satuvad isegi kogenud nohikud sageli segadusse, kus πn, Ja kus 2π n. Siin on teile lihtne nipp. sisse kõik valemid väärt πn. Välja arvatud ainus kaarekoosinusega valem. See seisab seal 2πn. Kaks peen. Märksõna - kaks. Selles samas valemis on olemas kaks märk alguses. Pluss ja miinus. Siin-seal - kaks.
Nii et kui sa kirjutasid kaks märk enne kaarekoosinust, siis on lihtsam meeles pidada, mis lõpus juhtub kaks peen. Ja see juhtub ka vastupidi. Inimene jääb märgist ilma ± , jõuab lõpuni, kirjutab õigesti kaks Pien, ja ta tuleb mõistusele. Midagi on ees kaks märk! Inimene naaseb algusesse ja parandab vea! Nagu nii.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
