Kompleksmuutuja funktsioonid.
Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

See artikkel alustab õppetundide seeriat, mida ma vaatan tüüpilised ülesanded, mis on seotud kompleksmuutuja funktsioonide teooriaga. Näidete edukaks valdamiseks peab teil olema põhiteadmised kompleksarvude kohta. Materjali koondamiseks ja kordamiseks külastage lihtsalt lehte. Leidmiseks on vaja ka oskusi teist järku osatuletised. Siin nad on, need osatuletised... isegi nüüd olin veidi üllatunud, kui sageli neid esineb...

Teema, mida hakkame uurima, ei tekita erilisi raskusi ja keerulise muutuja funktsioonides on põhimõtteliselt kõik selge ja juurdepääsetav. Peaasi on kinni pidada põhireeglist, mille tuletasin eksperimentaalselt. Loe edasi!

Kompleksmuutuja funktsiooni mõiste

Esiteks värskendame oma teadmisi selle kohta kooli funktsioonüks muutuja:

Ühe muutujaga funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele. Loomulikult on “x” ja “y” reaalarvud.

Keerulisel juhul määratakse funktsionaalne sõltuvus sarnaselt:

Kompleksmuutuja üheväärtuslik funktsioon- see on reegel, mille järgi kõik kõikehõlmav sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab ühele ja ainult ühele kõikehõlmav funktsiooni väärtus. Teoorias võetakse arvesse ka mitme väärtusega ja mõnda muud tüüpi funktsioone, kuid lihtsuse huvides keskendun ühele definitsioonile.

Mis vahe on keeruka muutujafunktsiooni vahel?

Peamine erinevus: kompleksarvud. Ma ei ironiseeri. Sellised küsimused jätavad inimesed sageli uimaseks; artikli lõpus räägin teile naljaka loo. Õppetunnis Keerulised numbrid mannekeenide jaoks käsitlesime kompleksarvu kujul . Nüüdsest on täht "z" muutunud muutuv, siis tähistame seda järgmiselt: , samas kui “x” ja “y” võivad olla erinevad kehtiv tähendusi. Jämedalt öeldes sõltub kompleksmuutuja funktsioon muutujatest ja , mis omandavad “tavalised” väärtused. Sellest faktist tuleneb loogiliselt järgmine punkt:

Kompleksmuutuja funktsiooni saab kirjutada järgmiselt:
, kus ja on kahe kaks funktsiooni kehtiv muutujad.

Funktsiooni kutsutakse pärisosa funktsioonid
Funktsiooni kutsutakse kujuteldav osa funktsioonid

See tähendab, et kompleksmuutuja funktsioon sõltub kahest reaalfunktsioonist ja . Et kõike lõpuks selgitada, vaatame praktilisi näiteid:

Näide 1

Lahendus: Sõltumatu muutuja “zet”, nagu mäletate, on kirjutatud kujul , seega:

(1) Asendasime .

(2) Esimese liikme puhul kasutati lühendatud korrutamisvalemit. Terminis on sulud avatud.

(3) Hoolikalt ruudukujuline, seda unustamata

(4) Tingimuste ümberpaigutamine: kõigepealt kirjutame terminid ümber , milles pole kujuteldavat ühikut(esimene rühm), seejärel terminid, kus need on (teine ​​rühm). Tuleb märkida, et terminite segamine ei ole vajalik ja selle sammu võib vahele jätta (tegelikult suuliselt).

(5) Teise rühma puhul võtame selle sulgudest välja.

Selle tulemusena selgus, et meie funktsioon on vormis esindatud

Vastus:
– funktsiooni tegelik osa.
– funktsiooni mõtteline osa.

Millisteks funktsioonideks need osutusid? Kahe muutuja kõige tavalisemad funktsioonid, millest leiate nii populaarsed osatuletised. Ilma halastuseta leiame selle. Aga veidi hiljem.

Lühidalt võib lahendatud ülesande algoritmi kirjutada järgmiselt: asendame , algse funktsiooniga, teostame lihtsustusi ja jagame kõik terminid kahte rühma - ilma kujuteldava ühikuta (reaalosa) ja imaginaarse ühikuga (imaginaarne osa) .

Näide 2

Leidke funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa

See on näide sõltumatu otsus. Enne kui kiirustate keerulisel lennukil kabega lahingusse, lubage mul annan teile kõige rohkem oluline nõuanne sellel teemal:

OLE ETTEVAATLIK! Ettevaatlik tuleb olla muidugi igal pool, aga kompleksarvudes tuleks olla ettevaatlikum kui kunagi varem! Pidage meeles, et avage klambrid ettevaatlikult, ärge kaotage midagi. Minu tähelepanekute järgi on kõige levinum viga märgi kadumine. Ära kiirusta!

Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Nüüd kuubik. Kasutades lühendatud korrutamisvalemit, tuletame:
.

Valemeid on praktikas väga mugav kasutada, kuna need kiirendavad oluliselt lahendusprotsessi.

Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

Mul on kaks uudist: hea ja halb. Alustan heast. Kompleksmuutuja funktsiooni puhul kehtivad diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel. Seega võetakse tuletis täpselt samamoodi nagu reaalmuutuja funktsiooni puhul.

Halb uudis on see, et paljude keeruliste muutujafunktsioonide jaoks pole tuletist üldse ja peate selle välja mõtlema kas see on eristatavüks või teine ​​funktsioon. Ja südame tunnetuse "väljamõtlemine" on seotud täiendavate probleemidega.

Vaatleme kompleksmuutuja funktsiooni. Selle funktsiooni diferentseerimiseks on vajalik ja piisav:

1) Nii et esimest järku osatuletised on olemas. Unustage need tähistused kohe, kuna keeruka muutuja funktsioonide teoorias kasutatakse traditsiooniliselt teistsugust tähistust: .

2) Viia läbi nn Cauchy-Riemanni tingimused:

Ainult sel juhul on tuletis olemas!

Näide 3

Lahendus jaguneb kolmeks järjestikuseks etapiks:

1) Leiame funktsiooni tegelikud ja imaginaarsed osad. Seda ülesannet käsitleti eelmistes näidetes, seega kirjutan selle ilma kommentaarideta kirja:

Sellest ajast:

Seega:

– funktsiooni mõtteline osa.

Ma peatun veel ühel tehniline punkt: mis järjekorras kirjutada terminid reaalses ja mõttelises osas? Jah, põhimõtteliselt pole see oluline. Näiteks saab reaalosa kirjutada järgmiselt: , ja kujuteldav – näiteks see: .

2) Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Neid on kaks.

Alustame seisukorra kontrollimisega. Leiame osatuletised:

Seega on tingimus täidetud.

Hea uudis on muidugi see, et osatuletised on peaaegu alati väga lihtsad.

Kontrollime teise tingimuse täitmist:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega ehk tingimus on ka täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav.

3) Leiame funktsiooni tuletise. Tuletis on samuti väga lihtne ja leitakse tavapäraste reeglite järgi:

Imaginaarset ühikut peetakse diferentseerimisel konstandiks.

Vastus: - pärisosa, – mõtteline osa.
Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Tuletise leidmiseks on veel kaks võimalust, neid kasutatakse muidugi harvemini, kuid teave on kasulik teise õppetunni mõistmiseks - Kuidas leida kompleksmuutuja funktsiooni?

Tuletise saab leida järgmise valemi abil:

IN sel juhul:

Seega

Peame lahendama pöördülesande – saadud avaldises peame isoleerima . Selleks on terminites ja sulgudes väljas vajalik:

Pöördtoimingut, nagu paljud on märganud, on mõnevõrra keerulisem teostada; kontrollimiseks on alati parem võtta väljend mustandil või avada sulud suuliselt tagasi, veendudes, et tulemus on täpselt

Peegelvalem tuletise leidmiseks:

Sel juhul: , Sellepärast:

Näide 4

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Kui Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, leidke funktsiooni tuletis.

Kiire Lahendus ja lõpliku kavandi ligikaudne näidis õppetunni lõpus.

Kas Cauchy-Riemanni tingimused on alati täidetud? Teoreetiliselt ei täitu need sagedamini kui täidetakse. Aga sisse praktilisi näiteid Ma ei mäleta juhtumit, kus need ei täitunud =) Seega, kui teie osatuletised "ei ühtlustu", võite väga suure tõenäosusega öelda, et tegite kuskil vea.

Teeme oma funktsioonid keerulisemaks:

Näide 5

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama

Lahendus: Lahendusalgoritm on täielikult säilinud, kuid lõppu lisandub uus punkt: tuletise leidmine punktist. Kuubi jaoks nõutav valem juba väljastatud:

Määratleme selle funktsiooni tegelikud ja kujuteldavad osad:

Tähelepanu ja veelkord tähelepanu!

Sellest ajast:


Seega:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Teise tingimuse kontrollimine:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega ehk tingimus on ka täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav:

Arvutame tuletise väärtuse vajalikus punktis:

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud,

Funktsioonid kuubikutega on tavalised, nii et siin on tugevdamiseks näide:

Näide 6

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama.

Tunni lõpus lõpetamise lahendus ja näide.

Teoorias terviklik analüüs Samuti on määratletud keerulise argumendi muud funktsioonid: astendaja, siinus, koosinus jne. Nendel funktsioonidel on ebatavalised ja isegi veidrad omadused – ja see on tõesti huvitav! Ma tõesti tahan teile öelda, kuid siin, nagu juhtub, ei ole teatmeteos või õpik, vaid lahenduste raamat, seega käsitlen sama probleemi mõne levinud funktsiooniga.

Kõigepealt nn Euleri valemid:

Kellelegi kehtiv numbrid, kehtivad järgmised valemid:

Saate selle ka oma märkmikusse võrdlusmaterjalina kopeerida.

Rangelt võttes on ainult üks valem, kuid mugavuse huvides kirjutavad nad tavaliselt erijuhtum miinusega indikaatoris. Parameeter ei pea koosnema ühest tähest, see võib olla keeruline avaldis või funktsioon, oluline on vaid, et need aktsepteeriksid ainult kehtiv tähendusi. Tegelikult näeme seda kohe:

Näide 7

Leia tuletis.

Lahendus: Peo üldjoon jääb kõigutamatuks – vaja on eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi. ma toon sulle üksikasjalik lahendus, ja allpool kommenteerin iga sammu:

Sellest ajast:

(1) Asendage selle asemel "z".

(2) Pärast asendamist peate valima tegelikud ja kujuteldavad osad indikaatoris esimene eksponente. Selleks avage sulgud.

(3) Rühmitame indikaatori mõttelise osa, asetades mõttelise üksuse sulgudest välja.

(4) Kasutame kooli aktsiooni kraadidega.

(5) Kordaja jaoks kasutame Euleri valemit ja .

(6) Avage klambrid, mille tulemuseks on:

– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Edasised toimingud on standardsed; kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Näide 9

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Olgu nii, me ei leia tuletist.

Lahendus: Lahendusalgoritm on väga sarnane kahe eelmise näitega, kuid neid on väga olulised punktid, Sellepärast Esimene aste Kommenteerin uuesti samm-sammult:

Sellest ajast:

1) Asendage selle asemel "z".

(2) Esiteks valime välja tegelikud ja kujuteldavad osad siinuse sees. Nendel eesmärkidel avame sulgud.

(3) Kasutame valemit ja .

(4) Kasutamine hüperboolse koosinuse paarsus: Ja hüperboolse siinuse veidrus: . Hüperboolsed, kuigi sellest maailmast väljas, meenutavad paljuski sarnaseid trigonomeetrilisi funktsioone.

Lõpuks:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Tähelepanu! Miinusmärk viitab mõttelisele osale ja mitte mingil juhul ei tohi me seda kaotada! Selge näite huvides saab ülaltoodud tulemuse ümber kirjutada järgmiselt:

Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Daamid ja härrad, mõtleme selle ise välja:

Näide 10

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Valisin meelega raskemad näited, sest igaüks paistab millegagi hakkama saavat, näiteks koorega maapähklitega. Samal ajal treenite oma tähelepanu! Tunni lõpus pähklipuru.

Noh, kokkuvõtteks kaalun veel üht huvitav näide, kui kompleksargument on nimetajas. Praktikas on seda paar korda juhtunud, vaatame midagi lihtsat. Eh, ma hakkan vanaks jääma...

Näide 11

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Lahendus: Jällegi on vaja eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi.
Kui siis

Tekib küsimus, mida teha, kui nimetajas on “Z”?

Kõik on lihtne - tavaline aitab meetod lugeja ja nimetaja korrutamiseks konjugaadi avaldisega, on seda juba õppetunni näidetes kasutatud Keerulised numbrid mannekeenide jaoks. Meenutagem kooli valemit. Meil on juba nimetaja, mis tähendab, et konjugaadi avaldis on . Seega peate lugeja ja nimetaja korrutama järgmisega: