See videoõpetus aitab kasutajatel püramiidi teemast aimu saada. Õige püramiid. Selles õppetükis tutvume püramiidi mõistega ja anname sellele definitsiooni. Vaatame, mis see on tavaline püramiid ja millised omadused sellel on. Seejärel tõestame teoreemi korrapärase püramiidi külgpinna kohta.
Selles õppetükis tutvume püramiidi mõistega ja anname sellele definitsiooni.
Mõelge hulknurgale A 1 A 2...A n, mis asub α-tasandil, ja punkt P, mis ei asu α-tasandil (joonis 1). Ühendame punktid P tippudega A 1, A 2, A 3, … A n. Saame n kolmnurgad: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ja nii edasi.
Definitsioon. Polüheder RA 1 A 2 ...A n, koosnevad n- ruut A 1 A 2...A n Ja n kolmnurgad RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 kutsutakse n- söepüramiid. Riis. 1.
Riis. 1
Vaatleme nelinurkset püramiidi PABCD(joonis 2).
R- püramiidi tipp.
ABCD- püramiidi alus.
RA- külgribi.
AB- alusribi.
Alates punktist R langetame risti RN baastasandile ABCD. Joonistatud risti on püramiidi kõrgus.
Riis. 2
Püramiidi täispind koosneb külgpinnast, see tähendab kõigi külgpindade pindalast ja aluse pindalast:
S täis = S pool + S põhi
Püramiidi nimetatakse õigeks, kui:
- selle alus on korrapärane hulknurk;
- segment, mis ühendab püramiidi tippu aluse keskpunktiga, on selle kõrgus.
Selgitus tavalise nelinurkse püramiidi näitel
Vaatleme tavalist nelinurkset püramiidi PABCD(joonis 3).
R- püramiidi tipp. Püramiidi alus ABCD- tavaline nelinurk, see tähendab ruut. Punkt KOHTA, diagonaalide lõikepunkt, on ruudu keskpunkt. Tähendab, RO on püramiidi kõrgus.
Riis. 3
Selgitus: õiges kohas n Kolmnurga puhul langevad sisse kirjutatud ringi keskpunkt ja ümberringi keskpunkt kokku. Seda keskpunkti nimetatakse hulknurga keskpunktiks. Mõnikord öeldakse, et tipp on projitseeritud keskele.
Tavalise püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust nimetatakse apoteem ja on määratud h a.
1. korrapärase püramiidi kõik külgmised servad on võrdsed;
2. Külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.
Toome nende omaduste tõestuse tavalise nelinurkse püramiidi näitel.
Antud: PABCD- tavaline nelinurkne püramiid,
ABCD- ruut,
RO- püramiidi kõrgus.
Tõesta:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Vaata joonist. 4.
Riis. 4
Tõestus.
RO- püramiidi kõrgus. See tähendab, otse RO tasapinnaga risti ABC ja seega otsene JSC, VO, SO Ja TEE selles lamades. Seega kolmnurgad ROA, ROV, ROS, ROD- ristkülikukujuline.
Mõelge ruudule ABCD. Ruudu omadustest järeldub, et AO = VO = CO = TEE.
Siis täisnurksed kolmnurgad ROA, ROV, ROS, ROD jalg RO- üldine ja jalad JSC, VO, SO Ja TEE on võrdsed, mis tähendab, et need kolmnurgad on kahel küljel võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest tuleneb lõikude võrdsus, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 on tõestatud.
Segmendid AB Ja Päike on võrdsed, kuna need on sama ruudu küljed, RA = PB = RS. Seega kolmnurgad AVR Ja VSR – võrdhaarsed ja kolmest küljest võrdsed.
Samamoodi leiame, et kolmnurgad ABP, VCP, CDP, DAP on võrdhaarsed ja võrdsed, nagu on nõutud lõikes 2.
Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest:
Selle tõestamiseks valime tavalise kolmnurkse püramiidi.
Antud: RAVS- korrapärane kolmnurkne püramiid.
AB = BC = AC.
RO- kõrgus.
Tõesta: 
. Vaata joon. 5.
Riis. 5
Tõestus.
RAVS- korrapärane kolmnurkne püramiid. See on AB= AC = eKr. Lase KOHTA- kolmnurga keskpunkt ABC, Siis RO on püramiidi kõrgus. Püramiidi põhjas asub Võrdkülgne kolmnurk ABC. Märka seda 
.
Kolmnurgad RAV, RVS, RSA- võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad (omaduse järgi). Kolmnurksel püramiidil on kolm külgpinda: RAV, RVS, RSA. See tähendab, et püramiidi külgpinna pindala on:
S pool = 3S RAW
Teoreem on tõestatud.
Korrapärase nelinurkse püramiidi põhja kantud ringi raadius on 3 m, püramiidi kõrgus 4 m. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Antud: korrapärane nelinurkne püramiid ABCD,
ABCD- ruut,
r= 3 m,
RO- püramiidi kõrgus,
RO= 4 m.
Otsi: S pool. Vaata joon. 6.
Riis. 6
Lahendus.
Tõestatud teoreemi kohaselt on .
Leiame kõigepealt aluse külje AB. Teame, et korrapärase nelinurkse püramiidi põhja kantud ringi raadius on 3 m.
Siis, m.
Leidke ruudu ümbermõõt ABCD küljega 6 m:
Kaaluge kolmnurka BCD. Lase M- külje keskel DC. Sest KOHTA- keskmine BD, See 
(m).
Kolmnurk DPC- võrdhaarne. M- keskmine DC. See on, RM- mediaan ja seega ka kõrgus kolmnurgas DPC. Siis RM- püramiidi apoteem.
RO- püramiidi kõrgus. Siis otse RO tasapinnaga risti ABC ja seega otsene OM, lamades selles. Leiame apoteemi RM täisnurksest kolmnurgast ROM.
Nüüd leiame külgmine pind püramiidid:
Vastus: 60 m2.
Korrapärase kolmnurkse püramiidi aluse ümber ümbritsetud ringi raadius on võrdne m. Külgpinna pindala on 18 m 2. Leidke apoteemi pikkus.
Antud: ABCP- tavaline kolmnurkne püramiid,
AB = BC = SA,
R= m,
S-külg = 18 m2.
Otsi: . Vaata joon. 7.
Riis. 7
Lahendus.
Täisnurkses kolmnurgas ABC Piiratud ringi raadius on antud. Leiame külje AB see kolmnurk, kasutades siinuse seadust.
Teades korrapärase kolmnurga külge (m), leiame selle ümbermõõdu.
Tavalise püramiidi külgpinna teoreemi järgi, kus h a- püramiidi apoteem. Seejärel:
Vastus: 4 m.
Niisiis, vaatasime, mis on püramiid, mis on tavaline püramiid ja tõestasime teoreemi tavalise püramiidi külgpinna kohta. Järgmises tunnis tutvume kärbipüramiidiga.
Bibliograafia
- Geomeetria. 10.-11. klass: õpik õpilastele õppeasutused(põhi- ja profiili tasemed) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. väljaanne, rev. ja täiendav - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill.
- Geomeetria. 10-11 klass: Üldõpetuse õpik õppeasutused/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 lk.: ill.
- Geomeetria. 10. klass: matemaatika süva- ja erialaõppega õpik üldharidusasutustele /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. väljaanne, stereotüüp. - M.: Bustard, 008. - 233 lk.: ill.
- Interneti-portaal "Yaklass" ()
- Internetiportaal "Festival pedagoogilised ideed"Esimene september" ()
- Interneti-portaal "Slideshare.net" ()
Kodutöö
- Kas korrapärane hulknurk võib olla ebakorrapärase püramiidi alus?
- Tõesta, et korrapärase püramiidi lahknevad servad on risti.
- Leidke korrapärase nelinurkse püramiidi aluse külje kahetahulise nurga väärtus, kui püramiidi apoteem on võrdne selle aluse küljega.
- RAVS- korrapärane kolmnurkne püramiid. Koostage püramiidi aluse kahetahulise nurga lineaarnurk.
Definitsioon. Külgserv- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi ülaosas ja vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.
Definitsioon. Külgmised ribid- need on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on sama palju servi kui hulknurga nurki.
Definitsioon. Püramiidi kõrgus- see on risti, mis on langetatud püramiidi tipust põhja.
Definitsioon. Apoteem- see on risti püramiidi külgpinnaga, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.
Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi osa tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.
Definitsioon. Õige püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.
Püramiidi ruumala ja pindala
Valem. Püramiidi ruumala läbi aluse pindala ja kõrgus:
Püramiidi omadused
Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber tõmmata ringi, mille aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib aluse (ringi) keskpunkti ülevalt alla lastud risti.
Kui kõik külgmised servad on võrdsed, on need aluse tasapinna suhtes samade nurkade all.
Külgmised ribid on võrdsed, kui need moodustuvad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.
Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi ülaosa projitseeritakse selle keskmesse.
Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.
Tavalise püramiidi omadused
1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.
2. Kõik külgmised servad on võrdsed.
3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes kallutatud võrdse nurga all.
4. Kõikide külgtahkude apoteemid on võrdsed.
5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.
6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.
7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Piiratud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.
8. Püramiidi saad sobitada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.
9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis tasandi nurkade summa tipus on võrdne π-ga või vastupidi, üks nurk võrdub π/n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.
Seos püramiidi ja sfääri vahel
Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas on hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Kera keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.
Alati on võimalik kirjeldada sfääri mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.
Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.
Püramiidi ühendus koonusega
Koonust nimetatakse püramiidi sisse kantuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.
Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on üksteisega võrdsed.
Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.
Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.
Püramiidi ja silindri suhe
Püramiidi nimetatakse silindrisse kantuks, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.
Silindrit saab kirjeldada ümber püramiidi, kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.
Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval ei ole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.
Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.
Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).
Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).
Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades tipust.
Definitsioon. Teravnurkne püramiid- püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.
Definitsioon. Nürakujuline püramiid- püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.
Definitsioon. Regulaarne tetraeeder- tetraeeder, mille kõik neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.
Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.
Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja mille alus on korrapärane kolmnurk. Sellisel tetraeedril on tahud, mis on võrdhaarsed kolmnurgad.
Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.
Definitsioon. Tähepüramiid nimetatakse hulktahukaks, mille alus on täht.
Definitsioon
Püramiid on hulktahukas, mis koosneb hulknurgast \(A_1A_2...A_n\) ja \(n\) kolmnurgast ühise tipuga \(P\) (mis ei asu hulknurga tasapinnal) ja selle vastaskülgedest, mis langevad kokku hulknurga küljed.
Nimetus: \(PA_1A_2...A_n\) .
Näide: viisnurkne püramiid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Kolmnurgad \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) jne. kutsutakse külgmised näod püramiidid, segmendid \(PA_1, PA_2\) jne. – külgmised ribid, hulknurk \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – alus, punkt \(P\) – üleval.
Kõrgus püramiidid on risti, mis laskub püramiidi tipust aluse tasapinnani.
Püramiidi, mille põhjas on kolmnurk, nimetatakse tetraeeder.
Püramiidi nimetatakse õige, kui selle alus on tavaline hulknurk ja üks järgmistest tingimustest on täidetud:
\(a)\) püramiidi külgmised servad on võrdsed;
\(b)\) püramiidi kõrgus läbib aluse lähedale piiritletud ringi keskpunkti;
\(c)\) külgmised ribid on aluse tasapinna suhtes sama nurga all.
\(d)\) külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all.
Regulaarne tetraeeder on kolmnurkne püramiid, mille kõik tahud on võrdsed võrdkülgsed kolmnurgad.
Teoreem
Tingimused \(a), (b), (c), (d)\) on samaväärsed.
Tõestus
Leiame püramiidi kõrguse \(PH\) . Olgu \(\alpha\) püramiidi aluse tasapind.
1) Tõestame, et \((a)\)-st järgneb \((b)\) . Olgu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Sest \(PH\perp \alpha\), siis \(PH\) on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega, mis tähendab, et kolmnurgad on täisnurksed. See tähendab, et need kolmnurgad on võrdsed ühises jaos \(PH\) ja hüpotenuusis \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . See tähendab \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . See tähendab, et punktid \(A_1, A_2, ..., A_n\) on punktist \(H\) samal kaugusel, seega asuvad nad samal ringil raadiusega \(A_1H\) . See ring on definitsiooni järgi piiritletud hulknurga \(A_1A_2...A_n\) ümber.
2) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline ja kahel jalal võrdsed. See tähendab, et ka nende nurgad on võrdsed, seega \(\nurk PA_1H=\nurk PA_2H=...=\nurk PA_nH\).
3) Tõestame, et \((c)\) tähendab \((a)\) .
Sarnaselt esimese punktiga kolmnurgad \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline nii piki jalga kui ka teravnurk. See tähendab, et ka nende hüpotenuusid on võrdsed, st \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((d)\) .
Sest korrapärases hulknurgas langevad piiritletud ja sisse kirjutatud ringide keskpunktid kokku (üldiselt nimetatakse seda punkti korrapärase hulknurga keskpunktiks), siis \(H\) on sissekirjutatud ringi keskpunkt. Joonistame punktist \(H\) aluse külgedele ristid: \(HK_1, HK_2\) jne. Need on sisse kirjutatud ringi raadiused (definitsiooni järgi). Siis vastavalt TTP-le (\(PH\) on tasapinnaga risti, \(HK_1, HK_2\) jne on külgedega risti olevad projektsioonid) kaldu \(PK_1, PK_2\) jne. risti külgedega \(A_1A_2, A_2A_3\) jne. vastavalt. Niisiis, definitsiooni järgi \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H\) võrdne külgpindade ja aluse vaheliste nurkadega. Sest kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) on võrdsed (ristkülikukujulistena kahest küljest), siis nurgad \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H, ...\) on võrdsed.
5) Tõestame, et \((d)\) tähendab \((b)\) .
Sarnaselt neljanda punktiga on kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) võrdsed (ristkülikukujulistena piki jalga ja teravnurka), mis tähendab, et lõigud \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) on võrdne. See tähendab definitsiooni järgi, et \(H\) on alusesse kantud ringi keskpunkt. Aga sest Regulaarsete hulknurkade korral langevad sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid kokku, siis \(H\) on piiritletud ringi keskpunkt. Chtd.
Tagajärg
Tavalise püramiidi külgmised tahud on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.
Definitsioon
Tavalise püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust nimetatakse apoteem.
Korrapärase püramiidi kõigi külgpindade apoteemid on üksteisega võrdsed ning on ühtlasi ka mediaanid ja poolitajad.
Olulised märkused
1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse kõrguste (ehk poolitajate ehk mediaanide) lõikepunkti (alus on korrapärane kolmnurk).
2. Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunkti (alus on ruut).
3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunkti (alus on korrapärane kuusnurk).
4. Püramiidi kõrgus on risti mis tahes aluses asuva sirge suhtes.
Definitsioon
Püramiidi nimetatakse ristkülikukujuline, kui selle üks külgserv on aluse tasapinnaga risti.
Olulised märkused
1. Ristkülikukujulisel püramiidil on põhjaga risti olev serv püramiidi kõrgus. See tähendab, et \(SR\) on kõrgus.
2. Sest \(SR\) on siis risti mis tahes joonega alusest \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- täisnurksed kolmnurgad.
3. Kolmnurgad \(\kolmnurk SRN, \kolmnurk SRK\)- ka ristkülikukujuline.
See tähendab, et iga kolmnurk, mille moodustab see serv ja diagonaal, mis väljub selle serva tipust, mis asub aluses, on ristkülikukujuline.
\[(\Large(\text(Püramiidi maht ja pindala)))\]
Teoreem
Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga püramiidi aluse pindala ja kõrguse korrutisest: \
Tagajärjed
Olgu \(a\) aluse külg, \(h\) püramiidi kõrgus.
1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(parempoolne kolmnurk.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Korrapärase tetraeedri ruumala on \(V_(\text(parempoolne tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teoreem
Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne aluse perimeetri ja apoteemi poolkorrutisega.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Definitsioon
Vaatleme suvalist püramiidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Joonistame püramiidi põhjaga paralleelse tasapinna läbi teatud punkti, mis asub püramiidi külgserval. See tasand jagab püramiidi kaheks polüheedriks, millest üks on püramiid (\(PB_1B_2...B_n\)) ja teine on nn. kärbitud püramiid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Kärbitud püramiidil on kaks alust – hulknurgad \(A_1A_2...A_n\) ja \(B_1B_2...B_n\), mis on üksteisega sarnased.
Tüvipüramiidi kõrgus on risti, mis on tõmmatud ülemise aluse mõnest punktist alumise aluse tasapinnaga.
Olulised märkused
1. Kõik kärbitud püramiidi külgpinnad on trapetsikujulised.
2. Korrapärase tüvipüramiidi (st korrapärase püramiidi ristlõikega saadud püramiidi) aluste keskpunkte ühendav segment on kõrgus.
Püramiid. Kärbitud püramiid
Püramiid on hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ( alus ) ja kõik teised tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp ( külgmised näod ) (joonis 15). Püramiidi nimetatakse õige , kui selle alus on korrapärane hulknurk ja püramiidi tipp on projitseeritud aluse keskmesse (joonis 16). Nimetatakse kolmnurkpüramiidi, mille kõik servad on võrdsed tetraeeder .
Külgmised ribid püramiidi külgpinna külg, mis ei kuulu alusele Kõrgus püramiid on kaugus selle tipust aluse tasapinnani. Tavalise püramiidi kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed, kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Hariliku püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust nimetatakse apoteem . Diagonaalne lõige nimetatakse püramiidi lõiguks tasapinnaga, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.
Külgmine pindala püramiid on kõigi külgpindade pindalade summa. Kogupindala nimetatakse kõigi külgpindade ja aluse pindalade summaks.
Teoreemid
1. Kui püramiidis on kõik külgmised servad aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.
2. Kui püramiidi kõik külgmised servad on võrdse pikkusega, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.
3. Kui püramiidi kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp selle alusele kirjutatud ringi keskmesse.
Suvalise püramiidi ruumala arvutamiseks on õige valem:
Kus V- maht;
S alus– baaspind;
H- püramiidi kõrgus.
Tavalise püramiidi puhul on õiged järgmised valemid:
Kus lk– baasi perimeeter;
h a– apoteem;
H- kõrgus;
S täis
S pool
S alus– baaspind;
V– tavalise püramiidi ruumala.
Kärbitud püramiid nimetatakse püramiidi osaks, mis jääb aluse ja püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele (joon. 17). Tavaline kärbitud püramiid nimetatakse korrapärase püramiidi osaks, mis jääb aluse ja püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele.
Põhjused kärbitud püramiid – sarnased hulknurgad. Külgmised näod - trapetsid. Kõrgus kärbitud püramiidi on selle aluste vaheline kaugus. Diagonaal kärbitud püramiid on segment, mis ühendab selle tippe, mis ei asu samal pinnal. Diagonaalne lõige on kärbitud püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.
Kärbitud püramiidi puhul kehtivad järgmised valemid:
(4)
Kus S 1 , S 2 – ülemise ja alumise aluse alad;
S täis– kogupindala;
S pool– külgpindala;
H- kõrgus;
V– kärbitud püramiidi ruumala.
Tavalise kärbitud püramiidi puhul on valem õige:
Kus lk 1 , lk 2 – aluste perimeetrid;
h a– tavalise kärbitud püramiidi apoteem.
Näide 1. Tavalise kolmnurkse püramiidi korral on kahetahuline nurk põhjas 60º. Leidke külgserva kaldenurga puutuja aluse tasapinnaga.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 18).
 |
Püramiid on korrapärane, mis tähendab, et selle põhjas on võrdkülgne kolmnurk ja kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Dihedraalne nurk põhjas on püramiidi külgpinna kaldenurk aluse tasapinna suhtes. Lineaarnurk on nurk a kahe risti vahel: jne. Püramiidi tipp projitseeritakse kolmnurga keskpunkti (ümberringi keskpunkt ja kolmnurga sisse kirjutatud ringjoon ABC). Külgmise serva kaldenurk (näiteks S.B.) on nurk serva enda ja selle projektsiooni vahel aluse tasapinnale. Ribi jaoks S.B. see nurk on nurk SBD. Puutuja leidmiseks peate teadma jalgu NII Ja O.B.. Laske segmendi pikkus BD võrdub 3 A. Punkt KOHTA joonelõik BD on jagatud osadeks: ja Alates leiame NII: 
Siit leiame: 
Vastus:
Näide 2. Leidke tavalise kärbitud nelinurkse püramiidi ruumala, kui selle aluste diagonaalid on cm ja cm ning kõrgus on 4 cm.
Lahendus. Kärbitud püramiidi ruumala leidmiseks kasutame valemit (4). Aluste pindala leidmiseks peate leidma aluse ruutude küljed, teades nende diagonaale. Aluste küljed on vastavalt 2 cm ja 8 cm See tähendab aluste pindalasid ja Asendades kõik andmed valemisse, arvutame kärbitud püramiidi ruumala:
Vastus: 112 cm 3.
Näide 3. Leidke tavalise kolmnurkse tüvipüramiidi külgpinna pindala, mille aluste küljed on 10 cm ja 4 cm ning püramiidi kõrgus on 2 cm.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 19).
Selle püramiidi külgkülg on võrdhaarne trapets. Trapetsi pindala arvutamiseks peate teadma alust ja kõrgust. Alused on antud seisukorra järgi, teadmata jääb vaid kõrgus. Me leiame ta, kust A 1 E punktist risti A 1 alumise aluse tasapinnal, A 1 D– risti alates A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, kuna see on püramiidi kõrgus. Leidma DE Teeme lisajoonise, mis näitab pealtvaadet (joon. 20). Punkt KOHTA– ülemise ja alumise aluse tsentrite projektsioon. kuna (vt joon. 20) ja Teisest küljest Okei– ringi sisse kirjutatud raadius ja 
OM– ringi sisse kirjutatud raadius:
MK = DE.
Pythagorase teoreemi järgi alates
Külgpind: 
Vastus:
Näide 4. Püramiidi põhjas asub võrdhaarne trapets, mille alused A Ja b (a> b). Iga külgpind moodustab nurga, mis on võrdne püramiidi aluse tasapinnaga j. Leidke püramiidi kogupindala.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 21). Püramiidi kogupindala SABCD võrdne trapetsi pindala ja pindala summaga ABCD.
Kasutame väidet, et kui püramiidi kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse tipp alusesse kirjutatud ringi keskmesse. Punkt KOHTA– tipuprojektsioon S püramiidi põhjas. Kolmnurk SOD on kolmnurga ortogonaalprojektsioon CSD aluse tasapinnale. Kasutades teoreemi tasapinnalise kujundi ortogonaalprojektsiooni ala kohta, saame:
Samamoodi tähendab see 
Seega taandus probleem trapetsi pindala leidmisele ABCD. Joonistame trapetsi ABCD eraldi (joonis 22). Punkt KOHTA– trapetsi sisse kirjutatud ringi keskpunkt.
Kuna trapetsi saab kirjutada ringi, siis või Pythagorase teoreemist saame
- apoteem- korrapärase püramiidi külgpinna kõrgus, mis on tõmmatud selle tipust (lisaks on apoteem ristnurga pikkus, mis on langetatud korrapärase hulknurga keskelt ühele küljele);
- külgmised näod (ASB, BSC, CSD, DSA) - kolmnurgad, mis kohtuvad tipus;
- külgmised ribid ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — külgpindade ühised küljed;
- püramiidi tipp (t. S) - külgribisid ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;
- kõrgus ( NII ) - risti segment, mis on tõmmatud läbi püramiidi tipu selle aluse tasapinnaga (sellise segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti alus);
- püramiidi diagonaallõige- püramiidi lõik, mis läbib aluse tipu ja diagonaali;
- alus (ABCD) - hulknurk, mis ei kuulu püramiidi tippu.
Püramiidi omadused.
1. Kui kõik külgmised servad on ühesuurused, siis:
- püramiidi aluse lähedal asuvat ringi on lihtne kirjeldada ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele;
- külgmised ribid moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad;
- Pealegi on ka vastupidi, s.t. kui külgmised ribid moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele, tähendab see, et kõik külgmised servad püramiidist on ühesuurused.
2. Kui külgpindade kaldenurk on aluse tasapinna suhtes sama väärtusega, siis:
- püramiidi aluse lähedal asuvat ringi on lihtne kirjeldada ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele;
- külgpindade kõrgused on võrdse pikkusega;
- külgpinna pindala on võrdne ½ aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutisega.
3. Kera saab kirjeldada püramiidi ümber, kui püramiidi põhjas on hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on nende tasandite lõikepunkt, mis läbivad nendega risti püramiidi servade keskkohti. Sellest teoreemist järeldame, et sfääri saab kirjeldada nii mis tahes kolmnurkse kui ka iga korrapärase püramiidi ümber.
4. Püramiidi saab sisse kirjutada kera, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad 1. punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.
Lihtsaim püramiid.
Nurkade arvu alusel jagatakse püramiidi alus kolmnurkseks, nelinurkseks jne.
Tuleb püramiid kolmnurkne, nelinurkne ja nii edasi, kui püramiidi alus on kolmnurk, nelinurk jne. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeedr. Nelinurkne - viisnurkne ja nii edasi.
