Õppides erinevaid sektsioone Füüsikas, mehaanikas ja tehnikateadustes on suurused, mis on täielikult määratud nende arvväärtuste täpsustamisega, täpsemalt, mis määratakse täielikult, kasutades nende mõõtmise tulemusel saadud arvu ühikuks võetava homogeense suuruse järgi. Selliseid koguseid nimetatakse skalaar ehk lühidalt skalaarid. Skalaarsuurused on näiteks pikkus, pindala, maht, aeg, mass, kehatemperatuur, tihedus, töö, elektriline võimsus jne. Kuna skalaarsuuruse määrab arv (positiivne või negatiivne), saab selle joonistada vastav koordinaattelg. Näiteks konstrueeritakse sageli ajatelg, temperatuur, pikkus (läbitud vahemaa) ja muud.
Lisaks skalaarsetele suurustele on erinevates ülesannetes suurused, mille puhul on lisaks arvväärtusele vaja teada ka nende suunda ruumis. Selliseid koguseid nimetatakse vektor. Vektorsuuruste füüsikalised näited hõlmavad nihkumist materiaalne punkt ruumis liikumine, selle punkti kiirus ja kiirendus, samuti sellele mõjuv jõud, elektri- või magnetvälja tugevus. Vektorkoguseid kasutatakse näiteks klimatoloogias. Vaatame lihtsat näidet klimatoloogiast. Kui öelda, et tuul puhub kiirusega 10 m/s, siis võtame kasutusele tuule kiiruse skalaarväärtuse, aga kui öelda, et põhjatuul puhub kiirusega 10 m/s, siis selles juhul kui tuule kiirus on juba vektorsuurus.
Vektori kogused on kujutatud vektorite abil.
Vektorsuuruste geomeetriliseks esitamiseks kasutatakse suunatud segmente, st segmente, millel on ruumis kindel suund. Sel juhul on lõigu pikkus võrdne vektori suuruse arvväärtusega ja selle suund langeb kokku vektori suuruse suunaga. Nimetatakse antud vektori suurust iseloomustavat suunatud segmenti geomeetriline vektor või lihtsalt vektor.
Vektori mõiste mängib olulist rolli nii matemaatikas kui ka paljudes füüsika ja mehaanika valdkondades. Paljusid füüsikalisi suurusi saab esitada vektorite abil ning see esitus aitab väga sageli kaasa valemite ja tulemuste üldistamisele ja lihtsustamisele. Sageli identifitseeritakse vektorsuurused ja neid esindavad vektorid üksteisega: näiteks öeldakse, et jõud (või kiirus) on vektor.
Vektoralgebra elemente kasutatakse sellistes distsipliinides nagu: 1) elektriautod; 2) automatiseeritud elektriajam; 3) elektrivalgustus ja -kiirgus; 4) hargnemata ahelad vahelduvvoolu; 5) rakendusmehaanika; 6) teoreetiline mehaanika; 7) füüsika; 8) hüdraulika: 9) masinaosad; 10) materjalide tugevus; 11) juhtimine; 12) keemia; 13) kinemaatika; 14) staatika jne.
2. Vektori definitsioon. Sirgelõike määrab kaks võrdset punkti - selle otsad. Kuid võime käsitleda suunatud segmenti, mis on määratletud järjestatud punktide paariga. Nende punktide kohta on teada, milline neist on esimene (algus) ja milline teine (lõpp).
Suunatud lõigu all mõistetakse järjestatud punktide paari, millest esimest - punkti A - nimetatakse selle alguseks ja teist - B - selle lõpuks.
Siis all vektor kõige lihtsamal juhul mõistetakse suunatud segmenti ennast ja muudel juhtudel on erinevad vektorid suunatud segmentide erinevad ekvivalentsusklassid, mis on määratud mingi spetsiifilise ekvivalentsusseosega. Veelgi enam, samaväärsuse seos võib olla erinev, määrates vektori tüübi (“vaba”, “fikseeritud” jne). Lihtsamalt öeldes käsitletakse samaväärsuse klassis kõiki selles sisalduvaid suunatud segmente täiesti võrdsetena ja igaüks võib võrdselt esindada kogu klassi.
Ruumi lõpmatute väikeste teisenduste uurimisel mängivad vektorid olulist rolli.
Definitsioon 1. Me kutsume suunatud lõiku (või, mis on sama, järjestatud punktide paari) vektor. Lõigu suund on tavaliselt tähistatud noolega. Eespool tähemärgistus vektori kirjutamisel asetatakse nool, näiteks: (sel juhul tuleb ette panna vektori algusele vastav täht). Raamatutes trükitakse vektorit tähistavad tähed sageli paksus kirjas, näiteks: A.
Samuti lisame vektoritena nn nullvektori, mille algus ja lõpp langevad kokku.
Vektorit, mille algus langeb kokku selle lõpuga, nimetatakse nulliks. Nullvektorit tähistatakse lihtsalt kui 0.
Vektori alguse ja lõpu vahelist kaugust nimetatakse vektoriks pikkus(ja moodul ja absoluutväärtus). Vektori pikkust tähistatakse | | või | |. Vektori pikkus ehk vektori moodul on vastava suunatud lõigu pikkus: | | = .
Vektoreid nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal sirgel või paralleelsetel joontel, lühidalt, kui on sirge, millega nad on paralleelsed.
Vektoreid nimetatakse koplanaarne, kui on olemas tasapind, millega nad on paralleelsed, saab neid esitada samal tasapinnal asuvate vektoritega. Nullvektorit peetakse mis tahes vektori suhtes kollineaarseks, kuna sellel pole konkreetset suunda. Selle pikkus on loomulikult null. Ilmselgelt on mis tahes kaks vektorit tasapinnalised; kuid loomulikult ei ole ruumis kõik kolm vektorit tasapinnalised. Kuna üksteisega paralleelsed vektorid on paralleelsed sama tasapinnaga, on kollineaarsed vektorid veelgi rohkem tasapinnalised. Muidugi pole vastupidine: koplanaarsed vektorid ei pruugi olla kollineaarsed. Eespool kasutatud tingimuse tõttu on nullvektor kollineaarne mis tahes vektoriga ja samatasandiline mis tahes vektoripaariga, st. kui kolme vektori hulgas on vähemalt üks null, siis on need tasapinnalised.
2) Sõna "koplanaarne" tähendab sisuliselt: "ühise tasapinna olemasolu", st "asub samal tasapinnal". Aga kuna me räägime siin vabadest vektoritest, mida saab suvaliselt (pikkust ja suunda muutmata) üle kanda, siis tuleb sama tasapinnaga paralleelseid vektoreid nimetada koplanaarseteks, sest sel juhul saab neid üle kanda nii, et need paiknevad üks lennuk.
Kõne lühendamiseks lepime kokku ühes terminis: kui mitu vaba vektorit on paralleelsed sama tasapinnaga, siis ütleme, et nad on tasapinnalised. Eelkõige on kaks vektorit alati samatasandilised; selles veendumiseks piisab, kui need samast punktist edasi lükata. Lisaks on selge, et tasapinna suund, milles kaks antud vektorit on paralleelsed, on täielikult määratletud, kui need kaks vektorit ei ole üksteisega paralleelsed. Nimetame lihtsalt nende vektorite tasapinnaks mis tahes tasapinda, millega need samatasandilised vektorid on paralleelsed.
2. definitsioon. Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne, kui need on kollineaarsed, on sama suuna ja võrdse pikkusega.
Peate alati meeles pidama, et kahe vektori pikkuste võrdsus ei tähenda, et need vektorid on võrdsed.
Definitsiooni tähenduse järgi on kaks vektorit, mis on eraldi võrdsed kolmandaga, üksteisega võrdsed. Ilmselgelt on kõik nullvektorid üksteisega võrdsed.
Sellest definitsioonist järeldub kohe, et valides suvalise punkti A", saame konstrueerida (ja ainult ühe) vektori A" B", mis on võrdne mõne antud vektoriga, või, nagu öeldakse, üle kanda vektori punkti A".
Kommenteeri. Vektorite jaoks puuduvad mõisted “rohkem” või “vähem”, st. nad on võrdsed või mitte.
Kutsutakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega vallaline vektor ja seda tähistatakse e. Ühikvektorit, mille suund langeb kokku vektori a suunaga nimetatakse ortom vektor ja on tähistatud a.
3. Teisest vektori definitsioonist. Pange tähele, et vektorite võrdsuse mõiste erineb oluliselt näiteks arvude võrdsuse mõistest. Iga arv on võrdne ainult iseendaga, teisisõnu, kahte võrdset arvu võib igal juhul pidada samaks arvuks. Vektoritega, nagu näeme, on olukord erinev: definitsiooni järgi on olemas erinevad, kuid võrdsed vektorid. Kuigi enamikul juhtudel ei pea me neid eristama, võib selguda, et ühel hetkel hakkab meid huvitama vektor , mitte mõni muu samaväärne vektor A "B".
Vektorite võrdsuse kontseptsiooni lihtsustamiseks (ja mõnede sellega seotud raskuste kõrvaldamiseks) muudavad nad mõnikord vektori määratluse keerulisemaks. Me ei kasuta seda keerulist määratlust, vaid sõnastame selle. Segaduse vältimiseks kirjutame allpool määratletud mõiste tähistamiseks "Vektor" (suurtähega).
3. definitsioon. Olgu antud suunatud segment. Nimetatakse kõigi suunatud segmentide hulka, mis on definitsiooni 2 tähenduses ühega võrdsed Vektor.
Seega määrab iga suunatud segment vektori. On lihtne näha, et kaks suunatud segmenti määratlevad sama vektori siis ja ainult siis, kui need on võrdsed. Vektorite puhul, nagu ka arvude puhul, tähendab võrdsus juhust: kaks vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nad on sama vektor.
Ruumi paralleelsel ülekandmisel moodustavad punkt ja selle kujutis järjestatud punktide paari ja määratlevad suunatud segmendi ning kõik sellised suunatud segmendid on definitsiooni 2 tähenduses võrdsed. Seetõttu saab paralleelset ruumiülekannet tuvastada koostatud vektoriga. kõigist nendest suunatud segmentidest.
Füüsika algkursusest on hästi teada, et jõudu saab esitada suunatud segmendiga. Kuid seda ei saa esitada vektoriga, kuna jõud, mida esindavad võrdsed suunatud segmendid, tekitavad üldiselt erinevaid toiminguid. (Kui elastsele kehale mõjub jõud, ei saa seda esindavat suunatud segmenti üle kanda isegi piki sirget, millel see asub.)
See on vaid üks põhjusi, miks koos vektorite, st võrdsete suunatud segmentide komplektidega (või, nagu öeldakse, klassidega), on vaja arvestada ka nende klasside üksikute esindajatega. Sellistel asjaoludel muutub 3. definitsiooni kohaldamine keerulisemaks suur hulk reservatsioonid Peame kinni definitsioonist 1 ja üldises mõttes on alati selge, kas me räägime täpselt määratletud vektorist või võib selle asemele asendada kellegi, kes on sellega võrdne.
Seoses vektori definitsiooniga tasub selgitada mõne kirjandusest leitud sõna tähendust.
Füüsika ja matemaatika ei saa hakkama ilma vektorkoguse mõisteta. Sa pead seda teadma ja ära tundma ning oskama sellega opereerida. Seda tuleks kindlasti õppida, et mitte segadusse sattuda ja rumalaid vigu teha.
Kuidas eristada skalaarsuurust vektorsuurusest?
Esimesel on alati ainult üks omadus. See on selle numbriline väärtus. Enamik skalaarseid suurusi võib omandada nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Nende näited võivad olla elektrilaeng, töö või temperatuur. Kuid on skalaare, mis ei saa olla negatiivsed, näiteks pikkus ja mass.
Vektorsuurust iseloomustab lisaks numbrilisele suurusele, mida võetakse alati moodulina, ka suund. Seetõttu saab seda kujutada graafiliselt, see tähendab noole kujul, mille pikkus on võrdne teatud suunas suunatud absoluutväärtusega.
Kirjutamisel tähistatakse iga vektori suurust noolemärgiga tähel. Kui me räägime arvväärtuse kohta, siis noolt ei kirjutata või võetakse see modulo.
Milliseid toiminguid tehakse kõige sagedamini vektoritega?
Esiteks võrdlus. Need võivad olla võrdsed või mitte. Esimesel juhul on nende moodulid samad. Kuid see pole ainus tingimus. Neil peavad olema ka samad või vastupidised suunad. Esimesel juhul tuleks neid nimetada võrdseteks vektoriteks. Teises osutuvad nad vastupidiseks. Kui vähemalt üks määratud tingimustest ei ole täidetud, ei ole vektorid võrdsed.
Siis tuleb lisamine. Seda saab teha kahe reegli järgi: kolmnurk või rööpkülik. Esimene näeb ette, et kõigepealt tuleb maha jätta üks vektor, seejärel selle lõpust teine. Lisamise tulemus on see, mis tuleb tõmmata esimese algusest teise lõpuni.
Rööpkülikureeglit saab kasutada vektori suuruste liitmisel füüsikas. Erinevalt esimesest reeglist tuleks siin need ühest punktist edasi lükata. Seejärel koostage need rööpkülikuks. Toimingu tulemuseks tuleks lugeda samast punktist tõmmatud rööpküliku diagonaali.
Kui vektori suurus lahutatakse teisest, siis joonistatakse need uuesti ühest punktist. Ainult tulemuseks on vektor, mis kattub teise lõpust esimese lõpuni joonistatuga.
Milliseid vektoreid füüsikas uuritakse?
Neid on sama palju kui skalaari. Võite lihtsalt meeles pidada, millised vektorkogused füüsikas eksisteerivad. Või teada märke, mille järgi neid saab arvutada. Neile, kes eelistavad esimest võimalust, on see tabel kasulik. See esitab peamised vektori füüsikalised suurused.
Nüüd natuke lähemalt mõnest sellisest kogusest.
Esimene suurus on kiirus
Alustada tasub vektorkoguste näidetega. See on tingitud asjaolust, et see on esimeste seas, mida uuritakse.
Kiirus on määratletud kui keha ruumis liikumise tunnus. See määrab numbrilise väärtuse ja suuna. Seetõttu on kiirus vektorsuurus. Lisaks on tavaks jagada see tüüpideks. Esimene on lineaarne kiirus. See võetakse kasutusele sirgjoonelise ühtlase liikumise kaalumisel. Sel juhul osutub see võrdseks keha läbitud tee ja liikumisaja suhtega.
Sama valemit saab kasutada siis, kui ebaühtlane liikumine. Ainult siis on see keskmine. Veelgi enam, ajavahemik, mis tuleb valida, peab olema võimalikult lühike. Kuna ajavahemik kipub nulli, on kiiruse väärtus juba hetkeline.
Kui arvestada suvalist liikumist, on kiirus alati vektorsuurus. Lõppude lõpuks tuleb see lagundada komponentideks, mis on suunatud piki iga koordinaatjooni suunavat vektorit. Lisaks on see defineeritud kui aja suhtes võetud raadiusvektori tuletis.
Teine suurus on tugevus
See määrab teiste kehade või väljade poolt kehale avaldatava löögi intensiivsuse mõõdu. Kuna jõud on vektorsuurus, on sellel tingimata oma suurus ja suund. Kuna see mõjub kehale, on oluline ka punkt, kuhu jõud rakendatakse. Jõuvektorite visuaalse esituse saamiseks võite vaadata järgmist tabelit.
Veel üks vektorsuurus on resultantjõud. Seda määratletakse kui kõigi kehale mõjuvate jõudude summat mehaanilised jõud. Selle määramiseks on vaja läbi viia liitmine vastavalt kolmnurga reegli põhimõttele. Peate lihtsalt vektorid ükshaaval eelmise lõpust maha panema. Tulemuseks on see, mis ühendab esimese alguse viimase lõpuga.
Kolmas suurus on nihe
Liikumise ajal kirjeldab keha teatud joont. Seda nimetatakse trajektooriks. See rida võib olla täiesti erinev. Selgub, et tema pole tähtsam välimus, ning liikumise algus- ja lõpp-punktid. Neid ühendab segment, mida nimetatakse tõlkeks. See on ka vektorsuurus. Pealegi on see alati suunatud liikumise algusest punktini, kus liikumine peatati. See on tavaks tähistada Ladina täht r.
Siin võib tekkida järgmine küsimus: "Kas tee on vektorsuurus?" Üldiselt ei vasta see väide tõele. Tee on võrdne trajektoori pikkusega ja sellel ei ole kindlat suunda. Erandiks on olukord, kus vaadeldakse sirgjoonelist liikumist ühes suunas. Siis langeb nihkevektori suurus väärtuselt kokku teekonnaga ja nende suund osutub samaks. Seetõttu, kui arvestada liikumist mööda sirgjoont ilma liikumissuunda muutmata, võib tee lisada vektorkoguste näidetesse.
Neljas suurus on kiirendus
See on kiiruse muutumise kiiruse tunnus. Pealegi võib kiirendusel olla nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Kell sirge liikumine see on suunatud suuremale kiirusele. Kui liikumine toimub mööda kõverat rada, jagatakse selle kiirendusvektor kaheks komponendiks, millest üks on suunatud kõveruskeskme poole piki raadiust.
Eristatakse keskmise ja hetkelise kiirenduse väärtusi. Esimest tuleks arvutada kui kiiruse muutuse suhet teatud aja jooksul sellesse aega. Kui vaadeldav ajavahemik kipub olema null, siis räägime hetkekiirendusest.
Viies väärtus - impulss
Teisel viisil nimetatakse seda ka liikumise kvantiteediks. Impulss on vektorsuurus, kuna see on otseselt seotud kehale rakendatava kiiruse ja jõuga. Mõlemal on suund ja nad annavad selle impulsile.
Definitsiooni järgi on viimane võrdne kehamassi ja kiiruse korrutisega. Keha impulsi mõistet kasutades saame Newtoni üldtuntud seaduse kirjutada erinevalt. Selgub, et impulsi muutus võrdub jõu ja ajaperioodi korrutisega.
Füüsikas mängib olulist rolli impulsi jäävuse seadus, mis ütleb, et suletud kehade süsteemis on selle koguimpulss konstantne.
Oleme väga lühidalt loetlenud, milliseid suurusi (vektorit) füüsika kursusel uuritakse.
Ebaelastse löögi probleem
Seisund. Rööbastel on statsionaarne platvorm. Sellele läheneb vanker kiirusega 4 m/s. Platvormi ja auto massid on vastavalt 10 ja 40 tonni. Auto põrkab vastu platvormi ja toimub automaatne haake. Pärast kokkupõrget on vaja arvutada "autoplatvormi" süsteemi kiirus.
Lahendus. Esiteks peate sisestama järgmised tähised: auto kiirus enne kokkupõrget on v1, auto kiirus platvormiga pärast haakimist on v, auto mass on m1, platvormi mass on m2. Vastavalt ülesande tingimustele on vaja välja selgitada kiiruse v väärtus.
Selliste ülesannete lahendamise reeglid nõuavad süsteemi skemaatiliselt kujutamist enne ja pärast interaktsiooni. OX telg on mõistlik suunata mööda rööpaid selles suunas, kuhu auto liigub.
Nendel tingimustel võib autosüsteemi lugeda suletuks. Selle määrab asjaolu, välised jõud võib tähelepanuta jätta. Gravitatsioon ja toetusreaktsioon on tasakaalus ning rööbaste hõõrdumist ei võeta arvesse.
Impulsi jäävuse seaduse kohaselt on nende vektori summa enne auto ja platvormi vastasmõju võrdne haakeseadise kogusummaga pärast kokkupõrget. Algul platvorm ei liikunud, nii et selle hoog oli null. Ainult auto liikus, selle hoog on m1 ja v1 korrutis.
Kuna löök oli mitteelastne ehk auto ühendus platvormiga ja seejärel hakkasid nad ühes suunas veerema, siis süsteemi impulss suunda ei muutnud. Kuid selle tähendus on muutunud. Nimelt auto massi ja platvormi ja soovitud kiiruse summa korrutis.
Võite kirjutada järgmise võrdsuse: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. See kehtib impulsivektorite projekteerimisel valitud teljele. Sellest on lihtne tuletada võrdsust, mis on vajalik nõutava kiiruse arvutamiseks: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Reeglite kohaselt tuleks massi väärtused teisendada tonnidest kilogrammidesse. Seetõttu tuleb neid valemis asendades esmalt teadaolevad kogused korrutada tuhandega. Lihtsad arvutused andke arv 0,75 m/s.
Vastus. Auto kiirus koos platvormiga on 0,75 m/s.
Probleem keha osadeks jagamisega
Seisund. Lendava granaadi kiirus on 20 m/s. See laguneb kaheks osaks. Esimese kaal on 1,8 kg. See jätkab liikumist suunas, kus granaat lendas kiirusega 50 m/s. Teise fragmendi mass on 1,2 kg. Mis on selle kiirus?
Lahendus. Kildude massid olgu tähistatud tähtedega m1 ja m2. Nende kiirused on vastavalt v1 ja v2. Granaadi algkiirus on v. Probleem nõuab v2 väärtuse arvutamist.
Selleks, et suurem kild jätkaks liikumist kogu granaadiga samas suunas, peab teine sisse lendama tagakülg. Kui valida telje suunaks see, mis oli algimpulsi juures, siis peale pausi lendab suur kild mööda telge ja väike vastu telge.
Selles probleemis on lubatud kasutada impulsi jäävuse seadust, kuna granaat plahvatab koheselt. Seetõttu, hoolimata tõsiasjast, et gravitatsioon mõjub granaadile ja selle osadele, ei ole tal aega tegutseda ja impulsi vektori suunda oma absoluutväärtusega muuta.
Impulsi vektorsuuruste summa pärast granaadi plahvatust on võrdne sellega, mis oli enne seda. Kui kirjutada üles OX-teljele projektsioonis oleva keha impulsi jäävuse seadus, näeb see välja järgmine: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Sellest on lihtne väljendada vajalikku kiirust. See määratakse järgmise valemiga: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Pärast arvväärtuste ja arvutuste asendamist saame 25 m/s.
Vastus. Väikese killu kiirus on 25 m/s.
Probleem nurga all pildistamisel
Seisund. Relv on paigaldatud platvormile massiga M. See tulistab mürsku massiga m. See lendab horisondi suhtes nurga α all välja kiirusega v (antud maapinna suhtes). Pärast lasku peate teadma platvormi kiirust.
Lahendus. Selles ülesandes saate kasutada impulsi jäävuse seadust projektsioonis OX-teljele. Kuid ainult juhul, kui väliste resultantjõudude projektsioon on võrdne nulliga.
OX-telje suuna jaoks peate valima külje, kus mürsk lendab, ja paralleelselt horisontaaljoonega. Sel juhul on gravitatsioonijõudude projektsioonid ja toe reaktsioon OX-le võrdsed nulliga.
Probleem lahendatakse aastal üldine vaade, kuna teadaolevate koguste kohta puuduvad konkreetsed andmed. Vastus on valem.
Süsteemi hoog enne lasku oli null, kuna platvorm ja mürsk olid paigal. Olgu soovitud platvormi kiirus tähistatud ladina tähega u. Seejärel määratakse selle hoog pärast lasku massi ja kiiruse projektsiooni korrutisena. Kuna platvorm veereb tagasi (vastu OX-telje suunda), on impulsi väärtusel miinusmärk.
Mürsu impulss on selle massi ja kiiruse projektsiooni OX-telje korrutis. Kuna kiirus on suunatud horisondi suhtes nurga all, on selle projektsioon võrdne kiirusega, mis on korrutatud nurga koosinusega. Sõnasõnalise võrdsuse korral näeb see välja järgmine: 0 = - Mu + mv * cos α. Sellest saadakse lihtsate teisenduste abil vastuse valem: u = (mv * cos α) / M.
Vastus. Platvormi kiirus määratakse valemiga u = (mv * cos α) / M.
Jõeületusprobleem
Seisund. Jõe laius kogu pikkuses on sama ja võrdne l-ga, kaldad on paralleelsed. Teada on veevoolu kiirus jões v1 ja paadi enda kiirus v2. 1). Ületamisel on paadi vöör suunatud rangelt vastaskalda poole. Kui kaugele seda allavoolu kantakse? 2). Millise nurga α alla peaks paadi vöör olema suunatud, et see jõuaks vastaskaldale rangelt lähtepunktiga risti? Kui kaua kulub selliseks ületamiseks t?
Lahendus. 1). Paadi kogukiirus on kahe suuruse vektorsumma. Esimene neist on jõe vool, mis on suunatud piki kallast. Teine on paadi enda kiirus kaldaga risti. Joonisel saadakse kaks sarnast kolmnurka. Esimese moodustavad jõe laius ja vahemaa, mille üle paat triivib. Teine on kiirusvektorite järgi.
Nendest tuleneb järgmine kirje: s / l = v1 / v2. Pärast teisendamist saadakse soovitud väärtuse valem: s = l * (v1 / v2).
2). Ülesande selles versioonis on kogukiiruse vektor kallastega risti. See on võrdne v1 ja v2 vektorite summaga. Nurga siinus, mille võrra omakiiruse vektor peab hälbima, on võrdne moodulite v1 ja v2 suhtega. Reisiaja arvutamiseks peate jagama jõe laiuse arvutatud täiskiirusega. Viimase väärtus arvutatakse Pythagorase teoreemi abil.
v = √(v22 – v12), siis t = l / (√(v22 – v12)).
Vastus. 1). s = l* (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).
(0. järgu tensorid), teisalt tensorkogused (rangelt võttes 2. või enama järgu tensorid). Seda saab vastandada ka teatud täiesti erineva matemaatilise iseloomuga objektidega.
Enamasti kasutatakse füüsikas mõistet vektor, et tähistada vektorit nn "füüsilises ruumis", see tähendab klassikalise füüsika tavapärases kolmemõõtmelises ruumis või kaasaegses füüsikas neljamõõtmelises aegruumis ( viimasel juhul langevad vektori ja vektorsuuruse mõiste kokku 4-vektori ja 4-vektorilise suuruse mõistega).
Väljendi “vektorikogus” kasutamine on sellega praktiliselt ammendunud. Mis puutub mõiste "vektor" kasutusse, siis vaatamata selle vaikimisi kalduvusele samale rakendusalale, läheb see paljudel juhtudel ikkagi väga palju kaugemale sellistest piiridest. Vaadake üksikasju allpool.
Terminite kasutamine vektor Ja vektori suurus füüsikas
Üldiselt langeb füüsikas vektori mõiste peaaegu täielikult kokku matemaatika omaga. Siiski on terminoloogiline eripära, mis on seotud sellega, et tänapäeva matemaatikas on see mõiste mõnevõrra liiga abstraktne (seoses füüsika vajadustega).
Matemaatikas mõeldakse "vektori" hääldamisel pigem vektorit üldiselt, st mis tahes mõõtme ja iseloomuga mis tahes abstraktse lineaarruumi vektorit, mis võib ilma eriliste pingutusteta isegi segadust tekitada (mitte nii väga , muidugi sisuliselt kasutusmugavuse huvides). Kui on vaja olla täpsem, tuleb matemaatilises stiilis rääkida kas üsna pikalt (“sellise ja sellise ruumi vektor”) või pidada silmas seda, mida selgelt kirjeldatud kontekst vihjab.
Füüsikas ei räägi me peaaegu alati matemaatilistest objektidest (millel on teatud formaalsed omadused) üldiselt, vaid nende konkreetsest (“füüsilisest”) seosest. Võttes arvesse neid spetsiifilisuse kaalutlusi ning lühiduse ja mugavuse kaalutlusi, võib mõista, et füüsika terminoloogiline praktika erineb oluliselt matemaatika omast. Siiski ei ole see viimasega ilmses vastuolus. Seda saab saavutada mõne lihtsa "nipiga". Esiteks hõlmavad need lepingut termini vaikimisi kasutamise kohta (kui kontekst pole konkreetselt määratletud). Seega ei tähenda füüsikas erinevalt matemaatikast sõna vektor ilma täiendava täpsustuseta tavaliselt mitte "mis tahes lineaarse ruumi vektorit üldiselt", vaid peamiselt vektorit, mis on seotud "tavalise füüsilise ruumiga" (klassikalise füüsika kolmemõõtmeline ruum või neljamõõtmeline ruum – relativistliku füüsika aeg). Ruumivektorite jaoks, mis ei ole otseselt ja otseselt seotud “füüsilise ruumi” või “aegruumiga”, kasutatakse erinimetusi (mõnikord ka sõna “vektor”, kuid täpsustusega). Kui teooriasse tuuakse mingi ruumi vektor, mis ei ole otseselt ja otseselt seotud "füüsilise ruumi" või "aegruumiga" (ja mida on raske mingil konkreetsel viisil kohe iseloomustada), kirjeldatakse seda sageli konkreetselt kui " abstraktne vektor”.
Kõik öeldu kehtib mõiste “vektorikogus” kohta isegi rohkem kui mõiste “vektor” kohta. Vaikus eeldab sel juhul veelgi rangemalt seotust “tavalise ruumi” ehk aegruumiga ning abstraktsete vektorruumide kasutamist elementide suhtes ei kohta peaaegu kunagi, vähemalt näib selline kasutamine olevat kõige haruldasem erand (kui üldse mitte broneering).
Füüsikas nimetatakse vektoreid kõige sagedamini ja vektori suurusi - peaaegu alati - kahe üksteisega sarnase klassi vektoriteks:
Vektorfüüsikaliste suuruste näited: kiirus, jõud, soojusvoog.
Vektorsuuruste teke
Kuidas on füüsilised "vektorikogused" seotud ruumiga? Esiteks on silmatorkav see, et vektorkoguste mõõde (selle termini tavapärases tähenduses, mida on eespool selgitatud) langeb kokku näiteks sama "füüsilise" (ja "geomeetrilise") ruumi mõõtmetega. kolmemõõtmeline ruum ja elektriline vektorväljad on kolmemõõtmelised. Intuitiivselt võib ka märgata, et mis tahes vektor füüsiline kogus, ükskõik milline ebamäärane seos sellel tavalise ruumilaiendiga ka poleks, on sellel siiski väga kindel suund just selles tavaruumis.
Selgub aga, et palju enamat on võimalik saavutada, kui kogu füüsika vektorkoguste kogum otseselt “taandada” kõige lihtsamateks “geomeetrilisteks” vektoriteks või õigemini isegi üheks vektoriks - elementaarnihke vektoriks, ja see oleks rohkem. õige öelda – tuletades need kõik sellest.
Sellel protseduuril on kaks erinevat (kuigi sisuliselt üksteist üksikasjalikult kordavat) teostust klassikalise füüsika kolmemõõtmelise juhtumi ja kaasaegsele füüsikale ühise neljamõõtmelise aegruumi formuleeringu jaoks.
Klassikaline 3D ümbris
Alustame tavapärasest kolmemõõtmelisest "geomeetrilisest" ruumist, milles me elame ja saame liikuda.
Võtame alg- ja võrdlusvektoriks lõpmatu väikese nihke vektori. On üsna ilmne, et see on tavaline "geomeetriline" vektor (täpselt nagu piiratud nihkevektor).
Pangem nüüd kohe tähele, et vektori korrutamine skalaariga annab alati uue vektori. Sama võib öelda vektorite summa ja erinevuse kohta. Selles peatükis me ei tee vahet polaar- ja aksiaalvektoritel, seega märgime, et kahe vektori vektorkorrutis annab samuti uue vektori.
Samuti annab uus vektor vektori diferentseerumise skalaari suhtes (kuna selline tuletis on vektorite erinevuse ja skalaari suhte piir). Seda võib edasi öelda kõigi kõrgema järgu tuletisinstrumentide kohta. Sama kehtib ka skalaaride (aeg, maht) kaudu integreerimise kohta.
Nüüd pange tähele, et raadiuse vektori põhjal r või elementaarsest nihkest d r, saame kergesti aru, et vektorid on (kuna aeg on skalaar) sellised kinemaatilised suurused nagu
Kiirusest ja kiirendusest, korrutatuna skalaariga (massiga), saame
Kuna oleme nüüd huvitatud pseudovektoritest, märgime seda
- Lorentzi jõu valemit kasutades seotakse elektrivälja tugevus ja magnetinduktsiooni vektor jõu- ja kiirusvektoritega.
Seda protseduuri jätkates avastame, et kõik meile teadaolevad vektorsuurused on nüüd mitte ainult intuitiivselt, vaid ka formaalselt seotud algse ruumiga. Nimelt on need kõik teatud mõttes selle elemendid, kuna need väljenduvad sisuliselt teiste vektorite lineaarsete kombinatsioonidena (skalaarteguritega, võib-olla dimensioonilised, aga skalaarsed ja seetõttu formaalselt üsna legaalsed).
Füüsikakursustel kohtame sageli suurusi, mille kirjeldamiseks piisab vaid numbriliste väärtuste teadmisest. Näiteks mass, aeg, pikkus.
Nimetatakse koguseid, mida iseloomustab ainult arvväärtus skalaar või skalaarid.
Lisaks skalaarsetele suurustele kasutatakse suurusi, millel on nii arvväärtus kui ka suund. Näiteks kiirus, kiirendus, jõud.
Nimetatakse koguseid, mida iseloomustavad arvväärtus ja suund vektor või vektorid.
Vektori kogused on tähistatud vastavate tähtedega, mille ülaosas on nool või paksus kirjas. Näiteks jõuvektorit tähistatakse \(\vec F\) või F . Vektorsuuruse arvväärtust nimetatakse vektori mooduliks või pikkuseks. Jõuvektori väärtust tähistatakse F või \(\left|\vec F \right|\).
Vektorpilt
Vektoreid esindavad suunatud segmendid. Vektori algus on punkt, millest algab suunatud segment (punkt A joonisel fig. 1), on vektori lõpp punkt, kus nool lõpeb (punkt B joonisel fig. 1).
Riis. 1.
Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne, kui need on sama pikkusega ja suunatud samas suunas. Selliseid vektoreid esindavad sama pikkuse ja suunaga segmendid. Näiteks joonisel fig. 2 näitab vektoreid \(\vec F_1 =\vec F_2\).
Riis. 2. Kui ühel joonisel on kujutatud kahte või enamat vektorit, konstrueeritakse segmendid eelnevalt valitud skaalal. Näiteks joonisel fig. Joonisel 3 on kujutatud vektoreid, mille pikkused on \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.
Riis. 3. Vektori määramise meetod
Tasapinnal saab vektorit määrata mitmel viisil:
1. Määrake vektori alguse ja lõpu koordinaadid. Näiteks vektor \(\Delta\vec r\) joonisel fig. 4 on antud vektori alguse koordinaatidega – (2, 4) (m), lõpu – (6, 8) (m).
Riis. 4. 2. Märkige vektori suurus (selle väärtus) ja nurk vektori suuna ja mõne tasapinnal eelnevalt valitud suuna vahel. Sageli sellise suuna eest positiivne pool telg 0 X. Sellest suunast vastupäeva mõõdetud nurki loetakse positiivseks. Joonisel fig. 5 vektor \(\Delta\vec r\) on antud kahe arvuga b ja \(\alpha\) , mis näitab vektori pikkust ja suunda.
Riis. 5. Vektor- puhtalt matemaatiline mõiste, mida kasutatakse ainult füüsikas või muudes rakendusteadustes ja mis võimaldab lihtsustada mõne keeruka probleemi lahendamist.
Vektor− suunatud sirge segment.
Elementaarfüüsika kursusel tuleb opereerida kahe suuruskategooriaga − skalaar ja vektor.
Skalaar suurused (skalaarid) on suurused, mida iseloomustavad arvväärtus ja märk. Skalaarid on pikkusega − l, mass − m, tee − s, aeg − t, temperatuur − T, elektrilaeng − q, energia − W, koordinaadid jne.
Skalaarsuuruste puhul kehtivad kõik algebralised operatsioonid (liitmine, lahutamine, korrutamine jne).
Näide 1.
Määrake süsteemi kogulaeng, mis koosneb selles sisalduvatest laengutest, kui q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Süsteemi täielik tasumine
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.
Näide 2.
Sest ruutvõrrand lahke
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vektor kogused (vektorid) on suurused, mille määramiseks on vaja lisaks märkida numbriline väärtus nii ka suund. Vektorid − kiirus v, jõudu F, impulss lk, elektrivälja tugevus E, magnetinduktsioon B ja jne.
Vektori arvväärtust (moodulit) tähistatakse tähega ilma vektori sümbolita või vektor on ümbritsetud vertikaalsete ribade vahel r = |r|.
Graafiliselt on vektor kujutatud noolega (joonis 1),
Mille pikkus antud skaalal on võrdne selle suurusega ja suund langeb kokku vektori suunaga.
Kaks vektorit on võrdsed, kui nende suurused ja suunad langevad kokku.
Vektorisuurused liidetakse geomeetriliselt (vektorialgebra reegli järgi).
Vektorsumma leidmist antud komponentvektoritest nimetatakse vektorite liitmiseks.
Kahe vektori liitmine toimub rööpküliku või kolmnurga reegli järgi. Summavektor
c = a + b
võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaaliga a Ja b. Moodul see
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (joonis 2). 
Kui α = 90°, on c = √(a 2 + b 2 ) Pythagorase teoreem.
Sama vektori c saab kolmnurga reegli abil, kui vektori lõpust a kõrvalejätmise vektor b. Lõppvektor c (ühendab vektori algust a ja vektori lõpp b) on terminite (komponentvektorite) vektorsumma a Ja b).
Saadud vektor leitakse katkendjoone lõpujoonena, mille lülideks on komponentvektorid (joonis 3). 
Näide 3.
Liidame kaks jõudu F 1 = 3 N ja F 2 = 4 N, vektorid F 1 Ja F 2 looge horisondiga vastavalt nurgad α 1 = 10° ja α 2 = 40°
F = F 1 + F 2(joonis 4). 
Nende kahe jõu liitmise tulemuseks on jõud, mida nimetatakse resultandiks. Vektor F suunatud piki vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaali F 1 Ja F 2, mõlemal küljel ja on mooduli poolest võrdne selle pikkusega.
Vektormoodul F leia koosinusteoreemiga
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Kui
(α 2 − α 1) = 90°, siis F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Nurk, mis on vektor F on võrdne Ox teljega, leiame selle valemi abil
α = arctaan ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctaan((3,0,17 + 4,0,64)/(3,0,98 + 4,0,77)) = arctaan 0,51, α ≈ 0,47 rad.
Vektori a projektsioon Ox (Oy) teljele on skalaarsuurus, mis sõltub vektori suuna vahelisest nurgast α a ja Ox (Oy) telg. (Joonis 5) 
Vektorprojektsioonid a Ox ja Oy teljel ristkülikukujuline süsteem koordinaadid (Joonis 6) 
Et vältida vigu vektori projektsiooni märgi määramisel teljele, on kasulik meeles pidada järgmist reeglit: kui komponendi suund langeb kokku telje suunaga, siis vektori projektsioon sellele. telg on positiivne, aga kui komponendi suund on vastupidine telje suunale, siis on vektori projektsioon negatiivne. (Joonis 7) 
Vektorite lahutamine on liitmine, mille käigus esimesele vektorile lisatakse vektor, mis on arvuliselt võrdne teisega, vastupidises suunas
a − b = a + (−b) = d(joonis 8). 
Olgu see vektorist vajalik a lahutada vektor b, nende erinevus − d. Kahe vektori erinevuse leidmiseks peate minema vektori juurde a lisa vektor ( −b), see tähendab vektorit d = a − b on vektor, mis on suunatud vektori algusest a vektori lõpuni ( −b) (joonis 9). 
Vektoritele ehitatud rööpkülikul a Ja b mõlemad pooled, üks diagonaal c on summa ja muu tähendus d− vektorite erinevused a Ja b(joonis 9).
Vektori korrutis a skalaari järgi k võrdub vektoriga b= k a, mille moodul on k korda suurem kui vektori moodul a, ja suund kattub suunaga a positiivse k korral ja vastupidi negatiivse k korral.
Näide 4.
Määrake 2 kg kaaluva keha impulss, mis liigub kiirusega 5 m/s. (Joonis 10) 
Keha impulss lk= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s ja suunatud kiirusele v.
Näide 5.
Laeng q = –7,5 nC asetatud elektriväli pingega E = 400 V/m. Leia laengule mõjuva jõu suurus ja suund.
Jõud on F= q E. Kuna laeng on negatiivne, on jõuvektor suunatud vektorile vastupidises suunas E. (Joonis 11) 
Jaoskond vektor a skalaariga k võrdub korrutamisega a 1/k võrra.
Dot toode vektorid a Ja b nimetatakse skalaariks "c", mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (joonis 12) 
Näide 6.
Leia konstantse jõuga F = 20 N tehtud töö, kui nihe on S = 7,5 m ning jõu ja nihke vaheline nurk α on α = 120°.
Jõuga tehtud töö on definitsiooni järgi võrdne skalaarkorrutis jõud ja liigutused
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = –150 × 1/2 = –75 J.
Vektorkunstiteos vektorid a Ja b nimetatakse vektoriks c, mis on arvuliselt võrdne vektorite a ja b absoluutväärtuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
Vektor c risti tasapinnaga, millel vektorid asuvad a Ja b, ja selle suund on seotud vektorite suunaga a Ja b parempoolne kruvireegel (joonis 13). 
Näide 7.
Määrake jõud, mis mõjub magnetvälja asetatud 0,2 m pikkusele juhile, mille induktsioon on 5 T, kui voolutugevus juhis on 10 A ja see moodustab välja suunaga nurga α = 30° .
Ampere võimsus
dF = I = Idl × B või F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Kaaluge probleemi lahendamist.
1. Kuidas on suunatud kaks vektorit, mille moodulid on identsed ja võrdsed a-ga, kui nende summa moodul on võrdne: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Lahendus.
a) Kaks vektorit on suunatud piki üht sirget vastassuundades. Nende vektorite summa on null. 
b) Kaks vektorit on suunatud piki üht sirget samas suunas. Nende vektorite summa on 2a. 
c) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 120° nurga all. Vektorite summa on a. Saadud vektor leitakse koosinusteoreemi abil: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 ja α = 120°.
d) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 90° nurga all. Summa moodul on võrdne
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 ja α = 90°. 
e) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 60° nurga all. Summa moodul on võrdne
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 ja α = 60°.
Vastus: Vektorite vaheline nurk α on võrdne: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Kui a = a 1 + a 2 vektorite orientatsioon, mida saab öelda vektorite vastastikuse orientatsiooni kohta a 1 Ja a 2, kui: a) a = a 1 + a 2 ; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?
Lahendus.
a) Kui vektorite summa leitakse nende vektorite moodulite summana, siis on vektorid suunatud piki üht sirgjoont, mis on üksteisega paralleelne a 1 ||a 2.
b) Kui vektorid on suunatud üksteise suhtes nurga all, siis nende summa leitakse rööpküliku koosinusteoreemi abil
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 ja α = 90°.
vektorid on üksteisega risti a 1 ⊥ a 2.
c) Seisukord a 1 + a 2 = a 1 - a 2 saab teostada, kui a 2− nullvektor, siis a 1 + a 2 = a 1 .
Vastused. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− nullvektor.
3. Keha ühte punkti rakendatakse kaks jõudu, kumbki 1,42 N, üksteise suhtes 60° nurga all. Millise nurga all tuleb kaks jõudu 1,75 N rakendada samasse kehapunkti, et nende mõju tasakaalustaks kahe esimese jõu mõju?
Lahendus.
Vastavalt ülesande tingimustele tasakaalustavad kaks jõudu 1,75 N kumbki kahte jõudu 1,42 N. See on võimalik, kui jõupaaride tulemuseks olevate vektorite moodulid on võrdsed. Saadud vektori määrame rööpküliku koosinusteoreemi abil. Esimese jõudude paari jaoks:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2,
vastavalt teisele jõudude paarile
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Võrrandite vasakpoolsete külgede võrdsustamine
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Leiame vektorite vahel vajaliku nurga β
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Pärast arvutusi,
cosβ = (2,1,422 + 2,1,422.cos60° – 2,1,752)/(2,1,752) = –0,0124,
β ≈ 90,7°.
Teine lahendus.
Vaatleme vektorite projektsiooni koordinaatteljele OX (joon.). 
Kasutades täisnurkse kolmnurga külgede vahelist suhet, saame
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
kus
cos(β/2) = (F1/F2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) ja β ≈ 90,7°.
4. Vektor a = 3i − 4j. Milline peab olema |c skalaarsuurus c a| = 7,5?
Lahendus.
c a= c( 3i - 4j) = 7,5
Vektormoodul a saab olema võrdne
a 2 = 3 2 + 4 2 ja a = ±5,
siis alates
c.(±5) = 7,5,
leiame selle
c = ±1,5.
5. Vektorid a 1 Ja a 2 lähtepunktist väljuda ja neil on vastavalt ristkoordinaadid (6, 0) ja (1, 4). Leidke vektor a 3 selline, et: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Lahendus.
Kujutame vektoreid Descartes'i koordinaatsüsteemis (joonis) 
a) Saadud vektor piki Ox-telge on
a x = 6 + 1 = 7.
Saadud vektor piki Oy telge on
a y = 4 + 0 = 4.
Et vektorite summa oleks võrdne nulliga, peab tingimus olema täidetud
a 1 + a 2 = −a 3.
Vektor a 3 moodul on võrdne koguvektoriga a 1 + a 2, kuid suunatud vastupidises suunas. Vektori lõpu koordinaat a 3 on võrdne (−7, −4) ja mooduliga
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.
B) Saadud vektor piki Ox-telge on võrdne
a x = 6 - 1 = 5,
ja saadud vektor mööda Oy telge
a y = 4 – 0 = 4.
Kui tingimus on täidetud
a 1 − a 2 = −a 3,
vektor a 3 on vektori lõpu koordinaadid a x = –5 ja a y = −4 ning selle moodul on võrdne
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.
6. Sõnumitooja kõnnib 30 m põhja, 25 m itta, 12 m lõuna poole ja sõidab seejärel liftiga hoones 36 m kõrgusele. Kui suur on tema läbitud vahemaa L ja nihe S ?
Lahendus.
Kujutagem ülesandes kirjeldatud olukorda tasapinnal suvalises mõõtkavas (joon.). 
Vektori lõpp O.A. on koordinaadid 25 m ida suunas, 18 m põhjas ja 36 üles (25; 18; 36). Inimese läbitud vahemaa on võrdne
P = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
Nihkevektori suuruse saab leida valemi abil
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2),
kus x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Vastus: P = 103 m, S = 47,4 m.
7. Nurk α kahe vektori vahel a Ja b võrdub 60°. Määrake vektori pikkus c = a + b ja nurk β vektorite vahel a Ja c. Vektorite suurused on a = 3,0 ja b = 2,0.
Lahendus.
vektori pikkus, võrdne summaga vektorid a Ja b Määrame rööpküliku koosinusteoreemi abil (joon.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Pärast asendamist
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60°) = 4,4.
Nurga β määramiseks kasutame siinuse teoreemi jaoks kolmnurk ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Samal ajal peaksite seda teadma
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Lihtsa lahendamine trigonomeetriline võrrand, jõuame väljendini
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
seega,
β = arctaan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Kontrollime kolmnurga koosinusteoreemi abil:
a 2 + c 2 - 2ac.cosβ = b 2,
kus
cosβ = (a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)
Ja
β = kaared((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = kaared((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Vastus: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Probleeme lahendama.
8. Vektorite jaoks a Ja b defineeritud näites 7, leidke vektori pikkus d = a − b nurk γ
vahel a Ja d.
9. Leidke vektori projektsioon a = 4,0i + 7,0j sirgjoonele, mille suund moodustab Ox-teljega nurga α = 30°. Vektor a ja sirgjoon asub xOy tasapinnal.
10. Vektor a teeb sirgjoonega AB nurga α = 30°, a = 3,0. Millise nurga alla β sirge AB suhtes peaks vektor olema suunatud? b(b = √(3)), nii et vektor c = a + b oli paralleelne AB-ga? Leia vektori pikkus c.
11. Antud on kolm vektorit: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Leia) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Vektoritevaheline nurk a Ja b on võrdne α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Leia vektorite pikkused c = (a, b)a + b Ja d = 2b − a/2.
13. Tõesta, et vektorid a Ja b on risti, kui a = (2, 1, -5) ja b = (5, -5, 1).
14. Leidke vektorite vaheline nurk α a Ja b, kui a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vektor a teeb Ox-teljega nurga α = 30°, selle vektori projektsioon Oy teljele on võrdne a y = 2,0. Vektor b vektoriga risti a ja b = 3,0 (vt joonist). 
Vektor c = a + b. Leidke: a) vektori projektsioonid b Ox ja Oy teljel; b) c väärtus ja vektori vaheline nurk β c ja härja telg; Takso); d) (a, c).
Vastused:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) b x = −1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Füüsikat õppides on sul suurepärased võimalused jätkata haridusteed tehnikaülikoolis. See eeldab paralleelset teadmiste süvendamist matemaatikas, keemias, keeles ja harvem ka muudes ainetes. Vabariikliku olümpiaadi võitja Savich Egor lõpetab ühe MIPT teaduskonna, kus keemia teadmistele esitatakse suuri nõudmisi. Kui vajad abi Riigi Teaduste Akadeemias keemia alal, siis pöördu spetsialistide poole, kindlasti saad kvalifitseeritud ja õigeaegse abi.
