Teemale “Tangensi nurkkoefitsient kaldenurga puutujana” antakse tunnistuse eksamil mitmeid ülesandeid. Olenevalt nende seisundist võidakse koolilõpetajalt nõuda kas täielikku või lühivastust. Matemaatika ühtse riigieksami sooritamiseks valmistudes peaks õpilane kindlasti kordama ülesandeid, mis nõuavad puutuja kalde arvutamist.
Shkolkovo haridusportaal aitab teil seda teha. Meie spetsialistid koostasid ja esitasid teoreetilise ja praktilise materjali võimalikult kättesaadaval viisil. Olles sellega tutvunud, suudavad mis tahes koolitustasemega lõpetajad edukalt lahendada tuletistega seotud probleeme, mille puhul on vaja leida puutujanurga puutuja.
Põhilised hetked
Sellistele ülesannetele õige ja ratsionaalse lahenduse leidmiseks ühtsel riigieksamil on vaja meeles pidada põhimääratlust: tuletis tähistab funktsiooni muutumise kiirust; see on võrdne funktsiooni graafikule teatud punktis tõmmatud puutujanurga puutujaga. Sama oluline on joonise lõpetamine. See võimaldab teil leida õige lahenduse USE probleemidele tuletis, milles peate arvutama puutuja nurga puutuja. Selguse huvides on kõige parem joonistada graafik OXY-tasandil.
Kui olete tuletisinstrumentide teema põhimaterjaliga juba tutvunud ja olete valmis sarnaselt ühtse riigieksami ülesannetega lahendama puutujanurga puutuja arvutamise ülesandeid, saate seda teha veebis. Iga ülesande juurde, näiteks ülesanded teemal “Tuletise seos keha kiiruse ja kiirendusega” panime kirja õige vastuse ja lahendusalgoritmi. Samal ajal saavad õpilased harjutada erineva keerukusega ülesannete täitmist. Vajadusel saab harjutuse salvestada jaotisesse “Lemmikud”, et saaksite hiljem õpetajaga lahendust arutada.
Numbriliselt võrdne abstsisstelje positiivse suuna ja antud sirge vahelise nurga puutujaga (moodustab väikseima pöörde Ox-teljelt Oy-teljele).
Nurga puutuja saab arvutada vastaskülje ja külgneva külje suhtena. k on alati võrdne , see tähendab sirgjoone võrrandi tuletise suhtes x.
Kalde positiivsete väärtuste jaoks k ja null nihketegur b sirgjoon asub esimeses ja kolmandas kvadrandis (milles x Ja y nii positiivne kui ka negatiivne). Samal ajal suured nurkkoefitsiendi väärtused k järsem sirge vastab ja lamedam vastab väiksematele.
Sirge ja risti, kui , ja paralleelne, kui .
Märkmed
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "sirge nurga koefitsient" teistes sõnaraamatutes:
kalle (otsene)- - Teemad nafta- ja gaasitööstus ET kalle... Tehniline tõlkija juhend
- (matemaatiline) arv k sirge võrrandis tasapinnal y = kx+b (vt Analüütiline geomeetria), mis iseloomustab sirge kalle x-telje suhtes. Ühendkuningriigi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis k = tan φ, kus φ on nurk ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia
Geomeetria haru, mis uurib lihtsamaid geomeetrilisi objekte kasutades koordinaatmeetodil põhinevat elementaaralgebrat. Analüütilise geomeetria loomist omistatakse tavaliselt R. Descartes'ile, kes visandas selle alused oma... ... Collieri entsüklopeedia
Reaktsiooniaja (RT) mõõtmine on ilmselt empiirilise psühholoogia kõige auväärsem teema. See sai alguse astronoomia valdkonnast 1823. aastal teleskoobijoont ületava tähe tajumiskiiruse individuaalsete erinevuste mõõtmisest. Need … Psühholoogiline entsüklopeedia
Matemaatika haru, mis pakub meetodeid erinevate muutuste protsesside kvantitatiivseks uurimiseks; tegeleb muutuste kiiruse uurimisega (diferentsiaalarvutus) ning kõverate kontuuridega piiratud kõverate pikkuste, pindalade ja kujundite mahtude määramisega ja ... Collieri entsüklopeedia
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Otsene (tähendused). Sirge on üks geomeetria põhimõisteid, see tähendab, et sellel puudub täpne universaalne definitsioon. Geomeetria süstemaatilisel esitamisel võetakse sirget tavaliselt ühe... ... Wikipedia
Sirgete kujutis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Sirge on üks geomeetria põhimõisteid. Geomeetria süstemaatilisel esitlemisel võetakse tavaliselt üheks algmõisteks sirgjoon, mis on vaid kaudselt määratletud... ... Wikipedia
Sirgete kujutis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Sirge on üks geomeetria põhimõisteid. Geomeetria süstemaatilisel esitlemisel võetakse tavaliselt üheks algmõisteks sirgjoon, mis on vaid kaudselt määratletud... ... Wikipedia
Mitte segi ajada mõistega "Ellips". Ellips ja selle kolded Ellips (vanakreeka ἔλλειψις defitsiit, ekstsentrilisuse puudumise tähenduses kuni 1) Eukleidilise tasandi punktide M lookus, mille puhul kauguste summa kahest antud punktist on F1... ... Vikipeedia
Laske tasapinnal, kus on ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem, sirge l läbib punkti M 0 paralleelselt suunavektoriga A (joonis 96).
Kui sirge l ristub O-teljega X(punktis N), seejärel sirgjoone nurga all l O-teljega X mõistame nurka α, mille võrra on vaja O-telge pöörata Xümber punkti N päripäeva vastupidises suunas, nii et O-telg X langes kokku sirgjoonega l. (See viitab nurgale, mis on väiksem kui 180°.)
Seda nurka nimetatakse kaldenurk sirge. Kui sirge l paralleelselt O-teljega X, siis eeldatakse, et kaldenurk on null (joonis 97).
Sirge kaldenurga puutujat nimetatakse sirgjoone kalle ja seda tähistatakse tavaliselt tähega k:
tan α = k. (1)
Kui α = 0, siis k= 0; see tähendab, et joon on paralleelne O-teljega X ja selle kalle on null.
Kui α = 90°, siis k= tan α ei ole mõtet: see tähendab, et sirgjoon, mis on risti O-teljega X(st paralleelselt O-teljega juures), sellel puudub kalle.
Sirge kaldenurka saab arvutada, kui sellel sirgel on teada mis tahes kahe punkti koordinaadid. Olgu antud sirgel kaks punkti: M 1 ( x 1 ; juures 1) ja M 2 ( x 2 ; juures 2) ja olgu näiteks 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , juures 2 > juures 1 (joonis 98).
Siis leiame täisnurksest kolmnurgast M 1 PM 2
$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2) $$
Samamoodi on tõestatud, et valem (2) kehtib ka 90° puhul< α < 180°.
Valem (2) muutub mõttetuks, kui x 2 - x 1 = 0, st kui sirge l paralleelselt O-teljega juures. Selliste sirgjoonte puhul puudub kaldekoefitsient.
Ülesanne 1. Määrake punkte läbiva primi nurgategur
M1 (3; -5) ja M2 (5; -7).
Asendades punktide M 1 ja M 2 koordinaadid valemisse (2), saame
\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) või k = -1
2. ülesanne. Määrake punkte M 1 (3; 5) ja M 2 (3; -2) läbiva sirge kalle.
Sest x 2 - x 1 = 0, siis võrdsus (2) kaotab oma tähenduse. Sellel sirgel pole kallet. Sirge M 1 M 2 on paralleelne O-teljega juures.
3. ülesanne. Määrake alguspunkti ja punkti M 1 läbiva sirge kalle (3; -5)
Sel juhul langeb punkt M 2 kokku lähtepunktiga. Rakendades valemit (2), saame
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$
Koostame nurgakoefitsiendiga sirge võrrandi k, läbides punkti
M 1 ( x 1 ; juures 1). Valemi (2) kohaselt leitakse sirge nurkkoefitsient selle kahe punkti koordinaatidest. Meie puhul on antud punkt M 1 ja teise punktina võime võtta mis tahes punkti M( X; juures) soovitud sirgjoon.
Kui punkt M asub sirgel, mis läbib punkti M 1 ja millel on nurgategur k, siis on meil valemi (2) alusel
$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$
Kui punkt M ei asu sirgel, siis võrdus (3) ei kehti. Järelikult on võrdsus (3) võrrand sirgega, mis läbib punkti M 1 ( x 1 ; juures 1) kaldega k; see võrrand kirjutatakse tavaliselt järgmiselt
y- y 1 = k(x - x 1). (4)
Kui sirgjoon lõikub O-teljega juures mingil hetkel (0; b), siis saab võrrand (4) kuju
juures - b = k (X- 0),
y = kx + b. (5)
Seda võrrandit nimetatakse kalde k ja algordinaadiga b sirge võrrand.
4. ülesanne. Leidke sirge kaldenurk √3 x + 3juures - 7 = 0.
Taandagem see võrrand vormiks
$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$
Seega k= tan α = -1 / √ 3, kust α = 150°
5. ülesanne. Kirjutage võrrand nurkkoefitsiendiga punkti P(3; -4) läbiva sirge jaoks k = 2 / 5
Asendamine k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 võrrandisse (4), saame
juures - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) või 2 X - 5juures - 26 = 0.
6. ülesanne. Kirjutage võrrand punkti Q (-3; 4) läbiva sirge ja O-telje positiivse suunaga komponendi kohta X nurk 30°.
Kui α = 30°, siis k= punakaspruun 30° = √ 3/3. Asendades väärtused võrrandisse (4). x 1 , y 1 ja k, saame
juures -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) või √3 x-3y + 12 + 3√3 = 0.
Numbriliselt võrdne abstsisstelje positiivse suuna ja antud sirge vahelise nurga puutujaga (moodustab väikseima pöörde Ox-teljelt Oy-teljele).
Nurga puutuja saab arvutada vastaskülje ja külgneva külje suhtena. k on alati võrdne , see tähendab sirgjoone võrrandi tuletise suhtes x.
Kalde positiivsete väärtuste jaoks k ja null nihketegur b sirgjoon asub esimeses ja kolmandas kvadrandis (milles x Ja y nii positiivne kui ka negatiivne). Samal ajal suured nurkkoefitsiendi väärtused k järsem sirge vastab ja lamedam vastab väiksematele.
Sirge ja risti, kui , ja paralleelne, kui .
Märkmed
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
- Iphit (Elise kuningas)
- Vene Föderatsiooni presidendi 2001. aasta dekreetide loetelu “Riiklike autasude andmise kohta”
Vaadake, mis on "sirge nurga koefitsient" teistes sõnaraamatutes:
kalle (otsene)- - Teemad nafta- ja gaasitööstus ET kalle... Tehniline tõlkija juhend
Kaldetegur- (matemaatiline) arv k sirge võrrandis tasapinnal y = kx+b (vt Analüütiline geomeetria), mis iseloomustab sirge kalle x-telje suhtes. Ühendkuningriigi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis k = tan φ, kus φ on nurk ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia
Sirge võrrandid
ANALÜÜTILINE GEOMEETIA- geomeetria osa, mis uurib koordinaatmeetodil põhinev elementaaralgebra abil lihtsamaid geomeetrilisi objekte. Analüütilise geomeetria loomist omistatakse tavaliselt R. Descartes'ile, kes visandas selle alused oma... ... Collieri entsüklopeedia
Reaktsiooniaeg- Reaktsiooniaja (RT) mõõtmine on ilmselt empiirilise psühholoogia kõige auväärsem teema. See sai alguse astronoomia valdkonnast 1823. aastal teleskoobijoont ületava tähe tajumiskiiruse individuaalsete erinevuste mõõtmisest. Need … Psühholoogiline entsüklopeedia
MATEMAATILINE ANALÜÜS- matemaatika haru, mis pakub meetodeid erinevate muutuste protsesside kvantitatiivseks uurimiseks; tegeleb muutuse kiiruse uurimisega (diferentsiaalarvutus) ning kõverate kontuuridega piiratud kõverate pikkuste, pindalade ja kujundite mahtude määramisega ja ... Collieri entsüklopeedia
Otse- Sellel terminil on muid tähendusi, vt Otsene (tähendused). Sirge on üks geomeetria põhimõisteid, see tähendab, et sellel puudub täpne universaalne definitsioon. Geomeetria süstemaatilisel esitamisel võetakse sirget tavaliselt ühe... ... Wikipedia
Sirgjoon- Sirgete kujutis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Sirge on üks geomeetria põhimõisteid. Geomeetria süstemaatilisel esitlemisel võetakse tavaliselt üheks algmõisteks sirgjoon, mis on vaid kaudselt määratletud... ... Wikipedia
Otsene- Sirgete kujutis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Sirge on üks geomeetria põhimõisteid. Geomeetria süstemaatilisel esitlemisel võetakse tavaliselt üheks algmõisteks sirgjoon, mis on vaid kaudselt määratletud... ... Wikipedia
Väike võll- Mitte segi ajada mõistega "Ellips". Ellips ja selle kolded Ellips (vanakreeka ἔλλειψις defitsiit, ekstsentrilisuse puudumise tähenduses kuni 1) Eukleidilise tasandi punktide M lookus, mille puhul kauguste summa kahest antud punktist on F1... ... Vikipeedia
Matemaatikas on üheks parameetriks, mis kirjeldab sirge asukohta Descartes'i koordinaattasandil, selle sirge nurgakoefitsient. See parameeter iseloomustab sirgjoone kallet abstsisstelje suhtes. Et mõista, kuidas nõlva leida, tuletage esmalt meelde sirgjoone võrrandi üldkuju XY-koordinaadisüsteemis.
Üldiselt võib mis tahes rida esitada avaldisega ax+by=c, kus a, b ja c on suvalised reaalarvud, kuid a 2 + b 2 ≠ 0.
Lihtteisenduste abil saab sellise võrrandi viia kujule y=kx+d, milles k ja d on reaalarvud. Arv k on kalle ja seda tüüpi sirge võrrandit nimetatakse kaldega võrrandiks. Selgub, et kalde leidmiseks peate lihtsalt algse võrrandi taandada ülaltoodud kujule. Täielikuma mõistmise jaoks kaaluge konkreetset näidet:
Ülesanne: leidke võrrandiga 36x - 18y = 108 antud sirge kalle
Lahendus: teisendame algse võrrandi.
Vastus: selle joone nõutav kalle on 2.
Kui võrrandi teisendamisel saime avaldise nagu x = const ja selle tulemusena ei saa y-d esitada x-i funktsioonina, siis on tegemist X-teljega paralleelse sirgjoonega. sirgjoon on võrdne lõpmatusega.
Võrrandiga nagu y = const väljendatud sirgete kalle on null. See on tüüpiline abstsissteljega paralleelsete sirgjoonte puhul. Näiteks:
Ülesanne: leidke võrrandiga 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 antud sirge kalle
Lahendus: Toome algse võrrandi üldkujule
24x + 12a - 12a + 28 = 4
Saadud avaldisest on võimatu y-d väljendada, seetõttu on selle sirge nurgakoefitsient võrdne lõpmatusega ja sirge ise on Y-teljega paralleelne.
Geomeetriline tähendus
Parema mõistmise huvides vaatame pilti:
Joonisel näeme sellise funktsiooni graafikut nagu y = kx. Lihtsustamise mõttes võtame koefitsiendi c = 0. Kolmnurgas OAB on külje BA ja AO suhe võrdne nurkkoefitsiendiga k. Samal ajal on suhe BA/AO täisnurkse kolmnurga OAB teravnurga α puutuja. Selgub, et sirge nurga koefitsient on võrdne selle nurga puutujaga, mille see sirge moodustab koordinaatvõrgu abstsissteljega.
Lahendades ülesande, kuidas leida sirge nurkkoefitsienti, leiame selle ja koordinaatide ruudustiku X-telje vahelise nurga puutuja. Piirjuhud, kui kõnealune sirge on paralleelne koordinaattelgedega, kinnitavad ülaltoodut. Tõepoolest, võrrandiga y=const kirjeldatud sirge korral on selle ja abstsisstelje vaheline nurk null. Nullnurga puutuja on samuti null ja kalle on samuti null.
X-teljega risti olevate sirgjoonte puhul, mida kirjeldatakse võrrandiga x=const, on nende ja X-telje vaheline nurk 90 kraadi. Täisnurga puutuja on võrdne lõpmatusega ja sarnaste sirgete nurgakoefitsient on samuti võrdne lõpmatusega, mis kinnitab ülalkirjutatut.
Tangentne kalle
Praktikas sageli esinev ülesanne on ka funktsiooni graafiku puutuja kalde leidmine teatud punktis. Puutuja on sirgjoon, seetõttu on kalde mõiste rakendatav ka sellele.
Puutuja kalde leidmiseks peame meenutama tuletise mõistet. Mis tahes funktsiooni tuletis teatud punktis on konstant, mis on arvuliselt võrdne nurga puutujaga, mis moodustub selle funktsiooni graafiku määratud punktis puutuja ja abstsisstelje vahel. Selgub, et puutuja nurkkoefitsiendi määramiseks punktis x 0 peame arvutama algfunktsiooni tuletise väärtuse selles punktis k = f"(x 0). Vaatame näidet:
Ülesanne: Leidke funktsiooni y = 12x 2 + 2xe x puutuja kalle x = 0,1 juures.
Lahendus: Leia algfunktsiooni tuletis üldkujul
y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Vastus: Nõutav kalle punktis x = 0,1 on 4,831
