Näiteks trinoomi \(3x^2+2x-7\) puhul on diskriminant võrdne \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Ja trinoomi \(x^2-5x+11\) puhul on see võrdne \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Diskriminanti tähistatakse tähega \(D\) ja seda kasutatakse sageli lahendamisel. Diskriminandi väärtuse järgi saate ka aru, kuidas graafik ligikaudu välja näeb (vt allpool).
Diskriminant ja võrrandi juured
Diskriminantväärtus näitab ruutvõrrandite arvu:
- kui \(D\) on positiivne, on võrrandil kaks juurt;
- kui \(D\) on võrdne nulliga – on ainult üks juur;
- kui \(D\) on negatiivne, pole juuri.
Seda pole vaja õpetada, sellisele järeldusele pole raske jõuda, lihtsalt teades, et diskriminandist (st \(\sqrt(D)\) sisaldub võrrandi juurte arvutamise valemis : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ja \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\). Vaatame iga juhtumit üksikasjalikumalt.
Kui diskriminant on positiivne
Sel juhul on selle juur mingi positiivne arv, mis tähendab, et \(x_(1)\) ja \(x_(2)\) on erineva tähendusega, sest esimeses valemis \(\sqrt(D)\ ) liidetakse ja teises lahutatakse. Ja meil on kaks erinevat juurt.
Näide
: leidke võrrandi \(x^2+2x-3=0\) juured
Lahendus
:
Vastus : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Kui diskriminant on null
Mitu juurt on, kui diskriminant on null? Arutleme.
Juurvalemid näevad välja järgmised: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ja \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Ja kui diskriminant on null, siis on ka selle juur null. Siis selgub:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
See tähendab, et võrrandi juurte väärtused on samad, sest nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi.
Näide
: leidke võrrandi \(x^2-4x+4=0\) juured
Lahendus
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Kirjutame välja koefitsiendid: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Arvutame diskriminandi valemiga \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Võrrandi juurte leidmine |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Saime kaks identset juurt, seega pole mõtet neid eraldi kirjutada - kirjutame need ühena. |
Vastus : \(x=2\)
Ruutvõrrand – lihtne lahendada! *Edaspidi “KU”. Sõbrad, näib, et matemaatikas pole midagi lihtsamat kui sellise võrrandi lahendamine. Kuid miski ütles mulle, et paljudel inimestel on temaga probleeme. Otsustasin vaadata, kui palju tellitavaid kuvamisi Yandex kuus annab. Siin on, mis juhtus, vaata:
Mida see tähendab? See tähendab, et umbes 70 000 inimest kuus otsib seda infot, mis sel suvel sellega pistmist on ja mis juhtub õppeaastal— taotlusi tuleb kaks korda rohkem. See pole üllatav, sest need poisid ja tüdrukud, kes on ammu kooli lõpetanud ja valmistuvad ühtseks riigieksamiks, otsivad seda teavet ning ka koolilapsed püüavad oma mälu värskendada.
Hoolimata asjaolust, et on palju saite, mis räägivad teile, kuidas seda võrrandit lahendada, otsustasin ka panustada ja materjali avaldada. Esiteks soovin, et külastajad tuleksid minu saidile selle taotluse alusel; teiseks, teistes artiklites, kui “KU” teema üles kerkib, annan lingi sellele artiklile; kolmandaks räägin teile tema lahendusest veidi rohkem, kui teistel saitidel tavaliselt öeldakse. Alustame! Artikli sisu:
Ruutvõrrand on võrrand järgmisel kujul:
kus koefitsiendid a,bja c on suvalised arvud, mille a≠0.
Koolikursusel antakse materjal järgmisel kujul - võrrandid on jagatud kolme klassi:
1. Neil on kaks juurt.
2. *On ainult üks juur.
3. Neil pole juuri. Siinkohal tasub eriti tähele panna, et neil pole pärisjuuri
Kuidas juuri arvutatakse? Lihtsalt!
Arvutame diskriminandi. Selle "kohutava" sõna all peitub väga lihtne valem:
Juurevalemid on järgmised:
*Neid valemeid pead peast teadma.
Saate kohe kirja panna ja lahendada:
Näide:
1. Kui D > 0, siis on võrrandil kaks juurt.
2. Kui D = 0, siis on võrrandil üks juur.
3. Kui D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Vaatame võrrandit:
Sellega seoses, kui diskriminant on võrdne nulliga, ütleb koolikursus, et saadakse üks juur, siin võrdub see üheksaga. Kõik on õige, see on nii, aga ...
See idee on mõnevõrra vale. Tegelikult on kaks juurt. Jah, jah, ärge imestage, saate kaks võrdset juurt ja et olla matemaatiliselt täpne, tuleks vastuses kirjutada kaks juurt:
x 1 = 3 x 2 = 3
Aga see on nii – väike kõrvalepõige. Koolis saab selle kirja panna ja öelda, et on üks juur.
Nüüd järgmine näide:
Nagu me teame, ei saa võtta negatiivse arvu juure, seega on lahendused sisse sel juhul Ei.
See on kogu otsustusprotsess.
Ruutfunktsioon.
See näitab, kuidas lahendus geomeetriliselt välja näeb. Seda on äärmiselt oluline mõista (tulevikus analüüsime ühes artiklis üksikasjalikult ruutvõrratuse lahendust).
See on vormi funktsioon:
kus x ja y on muutujad
a, b, c - antud numbrid, kus a ≠ 0
Graafik on parabool:
Ehk siis selgub, et lahendades ruutvõrrandi, kus “y” on võrdne nulliga, leiame parabooli lõikepunktid x-teljega. Neid punkte võib olla kaks (diskriminant on positiivne), üks (diskriminant on null) ja mitte ükski (diskriminant on negatiivne). Üksikasjad selle kohta ruutfunktsioon Saate vaadata Inna Feldmani artikkel.
Vaatame näiteid:
Näide 1: Lahenda 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Vastus: x 1 = 8 x 2 = –12
*Võimalik oli kohe võrrandi vasak ja parem pool 2-ga jagada ehk lihtsustada. Arvutused on lihtsamad.
Näide 2: Otsustama x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0
Leidsime, et x 1 = 11 ja x 2 = 11
Vastusesse on lubatud kirjutada x = 11.
Vastus: x = 11
Näide 3: Otsustama x 2 – 8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 – 4ac = (–8) 2 –4, 1, 72 = 64–288 = –224
Diskriminant on negatiivne, reaalarvudes lahendus puudub.
Vastus: lahendust pole
Diskriminant on negatiivne. Lahendus on olemas!
Siin räägime võrrandi lahendamisest juhul, kui saadakse negatiivne diskriminant. Kas sa tead midagi kompleksarvud? Ma ei hakka siin üksikasjalikult kirjeldama, miks ja kus need tekkisid ning milline on nende konkreetne roll ja vajadus matemaatikas, see on suure eraldi artikli teema.
Kompleksarvu mõiste.
Natuke teooriat.
Kompleksarv z on vormi arv
z = a + bi
kus a ja b on reaalarvud, siis i on nn imaginaarühik.
a+bi – see on ÜKS NUMBER, mitte täiendus.
Imaginaarne ühik on võrdne miinus ühe juurega:
Nüüd kaaluge võrrandit:
Saame kaks konjugeeritud juurt.
Mittetäielik ruutvõrrand.
Vaatleme erijuhtumeid, see on siis, kui koefitsient “b” või “c” on võrdne nulliga (või mõlemad on võrdsed nulliga). Neid saab kergesti lahendada ilma igasuguste diskrimineerivate teguriteta.
Juhtum 1. Koefitsient b = 0.
Võrrand muutub:
Muutame:
Näide:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Juhtum 2. Koefitsient c = 0.
Võrrand muutub:
Teisendame ja faktoriseerime:
*Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.
Näide:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 või x-5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Juhtum 3. Koefitsiendid b = 0 ja c = 0.
Siin on selge, et võrrandi lahendus on alati x = 0.
Kasulikud omadused ja koefitsientide mustrid.
On omadusi, mis võimaldavad lahendada suurte koefitsientidega võrrandeid.
Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus kehtib
a + b+ c = 0, See
- kui võrrandi kordajate jaoks Ax 2 + bx+ c=0 võrdsus kehtib
a+ c =b, See
Need omadused aitavad lahendada teatud tüüpi võrrandit.
Näide 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Koefitsientide summa on 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, mis tähendab
Näide 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Võrdsus kehtib a+ c =b, Tähendab
Koefitsientide seaduspärasused.
1. Kui võrrandis ax 2 + bx + c = 0 on koefitsient “b” võrdne (a 2 +1) ja koefitsient “c” on arvuliselt võrdne koefitsiendiga “a”, siis on selle juured võrdsed
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Näide. Vaatleme võrrandit 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Kui võrrandis ax 2 – bx + c = 0 on koefitsient “b” võrdne (a 2 +1) ja koefitsient “c” on arvuliselt võrdne koefitsiendiga “a”, siis on selle juured võrdsed
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Näide. Vaatleme võrrandit 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Kui võrrandis ax 2 + bx – c = 0 koefitsient "b" on võrdne (a 2 – 1) ja koefitsient “c” on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured võrdsed
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Näide. Vaatleme võrrandit 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Kui võrrandis ax 2 – bx – c = 0 on koefitsient “b” võrdne (a 2 – 1) ja koefitsient c on arvuliselt võrdne koefitsiendiga “a”, siis on selle juured võrdsed
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Näide. Vaatleme võrrandit 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vieta teoreem.
Vieta teoreem on oma nime saanud kuulsa prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi. Vieta teoreemi kasutades saame väljendada suvalise KU juurte summat ja korrutist selle koefitsientide kaudu.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Kokku annab number 14 vaid 5 ja 9. Need on juured. Teatud oskusega saate esitatud teoreemi kasutades palju ruutvõrrandeid kohe suuliselt lahendada.
Vieta teoreem, lisaks. mugav selle poolest, et pärast ruutvõrrandi lahendamist tavalisel viisil(diskriminandi kaudu) saab tekkivaid juuri kontrollida. Soovitan seda alati teha.
TRANSPORT MEETOD
Selle meetodi korral korrutatakse koefitsient “a” vaba liikmega, justkui “visatakse” sellele, mistõttu seda nimetatakse "ülekande" meetod. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui võrrandi juured on hõlpsasti leitavad Vieta teoreemi abil ja mis kõige tähtsam, kui diskriminant on täpne ruut.
Kui A± b+c≠ 0, siis kasutatakse ülekandetehnikat, näiteks:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Kasutades Vieta teoreemi võrrandis (2), on lihtne kindlaks teha, et x 1 = 10 x 2 = 1
Saadud võrrandi juured tuleb jagada 2-ga (kuna need kaks “visati” x 2-st), saame
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Mis on selle põhjendus? Vaata, mis toimub.
Võrrandite (1) ja (2) diskriminandid on võrdsed:
Kui vaatate võrrandite juuri, saate ainult erinevad nimetajad ja tulemus sõltub täpselt x 2 koefitsiendist:
Teisel (muudetud) on juured, mis on 2 korda suuremad.
Seetõttu jagame tulemuse 2-ga.
*Kui veereme kolm uuesti, jagame tulemuse 3-ga jne.
Vastus: x 1 = 5 x 2 = 0,5
ruut ur-ie ja ühtne riigieksam.
Räägin teile lühidalt selle tähtsusest - TE PEATE OTSUSTAMA kiiresti ja ilma mõtlemiseta, peate teadma juurte ja eristajate valemeid peast. Paljud ühtse riigieksami ülesannetes sisalduvad probleemid taanduvad ruutvõrrandi lahendamisele (kaasa arvatud geomeetrilised).
Midagi väärib märkimist!
1. Võrrandi kirjutamise vorm võib olla "kaudne". Näiteks on võimalik järgmine kirje:
15+ 9x 2 - 45x = 0 või 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 või 15 -5x + 10x 2 = 0.
Sa pead ta enda juurde tooma standardvaade(et mitte sattuda otsustamisel segadusse).
2. Pidage meeles, et x on tundmatu suurus ja seda saab tähistada mis tahes muu tähega - t, q, p, h ja teised.
Esimene tase
Ruutvõrrandid. Põhjalik juhend (2019)
Mõiste "ruutvõrrand" on võtmesõnaks "ruutvõrrand". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama muutujat (sama x) ruudus ja kolmandal (või suuremal) astmel ei tohiks olla x-e.
Paljude võrrandite lahendamine taandub täpsele lahendamisele ruutvõrrandid.
Õpime kindlaks tegema, et see on ruutvõrrand, mitte mõni muu võrrand.
Näide 1.
Vabaneme nimetajast ja korrutame võrrandi iga liikme võrrandiga
Liigutame kõik vasakule poole ja järjestame terminid X astmete kahanevas järjekorras
Nüüd võime kindlalt öelda, et see võrrand on ruutkeskne!
Näide 2.
Korrutage vasak ja parem külg arvuga:
See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruutkeskne!
Näide 3.
Korrutame kõik arvuga:
Hirmutav? Neljas ja teine aste... Kui aga teeme asenduse, näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:
Näide 4.
Tundub, et see on olemas, kuid vaatame lähemalt. Liigutame kõik vasakule:
Vaata, see on vähendatud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!
Proovige nüüd ise kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:
Näited:
Vastused:
- ruut;
- ruut;
- mitte ruudukujuline;
- mitte ruudukujuline;
- mitte ruudukujuline;
- ruut;
- mitte ruudukujuline;
- ruut.
Matemaatikud jagavad tavapäraselt kõik ruutvõrrandid järgmisteks tüüpideks:
- Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, nagu ka vaba liige c, ei ole võrdsed nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud- need on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)
- Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:
Need on puudulikud, kuna neil on mõni element puudu. Kuid võrrand peab alati sisaldama x ruudus!!! Vastasel juhul pole see enam ruutvõrrand, vaid mõni muu võrrand.
Miks nad sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. See jaotus määratakse lahendusmeetoditega. Vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.
Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine
Kõigepealt keskendume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisele – need on palju lihtsamad!
On olemas mittetäielikke ruutvõrrandeid:
- , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
- , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
- , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.
1. i. Sest me teame, kuidas ekstraheerida Ruutjuur, siis väljendame sellest võrrandist
Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.
Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et sa pead teadma ja alati meeles pidama, et vähem ei saa olla.
Proovime lahendada mõned näited.
Näide 5:
Lahenda võrrand
Nüüd jääb üle ainult juur vasakult ja paremalt küljelt välja tõmmata. Lõppude lõpuks mäletate, kuidas juuri ekstraheerida?
Vastus:
Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!!!
Näide 6:
Lahenda võrrand
Vastus:
Näide 7:
Lahenda võrrand
Oh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand
pole juuri!
Selliste võrrandite jaoks, millel pole juuri, leidsid matemaatikud spetsiaalse ikooni - (tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:
Vastus:
Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:
Lahenda võrrand
Võtame sulgudest välja ühisteguri:
Seega
Sellel võrrandil on kaks juurt.
Vastus:
Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:
Loobume siin näidetest.
Täielike ruutvõrrandite lahendamine
Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus
Täielike ruutvõrrandite lahendamine on nendest pisut keerulisem (lihtsalt natukene).
Pea meeles, Mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.
Teised meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, siis kõigepealt omandage lahendus diskriminandi abil.
1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.
Ruutvõrrandite lahendamine selle meetodi abil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.
Kui, siis võrrandil on juur. Erilist tähelepanu astu samm. Diskriminant () näitab meile võrrandi juurte arvu.
- Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil ainult juur.
- Kui, siis me ei saa etapis diskrimineerija juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.
Läheme tagasi oma võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.
Näide 9:
Lahenda võrrand
Samm 1 jätame vahele.
2. samm.
Leiame diskrimineerija:
See tähendab, et võrrandil on kaks juurt.
3. samm.
Vastus:
Näide 10:
Lahenda võrrand
Võrrand on esitatud standardsel kujul, nii et Samm 1 jätame vahele.
2. samm.
Leiame diskrimineerija:
See tähendab, et võrrandil on üks juur.
Vastus:
Näide 11:
Lahenda võrrand
Võrrand on esitatud standardsel kujul, nii et Samm 1 jätame vahele.
2. samm.
Leiame diskrimineerija:
See tähendab, et me ei saa eraldada diskrimineerija juurt. Võrrandi juured puuduvad.
Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.
Vastus: pole juuri
2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.
Kui mäletate, on olemas teatud tüüpi võrrand, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):
Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:
Juurte summa antud ruutvõrrand on võrdne ja juurte korrutis on võrdne.
Näide 12:
Lahenda võrrand
Seda võrrandit saab lahendada Vieta teoreemi abil, sest .
Võrrandi juurte summa on võrdne, s.o. saame esimese võrrandi:
Ja toode on võrdne:
Koostame ja lahendame süsteemi:
- Ja. Summa on võrdne;
- Ja. Summa on võrdne;
- Ja. Summa on võrdne.
ja on süsteemi lahendus:
Vastus: ; .
Näide 13:
Lahenda võrrand
Vastus:
Näide 14:
Lahenda võrrand
Võrrand on antud, mis tähendab:
Vastus:
RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE
Mis on ruutvõrrand?
Teisisõnu, ruutvõrrand on võrrand kujul, kus - tundmatu, - mõned arvud ja.
Numbrit nimetatakse suurimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine koefitsient, A - vaba liige.
Miks? Sest kui võrrand muutub kohe lineaarseks, sest kaob.
Sel juhul ja võib olla võrdne nulliga. Selles tooli võrrandis nimetatakse mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.
Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused
Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:
Kõigepealt vaatame mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid – need on lihtsamad.
Saame eristada järgmist tüüpi võrrandeid:
I., selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.
II. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
III. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
Vaatame nüüd igale sellisele alatüübile lahendust.
Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:
Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kui korrutada kaks negatiivset või kaks positiivset arvu, on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:
kui, siis võrrandil pole lahendeid;
kui meil on kaks juurt
Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.
Näited:
Lahendused:
Vastus:
Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!
Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand
pole juuri.
Lühidalt kirja panemiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.
Vastus:
Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.
Vastus:
Võtame sulgudest välja ühisteguri:
Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:
Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.
Näide:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Korrigeerime võrrandi vasakut külge ja leiame juured:
Vastus:
Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:
1. Diskriminant
Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peaasi, et meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.
Kas märkasite juurte valemis diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu 2. sammule. Diskriminant ütleb meile võrrandi juurte arvu.
- Kui, siis on võrrandil juured:
- Kui, siis on võrrandil samad juured ja tegelikult üks juur:
Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.
- Kui, siis ei eraldata diskriminandi juurt. See näitab, et võrrandil pole juuri.
Miks on võimalik juurte erinev arv? Pöördume ruutvõrrandi geomeetrilise tähenduse juurde. Funktsiooni graafik on parabool:
Erijuhul, mis on ruutvõrrand, . See tähendab, et ruutvõrrandi juurteks on lõikepunktid abstsissteljega (teljega). Parabool ei pruugi teljega üldse ristuda või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.
Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud üles ja kui, siis alla.
Näited:
Lahendused:
Vastus:
Vastus:.
Vastus:
See tähendab, et lahendusi pole.
Vastus:.
2. Vieta teoreem
Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: peate lihtsalt valima arvude paari, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga.
Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult selles redutseeritud ruutvõrrandid ().
Vaatame mõnda näidet:
Näide nr 1:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Seda võrrandit saab lahendada Vieta teoreemi abil, sest . Muud koefitsiendid: ; .
Võrrandi juurte summa on:
Ja toode on võrdne:
Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:
- Ja. Summa on võrdne;
- Ja. Summa on võrdne;
- Ja. Summa on võrdne.
ja on süsteemi lahendus:
Seega ja on meie võrrandi juured.
Vastus: ; .
Näide nr 2:
Lahendus:
Valime välja korrutises olevad arvupaarid ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:
ja: nad annavad kokku.
ja: nad annavad kokku. Selle saamiseks piisab, kui muudate lihtsalt oletatavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka toodet.
Vastus:
Näide nr 3:
Lahendus:
Võrrandi vaba liige on negatiivne ja seetõttu on juurte korrutis negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine positiivne. Seetõttu on juurte summa võrdne nende moodulite erinevused.
Valime sellised arvupaarid, mis annavad korrutises ja mille erinevus on võrdne:
ja: nende erinevus on võrdne - ei sobi;
ja: – ei sobi;
ja: – ei sobi;
ja: - sobiv. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, peab väiksema mooduliga juur olema negatiivne: . Kontrollime:
Vastus:
Näide nr 4:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Võrrand on antud, mis tähendab:
Vaba termin on negatiivne ja seetõttu on juurte korrutis negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine positiivne.
Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:
Ilmselt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:
Vastus:
Näide nr 5:
Lahenda võrrand.
Lahendus:
Võrrand on antud, mis tähendab:
Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Kuid kuna nende toode on positiivne, tähendab see, et mõlemal juurel on miinusmärk.
Valime arvupaarid, mille korrutis on võrdne:
Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.
Vastus:
Nõus, väga mugav on juured suuliselt välja mõelda, selle vastiku diskrimineerija lugemise asemel. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.
Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selleks, et saaksite selle kasutamisest kasu, peate toimingud automaatseks muutma. Ja selleks lahendage veel viis näidet. Kuid ärge petke: te ei saa kasutada diskriminant! Ainult Vieta teoreem:
Iseseisva töö ülesannete lahendused:
Ülesanne 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Vastavalt Vieta teoreemile:
Nagu ikka, alustame valikut tükiga:
Ei sobi, sest kogus;
: summa on just see, mida vajate.
Vastus: ; .
2. ülesanne.
Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peab olema võrdne ja korrutis peab olema võrdne.
Aga kuna see peab olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (kokku).
Vastus: ; .
3. ülesanne.
Hmm... Kus see on?
Peate kõik tingimused ühte ossa teisaldama:
Juurte summa võrdub korrutisega.
Olgu, lõpeta! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult antud võrrandites. Nii et kõigepealt peate esitama võrrandi. Kui te ei saa juhtida, loobuge sellest ideest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskrimineerija kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi andmine tähendab juhtiva koefitsiendi võrdseks muutmist:
Suurepärane. Siis võrdub juurte summa ja korrutis.
Siin on valida sama lihtne kui pirnide koorimine: lõppude lõpuks on see algarv (vabandan tautoloogia pärast).
Vastus: ; .
4. ülesanne.
Tasuta liige on negatiivne. Mis on selles erilist? Ja tõsiasi on see, et juurtel on erinevad märgid. Ja nüüd, valiku käigus, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, vaid toode.
Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.
Vastus: ; .
5. ülesanne.
Mida peaksite kõigepealt tegema? See on õige, esitage võrrand:
Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:
Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Milline? Nende summa peaks olema võrdne, mis tähendab, et miinusel on suurem juur.
Vastus: ; .
Lubage mul teha kokkuvõte:
- Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
- Kasutades Vieta teoreemi, leiad juured valiku teel, suuliselt.
- Kui võrrandit ei anta või ei leita sobivat vaba liikme tegurite paari, siis terveid juuri pole ja see tuleb lahendada muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu).
3. Täieliku ruudu valimise meetod
Kui kõik tundmatut sisaldavad terminid on esitatud lühendatud korrutusvalemite terminitena - summa või erinevuse ruut -, siis pärast muutujate asendamist saab võrrandi esitada mittetäieliku ruutvõrrandina.
Näiteks:
Näide 1:
Lahendage võrrand:.
Lahendus:
Vastus:
Näide 2:
Lahendage võrrand:.
Lahendus:
Vastus:
IN üldine vaade teisendus näeb välja selline:
See tähendab:.
Ei tuleta sulle midagi meelde? See on diskrimineeriv asi! Täpselt nii saime diskrimineeriva valemi.
RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST
Ruutvõrrand- see on vormi võrrand, kus - tundmatu, - ruutvõrrandi kordajad, - vaba liige.
Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.
Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on: .
Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:
- kui koefitsient, näeb võrrand välja selline: ,
- kui on olemas vaba termin, on võrrandil vorm: ,
- kui ja, näeb võrrand välja selline: .
1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks
1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:
1) Väljendame tundmatut: ,
2) Kontrollige väljendi märki:
- kui, siis võrrandil pole lahendeid,
- kui, siis on võrrandil kaks juurt.
1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:
1) Võtame sulgudest välja ühisteguri: ,
2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:
1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:
Sellel võrrandil on alati ainult üks juur: .
2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus
2.1. Lahendus diskriminandi abil
1) Toome võrrandi standardkujule: ,
2) Arvutame diskriminandi valemiga: , mis näitab võrrandi juurte arvu:
3) Leidke võrrandi juured:
- kui, siis on võrrandil juured, mis leitakse valemiga:
- kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
- kui, siis võrrandil pole juuri.
2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil
Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , A.
2.3. Lahendus terve ruudu valimise meetodil
Kui vormi ruutvõrrandil on juured, siis saab selle kirjutada kujul: .
Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.
Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!
Nüüd kõige tähtsam.
Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Sa oled juba parem kui absoluutne enamus teie eakaaslased.
Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...
Milleks?
Edukaks ühtse riigieksami sooritamine, eelarvega kolledžisse sisseastumiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.
Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...
Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.
Kuid see pole peamine.
Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...
Aga mõelge ise...
Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?
SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.
Eksami ajal teooriat ei küsita.
Sa vajad lahendada probleeme ajaga.
Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.
See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.
Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!
Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.
Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.
Kuidas? On kaks võimalust.
- Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud - 299 hõõruda.
- Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - 499 hõõruda.
Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.
Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.
Kokkuvõtteks...
Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.
“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.
Leia probleemid ja lahenda need!
IN kaasaegne ühiskond võime sooritada tehteid muutuja ruutu sisaldavate võrranditega võib olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse laialdaselt praktikas teaduse ja tehnika arengus. Tõendeid selle kohta võib leida mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioonist. Selliste arvutuste abil määratakse väga erinevate kehade, sealhulgas kosmoseobjektide liikumistrajektoorid. Ruutvõrrandi lahendusega näiteid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevastes oludes. Neid võib vaja minna matkadel, spordiüritustel, kauplustes ostude sooritamisel ja muudes väga levinud olukordades.
Jaotame avaldise selle komponentteguriteks
Võrrandi astme määrab avaldises sisalduva muutuja astme maksimaalne väärtus. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.
Kui räägime valemikeeles, siis on näidatud avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, alati viia vormile, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (see tähendab muutuja ruudus selle koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see tähendab tavaline arv). Kõik see paremal pool võrdub 0-ga. Kui sellisel polünoomil puudub üks selle koostisosadest, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Kõigepealt tuleks kaaluda näiteid selliste probleemide lahendamisest, mille muutujate väärtusi on lihtne leida.
Kui avaldise paremal küljel on kaks terminit, täpsemalt ax 2 ja bx, on kõige lihtsam viis x leida, panna muutuja sulgudest välja. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Järgmiseks saab selgeks, et kas x=0 või probleem taandub muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.
Näide
x = 0 või 8x - 3 = 0
Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.
Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud koordinaatide alguspunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada aja, mis möödub keha tõusust kuni langemiseni, aga ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.
Avaldise faktoriseerimine
Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme rohkem lahendada rasked juhtumid. Vaatame näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamisest.
X 2 – 33x + 200 = 0
See ruuttrinoom on valmis. Esiteks teisendame avaldist ja faktorindame seda. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.
Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.
Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x+1), (x-3) ja (x+) 3).
Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; -1; 3.
Ruutjuur
Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis esitatakse tähtede keeles nii, et parempoolne külg on konstrueeritud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba termin üle parem pool, ja pärast seda võetakse ruutjuur võrdsuse mõlemalt küljelt. Tuleb märkida, et sel juhul on võrrandil tavaliselt kaks juurt. Ainsad erandid võivad olla võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.
Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.
Maa pindala arvutamine
Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika arengu neil kaugetel aegadel määras suuresti vajadus määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.
Peaksime kaaluma ka näiteid ruutvõrrandite lahendamisest, mis põhinevad seda tüüpi ülesannetel.
Niisiis, oletame, et on ristkülikukujuline maatükk, mille pikkus on 16 meetrit suurem kui laius. Sa peaksid leidma objekti pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui tead, et selle pindala on 612 m2.
Alustuseks loome esmalt vajaliku võrrandi. Tähistame x-ga ala laiust, siis on selle pikkus (x+16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x(x+16), mis meie ülesande tingimuste kohaselt on 612. See tähendab, et x(x+16) = 612.
Täielike ruutvõrrandite lahendamist, ja see avaldis on täpselt selline, ei saa teha samal viisil. Miks? Kuigi vasak pool sisaldab endiselt kahte tegurit, ei võrdu nende korrutis üldse 0-ga, seega kasutatakse siin erinevaid meetodeid.
Diskrimineeriv
Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, siis välimus avaldis näeb välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise kujul, mis vastab eelnevalt määratletud standardile, kus a=1, b=16, c=-612.
See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi abil. Siin tehakse vajalikud arvutused vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abisuurus mitte ainult ei võimalda leida vajalikke koguseid teist järku võrrandis, vaid määrab koguse võimalikud variandid. Kui D>0, on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Juurtest ja nende valemist
Meie puhul on diskriminant võrdne: 256 - 4(-612) = 2704. See viitab sellele, et meie probleemil on vastus. Kui tead k, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.
See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki mõõtmeid ei saa mõõta negatiivsetes suurustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18 +16=34 ja ümbermõõt 2(34+ 18)=104(m2).
Näited ja ülesanded
Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud mitmete neist näited ja üksikasjalikud lahendused.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Liigutame kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse, st saame seda tüüpi võrrandi, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Sarnased lisades määrame diskriminandi: D = 49 - 48 = 1. See tähendab, et meie võrrandil on kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine 1.
2) Lahendame nüüd teistsuguseid saladusi.
Uurime, kas siin on juured x 2 - 4x + 5 = 1? Põhjaliku vastuse saamiseks taandame polünoomi vastavale tavakujule ja arvutame diskriminant. Ülaltoodud näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest see pole üldse ülesande olemus. Sel juhul D = 16 - 20 = -4, mis tähendab, et juuri pole tõesti olemas.
Vieta teoreem
Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi abil, kui viimase väärtusest võetakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Kuid muutujate väärtuste saamiseks on sel juhul palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. Ta on oma nime saanud selle järgi, kes elas 16. sajandil Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.
Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juured liidetakse arvuliselt -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.
Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Lihtsuse huvides teisendame väljendit:
x 2 + 7x - 18 = 0
Kasutame Vieta teoreemi, see annab meile järgmise: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused avaldisesse tõesti sobivad.
Paraboolgraafik ja võrrand
Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist graafikuna joonistatud seost nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on toodud alloleval joonisel.
Igal paraboolil on tipp, st punkt, millest väljuvad selle harud. Kui a>0, tõusevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Funktsioonide visuaalsed esitused aitavad lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafiliseks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b/2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algsesse võrrandisse, saate teada y 0, st parabooli tipu teise koordinaadi, mis kuulub ordinaatteljele.
Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega
Ruutvõrrandite lahendamise näiteid on palju, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatame neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Parabooli graafikult saab määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui ruutfunktsiooni visuaalset esitust pole lihtne saada, saate avaldise parema poole võrdsustada 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam graafikut koostada.
Ajaloost
Kasutades ruudukujulist muutujat sisaldavaid võrrandeid, ei tehtud vanasti ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindalasid. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurte avastuste tegemiseks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.
Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastut. Loomulikult erinesid nende arvutused kardinaalselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud negatiivsete arvude olemasolust aimugi. Samuti olid neile võõrad muud peensused, mida iga tänapäeva koolilaps teab.
Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased hakkas Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandeid lahendama. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Peale tema tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töödes sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.
Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Ruuttrinoomi faktoring. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktooringu näited.
Põhivalemid
Mõelge ruutvõrrandile:
(1)
.
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmise valemiga:
;
.
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.
Järgmisena eeldame, et need on reaalarvud.
Mõelgem ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
;
.
Siis on ruuttrinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on võrdne nulliga, on ruutvõrrandil (1) kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoreerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on kujuteldav ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
;
.
Siis
.
Graafiline tõlgendus
Kui joonistate funktsiooni
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Punktis , lõikub graafik x-teljega (teljega) kahes punktis.
Kui , puudutab graafik ühes punktis x-telge.
Kui , graafik ei ristu x-teljega.
Allpool on selliste graafikute näited.
Kasulikud ruutvõrrandiga seotud valemid
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine
Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):
,
Kus
;
.
Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
See näitab, et võrrand
esines kl
Ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.
Näited ruutvõrrandi juurte määramisest
Näide 1
(1.1)
.
Lahendus
.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.
Siit saame ruuttrinoomi faktoriseerimise:
.
Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 lõikub x-teljega kahes punktis.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ületab abstsisstellje (telge) kahes punktis:
Ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.
Vastus
;
;
.
Näide 2
Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1)
.
Lahendus
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.
Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.
Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna seda juurt arvestatakse kaks korda:
,
siis sellist juurt nimetatakse tavaliselt mitmekordseks. See tähendab, et nad usuvad, et on kaks võrdset juurt:
.
Vastus
;
.
Näide 3
Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1)
.
Lahendus
Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1)
.
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Leiame diskrimineerija:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.
Võite leida keerukaid juuri:
;
;
.
Siis
.
Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.
Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ristu x-teljega (teljega). Seetõttu pole tõelisi juuri.
Vastus
Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.
