On märke, mille abil on mõnikord lihtne ilma reaalselt jagamata teada saada, kas antud arv on jagatav või mitte jagatav mõne teise arvuga.
Nimetatakse numbreid, mis jaguvad 2-ga isegi. Arv null viitab ka paarisarvudele. Kõikidele teistele numbritele helistatakse kummaline:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - paaris,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - paaritu.
Jaguvuse märgid
Testi jagavust 2-ga. Arv jagub 2-ga, kui selle viimane number on paaris. Näiteks arv 4376 jagub 2-ga, kuna viimane number (6) on paaris.
Testi jaguvust 3-ga. Ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 3-ga, jaguvad 3-ga. Näiteks arv 10815 jagub 3-ga, kuna selle numbrite summa 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 jagub 3-ga.
4-ga jaguvuse testid. Arv jagub 4-ga, kui selle kaks viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 4-ga. Näiteks arv 244500 jagub 4-ga, kuna see lõpeb kahe nulliga. Arvud 14708 ja 7524 jaguvad 4-ga, kuna nende arvude kaks viimast numbrit (08 ja 24) jaguvad 4-ga.
5-ga jaguvuse testid. Need arvud, mis lõpevad 0 või 5-ga, jaguvad 5-ga. Näiteks arv 320 jagub 5-ga, kuna viimane number on 0.
Testi jagavust 6-ga. Arv jagub 6-ga, kui ta jagub nii 2 kui ka 3-ga. Näiteks arv 912 jagub 6-ga, kuna jagub nii 2 kui 3-ga.
8-ga jaguvuse testid. 8-ga jagatakse need arvud, mille kolm viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 8-ga. Näiteks arv 27000 jagub 8-ga, kuna see lõpeb kolme nulliga. Arv 63128 jagub 8-ga, kuna kolm viimast numbrit moodustavad arvu (128), mis jagub 8-ga.
Jaguvuse test 9-ga. 9-ga jaguvad ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 9-ga. Näiteks arv 2637 jagub 9-ga, kuna selle numbrite summa 2 + 6 + 3 + 7 = 18 jagub 9-ga.
10, 100, 1000 jne jaguvuse märgid. Need arvud, mis lõpevad ühe nulliga, kahe nulliga, kolme nulliga ja nii edasi, jagatakse 10, 100, 1000 jne. Näiteks arv 3800 jagub 10 ja 100-ga.
Matemaatika 6. klassis algab jaguvuse mõiste ja jaguvusmärkide uurimisega. Need piirduvad sageli järgmiste arvudega jagamise kriteeriumidega:
- Peal 2 : viimane number peab olema 0, 2, 4, 6 või 8;
- Peal 3 : arvu numbrite summa peab jaguma 3-ga;
- Peal 4 : kahest viimasest numbrist moodustatud arv peab jaguma 4-ga;
- Peal 5 : viimane number peab olema 0 või 5;
- Peal 6 : arvul peavad olema 2 ja 3 jaguvuse märgid;
- Jaguvuse test jaoks 7 sageli vahele jäänud;
- Samuti räägitakse harva jaguvuse testist 8 , kuigi see sarnaneb 2-ga ja 4-ga jagamise kriteeriumidele. Selleks, et arv oleks jagatav 8-ga, on vajalik ja piisav, et kolmekohaline lõpp jagub 8-ga.
- Jaguvuse test jaoks 9 Kõik teavad: arvu numbrite summa peab jaguma 9-ga. Mis aga ei arenda immuunsust kõikvõimalike kuupäevadega trikkide vastu, mida numeroloogid kasutavad.
- Jaguvuse test jaoks 10 , ilmselt kõige lihtsam: arv peab lõppema nulliga.
- Mõnikord õpetatakse kuuendatele klassidele jagatavuse testi 11 . Peate liitma paariskohtades olevate numbrite numbrid ja lahutama tulemusest paaritutes kohtades olevad numbrid. Kui tulemus jagub 11-ga, jagub arv ise 11-ga.
Võtame numbri. Jagame selle 3-kohalisteks plokkideks (vasakpoolseim plokk võib sisaldada ühte või kahte numbrit) ja vaheldumisi liidame/lahutame need plokid.
Kui tulemus jagub 7, 13 (või 11), siis arv ise jagub 7, 13 (või 11-ga).
See meetod, nagu ka mitmed matemaatilised nipid, põhineb sellel, et 7x11x13 = 1001. Mida aga teha kolmekohaliste arvudega, mille puhul ei saa samuti jaguvuse küsimust lahendada ilma jagamise endata.
Universaalse jaguvuse testi abil on võimalik konstrueerida suhteliselt lihtsaid algoritme, et teha kindlaks, kas arv jagub 7-ga ja muude “ebamugavate” arvudega.
Täiustatud test 7-ga jagamiseks
Et kontrollida, kas arv jagub 7-ga, peate arvu viimase numbri kõrvale jätma ja saadud tulemusest lahutama selle numbri kaks korda. Kui tulemus jagub 7-ga, jagub arv ise 7-ga.
Näide 1:
Kas 238 jagub 7-ga?
23-8-8 = 7. Seega arv 238 jagub 7-ga.
Tõepoolest, 238 = 34x7
Seda toimingut saab teha korduvalt.
Näide 2:
Kas 65835 jagub 7-ga?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 jagub 7-ga (kui me poleks seda märganud, oleksime võinud teha veel ühe sammu: 6-3-3 = 0 ja 0 jagub kindlasti 7-ga).
See tähendab, et arv 65835 jagub 7-ga.
Universaalsest jaguvuse kriteeriumist lähtudes on võimalik parandada 4-ga ja 8-ga jagamise kriteeriume.
Täiustatud 4-ga jaguvuse test
Kui pool ühikute arvust pluss kümnete arv on paarisarv, jagub arv 4-ga.
Näide 3
Kas arv 52 jagub 4-ga?
5+2/2 = 6, arv on paaris, mis tähendab, et arv jagub 4-ga.
Näide 4
Kas arv 134 jagub 4-ga?
3+4/2 = 5, arv on paaritu, mis tähendab, et 134 ei jagu 4-ga.
Täiustatud test 8-ga jagamiseks
Kui liita kahekordne sadade arv, kümnete arv ja pool ühikute arvust ning tulemus jagub 4-ga, jagub arv ise 8-ga.
Näide 5
Kas arv 512 jagub 8-ga?
5*2+1+2/2 = 12, arv jagub 4-ga, mis tähendab, et 512 jagub 8-ga.
Näide 6
Kas arv 1984 jagub 8-ga?
9*2+8+4/2 = 28, arv jagub 4-ga, mis tähendab, et 1984 jagub 8-ga.
Jaguvuse test 12-ga- see on jaguvuse märkide liit 3 ja 4-ga. Sama toimib iga n puhul, mis on koaprarvu p ja q korrutis. Selleks, et arv oleks jagatav n-ga (mis võrdub korrutisega pq,actih, nii et gcd(p,q)=1), peab arv olema jagatav nii arvuga p kui ka q.
Olge siiski ettevaatlik! Et liitjaguvuse kriteeriumid töötaksid, peavad arvu tegurid olema algarvud. Ei saa öelda, et arv jagub 8-ga, kui see jagub 2 ja 4-ga.
Täiustatud test 13-ga jagamiseks
Et kontrollida, kas arv jagub 13-ga, peate eemaldama arvu viimase numbri ja lisama selle saadud tulemusele neli korda. Kui tulemus jagub 13-ga, jagub arv ise 13-ga.
Näide 7
Kas 65835 jagub 8-ga?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
Arv 43 ei jagu 13-ga, mis tähendab, et arv 65835 ei jagu 13-ga.
Näide 8
Kas 715 jagub 13-ga?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 jagub 13-ga, mis tähendab, et arv 715 jagub 13-ga.
14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28-ga jagamise märgid ja muud liitarvud, mis ei ole algarvude astmed, on sarnased 12-ga jaguvuse testiga. Kontrollime nende arvude jaguvust kaasalgteguritega.
- 14 jaoks: 2 ja 7 jaoks;
- 15 jaoks: 3 ja 5 jaoks;
- 18-le: numbritel 2 ja 9;
- 21 jaoks: 3 ja 7 peal;
- 20 puhul: 4 ja 5 võrra (teisisõnu, viimane number peab olema null ja eelviimane number peab olema paaris);
- 24 jaoks: 3 ja 8 jaoks;
- 26 jaoks: kohta 2 ja 13;
- 28 jaoks: 4. ja 7.
Selle asemel, et kontrollida, kas arvu 4-kohaline lõpp jagub 16-ga, võite lisada ühekohalised numbrid, mis on kümnekordsest kümnekordsest numbrist 10-kordsed, neljakohalised sajad ja
korrutada kaheksakordse tuhande numbriga ja kontrollida, kas tulemus jagub 16-ga.
Näide 9
Kas arv 1984 jagub 16-ga?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 ei jagu 16-ga, mis tähendab, et 1984 ei jagu 16-ga.
Näide 10
Kas arv 1526 jagub 16-ga?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 ei jagu 16-ga, mis tähendab, et 1526 ei jagu 16-ga.
Täiustatud test 17-ga jagamiseks.
Et kontrollida, kas arv jagub 17-ga, peate arvu viimase numbri kõrvale jätma ja saadud tulemusest lahutama selle numbri viis korda. Kui tulemus jagub 13-ga, jagub arv ise 13-ga.
Näide 11
Kas arv 59772 jagub 17-ga?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 jagub 17-ga, mis tähendab, et arv 59772 jagub 17-ga.
Näide 12
Kas arv 4913 jagub 17-ga?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 jagub 17-ga, mis tähendab, et arv 4913 jagub 17-ga.
Täiustatud test 19-ga jagamiseks.
Kontrollimaks, kas arv jagub 19-ga, peate pärast viimase numbri ärajätmist järelejäänud arvule kahekordselt lisama viimase numbri.
Näide 13
Kas arv 9044 jagub 19-ga?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 jagub 19-ga, mis tähendab, et arv 9044 jagub 19-ga.
Täiustatud test 23-ga jagamiseks.
Kontrollimaks, kas arv jagub 23-ga, tuleb pärast viimase numbri ärajätmist järelejäänud arvule lisada viimane number, mida on suurendatud 7 korda.
Näide 14
Kas arv 208012 jagub 23-ga?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Tegelikult võite juba märgata, et 253 on 23,
Vaatleme lihtsat probleemi.Ühes talus koguti hommikul 846. kana munad. See oli ühine talu, mida toetas 9 perekonda. Nende vahel on vaja kõik munad võrdselt jagada. Kuidas kontrollida, jagamata, kas arv 846 jagub 9-ga ilma jäägita.
Kõigepealt jagame selle numbri numbriteks. Arv 846 koosneb 8 sajast, 4 kümnest ja 6 ühest.
Hakkame tegelema sadadega. Kui paneme 100 muna üheksasse korvi, jääb meile üks muna lisa. See tähendab, et iga saja muna kohta tuleb 1 muna. Kuna meil on 8sada tervet muna, siis jääb järelikult 8 muna.
Nüüd tegeleme kümnetega. Kui üheksasse korvi panna kümme muna, siis jääb iga kümne kohta ka üks lisamuna. Kuna meie arvus on 4 kümnendikku, siis jääb järelikult 4 muna.
Ühes kategoorias olnud 6 muna ei saa kuidagi üheksa korvi panna, nii et need jäävad ka alles.
Nüüd lisame kõik munad, mis meil alles on. 8 sajast, 4 kümnest ja 6 ühest, kokku 8+4+6=18 muna. 18 muna saab jagada üheksaks korviks ja sealt ei jää ainsatki lisamuna. Seetõttu saab 846 muna jagada võrdselt üheksaks korviks. See tähendab, et arv 846 jagub 9-ga ilma jäägita.
Jaguvuse test 9-ga
Nüüd saame koostada testi arvu jaguvuse kohta 9-ga.
- Kui arvu numbrite summa jagub 9-ga ilma jäägita, siis arv ise jagub 9-ga. Kui arvu numbrite summa ei jagu 9-ga ilma jäägita, siis arv ise ei jagu jagub 9-ga ilma jäägita.
siin on mõned näidised:
Arv 76 005 jagub 9-ga ilma jäägita, kuna selle moodustavate numbrite summa: 7+6+0+0+5=18 jagub 9-ga ilma jäägita.
Arv 51 734 ei jagu 9-ga ilma jäägita, kuna selle moodustavate numbrite summa: 5+1+7+3+4=20 ei jagu ilma jäägita 9-ga.
Testi jaguvust 3-ga
Sarnasel viisil saame märgi, et arv jagub 3-ga.
Jagades sada 3-ga, jääb üks. Kümne jagamine 3-ga jätab samuti ühiku. Saame koopia olukorrast üheksaga.
- Kui arvu numbrite summa jagub 3-ga ilma jäägita, siis arv ise jagub 3-ga. Kui arvu numbrite summa ei jagu 3-ga ilma jäägita, siis arv ise ei jagu jagub 3-ga ilma jäägita.
Arv 76 005 jagub 3-ga ilma jäägita, kuna selle moodustavate numbrite summa: 7+6+0+0+5=18 jagub 3-ga ilma jäägita.
Arv 51 734 ei jagu 3-ga ilma jäägita, kuna selle moodustavate numbrite summa: 5+1+7+3+4=20 ei jagu 3-ga ilma jäägita.
Hakkame kaaluma teemat “Jaguvuse test 3-ga”. Alustame märgi formuleerimisega ja anname teoreemi tõestuse. Seejärel käsitleme peamisi lähenemisviise arvude 3-ga jaguvuse määramiseks, mille väärtuse annab mõni avaldis. Jaotises analüüsitakse peamiste probleemide tüüpide lahendust 3-ga jaguvuse testi kasutamise põhjal.
3-ga jaguvuse katse, näited
3-ga jaguvuse test on sõnastatud lihtsalt: täisarv jagub 3-ga ilma jäägita, kui selle numbrite summa jagub 3-ga. Kui kõigi täisarvu moodustavate numbrite koguväärtus ei jagu 3-ga, siis algarv ise ei jagu 3-ga. Kõikide täisarvu numbrite summa saate liitmise abil. naturaalarvud.
Vaatame nüüd näiteid 3-ga jaguvuse testi kasutamisest.
Näide 1
Kas arv 42 jagub 3-ga?
Lahendus
Sellele küsimusele vastamiseks liidame kokku kõik arvud, mis moodustavad arvu - 42: 4 + 2 = 6.
Vastus: Jaguvustesti järgi, kuna algarvus sisalduvate numbrite summa jagub kolmega, siis algarv ise jagub 3-ga.
Selleks, et vastata küsimusele, kas arv 0 jagub 3-ga, vajame jaguvuse omadust, mille järgi null jagub mis tahes täisarvuga. Selgub, et null jagub kolmega.
On ülesandeid, mille puhul on vaja 3-ga jaguvuse testi mitu korda kasutada.
Näide 2
Näidake seda numbrit 907 444 812 jagub 3-ga.
Lahendus
Leiame kõigi esialgse numbri moodustavate numbrite summa: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Nüüd peame kindlaks tegema, kas arv 39 jagub 3-ga. Veelkord liidame selle numbri moodustavad numbrid: 3 + 9 = 12 . Lõpliku vastuse saamiseks peame lihtsalt numbrid uuesti lisama: 1 + 2 = 3 . Arv 3 jagub 3-ga
Vastus: algne number 907 444 812 jagub ka 3-ga.
Näide 3
Kas arv jagub 3-ga? − 543 205 ?
Lahendus
Arvutame esialgse numbri moodustavate numbrite summa: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 .
Nüüd arvutame saadud arvu numbrite summa: 1 + 9 = 10 .
Lõpliku vastuse saamiseks leiame veel ühe lisamise tulemuse: 1 + 0 = 1
.
Vastus: 1 ei jagu 3-ga, mis tähendab, et algne arv ei jagu 3-ga.
Et teha kindlaks, kas antud arv jagub 3-ga ilma jäägita, saame antud arvu jagada 3-ga. Kui jagate arvu − 543 205 ülalpool käsitletud näitest veeruga kolm, siis me vastuses täisarvu ei saa. See tähendab ka seda − 543 205 ei saa jagada 3-ga ilma jäägita.
3-ga jaguvuse testi tõestus
Siin vajame järgmisi oskusi: arvu jagamine numbriteks ja 10-ga, 100-ga korrutamise reegel jne. Tõestuse läbiviimiseks peame saama vormi numbri a esituse , Kus a n , a n - 1 , … , a 0- need on numbrid, mis paiknevad arvu tähistuses vasakult paremale.
Siin on näide konkreetse numbri kasutamisest: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.
Kirjutame üles rea võrdusi: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 jne.
Nüüd asendame need võrdsused 10, 100 ja 1000 asemel varem antud võrdustega a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.
Nii jõudsime võrdsuseni:
a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0
Nüüd rakendame naturaalarvude liitmise ja korrutamise omadusi, et kirjutada saadud võrdus järgmiselt:
a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n +. . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0
Avaldis a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 on algarvu a numbrite summa. Tutvustame selle jaoks uut lühikest tähistust A. Saame: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .
Sel juhul on arvu esitus a = 3 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A võtab vormi, mida on meile mugav kasutada 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks.
Definitsioon 1
Tuletage nüüd meelde järgmisi jaguvuse omadusi:
- vajalik ja piisav tingimus, et täisarv a oleks jagatav täisarvuga
b , on tingimus, mille kohaselt arvu a moodul jagatakse arvu b mooduliga; - kui võrdsuses a = s + t kõik liikmed peale ühe jaguvad mingi täisarvuga b, siis jagub ka see üks liige b-ga.
Oleme loonud aluse 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks. Nüüd sõnastame selle tunnuse teoreemi kujul ja tõestame seda.
1. teoreem
Selleks, et väita, et täisarv a jagub 3-ga, on meie jaoks vajalik ja piisav, et arvu a märgistust moodustavate numbrite summa jagub 3-ga.
Tõendid 1
Kui me võtame väärtuse a = 0, siis on teoreem ilmne.
Kui võtame arvu a, mis erineb nullist, siis on arvu a moodul naturaalarv. See võimaldab meil kirjutada järgmise võrdsuse:
a = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , kus A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - arvu a numbrite summa.
Kuna täisarvude summa ja korrutis on täisarv, siis
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 on täisarv, siis jaguvuse definitsiooni järgi on korrutis 3 · 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 jagub arvuga 3
iga a 0, a 1, …, a n.
Kui arvu numbrite summa a jagatuna 3 , see on, A jagatuna 3 , siis enne teoreemi näidatud jaguvusomaduse tõttu jagatakse a arvuga 3 , seega, a jagatuna 3 . Seega on piisavus tõestatud.
Kui a jagatuna 3
, siis a jagub samuti arvuga 3
, siis sama jaguvuse omaduse tõttu arv
A jagatuna 3
, see tähendab arvu numbrite summa a jagatuna 3
. Vajadus on tõestatud.
Muud arvuga jagamise juhtumid 3
Täisarvu saab määrata mõne muutujat sisaldava avaldise väärtusena, kui on antud muutuja teatud väärtus. Seega mõne naturaalarvu n puhul on avaldise 4 n + 3 n - 1 väärtus naturaalarv. Sel juhul otsene jagamine 3 ei saa anda vastust küsimusele, kas arv jagub arvuga 3 . Jaguvustesti rakendamine jaoks 3 võib ka raske olla. Vaatame selliste probleemide näiteid ja nende lahendamise meetodeid.
Selliste probleemide lahendamiseks saab kasutada mitmeid lähenemisviise. Neist ühe olemus on järgmine:
- esitleme algset väljendit mitme teguri korrutisena;
- uurige, kas vähemalt ühte teguritest saab jagada 3 ;
- Jaguvuse omaduse põhjal järeldame, et kogu korrutis on jagatav 3 .
Tihti tuleb lahendamisel kasutada Newtoni binoomvalemit.
Näide 4
Kas avaldise 4 n + 3 n - 1 väärtus jagub arvuga 3 mis tahes loomuliku all n?
Lahendus
Kirjutame üles võrrandi 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Rakendame Newtoni binoomvalemit:
4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + ... + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3
Nüüd võtame selle välja 3 väljaspool sulgusid: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Saadud korrutis sisaldab kordajat 3 , ja loomuliku n sulgudes olev avaldise väärtus tähistab naturaalarvu. See võimaldab meil väita, et saadud korrutis ja algne avaldis 4 n + 3 n - 1 jagatakse 3 .
Vastus: Jah.
Võime kasutada ka matemaatilise induktsiooni meetodit.
Näide 5
Tõesta matemaatilise induktsiooni meetodil, et mis tahes loomulik
n avaldise n n 2 + 5 väärtus jagatakse 3
.
Lahendus
Leiame avaldise väärtuse n n 2 + 5 mil n = 1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 jagub arvuga 3 .
Oletame nüüd, et avaldise väärtus n n 2 + 5 at n = k jagatuna 3 . Tegelikult peame töötama avaldisega k k 2 + 5, mis eeldatavasti on jagatav 3 .
Arvestades, et k k 2 + 5 jagub arvuga 3 , näitame, et avaldise väärtus n · n 2 + 5 at n = k + 1 jagatuna 3 , st näitame, et k + 1 k + 1 2 + 5 jagub arvuga 3 .
Teeme teisendusi:
k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2
Avaldis k · (k 2 + 5) jagatakse arvuga 3 ja avaldis 3 k 2 + k + 2 jagatakse 3 , seega jagatakse nende summa arvuga 3 .
Seega tõestasime, et avaldise n · (n 2 + 5) väärtus jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.
Vaatame nüüd lähenemist jagatavuse tõestamisele 3 , mis põhineb järgmisel toimingute algoritmil:
- näitame, et selle avaldise väärtus muutujaga n, kui n = 3 m, n = 3 m + 1 ja n = 3 m + 2, Kus m– suvaline täisarv, jagub arvuga 3 ;
- järeldame, et avaldis jagub arvuga 3 mis tahes täisarvu n korral.
Et mitte juhtida tähelepanu väiksematelt detailidelt, rakendame seda algoritmi eelmise näite lahendusele.
Näide 6
Näidake, et n · (n 2 + 5) jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.
Lahendus
Teeskleme seda n = 3 m. Siis: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Saadud toode sisaldab kordajat 3 , seetõttu on toode ise jagatud 3 .
Teeskleme seda n = 3 m + 1. Seejärel:
n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2 m + 2)
Saadud toode on jagatud 3 .
Oletame, et n = 3 m + 2. Seejärel:
n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3
See töö jaguneb ka 3 .
Vastus: Seega tõestasime, et avaldis n n 2 + 5 jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.
Näide 7
Kas see on jagatav 3 avaldise 10 3 n + 10 2 n + 1 väärtus mõne naturaalarvu n korral.
Lahendus
Teeskleme seda n = 1. Saame:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104
Teeskleme seda n = 2. Saame:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001
Seega võime järeldada, et iga loomuliku n korral saame arvud, mis jaguvad 3-ga. See tähendab, et 10 3 n + 10 2 n + 1 mis tahes naturaalarvu n korral jagub 3-ga.
Vastus: Jah
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
