Iga keel võib väljendada sama teavet erinevate sõnadega ja revolutsioonid. Matemaatiline keel pole erand. Kuid sama väljendit saab samaväärselt kirjutada erineval viisil. Ja mõnes olukorras on üks kirjetest lihtsam. Selles õppetükis räägime väljendite lihtsustamisest.

Inimesed suhtlevad edasi erinevaid keeli. Meie jaoks on oluline võrdlus paar “vene keel - matemaatiline keel”. Sama teavet saab edastada erinevates keeltes. Kuid peale selle saab seda ühes keeles hääldada erinevalt.

Näiteks: “Petya on Vasjaga sõber”, “Vasja on Petjaga sõber”, “Petja ja Vasja on sõbrad”. Öeldi teisiti, aga sama asi. Kõigist nendest fraasidest saaksime aru, millest me räägime.

Vaatame seda fraasi: "Poiss Petya ja poiss Vasya on sõbrad." Me mõistame, mida mõtleme me räägime. Selle fraasi kõla meile aga ei meeldi. Kas me ei võiks seda lihtsustada, öelda sama, aga lihtsamalt? "Poiss ja poiss" - võite korra öelda: "Poisid Petya ja Vasya on sõbrad."

“Poisid”... Kas nende nimedest ei selgu, et nad pole tüdrukud? Eemaldame "poisid": "Petya ja Vasya on sõbrad." Ja sõna "sõbrad" võib asendada sõnaga "sõbrad": "Petya ja Vasya on sõbrad." Selle tulemusena asendati esimene, pikk, inetu fraas samaväärse väitega, mida on lihtsam öelda ja kergem mõista. Oleme seda fraasi lihtsustanud. Lihtsustada tähendab öelda seda lihtsamalt, kuid mitte kaotada ega moonutada tähendust.

Matemaatilises keeles juhtub umbes sama. Võib öelda ühte ja sama asja, kirjutatuna erinevalt. Mida tähendab väljendi lihtsustamine? See tähendab, et algse avaldise jaoks on palju samaväärseid väljendeid, st neid, mis tähendavad sama asja. Ja kogu selle mitmekesisuse hulgast peame valima meie arvates kõige lihtsama või meie edasiseks otstarbeks sobivaima.

Mõelge näiteks numbrilisele avaldisele . See on samaväärne .

See on samaväärne ka kahe esimesega: .

Selgub, et oleme oma väljendeid lihtsustanud ja leidnud lühima samaväärse avaldise.

Numbriavaldiste puhul peate alati sooritama kõik toimingud ja saama samaväärse avaldise ühe arvuna.

Vaatame näidet sõnasõnalisest väljendist . Ilmselgelt saab see olema lihtsam.

Kirjasõnaliste väljendite lihtsustamisel on vaja teha kõik võimalikud toimingud.

Kas väljendit on alati vaja lihtsustada? Ei, mõnikord on meile mugavam samaväärne, kuid pikem kirje.

Näide: peate arvust arvu lahutama.

Arvutada on võimalik, aga kui esimest numbrit esitataks selle samaväärse tähisega: , siis oleks arvutused hetkelised: .

See tähendab, et lihtsustatud avaldis ei ole meile edasiste arvutuste jaoks alati kasulik.

Sellegipoolest seisame sageli silmitsi ülesandega, mis kõlab lihtsalt "väljenduse lihtsustamiseks".

Lihtsustage väljendit: .

Lahendus

1) Tehke esimeses ja teises sulus olevad toimingud: .

2) Arvutame välja tooted: .

Ilmselgelt on viimasel avaldisel lihtsam vorm kui algsel. Oleme seda lihtsustanud.

Avaldise lihtsustamiseks tuleb see asendada ekvivalendiga (võrdne).

Samaväärse avaldise määramiseks vajate:

1) teha kõik võimalikud toimingud,

2) kasutada arvutuste lihtsustamiseks liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise omadusi.

Liitmise ja lahutamise omadused:

1. Liitmise kommutatiivne omadus: tingimuste ümberpaigutamine ei muuda summat.

2. Liitmisomadus: kahe arvu summale kolmanda arvu liitmiseks saab esimesele arvule liita teise ja kolmanda arvu summa.

3. Numbrist summa lahutamise omadus: arvust summa lahutamiseks saate lahutada iga liikme eraldi.

Korrutamise ja jagamise omadused

1. Korrutamise kommutatiivne omadus: tegurite ümberpaigutamine ei muuda korrutist.

2. Kombinatiivne omadus: arvu korrutamiseks kahe arvu korrutisega saate selle esmalt korrutada esimese teguriga ja seejärel korrutada saadud korrutise teise teguriga.

3. Korrutamise jaotusomadus: arvu korrutamiseks summaga tuleb see iga liikmega eraldi korrutada.

Vaatame, kuidas me tegelikult peast arvutame.

Arvuta:

Lahendus

1) Kujutame ette, kuidas

2) Kujutleme esimest tegurit bitiliikmete summana ja sooritame korrutamise:

3) võite ette kujutada, kuidas ja korrutada:

4) Asendage esimene tegur samaväärse summaga:

Jaotusseadust saab kasutada ka tagakülg: .

Järgige neid samme.

1) 2)

Lahendus

1) Mugavuse huvides võite kasutada jaotusseadust, kuid kasutada seda vastupidises suunas - võtke ühistegur sulgudest välja.

2) Võtame ühisteguri sulgudest välja

Kööki ja esikusse on vaja osta linoleum. Köögiosa - , esik - . Linoleume on kolme tüüpi: eest ja rubla eest. Kui palju igaüks maksab? kolme tüüpi linoleum? (Joonis 1)

Riis. 1. Probleemi püstituse illustratsioon

Lahendus

Meetod 1. Saate eraldi välja selgitada, kui palju raha kulub köögi linoleumi ostmiseks ja seejärel koridoris ning saadud tooted kokku liita.

Algtase

Avaldiste teisendamine. Üksikasjalik teooria (2019)

Avaldiste teisendamine

Sageli kuuleme seda ebameeldivat fraasi: "lihtsusta väljendit". Tavaliselt näeme sellist koletist:

"See on palju lihtsam," ütleme me, kuid selline vastus tavaliselt ei tööta.

Nüüd ma õpetan teid mitte kartma selliseid ülesandeid. Veelgi enam, õppetunni lõpus lihtsustate te ise selle näite (lihtsalt!) tavaliseks numbriks (jah, paganama nende tähtedega).

Kuid enne selle õppetüki alustamist peate suutma käsitleda murde ja faktoripolünoome. Seetõttu, kui te pole seda varem teinud, mõistke kindlasti teemad "" ja "".

Kas olete seda lugenud? Kui jah, siis olete nüüd valmis.

Põhilised lihtsustustoimingud

Nüüd vaatame põhitehnikaid, mida kasutatakse väljendite lihtsustamiseks.

Lihtsaim on

1. Sarnase toomine

Mis on sarnased? Võtsite selle kasutusele 7. klassis, kui matemaatikas ilmusid esimest korda numbrite asemel tähed. Sarnased on sama täheosaga terminid (monoomid). Näiteks summas on sarnased terminid ja.

Kas sa mäletad?

Sarnaste toomine tähendab mitme sarnase termini liitmist ja ühe termini saamist.

Kuidas me saame tähed kokku panna? - küsid sa.

Seda on väga lihtne mõista, kui kujutate ette, et tähed on mingid objektid. Näiteks kiri on tool. Millega siis avaldis võrdne on? Kaks tooli pluss kolm tooli, mitu tooli tuleb? Täpselt nii, toolid: .

Proovige nüüd seda väljendit: .

Segaduste vältimiseks laske erinevatel tähtedel tähistada erinevaid objekte. Näiteks - on (nagu tavaliselt) tool ja - on laud. Seejärel:

toolid lauad toolid lauad toolid toolid lauad

Nimetatakse numbreid, millega sellistes terminites tähed korrutatakse koefitsiendid. Näiteks monomialis on koefitsient võrdne. Ja selles on võrdne.

Niisiis, sarnaste toomise reegel on järgmine:

Näited:

Andke sarnased:

Vastused:

2. (ja sarnased, kuna seetõttu on neil terminitel sama täheosa).

2. Faktoriseerimine

See on tavaliselt kõige rohkem oluline osa väljendite lihtsustamisel. Pärast sarnaste andmist tuleb saadud avaldis enamasti faktoriseerida, st esitada tootena. See on eriti oluline murdude puhul: selleks, et oleks võimalik murda vähendada, tuleb lugeja ja nimetaja esitada korrutisena.

Avaldiste faktooringu meetodeid uurisite üksikasjalikult teemas "", nii et siin peate lihtsalt õpitut meeles pidama. Selleks otsustage mõned näiteid(tuleb faktoriseerida):

Lahendused:

3. Murru vähendamine.

Noh, mis saaks olla meeldivam kui osa lugejast ja nimetajast maha kriipsutada ja need oma elust välja visata?

See on vähendamise ilu.

See on lihtne:

Kui lugeja ja nimetaja sisaldavad samu tegureid, saab neid vähendada, st eemaldada murdosast.

See reegel tuleneb murdosa põhiomadusest:

See tähendab, et redutseerimisoperatsiooni olemus seisneb selles Jagame murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga (või sama avaldisega).

Murdosa vähendamiseks vajate:

1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima

2) kui lugeja ja nimetaja sisaldavad ühised tegurid, saab need läbi kriipsutada.

Põhimõte on minu arvates selge?

Tahaksin juhtida teie tähelepanu ühele asjale tüüpiline viga lepingu sõlmimisel. Kuigi see teema on lihtne, teevad paljud inimesed kõike valesti, mõistmata seda vähendada- see tähendab jagama lugeja ja nimetaja on samad numbrid.

Lühendeid ei kasutata, kui lugeja või nimetaja on summa.

Näiteks: me peame lihtsustama.

Mõned inimesed teevad seda: mis on täiesti vale.

Teine näide: vähendada.

"Targeim" teeb seda: .

Ütle mulle, mis siin valesti on? Näib: - see on kordaja, mis tähendab, et seda saab vähendada.

Aga ei: - see on lugejas ainult ühe liikme tegur, kuid lugejat ennast tervikuna ei faktoriseerita.

Siin on veel üks näide: .

See avaldis on faktoriseeritud, mis tähendab, et saate seda vähendada, st jagada lugeja ja nimetaja järgmisega ja seejärel järgmisega:

Saate selle kohe jagada:

Selliste vigade vältimiseks pidage meeles lihtne viis kuidas teha kindlaks, kas avaldis on faktoriseeritud:

Avaldise väärtuse arvutamisel viimasena sooritatav aritmeetiline tehe on “peatehe”. See tähendab, et kui asendate tähtede asemel mõned (mis tahes) numbrid ja proovite arvutada avaldise väärtust, siis kui viimane toiming on korrutamine, on meil korrutis (avaldis on faktoriseeritud). Kui viimane toiming on liitmine või lahutamine, tähendab see, et avaldist ei ole faktoriseeritud (ja seetõttu ei saa seda redutseerida).

Konsolideerimiseks lahendage mõned ise näiteid:

Vastused:

1. Loodan, et sa kohe lõikama ei tormanud ja? Ikka ei piisanud selliste ühikute "vähendamiseks":

Esimene samm peaks olema faktoriseerimine:

4. Murdude liitmine ja lahutamine. Murdude taandamine ühisele nimetajale.

Harilike murdude liitmine ja lahutamine on tuttav operatsioon: otsime ühisnimetaja, korrutame iga murru puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad. Tuletame meelde:

Vastused:

1. Nimetajad ja on suhteliselt esmased, st neil ei ole ühiseid tegureid. Seetõttu on nende arvude LCM võrdne nende korrutisega. Sellest saab ühine nimetaja:

2. Siin on ühine nimetaja:

3. Esimene asi siin segafraktsioonid muudame need valedeks ja järgime siis tavalist mustrit:

Täiesti teine ​​asi on see, kui murrud sisaldavad näiteks tähti:

Alustame millegi lihtsaga:

a) Nimetajad ei sisalda tähti

Siin on kõik sama, mis tavaliste arvuliste murdude puhul: leiame ühise nimetaja, korrutame iga murdosa puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad:

Nüüd saate lugejas anda sarnased, kui need on olemas, ja arvutada need:

Proovige ise:

b) Nimetajad sisaldavad tähti

Meenutagem põhimõtet leida tähtedeta ühisosa:

· kõigepealt määrame kindlaks ühised tegurid;

· siis kirjutame ükshaaval välja kõik levinud tegurid;

· ja korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.

Nimetajate ühiste tegurite määramiseks jagame need esmalt algteguriteks:

Rõhutame üldisi tegureid:

Nüüd kirjutame levinumad tegurid ükshaaval välja ja lisame neile kõik ebatavalised (joonimata):

See on ühine nimetaja.

Tuleme tagasi kirjade juurde. Nimetajad antakse täpselt samal viisil:

· faktori nimetajaid;

· määrata kindlaks ühised (identsed) tegurid;

· kõik levinud tegurid üks kord välja kirjutada;

· korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.

Niisiis, järjekorras:

1) arvutage nimetajad:

2) määrake kindlaks ühised (identsed) tegurid:

3) kirjutage üks kord välja kõik levinumad tegurid ja korrutage need kõigi muude (allajoonimata) teguritega:

Nii et siin on ühine nimetaja. Esimene murdosa tuleb korrutada, teine ​​- arvuga:

Muide, on üks nipp:

Näiteks:.

Nimetajates näeme samu tegureid, ainult et kõik erinevate näitajatega. Ühine nimetaja saab olema:

mingil määral

mingil määral

mingil määral

mingil määral.

Teeme ülesande keerulisemaks:

Kuidas teha murdudel sama nimetaja?

Meenutagem murdosa põhiomadust:

Kusagil pole öeldud, et sama arvu saab lahutada (või liita) murdosa lugejast ja nimetajast. Sest see pole tõsi!

Vaadake ise: võtke näiteks suvaline murd ja lisage lugejale ja nimetajale mõni arv, näiteks . Mida sa õppisid?

Niisiis, veel üks kõigutamatu reegel:

Kui vähendate murde ühise nimetajani, kasutage ainult korrutustehet!

Aga millega on vaja korrutada, et saada?

Nii et korrutage sellega. Ja korrutage arvuga:

Avaldisi, mida ei saa faktoriseerida, nimetame elementaarseteks teguriteks. Näiteks - see on elementaarne tegur. - Sama. Aga ei: seda saab faktoriseerida.

Aga väljend? Kas see on elementaarne?

Ei, sest seda saab faktoriseerida:

(faktoriseerimise kohta lugesite juba teemas "").

Niisiis, elementaarsed tegurid, milleks te avaldise tähtedega jagate, on analoogid lihtsatele teguritele, milleks te numbreid jagate. Ja me tegeleme nendega samamoodi.

Näeme, et mõlemal nimetajal on kordaja. See läheb ühise nimetaja juurde kraadini (mäletate miks?).

Tegur on elementaarne ja neil pole ühist tegurit, mis tähendab, et esimene murdosa tuleb sellega lihtsalt korrutada:

Teine näide:

Lahendus:

Enne kui neid nimetajaid paaniliselt korrutate, peate mõtlema, kuidas neid arvesse võtta? Nad mõlemad esindavad:

Suurepärane! Seejärel:

Teine näide:

Lahendus:

Tavapäraselt faktoreerime nimetajad. Esimeses nimetajas paneme selle lihtsalt sulgudest välja; teises - ruutude erinevus:

Näib, et ühiseid tegureid pole. Kuid kui te vaatate tähelepanelikult, on nad sarnased ... Ja see on tõsi:

Nii et kirjutame:

See tähendab, et see kujunes nii: sulu sees vahetasime termineid ja samal ajal muutus murru ees olev märk vastupidiseks. Võtke teadmiseks, et peate seda sageli tegema.

Toome selle nüüd ühise nimetaja juurde:

Said aru? Kontrollime seda kohe.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Vastused:

Siin peame meeles pidama veel üht asja - kuubikute erinevust:

Pange tähele, et teise murru nimetaja ei sisalda valemit “summa ruut”! Summa ruut näeks välja selline: .

A on summa nn mittetäielik ruut: selle teine ​​liige on esimese ja viimase korrutis, mitte nende topeltkorrutis. Mittetäielik ruut summa on üks kuubikute erinevuse suurenemise tegureid:

Mida teha, kui murdosa on juba kolm?

Jah, sama asi! Kõigepealt veenduge, et nimetajate maksimaalne tegurite arv on sama:

Pange tähele: kui muudate ühe sulu sees olevaid märke, muutub murru ees olev märk vastupidiseks. Kui me muudame teises sulus olevaid märke, muutub murru ees olev märk taas vastupidiseks. Sellest tulenevalt pole see (märk murru ees) muutunud.

Kirjutame kogu esimese nimetaja välja ühiseks nimetajaks ja lisame sellele kõik veel kirjutamata tegurid, alates teisest ja seejärel kolmandast (ja nii edasi, kui murde on rohkem). See tähendab, et see selgub järgmiselt:

Hmm... On selge, mida murdudega teha. Aga kuidas on lood nende kahega?

See on lihtne: teate, kuidas murde lisada, eks? Niisiis, me peame muutma kaheks murdosa! Pidagem meeles: murd on jagamistehte (lugeja jagatakse nimetajaga, juhuks kui unustasite). Ja pole midagi lihtsamat kui arvu jagada. Sel juhul arv ise ei muutu, vaid muutub murdarvuks:

Just see, mida vajate!

5. Murdude korrutamine ja jagamine.

Noh, kõige raskem osa on nüüd läbi. Ja meie ees on kõige lihtsam, kuid samal ajal kõige olulisem:

Menetlus

Milline on arvavaldise arvutamise protseduur? Pidage meeles, arvutades selle väljendi tähenduse:

Kas sa lugesid?

See peaks toimima.

Niisiis, lubage mul teile meelde tuletada.

Esimene samm on kraadi arvutamine.

Teine on korrutamine ja jagamine. Kui korraga on mitu korrutamist ja jagamist, saab neid teha mis tahes järjekorras.

Ja lõpuks teeme liitmise ja lahutamise. Jällegi suvalises järjekorras.

Aga: sulgudes olevat avaldist hinnatakse järjekorraväliselt!

Kui mitu sulgu korrutatakse või jagatakse üksteisega, arvutame esmalt igas sulgudes oleva avaldise ja seejärel korrutame või jagame need.

Mis siis, kui sulgudes on rohkem sulgusid? No mõtleme: sulgude sisse on kirjutatud mingi väljend. Mida peaksite avaldise arvutamisel kõigepealt tegema? See on õige, arvutage sulgud. Noh, me mõtlesime selle välja: kõigepealt arvutame sisemised sulgud, seejärel kõik muu.

Seega on ülaltoodud avaldise protseduur järgmine (praegune toiming on punasega esile tõstetud, see tähendab toiming, mida ma praegu teen):

Olgu, kõik on lihtne.

Aga see pole sama, mis tähtedega väljend?

Ei, see on sama! Ainult aritmeetiliste toimingute asemel peate tegema algebralisi, see tähendab jaotises kirjeldatud toiminguid. eelmine jaotis: sarnast toomine, fraktsioonide lisamine, murdude vähendamine jne. Ainus erinevus on polünoomide faktooringu toimimine (kasutame seda sageli murdarvudega töötamisel). Enamasti peate faktoriseerimiseks kasutama I-d või lihtsalt jätma ühisteguri sulgudest välja.

Tavaliselt on meie eesmärk esitada väljendit toote või jagatisena.

Näiteks:

Lihtsustame väljendit.

1) Esiteks lihtsustame sulgudes olevat väljendit. Seal on meil murdude erinevus ja meie eesmärk on esitada see korrutise või jagatisena. Niisiis, viime murrud ühise nimetaja juurde ja lisame:

Seda väljendit on võimatu veelgi lihtsustada, kõik tegurid on siin elementaarsed (kas mäletate veel, mida see tähendab?).

2) Saame:

Murdude korrutamine: mis võiks olla lihtsam.

3) Nüüd saate lühendada:

Noh, see on kõik. Pole midagi keerulist, eks?

Teine näide:

Lihtsustage väljendit.

Esmalt proovige see ise lahendada ja alles siis vaadake lahendust.

Kõigepealt määrame toimingute järjekorra. Esmalt lisame sulgudes olevad murded, nii et kahe murru asemel saame ühe. Seejärel teeme murdude jagamise. Noh, lisame tulemuse viimase murdosaga. Nummerdan sammud skemaatiliselt:

Nüüd näitan teile protsessi, toonides praeguse toimingu punaseks:

Lõpuks annan teile kaks kasulikku nõuannet:

1. Kui on sarnaseid, tuleb need kohe ära tuua. Millal iganes sarnased meie riigis tekivad, on soovitatav need kohe üles tuua.

2. Sama kehtib ka taandavate fraktsioonide kohta: niipea, kui tekib taandamise võimalus, tuleb see ära kasutada. Erandiks on murrud, mille lisate või lahutate: kui neil on nüüd samad nimetajad, tuleks taandamine jätta hilisemaks.

Siin on mõned ülesanded, mida saate ise lahendada:

Ja mis kohe alguses lubati:

Lahendused (lühidalt):

Kui oled vähemalt kolme esimese näitega hakkama saanud, siis oled teema valdanud.

Nüüd õppimise juurde!

Avaldiste teisendamine. KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Põhilised lihtsustustoimingud:

• Sarnase toomine: sarnaste terminite lisamiseks (vähendamiseks) tuleb lisada nende koefitsiendid ja määrata täheosa.
• Faktoreerimine:ühisteguri sulgudest välja panemine, rakendamine jne.
• Murdosa vähendamine: Murru lugeja ja nimetaja saab korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga, mis ei muuda murru väärtust.
  1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima
  2) kui lugejal ja nimetajal on ühised tegurid, võib need läbi kriipsutada.

  TÄHTIS: vähendada saab ainult kordajaid!

• Murdude liitmine ja lahutamine:
  ;
• Murdude korrutamine ja jagamine:
  ;

§ 1 Sõnasõnalise väljendi lihtsustamise mõiste

Selles õppetükis tutvume mõistega “sarnased terminid” ja õpime näidete abil sarnaste terminite redutseerimist, lihtsustades nii sõnasõnalisi väljendeid.

Uurime välja mõiste "lihtsustamine" tähendus. Sõna "lihtsustamine" on tuletatud sõnast "lihtsustada". Lihtsustada tähendab teha lihtsaks, lihtsamaks. Seetõttu tähendab täheavaldise lihtsustamine selle lühemaks muutmist minimaalse arvu tegevustega.

Vaatleme avaldist 9x + 4x. See on sõnasõnaline väljend, mis on summa. Siin esitatud terminid on esitatud numbri ja tähe korrutisena. Selliste terminite arvulist tegurit nimetatakse koefitsiendiks. Selles avaldises on koefitsiendid numbrid 9 ja 4. Pange tähele, et tähega tähistatud tegur on selle summa mõlemas osas sama.

Tuletagem meelde korrutamise jaotusseadust:

Summa arvuga korrutamiseks võite iga liikme selle arvuga korrutada ja liita saadud korrutised.

IN üldine vaade kirjutatakse järgmiselt: (a + b) ∙ c = ac + bc.

See seadus kehtib mõlemas suunas ac + bc = (a + b) ∙ c

Rakendame seda oma sõnasõnalisele avaldisele: 9x ja 4x korrutiste summa on võrdne korrutisega, mille esimene tegur on võrdne summaga 9 ja 4, on teine ​​tegur x.

9 + 4 = 13, see on 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Avaldises oleva kolme toimingu asemel on järel vaid üks toiming - korrutamine. See tähendab, et oleme muutnud oma sõnasõnalise väljenduse lihtsamaks, s.t. lihtsustas seda.

§ 2 Sarnaste tähtaegade vähendamine

Mõisted 9x ja 4x erinevad ainult oma koefitsientide poolest – selliseid termineid nimetatakse sarnasteks. Sarnaste terminite täheosa on sama. Sarnased terminid hõlmavad ka numbreid ja võrdseid termineid.

Näiteks avaldises 9a + 12 - 15 on sarnased terminid arvud 12 ja -15 ning 12 ja 6a korrutise summas arv 14 ning 12 ja 6a korrutis (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) võrdsed liikmed, mida esindab 12 ja 6a korrutis.

Oluline on märkida, et liikmed, mille koefitsiendid on võrdsed, kuid mille tähetegurid on erinevad, ei ole sarnased, kuigi mõnikord on kasulik rakendada neile korrutamise distributiivset seadust, näiteks korrutiste 5x ja 5y summa on võrdne arvu 5 ning x ja y summa korrutisega

5x + 5y = 5(x + y).

Lihtsustame avaldist -9a + 15a - 4 + 10.

Sarnased terminid sisse antud juhul on terminid -9a ja 15a, kuna need erinevad ainult koefitsientide poolest. Nende tähtede kordaja on sama ning terminid -4 ja 10 on samuti sarnased, kuna need on numbrid. Lisage sarnased terminid:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Saame: 6a + 6.

Avaldist lihtsustades leidsime matemaatikas sarnaste terminite summad.

Kui selliste terminite lisamine on keeruline, võite nende jaoks sõnu välja mõelda ja objekte lisada.

Näiteks kaaluge väljendit:

Iga tähe jaoks võtame oma objekti: b-õun, c-pirn, siis saame: 2 õuna miinus 5 pirni pluss 8 pirni.

Kas me saame õuntest lahutada pirnid? Muidugi mitte. Kuid miinus 5 pirnile võime lisada 8 pirni.

Esitame sarnased terminid -5 pirni + 8 pirni. Sarnastel terminitel on sama täheosa, nii et sarnaste terminite toomisel piisab koefitsientide liitmisest ja tulemusele täheosa lisamisest:

(-5 + 8) pirnid - saad 3 pirni.

Tulles tagasi meie sõnasõnalise avaldise juurde, on meil -5 s + 8 s = 3 s. Seega saame pärast sarnaste terminite toomist avaldise 2b + 3c.

Niisiis tutvusite selles õppetükis mõistega "sarnased terminid" ja õppisite tähtväljendeid lihtsustama, vähendades sarnaseid termineid.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. matemaatika. 6. klass: tunniplaanidõpikule I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-koostaja L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. matemaatika. 6. klass: õpik õpilastele õppeasutused. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ja teised/toimetanud G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygina; Venemaa Teaduste Akadeemia, Venemaa Haridusakadeemia. M.: "Valgustus", 2010.
4. matemaatika. 6. klass: õpe üldharidusasutustele/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. matemaatika. 6. klass: õpik/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Kasutatud pildid:

Sõnasõnaline avaldis (või muutuv avaldis) on matemaatiline avaldis, mis koosneb numbritest, tähtedest ja matemaatilistest sümbolitest. Näiteks järgmine väljend on sõnasõnaline:

a+b+4

Tähestikuliste avaldiste abil saate kirjutada seadusi, valemeid, võrrandeid ja funktsioone. Täheväljenditega manipuleerimise oskus on algebra ja kõrgema matemaatika heade teadmiste võti.

Iga tõsine probleem matemaatikas taandub võrrandite lahendamisele. Ja võrrandite lahendamiseks peate suutma töötada sõnasõnaliste avaldistega.

Kirjasõnaliste avaldistega töötamiseks peate olema hästi kursis põhiaritmeetikaga: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, matemaatika põhiseadused, murrud, toimingud murdudega, proportsioonid. Ja mitte ainult õppida, vaid ka põhjalikult mõista.

Tunni sisu

Muutujad

Nimetatakse tähti, mis sisalduvad sõnasõnalistes väljendites muutujad. Näiteks väljendis a+b+4 muutujad on tähed a Ja b. Kui asendame nende muutujate asemel suvalised arvud, siis sõnasõnaline avaldis a+b+4 muutub arvuliseks avaldiseks, mille väärtust saab leida.

Nimetatakse numbreid, mis on asendatud muutujatega muutujate väärtused. Näiteks muudame muutujate väärtusi a Ja b. Väärtuste muutmiseks kasutatakse võrdusmärki

a = 2, b = 3

Oleme muutnud muutujate väärtusi a Ja b. Muutuv a määratud väärtus 2 , muutuv b määratud väärtus 3 . Selle tulemusena sõnasõnaline väljend a+b+4 muutub regulaarseks arvavaldiseks 2+3+4 mille väärtust võib leida:

2 + 3 + 4 = 9

Muutujate korrutamisel kirjutatakse need kokku. Näiteks salvestada ab tähendab sama mis kanne a × b. Kui asendame muutujad a Ja b numbrid 2 Ja 3 , siis saame 6

2 × 3 = 6

Sulgudesse saab kirjutada ka arvu korrutamise avaldisega. Näiteks selle asemel a × (b + c) saab kirja panna a(b + c). Korrutamise jaotusseadust rakendades saame a(b + c)=ab+ac.

Koefitsiendid

Literaalsetes avaldistes võib sageli leida tähistusi, kus näiteks arv ja muutuja on kokku kirjutatud 3a. See on tegelikult stenogramm arvu 3 korrutamiseks muutujaga. a ja see sissekanne näeb välja selline 3×a .

Teisisõnu väljend 3a on arvu 3 ja muutuja korrutis a. Number 3 selles töös kutsuvad nad koefitsient. See koefitsient näitab, mitu korda muutujat suurendatakse a. Seda väljendit saab lugeda kui " a kolm korda" või "kolm korda A" või "suurendage muutuja väärtust a kolm korda", kuid enamasti loetakse seda kui "kolm a«

Näiteks kui muutuja a võrdne 5 , siis avaldise väärtus 3a on võrdne 15-ga.

3 × 5 = 15

Rääkimine lihtsas keeles, koefitsient on arv, mis on enne tähte (enne muutujat).

Seal võib olla näiteks mitu tähte 5abc. Siin on koefitsient arv 5 . See koefitsient näitab, et muutujate korrutis abc suureneb viis korda. Seda väljendit saab lugeda kui " abc viis korda" või "suurendage avaldise väärtust abc viis korda" või "viis abc«.

Kui muutujate asemel abc asendage numbrid 2, 3 ja 4, seejärel avaldise väärtus 5abc saab olema võrdne 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Võite vaimselt ette kujutada, kuidas kõigepealt korrutati numbrid 2, 3 ja 4 ning saadud väärtus kasvas viiekordseks:

Koefitsiendi märk viitab ainult koefitsiendile ja ei kehti muutujate kohta.

Mõelge väljendile −6b. Miinus enne koefitsienti 6 , kehtib ainult koefitsiendi kohta 6 , ja ei kuulu muutuja hulka b. Selle fakti mõistmine võimaldab teil tulevikus märkidega mitte vigu teha.

Leiame avaldise väärtuse −6b juures b = 3.

−6b −6 × b. Selguse huvides kirjutame väljendi −6b laiendatud kujul ja asendada muutuja väärtus b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Näide 2. Leidke avaldise väärtus −6b juures b = −5

Kirjutame väljendi üles −6b laiendatud kujul

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Näide 3. Leidke avaldise väärtus −5a+b juures a = 3 Ja b = 2

−5a+b see on lühivorm −5 × a + b, nii et selguse huvides kirjutame avaldise −5×a+b laiendatud kujul ja asendada muutujate väärtused a Ja b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Mõnikord kirjutatakse tähed näiteks ilma koefitsiendita a või ab. Sel juhul on koefitsient ühtsus:

kuid traditsiooniliselt ühikut üles ei kirjutata, nii et nad lihtsalt kirjutavad a või ab

Kui tähe ees on miinus, siis on koefitsient arv −1 . Näiteks väljend −a tegelikult näeb välja −1a. See on miinus ühe ja muutuja korrutis a. See osutus järgmiselt:

−1 × a = −1a

Siin on väike konks. Väljenduses −a miinusmärk muutuja ees a tegelikult viitab "nähtamatule ühikule", mitte muutujale a. Seetõttu peaksite probleemide lahendamisel olema ettevaatlik.

Näiteks kui on antud väljend −a ja meil palutakse leida selle väärtus a = 2, siis koolis asendasime muutuja asemel kahega a ja sai vastuse −2 , keskendumata liiga palju sellele, kuidas see välja kukkus. Tegelikult korrutati miinus üks positiivse arvuga 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Kui on antud väljend −a ja sa pead leidma selle väärtuse a = −2, siis asendame −2 muutuja asemel a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Vigade vältimiseks võib esmalt nähtamatud ühikud selgesõnaliselt üles kirjutada.

Näide 4. Leidke avaldise väärtus abc juures a = 2 , b = 3 Ja c=4

Väljendus abc 1 × a × b × c. Selguse huvides kirjutame väljendi abc a, b Ja c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Näide 5. Leidke avaldise väärtus abc juures a=−2 , b=−3 Ja c=−4

Kirjutame väljendi üles abc laiendatud kujul ja asendada muutujate väärtused a, b Ja c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Näide 6. Leidke avaldise väärtus − abc juures a = 3, b = 5 ja c = 7

Väljendus − abc see on lühivorm −1 × a × b × c. Selguse huvides kirjutame väljendi − abc laiendatud kujul ja asendada muutujate väärtused a, b Ja c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Näide 7. Leidke avaldise väärtus − abc juures a=−2 , b=−4 ja c=−3

Kirjutame väljendi üles − abc laiendatud kujul:

−abc = −1 × a × b × c

Asendame muutujate väärtused a , b Ja c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kuidas koefitsienti määrata

Mõnikord peate lahendama ülesande, mille puhul peate määrama avaldise koefitsiendi. Põhimõtteliselt on see ülesanne väga lihtne. Piisab, kui oskad numbreid õigesti korrutada.

Avaldises oleva koefitsiendi määramiseks peate eraldi korrutama selles avaldises sisalduvad numbrid ja eraldi korrutama tähed. Saadud arvuline tegur on koefitsient.

Näide 1. 7m×5a×(−3)×n

Väljend koosneb mitmest tegurist. Seda on selgelt näha, kui kirjutate väljendi laiendatud kujul. Ehk siis teosed 7 m Ja 5a kirjutage see vormi 7×m Ja 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Rakendame korrutamise assotsiatiivset seadust, mis võimaldab korrutada tegureid mis tahes järjekorras. Nimelt korrutame eraldi numbrid ja eraldi tähed (muutujad):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = –105 meest

Koefitsient on −105 . Pärast lõpetamist on soovitatav korraldada täheosa tähestikulises järjekorras:

−105 hommikul

Näide 2. Määrake koefitsient avaldises: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koefitsient on 6.

Näide 3. Määrake koefitsient avaldises:

Korrutame numbrid ja tähed eraldi:

Koefitsient on −1. Pange tähele, et ühikut ei kirjutata üles, kuna koefitsienti 1 on tavaks mitte kirjutada.

Need pealtnäha kõige lihtsamad ülesanded võivad meiega väga julma nalja mängida. Sageli selgub, et koefitsiendi märk on valesti seatud: miinus on kas puudu või vastupidi, see on seatud asjata. Nende tüütute vigade vältimiseks tuleb seda heal tasemel õppida.

Lisab sõnasõnalistes väljendites

Mitme arvu liitmisel saadakse nende arvude summa. Numbreid, mis liidavad, nimetatakse liitmikeks. Termineid võib olla mitu, näiteks:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kui avaldis koosneb terminitest, on seda palju lihtsam hinnata, sest liitmine on lihtsam kui lahutamine. Kuid väljend võib sisaldada mitte ainult liitmist, vaid ka lahutamist, näiteks:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Selles avaldises on arvud 3 ja 5 alajaotused, mitte liitmised. Kuid miski ei takista meil lahutamist liitmisega asendamast. Siis saame jälle avaldise, mis koosneb terminitest:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Pole tähtis, et numbritel −3 ja −5 on nüüd miinusmärk. Peaasi, et kõik selle avaldise arvud on ühendatud liitmismärgiga, see tähendab, et avaldis on summa.

Mõlemad väljendid 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ja 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) võrdne sama väärtusega - miinus üks

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Seega ei kannata väljendi tähendus, kui asendame kuskil lahutamise liitmisega.

Samuti saate sõnasõnalistes avaldistes asendada lahutamise liitmisega. Näiteks kaaluge järgmist väljendit:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Muutujate mis tahes väärtuste jaoks a, b, c, d Ja s väljendid 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Ja 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) on võrdne sama väärtusega.

Peate olema valmis selleks, et kooliõpetaja või instituudi õpetaja võib helistada paarisarvudele (või muutujatele), mis ei ole liited.

Näiteks kui erinevus on tahvlile kirjutatud a − b, siis õpetaja seda ei ütle a on muinasjutt ja b- lahutatav. Ta nimetab mõlemad muutujad üheks üldiselt — tingimustele. Ja seda kõike vormi väljenduse tõttu a − b matemaatik näeb, kuidas summa a+(-b). Sel juhul saab avaldisest summa ja muutujad a Ja (-b) muutuvad terminiteks.

Sarnased terminid

Sarnased terminid- need on terminid, millel on sama täheosa. Mõelge näiteks väljendile 7a + 6b + 2a. Komponendid 7a Ja 2a on sama täheosa - muutuja a. Seega tingimused 7a Ja 2a on sarnased.

Tavaliselt lisatakse sarnased terminid avaldise lihtsustamiseks või võrrandi lahendamiseks. Seda operatsiooni nimetatakse tuues sarnaseid tingimusi.

Sarnaste terminite toomiseks tuleb liita nende terminite koefitsiendid ja saadud tulemus korrutada ühise täheosaga.

Näiteks esitame avaldises sarnased terminid 3a + 4a + 5a. Sel juhul on kõik terminid sarnased. Liidame nende koefitsiendid kokku ja korrutame tulemuse ühise täheosaga – muutujaga a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) × a = 12a

Tavaliselt mõeldakse sarnaseid termineid ja tulemus pannakse kohe kirja:

3a + 4a + 5a = 12a

Põhjuseks võib olla ka järgmine:

Muutujaid a oli 3, neile lisati veel 4 muutujat a ja 5 muutujat a. Selle tulemusena saime 12 muutujat a

Vaatame mitmeid näiteid sarnaste terminite toomisest. Arvestades, et see teema on väga oluline, paneme alguses iga pisiasja üksikasjalikult kirja. Hoolimata asjaolust, et siin on kõik väga lihtne, teeb enamik inimesi palju vigu. Enamasti tähelepanematusest, mitte teadmatusest.

Näide 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Liidame selle avaldise koefitsiendid kokku ja korrutame saadud tulemuse ühise täheosaga:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

disain (3 + 2 + 6 + 8) × a Te ei pea seda üles kirjutama, seega paneme vastuse kohe kirja

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Näide 2. Esitage avaldises sarnased terminid 2a+a

Teine ametiaeg a kirjutatud ilma koefitsiendita, aga tegelikult on koefitsient ees 1 , mida me ei näe, kuna seda pole salvestatud. Nii et väljend näeb välja selline:

2a + 1a

Nüüd esitame sarnased terminid. See tähendab, et liidame koefitsiendid ja korrutame tulemuse ühise täheosaga:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

2a + a = 3a

2a+a, võite mõelda teisiti:

Näide 3. Esitage avaldises sarnased terminid 2a-a

Asendame lahutamise liitmisega:

2a + (-a)

Teine ametiaeg (-a) kirjutatud ilma koefitsiendita, aga tegelikkuses näeb välja (−1a). Koefitsient −1 jällegi nähtamatu, kuna seda ei salvestata. Nii et väljend näeb välja selline:

2a + (−1a)

Nüüd tutvustame sarnaseid termineid. Liidame koefitsiendid ja korrutame tulemuse kogu täheosaga:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Tavaliselt kirjutatakse lühemalt:

2a − a = a

Sarnaste terminite andmine avaldises 2a-a Võite mõelda teisiti:

Seal oli 2 muutujat a, lahutage üks muutuja a ja selle tulemusena jäi ainult üks muutuja a

Näide 4. Esitage avaldises sarnased terminid 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Nüüd esitame sarnased terminid. Liidame koefitsiendid ja korrutame tulemuse kogu täheosaga

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

On väljendeid, mis sisaldavad mitut sarnaste terminite rühma. Näiteks 3a + 3b + 7a + 2b. Selliste avaldiste puhul kehtivad samad reeglid, mis teiste puhul, nimelt koefitsientide liitmine ja tulemuse korrutamine ühise täheosaga. Kuid vigade vältimiseks on see mugav erinevad rühmad Terminid on esile tõstetud erinevate joontega.

Näiteks väljendis 3a + 3b + 7a + 2b need terminid, mis sisaldavad muutujat a, saab ühe reaga alla kriipsutada ja need terminid, mis sisaldavad muutujat b, saab rõhutada kahe reaga:

Nüüd saame esitada sarnaseid termineid. See tähendab, et lisage koefitsiendid ja korrutage saadud tulemus tähe koguosaga. Seda tuleb teha mõlema terminirühma puhul: muutujat sisaldavate terminite puhul a ja muutujat sisaldavate terminite puhul b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7) ×a + (3 + 2) × b = 10a + 5b

Jällegi kordame, väljend on lihtne ja sarnaseid termineid võib silmas pidada:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Näide 5. Esitage avaldises sarnased terminid 5a − 6a −7b + b

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Tõmbame sarnased terminid erinevate joontega alla. Muutujaid sisaldavad terminid a me kriipsutame ühe reaga alla ja terminid on muutujate sisud b, kriipsutage alla kahe reaga:

Nüüd saame esitada sarnaseid termineid. See tähendab, et lisage koefitsiendid ja korrutage saadud tulemus ühise täheosaga:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1) × b = −a + (−6b)

Kui avaldis sisaldab tavalisi numbreid ilma täheteguriteta, siis lisatakse need eraldi.

Näide 6. Esitage avaldises sarnased terminid 4a + 3a – 5 + 2b + 7

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Tutvustame sarnaseid termineid. Numbrid −5 Ja 7 ei sisalda tähttegureid, kuid need on sarnased terminid - need tuleb lihtsalt lisada. Ja termin 2b jääb muutumatuks, kuna see on ainus selles avaldises, millel on tähetegur b, ja sellele pole midagi lisada:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termineid saab järjestada nii, et need terminid, millel on sama täheosa, paikneksid avaldise samas osas.

Näide 7. Esitage avaldises sarnased terminid 5t+2x+3x+5t+x

Kuna avaldis on mitme termini summa, võimaldab see hinnata seda mis tahes järjekorras. Seetõttu muutujat sisaldavad terminid t, saab kirjutada avaldise algusesse ja muutujat sisaldavad terminid x väljendi lõpus:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nüüd saame esitada sarnased terminid:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Vastandarvude summa on null. See reegel töötab ka sõnasõnaliste väljendite puhul. Kui väljend sisaldab identseid termineid, kuid vastupidiste märkidega, saate neist vabaneda sarnaste terminite vähendamise etapis. Teisisõnu, eemaldage need lihtsalt avaldisest, kuna nende summa on null.

Näide 8. Esitage avaldises sarnased terminid 3t − 4t − 3t + 2t

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponendid 3t Ja (−3t) on vastandlikud. Vastandliikmete summa on null. Kui eemaldame avaldisest selle nulli, siis avaldise väärtus ei muutu, seega eemaldame selle. Ja me eemaldame selle, tõmmates lihtsalt tingimused läbi 3t Ja (−3t)

Selle tulemusena jääb meile väljend (−4t) + 2t. Sellesse väljendisse saate lisada sarnaseid termineid ja saada lõpliku vastuse:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2) × t = −2t

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

Väljendite lihtsustamine

"lihtsustada väljendit" ja allpool on väljend, mida tuleb lihtsustada. Väljendi lihtsustamine tähendab selle lihtsamaks ja lühemaks muutmist.

Tegelikult oleme juba avaldisi lihtsustanud, kui oleme murde vähendanud. Pärast redutseerimist muutus murd lühemaks ja hõlpsamini mõistetavaks.

Mõelge järgmisele näitele. Lihtsustage väljendit.

Seda ülesannet võib sõna otseses mõttes mõista järgmiselt: "Rakendage sellele väljendile kõik kehtivad toimingud, kuid muutke see lihtsamaks." .

Sel juhul saate murdosa vähendada, nimelt jagada murdosa lugeja ja nimetaja 2-ga:

Mida sa veel teha saad? Saate arvutada saadud murdosa. Siis saame kümnendmurruks 0,5

Selle tulemusena lihtsustati murdosa 0,5-ni.

Esimene küsimus, mida peate selliste probleemide lahendamisel endalt küsima, peaks olema "Mida saab teha?" . Sest on toiminguid, mida saate teha, ja on toiminguid, mida te ei saa teha.

Teine oluline punkt Pidage meeles, et avaldise väärtus ei tohiks pärast avaldise lihtsustamist muutuda. Tuleme tagasi väljendi juurde. See avaldis tähistab jaotust, mida saab teostada. Pärast seda jagamist saame selle avaldise väärtuse, mis on 0,5

Kuid me lihtsustasime väljendit ja saime uue lihtsustatud avaldise. Uue lihtsustatud avaldise väärtus on endiselt 0,5

Kuid proovisime ka avaldist arvutades lihtsustada. Selle tulemusena saime lõplikuks vastuseks 0,5.

Seega, olenemata sellest, kuidas me avaldist lihtsustame, on saadud avaldiste väärtus ikkagi 0,5. See tähendab, et lihtsustamine viidi läbi igas etapis õigesti. Just selle poole peaksimegi püüdlema väljendite lihtsustamisel – väljendi tähendus ei tohiks meie tegude tõttu kannatada.

Sageli on vaja sõnasõnalisi väljendeid lihtsustada. Nende puhul kehtivad samad lihtsustusreeglid, mis numbriliste avaldiste puhul. Kui avaldise väärtus ei muutu, saate teha mis tahes kehtivaid toiminguid.

Vaatame mõnda näidet.

Näide 1. Väljendi lihtsustamine 5,21 s × t × 2,5

Selle avaldise lihtsustamiseks saate korrutada numbreid eraldi ja tähti eraldi. See ülesanne on väga sarnane sellele, mida vaatasime koefitsiendi määramise õppimisel:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Nii et väljend 5,21 s × t × 2,5 lihtsustatult 13 025 st.

Näide 2. Väljendi lihtsustamine –0,4 × (–6,3b) × 2

Teine tükk (−6,3b) saab tõlkida meile arusaadavale vormile, nimelt kirjutada kujul ( −6,3) × b , seejärel korrutage numbrid eraldi ja tähed eraldi:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Nii et väljend –0,4 × (–6,3b) × 2 lihtsustatult 5.04b

Näide 3. Väljendi lihtsustamine

Kirjutame selle väljendi üksikasjalikumalt, et näha selgelt, kus on numbrid ja kus tähed:

Nüüd korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi:

Nii et väljend lihtsustatult −abc. Selle lahenduse võib lühidalt kirjutada:

Avaldiste lihtsustamisel saab murde vähendada lahendamise käigus, mitte päris lõpus, nagu tegime tavaliste murdude puhul. Näiteks kui lahendamise käigus puutume kokku avaldisega kujul , siis pole lugejat ja nimetajat üldse vaja arvutada ja teha midagi sellist:

Murdu saab vähendada, valides teguri nii lugejas kui ka nimetajas ning vähendades neid tegureid nende suurima ühisteguri võrra. Teisisõnu, kasutus, milles me ei kirjelda üksikasjalikult, milleks lugeja ja nimetaja jagunesid.

Näiteks lugejas on tegur 12 ja nimetajas saab tegurit 4 vähendada 4 võrra. Neli hoiame meeles ja jagades 12 ja 4 selle neljaga, kirjutame vastused nende numbrite kõrvale, olles need esmalt läbi kriipsutanud

Nüüd saate saadud väikesed tegurid korrutada. Sel juhul on neid vähe ja saate neid oma mõtetes korrutada:

Aja jooksul võite avastada, et konkreetse probleemi lahendamisel hakkavad väljendid “paksuks minema”, mistõttu on soovitatav kiirete arvutustega harjuda. See, mida saab mõistusega arvutada, tuleb mõistuses arvutada. Seda, mida saab kiiresti vähendada, tuleb kiiresti vähendada.

Näide 4. Väljendi lihtsustamine

Nii et väljend lihtsustatult

Näide 5. Väljendi lihtsustamine

Korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi:

Nii et väljend lihtsustatult mn.

Näide 6. Väljendi lihtsustamine

Kirjutame selle väljendi üksikasjalikumalt, et näha selgelt, kus on numbrid ja kus tähed:

Nüüd korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi. Arvutamise hõlbustamiseks saab kümnendmurru −6,4 ja segaarvu teisendada tavalisteks murdudeks:

Nii et väljend lihtsustatult

Selle näite lahenduse saab kirjutada palju lühemalt. See näeb välja selline:

Näide 7. Väljendi lihtsustamine

Korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi. Arvutamise hõlbustamiseks segaarv ja kümnendkohad 0,1 ja 0,6 saab teisendada tavalisteks murdudeks:

Nii et väljend lihtsustatult abcd. Kui jätate üksikasjad vahele, saab selle lahenduse kirjutada palju lühemalt:

Pange tähele, kuidas murdosa on vähendatud. Samuti on lubatud vähendada uusi tegureid, mis saadakse varasemate tegurite vähendamise tulemusena.

Nüüd räägime sellest, mida mitte teha. Avaldiste lihtsustamisel on rangelt keelatud korrutada numbreid ja tähti, kui avaldis on summa, mitte korrutis.

Näiteks kui soovite väljendit lihtsustada 5a+4b, siis ei saa te seda niimoodi kirjutada:

See on sama, kui meil palutaks liita kaks arvu ja me korrutaksime need liitmise asemel.

Mis tahes muutuja väärtuste asendamisel a Ja b väljendus 5a + 4b muutub tavaliseks arvväljendiks. Oletame, et muutujad a Ja b on järgmised tähendused:

a = 2, b = 3

Siis on avaldise väärtus 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Kõigepealt tehakse korrutamine ja seejärel liidetakse tulemused. Ja kui prooviksime seda avaldist numbrite ja tähtede korrutamisega lihtsustada, saaksime järgmise:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Selgub väljendi täiesti erinev tähendus. Esimesel juhul see töötas 22 , teisel juhul 120 . See tähendab väljendi lihtsustamist 5a+4b sooritati valesti.

Pärast avaldise lihtsustamist ei tohiks selle väärtus muutujate samade väärtustega muutuda. Kui mis tahes muutuja väärtuste asendamisel algsesse avaldisesse saadakse üks väärtus, siis pärast avaldise lihtsustamist tuleks saada sama väärtus, mis enne lihtsustamist.

Väljendiga 5a+4b tõesti ei saa midagi teha. See ei lihtsusta seda.

Kui avaldis sisaldab sarnaseid termineid, saab neid lisada, kui meie eesmärk on avaldist lihtsustada.

Näide 8. Väljendi lihtsustamine 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1) × a = 0,9a

või lühem: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Nii et väljend 0,3a−0,4a+a lihtsustatult 0,9a

Näide 9. Väljendi lihtsustamine −7,5a − 2,5b + 4a

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

või lühem −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Tähtaeg (−2,5b) jäi muutmata, sest polnud millegagi panna.

Näide 10. Väljendi lihtsustamine

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

Koefitsient oli arvutamise hõlbustamiseks.

Nii et väljend lihtsustatult

Näide 11. Väljendi lihtsustamine

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

Nii et väljend lihtsustatud kuni .

Selles näites oleks õigem lisada esimene ja viimane koefitsient. Sel juhul oleks meil lühike lahendus. See näeks välja selline:

Näide 12. Väljendi lihtsustamine

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

Nii et väljend lihtsustatult .

Termin jäi muutmata, kuna sellele polnud midagi lisada.

Selle lahenduse saab kirjutada palju lühemalt. See näeb välja selline:

Lühilahendus jättis vahele etapid, mille kohaselt asendati lahutamine liitmisega ja kirjeldati üksikasjalikult, kuidas murded taandati ühiseks nimetajaks.

Teine erinevus on see, et sisse üksikasjalik lahendus vastus näeb välja selline , kuid lühidalt kui . Tegelikult on need samad väljendid. Erinevus seisneb selles, et esimesel juhul asendatakse lahutamine liitmisega, sest alguses, kui panime lahenduse detailselt kirja, asendasime igal võimalusel lahutamise liitmisega ja see asendus jäi vastuse jaoks alles.

Identiteedid. Identselt võrdsed väljendid

Kui oleme mis tahes väljendit lihtsustanud, muutub see lihtsamaks ja lühemaks. Lihtsustatud avaldise õigsuse kontrollimiseks piisab, kui asendada kõik muutuja väärtused esmalt eelmisega, mida oli vaja lihtsustada, ja seejärel uuega, mida oli vaja lihtsustada. Kui mõlema avaldise väärtus on sama, on lihtsustatud avaldis tõene.

Mõelgem lihtsaim näide. Olgu vaja väljendit lihtsustada 2a × 7b. Selle avaldise lihtsustamiseks saate numbreid ja tähti eraldi korrutada:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Kontrollime, kas oleme avaldist õigesti lihtsustanud. Selleks asendame muutujate mis tahes väärtused a Ja b esmalt esimesse avaldisesse, mida oli vaja lihtsustada, ja seejärel teise, mida lihtsustati.

Olgu muutujate väärtused a , b saab olema järgmine:

a = 4, b = 5

Asendame need esimese väljendiga 2a × 7b

Nüüd asendame samad muutuja väärtused avaldises, mis tulenes lihtsustamisest 2a × 7b, nimelt väljendis 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Näeme seda millal a = 4 Ja b = 5 esimese avaldise väärtus 2a × 7b ja teise väljendi tähendus 14ab võrdne

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Sama juhtub kõigi teiste väärtustega. Näiteks lase a = 1 Ja b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Seega avaldise muutujate mis tahes väärtuste jaoks 2a × 7b Ja 14ab on võrdsed sama väärtusega. Selliseid väljendeid nimetatakse identselt võrdsed.

Me järeldame, et väljendite vahel 2a × 7b Ja 14ab võite panna võrdusmärgi, kuna need on võrdsed sama väärtusega.

2a × 7b = 14ab

Võrdsus on mis tahes avaldis, mis on ühendatud võrdusmärgiga (=).

Ja vormi võrdsus 2a × 7b = 14ab helistas identiteet.

Identiteet on võrdsus, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta.

Muud identiteetide näited:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Jah, meie uuritud matemaatikaseadused on identiteedid.

Tõelised arvulised võrdsused on samuti identiteedid. Näiteks:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Otsustades raske ülesanne Arvutamise hõlbustamiseks asendatakse keeruline avaldis lihtsama avaldisega, mis on identselt võrdne eelmisega. Seda asendust nimetatakse väljendi identne teisendus või lihtsalt väljenduse muutmine.

Näiteks lihtsustasime väljendit 2a × 7b, ja sai lihtsama väljendi 14ab. Seda lihtsustust võib nimetada identiteedi teisendamiseks.

Sageli võite leida ülesande, mis ütleb "tõesta, et võrdsus on identiteet" ja siis antakse tõestamist vajav võrdsus. Tavaliselt koosneb see võrdsus kahest osast: võrdsuse vasak- ja parempoolsest osast. Meie ülesanne on teostada identiteedi teisendusi ühe võrdsuse osaga ja saada teine ​​osa. Või tehke identsed teisendused võrdsuse mõlema poolega ja veenduge, et võrdsuse mõlemad pooled sisaldavad samu avaldisi.

Näiteks tõestame, et võrdsus 0,5a × 5b = 2,5ab on identiteet.

Lihtsustame selle võrdsuse vasakut poolt. Selleks korrutage numbrid ja tähed eraldi:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Väikese identiteeditransformatsiooni tulemusena võrdus võrdsuse vasak pool võrdsuse parema poolega. Nii et oleme tõestanud, et võrdsus 0,5a × 5b = 2,5ab on identiteet.

Ühesugustest teisendustest õppisime arve liitma, lahutama, korrutama ja jagama, murdu vähendama, sarnaseid termineid liitma ja ka mõningaid avaldisi lihtsustama.

Kuid need ei ole kõik identsed teisendused, mis matemaatikas eksisteerivad. On palju rohkem identseid teisendusi. Tulevikus näeme seda rohkem kui üks kord.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Kas teile tund meeldis?
Liituge meiega uus grupp VKontakte ja hakkate uute õppetundide kohta teatisi saama

Algebralist avaldist, milles koos liitmise, lahutamise ja korrutamise operatsioonidega kasutatakse ka tähtavaldisteks jagamist, nimetatakse murdalgebraliseks avaldiseks. Sellised on näiteks väljendid

Algebraliseks murdeks nimetatakse algebralist avaldist, mis on kahe täisarvulise algebralise avaldise (näiteks monomiaalid või polünoomid) jagatise kujuga. Sellised on näiteks väljendid

Kolmas väljend).

Murdalgebraavaldiste identsed teisendused on enamasti mõeldud nende vormis esitamiseks algebraline murd. Ühise nimetaja leidmiseks kasutatakse murdude nimetajate faktoriseerimist – termineid nende vähima ühiskordse leidmiseks. Algebraliste murdude vähendamisel võidakse rikkuda avaldiste ranget identiteeti: on vaja välja jätta suuruste väärtused, mille juures taandamise tegur muutub nulliks.

Toome näiteid murdalgebraavaldiste identsetest teisendustest.

Näide 1: avaldise lihtsustamine

Kõiki termineid saab taandada ühiseks nimetajaks (mugav on muuta märki viimase liikme nimetajas ja märki selle ees):

Meie avaldis on kõigi väärtuste jaoks võrdne ühega, välja arvatud need väärtused, see on määratlemata ja murdosa vähendamine on ebaseaduslik).

Näide 2. Esitage avaldis algebralise murruna

Lahendus. Avaldist võib võtta ühise nimetajana. Leiame järjestikku:

Harjutused

1. Leidke määratud parameetriväärtuste algebraavaldiste väärtused:

2. Faktoriseeri.