1. Lineaarsus. Fourier' teisendus on üks lineaarsetest integraaltehtetest, s.t. signaali summa spekter võrdne summaga nende signaalide spektrid.
a n s n (t) ? a n S n (n)
2. Pariteedi omadused
Teisendused on määratud laienemise koosinus- (paaris-, reaalne) ja siinusosa (paaritu, imaginaarne) ning otseste ja pöördteisenduste sarnasus.
- 3. Funktsiooni argumendi muutmine (signaali tihendamine või laiendamine) toob kaasa selle Fourier' teisenduse argumendi pöördvõrdelise muutuse ja selle mooduli pöördvõrdelise muutuse.
- 4. Viivitusteoreem. Signaali viivitus (nihe, nihe) funktsiooni argumendis intervalliga t o viib spektri faasi-sagedusfunktsiooni (kõikide harmooniliste faasinurga) muutumiseni summas - št o ilma moodulit muutmata. spektri (amplituudifunktsioon).
5. Tuletise teisendus (signaali diferentseerimine):
s(t) = d/dt = d/dt =Y(уж) dш= = jш Y(уж) exp(jшt) dш jш Y(уж).
Seega kuvatakse signaali diferentseerumine spektripiirkonnas, korrutades lihtsalt signaali spektri arvuga signaali diferentseerimise operaator sageduspiirkonnas jш, mis võrdub spektri iga harmoonilise eristamisega. Korrutamine jн-ga viib tuletissignaali spektri rikastamiseni kõrgsageduslike komponentidega (võrreldes algse signaaliga) ja hävitab nullsagedusega komponendid.
6. Integraali teisendus sageduspiirkonnas oleva signaali teadaoleva signaalispektriga saab saada järgmiste lihtsate kaalutluste põhjal. Kui s(t) = d/dt jшY(у) = S(у), siis tuleb sooritada ka pöördtehte: y(t) = s(t) dt Y(у) = S(у)/jш. See tähendab:
s(t)dt ? (1/j w)S(w).
Integratsioonioperaator sageduspiirkonnas (1/j w) kui w >1 nõrgendab kõrgeid sagedusi amplituudispektris ja kui w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных.
7. Signaali konvolutsiooni teisendus y(t) = s(t) * h(t):
Y(у) =y(t) exp(-jшt) dt =s(ф) h(t- ф) exp(-jшt) dфdt
Y(φ) =s(φ) dφ h(t-φ) exp(-jφt) dt.
Vastavalt viivitusteoreemile:
h(t- ph) exp(-jscht) dt = H(t- ph) exp(-jscht).
Y(sq) =H(s) s(f) exp(-js f) df = H(s)·S(s).
s(t)*h(t)?S(w)H(w).
Seega funktsioonide konvolutsiooni koordinaatkujul kuvatakse sagedusesitusena nende funktsioonide Fourier kujutiste korrutisega.
8. Signaalide y(t) = s(t) h(t) korrutise teisendus:
Y(?) =s(t) h(t) exp(-j?t) dt =s(t) [(1/2?)H(?") exp(j?"t) d?"] dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(-j(a-?")t) d"dt = (1/2?)H(?") d"s(t) ) exp(-j(a-?")t) dt = (1/2?)H(?") S(a-?") d?" = (1/2?) H(a) * S(a).
Koordinaatide kujul olevate funktsioonide korrutis kuvatakse nende funktsioonide Fourier kujutiste konvolutsioonina sageduses.
9. Signaali korrutamine harmoonilise funktsiooniga täidab signaali harmoonilise sagedusega ja genereerib raadioimpulsi.
10. Võimsusspektrid. Kui funktsioonil s(t) on Fourier' teisendus S(?), siis määratakse selle funktsiooni võimsusspektri tihedus avaldiste abil:
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |S(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?).
Võimsusspekter on tõeline mittenegatiivne paarisfunktsioon, mida väga sageli nimetatakse energiaspektriks. Võimsusspekter kui signaalispektri mooduli ruut ei sisalda sageduskomponentide faasiteavet ja seetõttu on signaali rekonstrueerimine võimsusspektrist võimatu. See tähendab ka seda, et erinevate faasiomadustega signaalidel võivad olla samad võimsusspektrid. Eelkõige ei mõjuta signaali nihe selle võimsusspektrit. matemaatiline meetod Fourier' teisendus
11. Parsevali võrdsus. Signaali spektri koguenergia:
E s =W(f)df=|S(f)| 2 df.
Kuna koordinaatide ja sageduste esitused on sisuliselt vaid sama signaali erinevad matemaatilised esitused, peab ka signaali energia kahes esituses olema võrdne, mis tähendab Parsevali võrdsust:
|s(t)| 2 dt =|S(f)| 2 df,
need. signaali energia on võrdne selle sagedusspektri mooduli integraaliga - signaali kõigi sageduskomponentide energiate summaga.
Olles õppinud arvutama üsna lihtsate, kuid sageli esinevate impulsssignaalide spektraalseid tihedusi, jätkakem Fourier' teisenduse omaduste süstemaatilise uurimisega.
Fourier' teisenduse lineaarsus.
See kõige olulisem omadus on sõnastatud järgmiselt: kui on olemas teatud hulk signaale, siis signaalide kaalutud summa teisendatakse Fourier' järgi järgmiselt:
Siin on suvalised arvulised koefitsiendid.
Valemi (2.26) tõestamiseks tuleks signaalide summa asendada Fourier' teisendusega (2.16).
Spektritiheduse tegelike ja imaginaarsete osade omadused.
Laskma olla signaal, võttes tegelikud väärtused. Selle spektraaltihedus on üldiselt keeruline:
Asendame selle avaldise Fourier' pöördteisenduse valemiga (2.18):
Selleks, et sellise topelttransformatsiooniga saadud signaal jääks reaalseks, on vaja seda nõuda
See on võimalik ainult siis, kui signaali spektraaltiheduse tegelik osa on paaris ja imaginaarne osa on sageduse paaritu funktsioon:
Ajanihke signaali spektri tihedus.
Oletame, et signaali vastavus on teada, vaatleme sama, kuid sekundite hiljem esinevat signaali. Võttes punkti kui aja uut alguspunkti, tähistame seda nihutatud signaali kui Näitame seda
Tõestus on väga lihtne. Tõesti,
Kompleksarvu moodul on mis tahes väärtuse korral võrdne ühega, seetõttu ei sõltu signaali moodustavate elementaarharmooniliste komponentide amplituudid selle asukohast ajateljel. Teave selle signaali karakteristiku kohta sisaldub selle spektraaltiheduse (faasispektri) argumendi sagedussõltuvuses.
Signaali spektraaltiheduse sõltuvus ajamõõtmise skaala valikust.
Oletame, et algne signaal allub ajaskaala muutumisele. See tähendab, et aja t rolli mängib uus sõltumatu muutuja (k on mingi reaalarv). Kui see juhtub, toimub algsignaali tihendamine; kui signaal on õigel ajal “venitatud”.
Selgub, et kui siis
Tõesti,
millest järgneb valem (2.29).
Nii et näiteks signaali õigeaegseks tihendamiseks, säilitades selle kuju, on vaja samad spektrikomponendid jaotada laiemale sagedusvahemikule koos nende amplituudide vastava proportsionaalse vähenemisega.
Järgmine probleem on tihedalt seotud siin käsitletava probleemiga.
Antud impulss, mis erineb segmendi nullist ja mida iseloomustab spektraalne tihedus, on vaja leida "ajaliselt ümberpööratud" signaali spektraalne tihedus, mis on algse impulsi võnkumise "peegelkoopia". Sest see on ilmselge
Pärast muutuja muutmist leiame selle
Tuletise ja määramata integraali spektraaltihedus.
Olgu antud signaal s(t) ja selle spektraaltihedus. Uurime uut signaali ja seame eesmärgi leida selle spektraaltihedus - .
A-prioor,
Fourier' teisendus on lineaarne tehe, mis tähendab, et võrdsus (2.31) kehtib ka spektraaltiheduse suhtes. Võttes arvesse (2.28), saame
Esitades eksponentsiaalfunktsiooni Taylori seeriaga: asendades selle seeria (2.32) ja piirdudes kahe esimese liikmega, leiame
Diferentseerimisega suureneb signaali muutumise kiirus ajas. Selle tulemusena on tuletise spektri mooduli väärtused kõrgsageduspiirkonnas võrreldes algsignaali spektri mooduliga suuremad.
Valem (2.33) on üldistatud järgu tuletise spektri korral. Seda on lihtne tõestada, kui , siis
Seega on signaali diferentseerimine aja suhtes samaväärne lihtsa algebralise operatsiooniga, mille käigus korrutatakse spektraaltihedus teguriga, mistõttu on tavaks öelda, et imaginaararv on sageduspiirkonnas töötav diferentseerimisoperaator.
Vaadeldav funktsioon on funktsiooni suhtes antiderivaat (määramata integraal) (2.33) järeldub formaalselt, et antiderivaati spekter
Seega toimib kordaja sageduspiirkonnas integreerimisoperaatorina.
Signaali spektraaltihedus integraatori väljundis.
Paljudes raadiotehnika seadmetes kasutatakse nn integraatoreid - füüsilisi süsteeme, mille väljundsignaal on võrdeline sisendtoimingu integraaliga. Vaatleme konkreetselt integraatorit, mis teisendab sisendsignaali väljundsignaaliks vastavalt järgmisele seadusele:
Siin on fikseeritud parameeter.
Punktis (2.36) sisalduv kindel integraal on ilmselgelt võrdne signaali antiderivaadi kahe väärtuse erinevusega, millest üks arvutatakse argumendiga t ja teine argumendiga . Kasutades seoseid (2.28) ja (2.35), saame valemi signaalide spektraaltiheduse seose kohta sisendis ja väljundis:
Sulgudes olev tegur on igal sagedusel piiratud, samas kui nimetaja suurus suureneb lineaarselt sageduse kasvades. See näitab, et kõnealune integraator toimib madalpääsfiltrina, summutades sisendsignaali kõrgsageduslikke spektraalkomponente.
Nagu Fourier' seeria teooriast järeldub, on see rakendatav perioodiliste funktsioonide ja sõltumatute muutujate piiratud variatsioonivahemikuga funktsioonide puhul (kuna seda intervalli saab funktsiooni perioodilise pikendamisega laiendada kogu teljele). Perioodilised funktsioonid on aga praktikas suhteliselt haruldased. Selline olukord nõuab üldisema matemaatilise aparaadi loomist mitteperioodiliste funktsioonide käsitlemiseks, nimelt Fourier' integraali ja selle põhjal Fourier' teisenduse.
Vaatame mitteperioodilist funktsiooni f(t) perioodilise funktsiooni piiriks perioodiga T=2l l®? puhul.
Perioodilist funktsiooni perioodiga 2l saab esitada Fourier' seeria laiendusena (kasutame selle kompleksset vormi)
kus koefitsientide avaldised on kujul:
Tutvustame järgmist sageduste tähistust:
Kirjutame laiendus Fourier' reas ühe valemi kujul, asendades (1) koefitsientide (2) ja sageduse (3) avaldise:
Perioodilise funktsiooni diskreetne spekter perioodiga 2l
Tähistame spektri punktide vahelist minimaalset kaugust, mis on võrdne võnkumiste põhisagedusega, s.o.
ja sisestage see märge punktis 4:
Selles tähistuses sarnaneb Fourier' seeria funktsiooni integraalsummaga.
Kas lähete piirini T=2l®? mitteperioodilisele funktsioonile leiame, et sagedusvahemik muutub lõpmatult väikeseks (tähistame seda kui dw) ja spekter muutub pidevaks. Matemaatilisest vaatepunktist vastab see diskreetse hulga üle summeerimise asendamisele vastava muutuja üle lõpmatute piiridega integreerimisega.
See avaldis on Fourier' integraali valem.
2.2 Fourier' teisenduse valemid.
Fourier' integraali on mugav esitada kahe valemi superpositsioonina:
Funktsiooni F(w), mis on võrreldav funktsiooni f(t) esimese valemi järgi, nimetatakse selle funktsiooniks Fourier' teisendus. Omakorda kutsutakse teist valemit, mis võimaldab selle pildilt leida algse funktsiooni Fourier pöördteisendus. Pöörame tähelepanu Fourier' otse- ja pöördteisenduste valemite sümmeetriale kuni konstantse teguri 1/2p ja märgi täpsusega eksponendis.
Sümboolselt tähistatakse Fourier' otse- ja pöördteisendusi kui f(t)~F(w).
Võttes analoogia trigonomeetrilise Fourier' seeriaga, võime jõuda järeldusele, et Fourier' kujutis (6) on Fourier' koefitsiendi analoog (vt (2)) ja Fourier' pöördteisendus (7) on laienduse analoog. funktsioonist trigonomeetriliseks Fourier' jaaks (vt (1) )).
Pange tähele, et kordaja võib pöördteisenduse asemel omistada otsesele Fourier' teisendusele või teha sümmeetrilisi tegureid otseste ja pöördteisenduste jaoks. Peaasi, et mõlemad teisendused koos moodustavad Fourier' integraali valemi (5), s.t. konstantsete tegurite korrutis otsese ja pöördteisenduse ajal peab olema võrdne.
Pange tähele, et rakenduslikel eesmärkidel pole mugavam mitte nurksagedus w, vaid sagedus n, mis seostub esimesega seosega w = 2pn. ja mõõdetuna hertsides (Hz). Selle sageduse osas näevad Fourier' teisendusvalemid välja järgmised:
Sõnastagem ilma tõestuseta piisavad tingimused Fourier' teisenduse olemasoluks.
- 1) f(t) - piiratud t?(-?,?);
- 2) f(t) - absoluutselt integreeritav t?(-?,?);
- 3) Funktsiooni f(t) katkestuspunktide arv, maksimum ja miinimum on lõplik.
Teiseks piisavaks tingimuseks on nõue, et funktsioon peab olema oma reaalteljel ruutintegreeritav, mis füüsiliselt vastab lõpliku signaali võimsuse nõudele.
Seega, kasutades Fourier' teisendust, on meil signaali esitamiseks kaks võimalust: aeg f(t) ja sagedus F(w).
- 2.3 Fourier' teisenduse omadused.
- 1. Lineaarsus.
Kui f(t)~F(w),g(t)~G(w),
siis аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Tõestus põhineb integraalide lineaarsetel omadustel.
- 2. Pariteet.
- 2.1 Kui f(t) on reaalne paarisfunktsioon ja f(t)~F(w), siis on ka F(w) reaalne paarisfunktsioon.
Tõestus:
Kasutades definitsiooni (6) ja Euleri valemit, saame
- - ühtlane funktsioon.
- 2.2 Kui f(t) on paaritu reaalfunktsioon, siis F(w) on paaritu kujuteldav funktsioon.
2.3 Kui f(t) on suvaline reaalfunktsioon, on F(w) paaris reaalosa ja paaritu kujutlusosa.
Tõestus:
Pariteedi 2 omadused saab kokku võtta järgmise valemiga:
3. Sarnasus
Kui f(t)~F(w), siis f(at)~.
- 4. Eelarvamus.
- 4.1 Kui f(t)~F(w), siis f(t-a)~.
Need. viivitusaeg vastab korrutamisele kompleksse eksponentsiaaliga sageduspiirkonnas.
4.2 Kui f(t)~F(w), siis~.
Need. sagedusnihe vastab korrutamisele kompleksse eksponentsiaaliga ajapiirkonnas.
- 5. Kui f(t)~F(w), siis
- 5,1 f’(t)~iwF(w),~
kui f(t)-l on n pidevat tuletist.
Tõestus:
kui F(w)-l on n pidevat tuletist.
Tõestus:
- 2.4 Fourier' teisenduse leidmise olulisemad näited.
kus on ristkülikukujuline impulss
Samal ajal võtsime arvesse, et see on Poissoni integraal.
Viimase integraali leidmist saab seletada järgmiselt. Integreerimiskontuur C on sirgjoon komplekstasandil (t,w), mis on paralleelne reaalteljega (w on konstantne arv). Suletud ahelaga seotud skalaarfunktsiooni integraal on null. Moodustame suletud ahela, mis koosneb sirgest C ja reaalteljest t, mis sulgub lõpmatuseni. Sest lõpmatuse korral kaldub integrandi funktsioon nulli, siis on integraalid piki sulgemiskõveraid võrdsed nulliga. See tähendab, et integraal piki sirget C on võrdne integraaliga, mis on võetud piki positiivses suunas kulgevat tegelikku reaaltelge.
2 .5 Signaali aeg-sageduse esituse määramatuse põhimõte.
Kasutades ristkülikukujulise impulsi näidet, näitame kehtivust määramatuse põhimõte mis seisneb selles, et impulsi on võimatu ajas samaaegselt lokaliseerida ja selle sageduse selektiivsust suurendada.
Vastavalt punktile 5 on ristkülikukujulise impulsi laius ajapiirkonnas DT võrdne 2T-ga. Ristkülikukujulise impulsi Fourier' kujutise laiuseks võtame sageduspiirkonna keskse küüru külgnevate nullide vahelise kauguse. Funktsiooni esimesed nullid on juures.
Nii saame
Seega, mida rohkem on impulss ajas lokaliseeritud, seda rohkem on selle spekter määrdunud. Ja vastupidi, spektri vähendamiseks oleme sunnitud impulssi õigel ajal venima. See põhimõte kehtib igasuguse impulsi korral ja on universaalne.
2.6 Konvolutsioon ja selle omadused.
Konvolutsioon on signaali filtreerimisel peamine protseduur.
Nimetagem funktsiooni h(t) mitteperioodiliste funktsioonide f(t) ja h(t) konvolutsiooniks, kui see on defineeritud järgmise integraalina:
Tähistame seda fakti sümboolselt kui.
Konvolutsioonioperatsioonil on järgmised omadused.
- 1. Kommutatiivsus.
Kommutatiivsuse tõestuse saab muutuja t-t=t muutmisega
- 2. Assotsiatiivsus
Tõestus:
- 3. Distributiivsus
Selle omaduse tõestus tuleneb otseselt integraalide lineaarsetest omadustest.
Signaalitöötluse jaoks on Fourier' meetodi puhul (pärast Fourier' teisendusvalemeid) kõige olulisemad konvolutsiooniteoreemid. Kasutame w asemel sagedust n, sest selles esituses olevad konvolutsiooniteoreemid on vastastikku ümberpööratavad.
2.7 Konvolutsiooniteoreemid
Esimene konvolutsiooniteoreem.
Funktsioonide otsekorrutise Fourier' teisendus on võrdne teisenduste konvolutsiooniga
Tõestus:
Las siis olla. Kasutades Fourier' pöördteisendust ja muutes integreerimise järjekorda, saame:
Nurksageduse w osas on sellel teoreemil vähem universaalne vorm
Teine konvolutsiooniteoreem.
Funktsioonide konvolutsiooni Fourier' teisendus on võrdne teisenduste otsekorrutisega.
Tõestus:
Näiteks kaaluge ristkülikukujulise impulsi keerdumist
Tingimuse järgi f(t)=0 t-s<-T и приt>T. Samamoodi f(t-t)=0 jaoks
t-t<-T и при t-t>T, st. att>t+T ja att kell -2T Kombineerides mõlemad juhtumid, saame avaldise konvolutsiooni jaoks: Seega on ristkülikukujulise impulsi konvolutsioon iseendaga kolmnurkimpulss (mõnikord nimetatakse seda funktsiooni L-funktsiooniks). Konvolutsiooniteoreemi kasutades saame hõlpsasti L-funktsiooni Fourier' teisenduse Praktikas vastavad füüsilised olukorrad funktsioonidele, mis on võrdsed nulliga t juures<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Leia funktsioonide f(t) ja g(t) konvolutsioonid sest f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Tutvustame kahe funktsiooni f(t) ja g(t) vastastikuse korrelatsiooni mõistet. kus t on ajaline nihe, mis intervallis (-?,?) pidevalt muutub. Oluline mõiste on funktsiooni korrelatsioon iseendaga, mida nimetatakse autokorrelatsiooniks. Vaatleme signaali võimsuse ja energia mõistet. Nende mõistete tähtsust seletatakse asjaoluga, et igasugune teabeedastus on tegelikult energia ülekanne. Vaatleme suvalist komplekssignaali f(t). Hetksignaali võimsus p(t) määratakse võrdsusega Koguenergia võrdub hetkevõimsuse integraaliga kogu signaali eksisteerimise perioodi jooksul: Signaali võimsust võib pidada ka sageduse funktsiooniks. Sel juhul tähistatakse hetkelist sagedusvõimsust kui. Signaali koguenergia arvutatakse valemiga Signaali koguenergia ei tohiks sõltuda valitud esitusest. Aja ja sageduse esituste põhjal arvutatud energia koguväärtused peavad ühtima. Seetõttu, võrdsustades paremad küljed, saame võrdsuse: See võrdsus moodustab Parsevali teoreemi mitteperioodiliste signaalide kohta. Selle teoreemi täpne tõestus antakse teema „Üldistatud funktsioonide” uurimisel. Samamoodi, väljendades kahe erineva signaali f(t) ja g(t) interaktsioonienergiat ajas ja sageduses, saame: Selgitame välja Parsevali teoreemi matemaatilise tähenduse. Matemaatilisest vaatenurgast on integraal funktsioonide f(t) ja g(t) skalaarkorrutis, mida tähistatakse kui (f,g). Suurust nimetatakse funktsiooni f(t) normiks ja seda tähistatakse kui. Seetõttu järeldub Parsevali teoreemist, et skalaarkorrutis on Fourier' teisenduse korral muutumatu, s.t. Hetkeline signaali võimsus, mida vaadeldakse sageduse funktsioonina, s.o. , on veel üks üldtunnustatud nimi - võimsusspekter. Võimsusspekter on spektraalanalüüsi peamine matemaatiline tööriist, mis võimaldab määrata signaali sageduskoostist. Lisaks signaali võimsusspektrile kasutatakse praktikas amplituudi- ja faasispektreid, mis on määratletud vastavalt järgmiselt: Signaali võimsusspektri tihedus f(t) on võrdne autokorrelatsioonifunktsiooni Fourier' teisendusega Ristspektriliste signaalide f(t) ja g(t) tihedus on võrdne korrelatsioonifunktsiooni Fourier' teisendusega. Mõlemad väited saab ühendada üheks: Spektri tihedus on võrdne korrelatsioonifunktsiooni Fourier' teisendusega. Tõestus antakse hiljem pärast üldistatud funktsiooni mõiste tutvustamist. Usun, et üldiselt on kõik teadlikud sellise imelise matemaatilise tööriista nagu Fourier' teisendus olemasolust. Ülikoolides õpetatakse seda aga millegipärast nii halvasti, et suhteliselt vähesed saavad aru, kuidas see transformatsioon käib ja kuidas seda õigesti kasutada tuleks. Samal ajal on selle teisenduse matemaatika üllatavalt ilus, lihtne ja elegantne. Kutsun kõiki üles õppima veidi rohkem Fourier' teisenduse ja sellega seotud teema kohta, kuidas analoogsignaale saab tõhusalt teisendada arvutusliku töötlemise jaoks digitaalseteks signaalideks. Ilma keerulisi valemeid ja Matlabi kasutamata püüan vastata järgmistele küsimustele: Lähtun eeldusest, et lugeja saab aru, mis on integraal, kompleksarv (samuti selle moodul ja argument), funktsioonide konvolusioon, pluss vähemalt "käeline" ettekujutus Diraci delta funktsioonist on. Kui te ei tea, pole probleemi, lugege ülalolevaid linke. Selles tekstis pean "funktsioonide korrutise" all silmas "punktipõhist korrutamist". Peaksime ilmselt alustama sellest, et tavaline Fourier' teisendus on mingi asi, mis, nagu nimest võib aimata, teisendab ühe funktsiooni teiseks, st seostab reaalse muutuja x(t) iga funktsiooni oma funktsiooniga. spekter või Fourier kujutis y (w): Kui tuua analoogiaid, siis tähenduselt sarnase teisenduse näide võib olla näiteks diferentseerimine, funktsiooni muutmine selle tuletiseks. See tähendab, et Fourier' teisendus on sisuliselt sama toiming, mis tuletise võtmine ja seda tähistatakse sageli sarnaselt, tõmmates funktsiooni kohale kolmnurkse "korgi". Vaid erinevalt diferentseerimisest, mida saab defineerida ka reaalarvude jaoks, "töötab" Fourier' teisendus alati üldisemate kompleksarvudega. Seetõttu tekib selle teisenduse tulemuste kuvamisel pidevalt probleeme, kuna kompleksarvud määratakse reaalarvudega töötaval graafikul mitte ühe, vaid kahe koordinaadiga. Kõige mugavam viis on reeglina esitada kompleksarvud mooduli ja argumendi kujul ning joonistada need eraldi kahe eraldi graafikuna: Kompleksväärtuse argumendi graafikut nimetatakse sel juhul sageli "faasispektriks" ja mooduli graafikut nimetatakse sageli "amplituudispektriks". Amplituudispekter pakub tavaliselt palju suuremat huvi ja seetõttu jäetakse spektri "faasi" osa sageli vahele. Selles artiklis keskendume ka "amplituudiga" seotud asjadele, kuid me ei tohiks unustada graafiku puuduva faasiosa olemasolu. Lisaks joonistatakse tavapärase kompleksväärtuse mooduli asemel sageli selle kümnendlogaritm korrutatuna 10-ga. Tulemuseks on logaritmiline graafik, mille väärtused kuvatakse detsibellides (dB). Pange tähele, et logaritmilise graafiku mitte väga negatiivsed arvud (-20 dB või vähem) vastavad "tavalise" graafiku peaaegu nullile. Seetõttu kaovad sellistel graafikutel erinevate spektrite pikad ja laiad “sabad”, kui neid kuvatakse “tavalistes” koordinaatides, reeglina praktiliselt ära. Sellise esmapilgul kummalise esituse mugavus tuleneb asjaolust, et erinevate funktsioonide Fourier-kujutised tuleb sageli omavahel korrutada. Sellise kompleksse väärtusega Fourier kujutiste punktkorrutise korral liidetakse nende faasispektrid ja korrutatakse nende amplituudspektrid. Esimest on lihtne teha, teist aga suhteliselt raske. Amplituudide korrutamisel amplituudi logaritmid aga liidetakse, nii et logaritmilisi amplituudigraafikuid saab sarnaselt faasigraafikutele lihtsalt punktide kaupa liita. Lisaks on praktilistes probleemides sageli mugavam töötada mitte signaali "amplituudiga", vaid selle "võimsusega" (amplituudi ruut). Logaritmilisel skaalal näevad mõlemad graafikud (amplituud ja võimsus) identsed ja erinevad ainult koefitsiendi poolest - kõik võimsusgraafiku väärtused on täpselt kaks korda suuremad kui amplituudi skaalal. Sellest tulenevalt ei saa võimsuse jaotuse graafiku joonistamiseks sageduse järgi (detsibellides) midagi ruudukujuliseks muuta, vaid arvutada kümnendlogaritm ja korrutada see 20-ga. On sul igav? Oodake veel veidi, me lõpetame peagi artikli igava osaga, mis selgitab, kuidas graafikuid tõlgendada :). Kuid enne seda tuleb mõista ühte äärmiselt olulist asja: kuigi kõik ülaltoodud spektrigraafikud on koostatud mõne piiratud väärtusvahemiku jaoks (eriti positiivsete arvude jaoks), jätkavad kõik need graafikud tegelikult pluss- ja miinus lõpmatuseni. Graafikud kujutavad lihtsalt mõnda graafiku "kõige tähendusrikkamat" osa, mida tavaliselt peegeldatakse parameetri negatiivsete väärtuste korral ja mida korratakse suuremas skaalas vaadates sageli teatud sammuga perioodiliselt. Olles otsustanud, mis graafikutele joonistatakse, pöördume tagasi Fourier' teisenduse enda ja selle omaduste juurde. Selle teisenduse defineerimiseks on mitu erinevat viisi, mis erinevad väikeste detailide poolest (erinevad normaliseerimised). Näiteks meie ülikoolides kasutatakse millegipärast sageli Fourier' teisenduse normaliseerimist, mis määrab spektri nurksageduse (radiaani sekundis) järgi. Kasutan mugavamat Lääne formuleeringut, mis määratleb spektri tavasageduse (hertsi) järgi. Fourier' otsesed ja pöördteisendused määratakse sel juhul vasakpoolsete valemitega ja mõned selle teisenduse omadused, mida me vajame, määratakse paremal asuva seitsme punktiga loendiga: Esimene neist omadustest on lineaarsus. Kui võtta mõni funktsioonide lineaarne kombinatsioon, siis selle kombinatsiooni Fourier' teisendus on sama lineaarne kombinatsioon nende funktsioonide Fourier' kujutistest. See omadus võimaldab keerulisi funktsioone ja nende Fourier kujutisi taandada lihtsamateks. Näiteks sagedusega f ja amplituudiga a sinusoidse funktsiooni Fourier' teisendus on kahe punktides f ja -f paikneva deltafunktsiooni kombinatsioon koefitsiendiga a/2: Kui võtta funktsioon, mis koosneb erineva sagedusega sinusoidide hulga summast, siis vastavalt lineaarsuse omadusele koosneb selle funktsiooni Fourier' teisendus vastavast deltafunktsioonide hulgast. See võimaldab anda spektrist naiivse, kuid visuaalse tõlgenduse põhimõttel „kui funktsiooni spektris vastab sagedus f amplituudile a, siis saab algfunktsiooni esitada siinuste summana, millest üks on sinusoid sagedusega f ja amplituudiga 2a. Rangelt võttes on see tõlgendus vale, kuna deltafunktsioon ja punkt graafikul on täiesti erinevad asjad, kuid nagu hiljem näeme, ei ole see diskreetsete Fourier' teisenduste puhul tõest nii kaugel. Fourier' teisenduse teine omadus on amplituudispektri sõltumatus signaali ajalisest nihkest. Kui liigutame funktsiooni piki x-telge vasakule või paremale, siis muutub ainult selle faasispekter. Kolmas omadus on see, et algfunktsiooni venitamine (tihendamine) piki ajatelge (x) surub proportsionaalselt kokku (venitab) selle Fourier pilti piki sagedusskaalat (w). Eelkõige on piiratud kestusega signaali spekter alati lõpmatult lai ja vastupidi, lõpliku laiusega spekter vastab alati piiramatu kestusega signaalile. Neljas ja viies omadus on ehk kõige kasulikumad. Need võimaldavad funktsioonide konvolutsiooni taandada nende Fourier kujutiste punktkorrutisele ja vastupidi - funktsioonide punktkorrutisele nende Fourier kujutiste konvolutsioonile. Veidi edasi näitan, kui mugav see on. Kuues omadus räägib Fourier kujutiste sümmeetriast. Eelkõige tuleneb sellest omadusest, et reaalväärtusliku funktsiooni (st mis tahes "päris" signaali) Fourier' teisenduses on amplituudispekter alati paarisfunktsioon ja faasispekter (kui see viiakse vahemikku -pi ...pi) on paaritu . Just sel põhjusel ei joonistata spektri graafikutele peaaegu kunagi spektri negatiivset osa – reaalväärtuslike signaalide puhul ei anna see mingit uut informatsiooni (aga, kordan, see pole ka null). Lõpuks, viimane, seitsmes omadus, ütleb, et Fourier' teisendus säilitab signaali "energia". See on mõttekas ainult piiratud kestusega signaalide puhul, mille energia on piiratud, ja viitab sellele, et selliste signaalide spekter lõpmatuses läheneb kiiresti nullile. Just selle omaduse tõttu kujutavad spektrigraafikud tavaliselt ainult signaali "peamist" osa, mis kannab lõviosa energiast - ülejäänud graafik kipub lihtsalt nulli (aga jällegi ei ole null). Nende 7 omadusega relvastatud, vaatame signaali "digiteerimise" matemaatikat, mis võimaldab teil teisendada pideva signaali numbrijadaks. Selleks peame võtma funktsiooni, mida tuntakse kui "Dirac kamm": Diraci kamm on lihtsalt ühtsuse koefitsiendiga deltafunktsioonide perioodiline jada, mis algab nullist ja jätkab sammuga T. Signaalide digiteerimiseks valitakse T võimalikult väike arv, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Pideva funktsiooni asemel saadakse pärast sellist korrutamist teatud kõrgusega deltaimpulsside jada. Veelgi enam, vastavalt Fourier' teisenduse omadusele 5 on saadud diskreetse signaali spekter algse spektri konvolutsioon vastava Diraci kammiga. Lihtne on mõista, et konvolutsiooni omaduste põhjal "kopeeritakse" algsignaali spekter lõpmatu arv kordi mööda sagedustelge sammuga 1/T ja seejärel summeeritakse. Pange tähele, et kui algne spekter oli piiratud laiusega ja me kasutasime piisavalt kõrget diskreetimissagedust, siis algse spektri koopiad ei kattu ega summeeri üksteisega. Lihtne on mõista, et sellisest “kokkuvarisenud” spektrist on algset lihtne taastada - piisab, kui võtta spektrikomponent lihtsalt nulli piirkonnas, “lõigates ära” lõpmatuseni minevad lisakoopiad. Lihtsaim viis selleks on korrutada spekter ristkülikukujulise funktsiooniga, mis võrdub T-ga vahemikus -1/2T...1/2T ja nulliga väljaspool seda vahemikku. Selline Fourier' teisendus vastab funktsioonile sinc(Tx) ja vastavalt omadusele 4 on selline korrutis samaväärne deltafunktsioonide algse jada konvolatsiooniga funktsiooniga sinc(Tx) See tähendab, et Fourier' teisenduse abil on meil võimalus hõlpsasti rekonstrueerida algne signaal ajadiskreetiga signaalist, mis töötab eeldusel, et kasutame diskreetimissagedust, mis on vähemalt kahekordne (negatiivsete sageduste olemasolu tõttu spektris) kõrgem kui algses signaalis esinev maksimaalne sagedus. See tulemus on laialt tuntud ja seda nimetatakse "Kotelnikovi / Shannon-Nyquisti teoreemiks". Kuid nagu praegu (tõestusest aru saades) on lihtne märgata, määrab see tulemus vastupidiselt laialt levinud väärarusaamale piisav, kuid mitte vajalik algse signaali taastamise tingimus. Kõik, mida me vajame, on tagada, et see osa spektrist, mis meid pärast signaali diskreetimist huvitab, ei kattuks üksteisega ja kui signaal on piisavalt kitsariba (sellel on spektri nullist erineva osa väike laius), siis võib selle tulemuse sageli saavutada signaali kahekordsest maksimaalsest sagedusest palju madalamal diskreetimissagedusel. Seda tehnikat nimetatakse "aladiskreetmiseks" (aladiskreetimine, ribapääsu diskreetimine) ja seda kasutatakse üsna laialdaselt igasuguste raadiosignaalide töötlemisel. Näiteks kui võtta FM-raadio, mis töötab sagedusalas 88–108 MHz, siis selle digiteerimiseks saame kasutada Kotelnikovi teoreemi järgi eeldatud 216 MHz asemel ADC-d, mille sagedus on vaid 43,5 MHz. Sel juhul vajate aga kvaliteetset ADC-d ja head filtrit. Lubage mul märkida, et kõrgete sageduste "dubleerimine" madalama astme sagedustega (aliasing) on signaali diskreetingu vahetu omadus, mis pöördumatult "rikub" tulemuse. Seega, kui signaal võib põhimõtteliselt sisaldada kõrget järku sagedusi (st peaaegu alati), asetatakse ADC ette analoogfilter, mis "lõikab" kõik mittevajaliku otse algses signaalis (alates pärast selle diskreetimist on liiga hilja seda teha). Nende filtrite kui analoogseadmete omadused ei ole ideaalsed, nii et teatud signaali "kahjustused" siiski tekivad ja praktikas järeldub sellest, et spektri kõrgeimad sagedused on reeglina ebausaldusväärsed. Selle probleemi vähendamiseks on signaali sageli ülediskreetmine, seades sisendi analoogfiltri madalamale ribalaiusele ja kasutades ainult ADC teoreetiliselt saadaoleva sagedusvahemiku alumist osa. Teine levinud eksiarvamus, muide, on see, kui signaal DAC-väljundis tõmmatakse "sammude kaupa". "Sammud" vastavad diskreeditud signaalijada konvolutsioonile laiuse T ja kõrgusega 1 ristkülikukujulise funktsiooniga: Signaali spekter selle teisendusega korrutatakse selle ristkülikukujulise funktsiooni Fourier kujutisega ja sarnase ristkülikukujulise funktsiooni jaoks on see jällegi sinc(w), mida rohkem “venitatakse”, seda väiksem on vastava ristküliku laius. Sellise DAC-ga diskreeditud signaali spekter korrutatakse punkt-punktilt selle spektriga. Sel juhul ei lõigata tarbetud kõrged sagedused koos spektri "lisakoopiatega" täielikult ära, vaid spektri "kasuliku" osa ülemine osa on vastupidi nõrgenenud. Praktikas seda muidugi keegi ei tee. DAC-i konstrueerimiseks on palju erinevaid lähenemisviise, kuid isegi kõige lähedasemates kaalumistüüpi DAC-ides valitakse DAC-i ristkülikukujulised impulsid võimalikult lühikeseks (lähenedes deltafunktsioonide tegelikule jadale). vältimaks spektri kasuliku osa liigset allasurumist. Saadud lairibasignaali "lisa" sagedused tühistatakse peaaegu alati, juhtides signaali läbi analoog-madalpääsfiltri, nii et ei konverteri "sees" ega eriti selle väljundis pole "digitaalseid samme". Läheme siiski tagasi Fourier' teisenduse juurde. Eespool kirjeldatud Fourier' teisendust, mida rakendatakse eelnevalt diskreetitud signaalijadale, nimetatakse diskreetaja Fourier' teisenduseks (DTFT). Sellise teisendusega saadud spekter on alati 1/T-periood, seetõttu on DTFT spekter täielikult määratud selle väärtustega segmendil )
