Selles õppetükis anname monomiaali range määratluse, kaaluge erinevaid näiteidõpikust. Tuletagem meelde samade alustega võimude korrutamise reegleid. Määratleme monoomi standardkuju, monomiaali koefitsiendi ja selle täheosa. Vaatleme kahte peamist standardtoimingut monomialidega, nimelt redutseerimist standardvaade ja konkreetse arvutamine numbriline väärtus monomial selles sisalduvate literaalsete muutujate antud väärtuste jaoks. Sõnastame reegli monomiaali taandamiseks standardvormiks. Õpime lahendama tüüpilised ülesanded mis tahes monomialidega.
Teema:Monoomialid. Aritmeetilised tehted monomialidega
Õppetund:Monoomi mõiste. Monoomi standardvorm
Mõelge mõnele näitele:
3. 
;
Leiame antud avaldiste ühised tunnused. Kõigil kolmel juhul on avaldis arvude ja muutujate korrutis, mis on tõstetud astmeni. Selle põhjal anname monomiaalne määratlus : Monoom on algebraline avaldis, mis koosneb astmete ja arvude korrutisest.
Nüüd anname näiteid avaldistest, mis ei ole monomiaalid:
Leiame nende avaldiste erinevuse eelmistest. See seisneb selles, et näidetes 4-7 on liitmise, lahutamise või jagamise tehted, samas kui näidetes 1-3, mis on monomial, neid tehteid ei ole.
Siin on veel mõned näited:
Avaldis number 8 on monoom, kuna see on astme ja arvu korrutis, samas kui näide 9 ei ole monoom.
Nüüd uurime välja toimingud monomialidega .
1. Lihtsustamine. Vaatame näidet nr 3 ;ja näide nr 2 /
Teises näites näeme ainult ühte koefitsienti - , iga muutuja esineb ainult üks kord, see tähendab muutuja " A" on ühes eksemplaris esitatud kui "", samamoodi esinevad muutujad "" ja "" ainult üks kord.
Näites nr 3 on vastupidi kaks erinevat koefitsienti - ja , muutujat "" näeme kaks korda - kui "" ja kui "", samamoodi esineb muutuja "" kaks korda. See tähendab, et seda väljendit tuleks lihtsustada, nii jõuamegi esimene toiming, mida monomialidega tehakse, on monomiaali taandamine standardvormile . Selleks taandame näite 3 avaldise standardvormile, seejärel defineerime selle toimingu ja õpime, kuidas taandada mis tahes monoomi standardvormiks.
Niisiis, kaaluge näidet:
Esimene toiming standardvormile redutseerimisel on alati kõigi arvuliste tegurite korrutamine:
;
Nimetatakse selle toimingu tulemus monoomi koefitsient .
Järgmisena peate võimsusi korrutama. Korrutame muutuja astmed " X"vastavalt samade alustega astmete korrutamise reeglile, mis ütleb, et korrutamisel liidetakse astendajad:
Nüüd korrutame jõude" juures»:
;
Niisiis, siin on lihtsustatud väljend:
;
Iga monoomi saab taandada standardvormile. Sõnastame standardimise reegel :
Korrutage kõik arvulised tegurid;
Asetage saadud koefitsient esimesele kohale;
Korrutage kõik kraadid, see tähendab, saate täheosa;
See tähendab, et iga monoomi iseloomustab koefitsient ja täheosa. Tulevikku vaadates märgime, et monomiaale, millel on sama täheosa, nimetatakse sarnasteks.
Nüüd peame välja töötama tehnika monoomide standardvormiks muutmiseks . Vaatleme näiteid õpikust:
Ülesanne: viige monoom standardvormi, nimetage koefitsient ja täheosa.
Ülesande täitmiseks kasutame monoomi taandamise reeglit standardvormiks ja astmete omadusi.
1. 
;
3. 
;
Kommentaarid esimese näite kohta: Esiteks, teeme kindlaks, kas see avaldis on tõesti monoom; selleks kontrollime, kas see sisaldab arvude ja astmete korrutamist ning kas liitmise, lahutamise või jagamise tehteid. Võime öelda, et see avaldis on monoom, kuna ülaltoodud tingimus on täidetud. Järgmisena korrutame vastavalt monomiumi standardvormile redutseerimise reeglile arvulised tegurid:
- leidsime antud monomiaali koefitsiendi;
; ; ; see tähendab, et saadakse avaldise sõnasõnaline osa:;
Paneme vastuse kirja: ;
Kommentaarid teise näite kohta: Järgides reeglit, mida teostame:
1) korrutage arvulised tegurid:
2) korrutage astmed:
Muutujad esitatakse ühes eksemplaris, see tähendab, et neid ei saa millegagi korrutada, need kirjutatakse muudatusteta ümber, aste korrutatakse:
Paneme vastuse kirja:
;
Selles näites on monomi koefitsient võrdne ühega ja täheosa on .
Kommentaarid kolmanda näite kohta: a Sarnaselt eelmiste näidetega teostame järgmised toimingud:
1) korrutage arvulised tegurid:
;
2) korrutage astmed:
;
Paneme vastuse kirja: ;
IN sel juhul monoomi koefitsient on "" ja sõnasõnaline osa 
.
Nüüd kaalume teine standardoperatsioon monomialidega . Kuna monoom on algebraline avaldis, mis koosneb literaalsetest muutujatest, mis võivad omandada kindlaid arvväärtusi, on meil aritmeetiline arvavaldis, mida tuleb hinnata. See tähendab, et järgmine tehe polünoomidega on nende konkreetse arvväärtuse arvutamine .
Vaatame näidet. Antud monoom:
see monoom on juba taandatud standardkujule, selle koefitsient on võrdne ühega ja täheosa
Varem ütlesime, et algebralist avaldist ei saa alati arvutada, see tähendab, et selles sisalduvad muutujad ei saa omandada mingit väärtust. Monoomia puhul võivad selles sisalduvad muutujad olla mis tahes, see on monoomi tunnus.
Seega peate antud näites arvutama monoomi väärtuse , , , .
Monoomialid on üks põhilisi avaldiseliike, mida koolialgebra kursusel õpitakse. Selles materjalis räägime teile, mis need avaldised on, määratleme nende standardvormi ja näitame näiteid ning mõistame ka seotud mõisteid, nagu monoomi aste ja selle koefitsient.
Mis on monoom
Kooliõpikud annavad selle mõiste tavaliselt järgmise definitsiooni:
Definitsioon 1
Monoomide hulka kuuluvad arvud, muutujad, samuti nende astmed naturaalastendajatega ja erinevad tüübid nendest koostatud teosed.
Selle määratluse põhjal saame tuua näiteid selliste väljendite kohta. Seega on kõik numbrid 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 monomiaalid. Kõik muutujad, näiteks x, a, b, p, q, t, y, z, on samuti definitsiooni järgi monomaadid. See hõlmab ka muutujate ja arvude astmeid, näiteks 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 ja t 15, samuti avaldised kujul 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z jne. Pange tähele, et monoom võib sisaldada ühte numbrit või muutujat või mitut ning neid saab ühes polünoomis mitu korda mainida.
Monoomide hulka kuuluvad ka sellised arvutüübid nagu täisarvud, ratsionaalarvud ja naturaalarvud. Võite lisada ka kehtiva ja kompleksarvud. Seega on monoomideks ka avaldised kujul 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3.
Mis on monoomi standardvorm ja kuidas avaldist selleks teisendada
Kasutamise hõlbustamiseks taandatakse kõik monomiaalid esmalt spetsiaalsele vormile, mida nimetatakse standardseks. Sõnastame konkreetselt, mida see tähendab.
2. definitsioon
Monoomi standardvorm nimetatakse selle vormiks, milles see on arvulise teguri ja korrutis looduslikud kraadid erinevad muutujad. Numbriline tegur, mida nimetatakse ka monoomi koefitsiendiks, kirjutatakse tavaliselt esimesena vasakule küljele.
Selguse huvides valime mitu standardkuju monoomi: 6 (see on muutujateta monoom), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. See hõlmab ka väljendit x y(siin on koefitsient 1), − x 3(siin on koefitsient - 1).
Nüüd anname näiteid monomialidest, mis tuleb viia standardvormi: 4 ja 2 a 3(siin peate ühendama samad muutujad), 5 x (− 1) 3 a 2(siin peate ühendama vasakul olevad arvulised tegurid).
Tavaliselt, kui monoomial on mitu tähtedega kirjutatud muutujat, kirjutatakse tähetegurid tähestikulises järjekorras. Näiteks on parem kirjutada 6 a b 4 c z 2, kuidas b 4 6 a z 2 c. Järjekord võib aga olla erinev, kui arvutuse eesmärk seda nõuab.
Iga monoomi saab taandada standardvormile. Selleks peate tegema kõik vajalikud identiteedi teisendused.
Monoomilise astme mõiste
Kaasnev monomiaali astme mõiste on väga oluline. Paneme kirja selle mõiste määratluse.
3. definitsioon
Monoomiaali jõul, mis on kirjutatud standardkujul, on kõigi selle tähistuses sisalduvate muutujate eksponentide summa. Kui selles pole muutujaid ja monoom ise erineb 0-st, on selle aste null.
Toome näiteid monomiaali astmete kohta.
Näide 1
Seega on monomial a aste 1, kuna a = a 1. Kui meil on monoom 7, siis on sellel nullaste, kuna sellel pole muutujaid ja see erineb 0-st. Ja siin on salvestus 7 a 2 x y 3 a 2 on 8. astme monoom, kuna selles sisalduvate muutujate kõigi astmete eksponentide summa võrdub 8-ga: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Standardvormile taandatud monomial ja algne polünoomi aste on sama.
Näide 2
Näitame teile, kuidas arvutada monoomi astet 3 x 2 a 3 x (− 2) x 5 a. Standardkujul saab selle kirjutada kui – 6 x 8 a 4. Arvutame kraadi: 8 + 4 = 12 . See tähendab, et algse polünoomi aste on samuti võrdne 12-ga.
Monoomkoefitsiendi mõiste
Kui meil on standardkujule taandatud monoom, mis sisaldab vähemalt ühte muutujat, siis räägime sellest kui ühe arvulise teguriga korrutisest. Seda tegurit nimetatakse numbriliseks koefitsiendiks või monomiaalkoefitsiendiks. Paneme definitsiooni kirja.
4. definitsioon
Monoomi koefitsient on standardkujule taandatud monomi arvutegur.
Võtame näiteks erinevate monomiaalide koefitsiendid.
Näide 3
Niisiis, väljendis 8 kuni 3 koefitsient on number 8 ja sisse (− 2, 3) × y z nad hakkavad − 2 , 3 .
Erilist tähelepanu tuleks pöörata koefitsientidele, mis on võrdsed ühe ja miinus ühega. Reeglina ei ole need selgelt välja toodud. Arvatakse, et standardkujulise monomiaali puhul, milles arvulist tegurit pole, on koefitsient võrdne 1-ga, näiteks avaldistes a, x · z 3, a · t · x, kuna need võivad olla loetakse 1 · a, x · z 3 – Kuidas 1 x z 3 jne.
Samamoodi monomiaalides, millel ei ole arvulist tegurit ja mis algavad miinusmärgiga, võime koefitsiendiks lugeda - 1.
Näide 4
Näiteks avaldistel − x, − x 3 · y · z 3 on selline koefitsient, kuna neid saab esitada kujul − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 y z 3 jne.
Kui monomialis ei ole üldse ühtki tähetegurit, siis saame sel juhul rääkida koefitsiendist. Selliste monomialarvude koefitsiendid on need arvud ise. Nii näiteks on monomi 9 koefitsient võrdne 9-ga.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Märkasime, et iga monoom võib olla viia standardvormi. Selles artiklis mõistame, mida nimetatakse monomiaali standardvormi viimiseks, millised toimingud võimaldavad seda protsessi läbi viia, ja kaalume üksikasjalike selgitustega näidete lahendusi.
Leheküljel navigeerimine.
Mida tähendab monoomi taandamine standardvormile?
Monoomidega on mugav töötada, kui need on kirjutatud standardvormis. Üsna sageli on monomiaalid aga määratud tavalisest erineval kujul. Sellistel juhtudel saate identiteedi teisendusi tehes alati algselt monoomilt standardvormi monomile üle minna. Selliste teisenduste läbiviimise protsessi nimetatakse monomiaali taandamiseks standardvormiks.
Võtame ülaltoodud argumendid kokku. Vähendage monomiat standardvormile- see tähendab sellega identsete teisenduste sooritamist, et see omandaks standardkuju.
Kuidas viia monoom standardvormi?
On aeg välja mõelda, kuidas taandada monoomid standardvormile.
Definitsioonist on teada, et mittestandardse kujuga monomiaalid on arvude, muutujate ja nende astmete ning võimalusel ka korduvate korrutised. Ja tüüpvormi monoom võib oma tähistuses sisaldada ainult ühte arvu ja mittekorduvaid muutujaid või nende astmeid. Nüüd jääb üle mõista, kuidas viia esimest tüüpi tooted teise tüübi alla?
Selleks peate kasutama järgmist monoomi standardvormiks taandamise reegel koosneb kahest etapist:
- Esiteks viiakse läbi arvuliste tegurite rühmitamine, samuti identsed muutujad ja nende võimsused;
- Teiseks arvutatakse ja rakendatakse arvude korrutis.
Nimetatud reegli rakendamise tulemusena taandatakse iga monoom standardvormile.
Näited, lahendused
Jääb üle vaid õppida, kuidas näidete lahendamisel eelmises lõigus toodud reeglit rakendada.
Näide.
Vähendage monomilist 3 x 2 x 2 standardvormile.
Lahendus.
Rühmitame arvulised tegurid ja tegurid muutujaga x. Pärast rühmitamist saab algne monoom kuju (3·2)·(x·x 2) . Esimeste sulgude arvude korrutis on võrdne 6-ga ja samade alustega astmete korrutamise reegel võimaldab esitada avaldise teises sulgudes kujul x 1 +2=x 3. Selle tulemusena saame polünoomi standardkujul 6 x 3.
Siin on lahenduse lühikokkuvõte: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.
Vastus:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Seega, et viia monomial standardvormile, peate suutma tegureid rühmitada, arve korrutada ja töötada astmetega.
Materjali koondamiseks lahendame veel ühe näite.
Näide.
Esitage monoom standardkujul ja märkige selle koefitsient.
Lahendus.
Algse monoomi tähistuses on üks arvutegur −1, liigutame selle algusesse. Pärast seda rühmitame tegurid eraldi muutujaga a, eraldi muutujaga b ja muutujat m pole millegagi grupeerida, jätame selle nii nagu on, meil on 
. Pärast sulgudes olevate astmetega toimingute sooritamist saab monomial meile vajaliku standardvormi, millest näeme monoomi koefitsienti, mis on võrdne -1. Miinus ühe saab asendada miinusmärgiga: .
Matemaatikas on palju erinevaid matemaatilisi väljendeid ja mõnel neist on oma nimi. Me hakkame tutvuma ühega neist mõistetest – see on monoom.
Monoom on matemaatiline avaldis, mis koosneb arvude ja muutujate korrutisest, millest igaüks võib teatud määral esineda korrutis. Uue kontseptsiooni paremaks mõistmiseks tuleb end kurssi viia mitme näitega.
Monoomide näited
Avaldised 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 on monooomid. Nagu näete, on ainult üks arv või muutuja (võimsusega või ilma) samuti monomial. Aga näiteks avaldised 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 on juba ei ole monomiaalid, kuna need ei vasta määratlustele. Esimene avaldis kasutab sõna "summa", mis on vastuvõetamatu, teine kasutab "jagamist" ja kolmas kasutab erinevust.
Mõelgem paar näidet veel.
Näiteks avaldis 2*a^3*b/3 on samuti monoom, kuigi sellega kaasneb ka jagamine. Kuid sel juhul toimub jagamine arvuga ja seetõttu saab vastava avaldise ümber kirjutada järgmiselt: 2/3*a^3*b. Veel üks näide: Milline avaldistest 2/x ja x/2 on monoom ja milline mitte? Õige vastus on, et esimene avaldis ei ole monoom, kuid teine on monoom.
Monoomi standardvorm
Vaadake kahte järgmist monoavaldist: ¾*a^2*b^3 ja 3*a*1/4*b^3*a. Tegelikult on need kaks identset monomi. Kas pole tõsi, et esimene väljend tundub mugavam kui teine?
Selle põhjuseks on see, et esimene avaldis on kirjutatud standardvormis. Polünoomi standardvorm on korrutis, mis koosneb arvulisest tegurist ja erinevate muutujate astmetest. Numbrilist tegurit nimetatakse monoomi koefitsiendiks.
Monoomi standardvormi viimiseks piisab, kui korrutada kõik monomialis esinevad arvulised tegurid ja asetada saadud arv esikohale. Seejärel korrutage kõik sama tähepõhjaga astmed.
Monoomi taandamine selle standardkujule
Kui meie näites korrutame teises avaldises kõik arvulised tegurid 3*1/4 ja seejärel korrutame a*a, saame esimese monomi. Seda toimingut nimetatakse monomiaali taandamiseks selle standardkujule.
Kui kaks monomi erinevad ainult arvulise koefitsiendi poolest või on üksteisega võrdsed, siis nimetatakse selliseid monomi matemaatikas sarnasteks.
Põhiteave monomialide kohta sisaldab selgitust, et iga monoomi saab taandada standardvormile. Allpool olevas materjalis vaatleme seda küsimust üksikasjalikumalt: kirjeldame selle toimingu tähendust, määratleme sammud, mis võimaldavad meil määrata monomiaali standardvormi, ja konsolideerida teooria näidete lahendamisega.
Monoomi taandamise tähendus standardvormiks
Monoomi kirjutamine standardvormis muudab sellega töötamise mugavamaks. Sageli on monomialid määratletud mittestandardsel kujul ja siis on vaja läbi viia identsed teisendused, et viia antud monoom standardvormi.
Definitsioon 1
Monoomia taandamine standardvormile on sobivate toimingute (identsete teisenduste) sooritamine monomiaaliga, et see standardkujul kirjutada.
Meetod monoomi taandamiseks standardvormiks
Definitsioonist järeldub, et mittestandardse vormi monoom on arvude, muutujate ja nende astmete korrutis ning nende kordamine on võimalik. Standardtüüpi monoom sisaldab omakorda ainult ühte arvu ja mittekorduvaid muutujaid või nende astmeid.
Mittestandardse monomi standardvormi viimiseks peate kasutama järgmist monoomi standardvormile redutseerimise reegel:
- esimene samm on arvuliste tegurite, identsete muutujate ja nende astmete rühmitamine;
- teiseks sammuks arvutatakse arvude korrutised ja rakendatakse võrdsete alustega astmete omadus.
Näited ja nende lahendused
Näide 1Antud monoom on 3 x 2 x 2 . See on vaja viia standardvormi.
Lahendus
Rühmitame arvulised tegurid ja tegurid muutujaga x, mille tulemusena saab antud monoom järgmisel kujul: (3 2) (x x 2) .
Sulgudes olev toode on 6. Rakendades samade alustega astmete korrutamise reeglit, esitame avaldise sulgudes järgmiselt: x 1 + 2 = x 3. Selle tulemusel saame standardkuju monoomi: 6 x 3.
Lahenduse lühiversioon näeb välja selline: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
Vastus: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Näide 2
Monoom on antud: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . See on vaja viia standardvormi ja märkida selle koefitsient.
Lahendus
antud monomial on tähistuses üks arvuline tegur: - 1, liigume selle algusesse. Seejärel grupeerime tegurid muutujaga a ja tegurid muutujaga b. Muutujat m pole millegagi rühmitada, seega jätame selle algsel kujul. Ülaltoodud toimingute tulemusena saame: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Teeme tehteid sulgudes olevate astmetega, siis saab monomial standardkuju: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. Sellest kirjest saame hõlpsasti määrata monoomi koefitsiendi: see on võrdne -1. On täiesti võimalik asendada miinus üks lihtsalt miinusmärgiga: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
Kõigi toimingute lühiülevaade näeb välja selline:
a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m
Vastus:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, antud monomi koefitsient on – 1.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
