See veebipõhine matemaatikakalkulaator aitab teid, kui seda vajate arvutada funktsiooni piir. Programm lahenduse piirid mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid viib üksikasjalik lahendus selgitustega, st. kuvab limiidi arvutamise protsessi.

See programm võib olla kasulik keskkooliõpilastele keskkoolid ettevalmistamisel testid ja eksamid teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit, et vanemad saaksid juhtida paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö matemaatikas või algebras? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.

Nii saad läbi viia enda ja/või enda koolitust. nooremad vennad või õed, samal ajal kui haridustase lahendatavate probleemide vallas tõuseb.

Sisestage funktsiooni avaldis
Arvutage limiit

Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

JavaScript on teie brauseris keelatud.
Lahenduse kuvamiseks peate lubama JavaScripti.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Funktsiooni piirväärtus x->x 0

Olgu funktsioon f(x) defineeritud mõnel hulgal X ja punkt $x_0 \in X$ või $x_0 \notin X$

Võtame X-st punktide jada, mis erineb x 0-st:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
koondudes x*-le. Funktsiooni väärtused selle jada punktides moodustavad samuti numbrilise jada
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ja võib tõstatada küsimuse selle piiri olemasolust.

Definitsioon. Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) piiriks punktis x = x 0 (või punktis x -> x 0), kui argumendi x väärtuste jada (1) puhul erineb x 0-st. koondudes väärtusele x 0, koondub vastav väärtuste jada (2) arvule A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funktsioonil f(x) võib punktis x 0 olla ainult üks piir. See tuleneb asjaolust, et järjestus
(f(x n)) on ainult üks piir.

Funktsiooni piiril on veel üks määratlus.

Definitsioon Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) piiriks punktis x = x 0, kui mis tahes arvu $\varepsilon > 0$ korral on arv $\delta > 0$, nii et kõigi \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), rahuldades ebavõrdsust $|x-x_0| Kasutades loogilisi sümboleid, saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Pange tähele, et võrratused \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Esimene definitsioon põhineb arvujada piiri kontseptsioonil, seetõttu nimetatakse seda sageli definitsiooniks "jadade keeles". Teist definitsiooni nimetatakse definitsiooniks "keeles". \(\varepsilon - \delta $”.
Need kaks funktsiooni piiri definitsiooni on samaväärsed ja võite kasutada mõlemat, sõltuvalt sellest, kumb on konkreetse probleemi lahendamiseks mugavam.

Pange tähele, et funktsiooni piiri definitsiooni "jadade keeles" nimetatakse ka funktsiooni piiri määratluseks Heine järgi ja funktsiooni piiri määratlust "keeles $\varepsilon - \delta $” nimetatakse Cauchy järgi ka funktsiooni piiri määratluseks.

Funktsiooni piirväärtus x->x 0 - ja x->x 0 + juures

Järgnevalt kasutame funktsiooni ühepoolsete piiride mõisteid, mis on defineeritud järgmiselt.

Definitsioon Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) parempoolseks (vasakpoolseks) piiriks punktis x 0, kui suvalise jada (1) korral, mis koondub x 0-le, mille elemendid x n on suuremad (vähem kui) x 0, vastav jada (2) koondub A-le.

Sümboolselt on see kirjutatud nii:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Funktsiooni ühepoolsetele piiridele saame anda samaväärse definitsiooni "keeles $\varepsilon - \delta $":

Definitsioon arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) parempoolseks (vasakuks) piiriks punktis x 0, kui mis tahes $\varepsilon > 0$ korral on $\delta > 0$, nii et kõigi x ebavõrdsuse rahuldamine \(x_0 sümboolset kirjet:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Funktsiooni piirang- number a on mõne muutuva suuruse piir, kui selle muutumise käigus see muutuv suurus lõputult läheneb a.

Või teisisõnu number A on funktsiooni piir y = f(x) punktis x 0, kui mis tahes punktide jada puhul funktsiooni määratluspiirkonnast , ei ole võrdne x 0, ja mis läheneb punktile x 0 (lim x n = x0), koondub vastavate funktsiooniväärtuste jada numbrile A.

Funktsiooni graafik, mille piirväärtus on võrdne lõpmatuseni kalduva argumendiga L:

Tähendus A on funktsiooni piirväärtus (piirväärtus). f(x) punktis x 0 mis tahes punktijada puhul , mis läheneb x 0, kuid mis ei sisalda x 0ühe selle elemendina (st torgatud läheduses x 0), funktsiooni väärtuste jada koondub A.

Cauchy funktsiooni piir.

Tähendus A saab funktsiooni piir f(x) punktis x 0 kui ette võetud mittenegatiivse arvu puhul ε leitakse vastav mittenegatiivne arv δ = δ(ε) nii et iga argumendi puhul x, mis vastab tingimusele 0 < | x - x0 | < δ , siis ebavõrdsus rahuldatakse | f(x)A |< ε .

See on väga lihtne, kui mõistate limiidi olemust ja selle leidmise põhireegleid. Mis on funktsiooni piir f (x) juures x poole püüdlemas a võrdub A, on kirjutatud nii:

Lisaks väärtus, milleni muutuja kaldub x, võib olla mitte ainult arv, vaid ka lõpmatus (∞), mõnikord +∞ või -∞ või piirangut ei pruugi üldse olla.

Et mõista, kuidas leida funktsiooni piirid, on kõige parem vaadata lahenduste näiteid.

On vaja leida funktsiooni piirid f (x) = 1/x aadressil:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Leiame lahenduse esimesele piirile. Selleks saate lihtsalt asendada x number, millele see kipub, st. 2, saame:

Leiame funktsiooni teise piiri. Asendage siin puhtal kujul 0 asemel x see on võimatu, sest Te ei saa 0-ga jagada. Kuid me võime võtta nullilähedased väärtused, näiteks 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 ja nii edasi ning funktsiooni väärtus f (x) suureneb: 100; 1000; 10000; 100 000 ja nii edasi. Seega võib aru saada, et millal x→ 0 piirmärgi all oleva funktsiooni väärtus suureneb piiranguta, s.t. püüdlema lõpmatuse poole. Mis tähendab:

Seoses kolmanda piiriga. Sama olukord nagu eelmisel juhul, seda ei saa asendada ∞ kõige puhtamal kujul. Peame arvestama piiramatu suurendamise juhtumiga x. Asendame 1000 ükshaaval; 10000; 100000 ja nii edasi, meil on see funktsiooni väärtus f (x) = 1/x väheneb: 0,001; 0,0001; 0,00001; ja nii edasi, kaldudes nulli. Sellepärast:

On vaja arvutada funktsiooni piir

Alustades teise näite lahendamist, näeme ebakindlust. Siit leiame lugeja ja nimetaja kõrgeima astme - see on x 3, võtame selle lugejas ja nimetajas sulgudest välja ning seejärel vähendame seda järgmiselt:

Vastus

Esimene samm sisse selle piiri leidmine, asendage selle asemel väärtus 1 x, mille tulemuseks on ebakindlus. Selle lahendamiseks faktoriseerime lugeja ja teeme seda ruutvõrrandi juurte leidmise meetodil x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Seega on lugeja järgmine:

Vastus

See on selle konkreetse väärtuse või teatud ala, kuhu funktsioon langeb, määratlus, mis on piiriga piiratud.

Piirangute lahendamiseks järgige reegleid:

Olles aru saanud olemusest ja peamisest limiidi lahendamise reeglid, Sa saad põhikontseptsioon kuidas neid lahendada.

Piirangud valmistavad kõigile matemaatikaõpilastele palju vaeva. Piiri lahendamiseks tuleb vahel kasutada palju nippe ja valida erinevate lahendusmeetodite hulgast täpselt see, mis konkreetse näite jaoks sobib.

Selles artiklis me ei aita teil mõista teie võimaluste piire ega mõista kontrolli piire, vaid püüame vastata küsimusele: kuidas mõista kõrgema matemaatika piire? Arusaamine tuleb kogemusega, nii et samal ajal anname mõned üksikasjalikud näited piiride lahendused koos selgitustega.

Piiri mõiste matemaatikas

Esimene küsimus on: mis see piir on ja mille piir? Võime rääkida arvjadade ja funktsioonide piiridest. Meid huvitab funktsiooni piiri mõiste, kuna sellega puutuvad õpilased kõige sagedamini kokku. Kuid kõigepealt - kõige rohkem üldine määratlus piirang:

Oletame, et on mingi muutuv väärtus. Kui see väärtus muutumise protsessis piiramatult läheneb teatud arvule a , See a – selle väärtuse piir.

Teatud intervallis määratletud funktsiooni jaoks f(x)=y sellist arvu nimetatakse limiidiks A , mida funktsioon kaldub millal X , kaldudes teatud punktini A . Punkt A kuulub intervalli, millel funktsioon on määratletud.

See kõlab kohmakalt, kuid see on kirjutatud väga lihtsalt:

Lim- inglise keelest piir- piirang.

Piirmäära määramisel on ka geomeetriline seletus, kuid siinkohal me teooriasse ei süvene, kuna meid huvitab pigem probleemi praktiline kui teoreetiline pool. Kui me seda ütleme X kaldub mingile väärtusele, see tähendab, et muutuja ei võta arvu väärtust, vaid läheneb sellele lõpmatult lähedale.

Anname konkreetne näide. Ülesanne on leida piir.

Selle näite lahendamiseks asendame väärtuse x=3 funktsiooniks. Saame:

Muide, kui olete huvitatud, lugege sellel teemal eraldi artiklit.

Näidetes X võib kalduda mis tahes väärtusele. See võib olla mis tahes arv või lõpmatus. Siin on näide, millal X kipub lõpmatusse:

See on intuitiivselt selge, mis on mis suurem arv nimetajas, seda väiksema väärtuse funktsioon võtab. Niisiis, piiramatu kasvuga X tähenduses 1/x väheneb ja läheneb nullile.

Nagu näete, peate limiidi lahendamiseks lihtsalt asendama funktsiooni väärtusega, mille poole püüdlete X . See on aga kõige lihtsam juhtum. Tihti pole piiri leidmine nii ilmne. Piirides on tüübi määramatust 0/0 või lõpmatus/lõpmatus . Mida sellistel juhtudel teha? Kasutage trikke!

Ebakindlus sees

Vormi lõpmatus/lõpmatus määramatus

Olgu piirang:

Kui proovime funktsiooniga asendada lõpmatust, saame nii lugejas kui ka nimetajas lõpmatuse. Üldiselt tasub öelda, et selliste ebamäärasuste lahendamisel on teatud kunstielement: tuleb märgata, kuidas saab funktsiooni muuta nii, et määramatus kaoks. Meie puhul jagame lugeja ja nimetaja arvuga X vanemas astmes. Mis juhtub?

Eespool juba käsitletud näitest teame, et terminid, mis sisaldavad nimetajas x, kalduvad nulli. Siis on piiri lahendus:

Tüübi ebakindluse lahendamiseks lõpmatus/lõpmatus jagage lugeja ja nimetaja arvuga X kõrgeimal määral.

Muideks! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus

Teist tüüpi määramatus: 0/0

Nagu alati, funktsiooni väärtuste asendamine x=-1 annab 0 lugejas ja nimetajas. Vaadake veidi lähemalt ja märkate seda meie lugejas ruutvõrrand. Leiame juured ja kirjutame:

Vähendame ja saame:

Seega, kui seisate silmitsi tüübi ebakindlusega 0/0 – arvutage lugeja ja nimetaja.

Näidete lahendamise hõlbustamiseks esitame tabeli mõne funktsiooni piirangutega:

L'Hopitali reegel sees

Teine võimas viis, mis võimaldab kõrvaldada mõlemat tüüpi määramatused. Mis on meetodi olemus?

Kui limiidis on määramatus, võtke lugeja ja nimetaja tuletis, kuni määramatus kaob.

L'Hopitali reegel näeb välja selline:

Oluline punkt : piir, mille jooksul peavad lugeja ja nimetaja asemel olema lugeja ja nimetaja tuletised.

Ja nüüd - tõeline näide:

On tüüpiline ebakindlus 0/0 . Võtame lugeja ja nimetaja tuletised:

Voila, ebakindlus laheneb kiiresti ja elegantselt.

Loodame, et saate seda teavet praktikas kasulikult rakendada ja leida vastuse küsimusele "kuidas lahendada piire kõrgemas matemaatikas". Kui teil on vaja arvutada mingis punktis jada piir või funktsiooni piir, kuid selleks tööks pole absoluutselt aega, võtke kiire ja üksikasjaliku lahenduse saamiseks ühendust professionaalse üliõpilasteenindusega.

Neile, kes soovivad õppida piiranguid leidma, räägime selles artiklis teile sellest. Me ei süvene teooriasse, õpetajad annavad seda tavaliselt loengutes. Nii et "igav teooria" tuleks märkmikusse üles märkida. Kui see nii ei ole, siis saab lugeda raamatukogust laenutatud õpikuid. haridusasutus või muudes Interneti-ressurssides.

Seega on piiri mõiste kõrgema matemaatika uurimisel üsna oluline, eriti kui puutute kokku integraalarvutusega ja mõistate piiri ja integraali seost. Praeguses materjalis kaalume lihtsaid näiteid, samuti nende lahendamise viise.

Näited lahendustest

Näide 1
Arvutage a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Lahendus
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Inimesed saadavad meile need piirangud sageli palvega aidata neid lahendada. Otsustasime neid esile tõsta eraldi näide ja selgitage, et need piirid tuleb reeglina lihtsalt meeles pidada. Kui te ei saa oma probleemi lahendada, saatke see meile. Pakume üksikasjalikku lahendust. Saate vaadata arvutuse edenemist ja saada teavet. See aitab teil õpetajalt hinde õigeaegselt kätte saada!
Vastus
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Mida teha vormi määramatusega: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Näide 3
Lahenda $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Lahendus
Nagu alati, alustame väärtuse $ x $ asendamisest avaldisega piirmärgi all. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Mis nüüd edasi saab? Mis peaks lõpuks juhtuma? Kuna tegemist on määramatusega, ei ole see veel vastus ja me jätkame arvutamist. Kuna meil on lugejates polünoom, siis faktoriseerime selle kõigile koolist tuttava valemiga $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Kas sa mäletad? Suurepärane! Nüüd aga kasuta seda lauluga :) Leiame, et lugeja $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Jätkame lahendamist, võttes arvesse ülaltoodud ümberkujundamist: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Vastus
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Lükkame kahe viimase näite piiri lõpmatuseni ja arvestame määramatusega: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Näide 5
Arvuta $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Lahendus
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mida teha? Mida ma peaksin tegema? Ärge sattuge paanikasse, sest võimatu on võimalik. Nii lugejas kui ka nimetajas on vaja x välja võtta ja seejärel vähendada. Pärast seda proovige limiit arvutada. Proovime... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Kasutades näite 2 definitsiooni ja asendades x-iga lõpmatuse, saame: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Vastus
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Piirmäärade arvutamise algoritm

Seega võtame näited lühidalt kokku ja koostame piirangute lahendamise algoritmi:

Asendage piirmärgile järgnevas avaldises punkt x. Kui saadakse teatud arv või lõpmatus, siis on piir täielikult lahendatud. Vastasel juhul on meil ebakindlus: "null jagatud nulliga" või "lõpmatus jagatud lõpmatusega" ja liikuda edasi juhiste järgmiste sammude juurde.
Null jagatud nulliga määramatuse kõrvaldamiseks peate arvestama lugeja ja nimetaja. Vähendage sarnaseid. Asendage piirmärgi all olevas avaldises punkt x.
Kui määramatus on "lõpmatus jagatud lõpmatusega", eemaldame nii lugeja kui ka nimetaja x suurimal määral. Lühendame X-i. Asendame x väärtused piirangu alt ülejäänud avaldisesse.

Selles artiklis õppisite piirarvude lahendamise põhitõdesid, mida sageli kasutatakse kalkulatsiooni kursusel. Loomulikult ei ole need kõik eksamineerijate pakutavad probleemid, vaid ainult kõige lihtsamad piirid. Muud tüüpi ülesannetest räägime tulevastes artiklites, kuid edasiliikumiseks peate esmalt selle õppetunni ära õppima. Arutame, mida teha, kui on juured, kraadid, uurime lõpmata väikseid ekvivalentseid funktsioone, imelised piirid, L'Hopitali reegel.

Kui te ei suuda ise piire mõista, ärge paanitsege. Meil on alati hea meel aidata!

Funktsioon y = f (x) on seadus (reegel), mille kohaselt on hulga X iga element x seotud hulga Y ühe ja ainult ühe elemendiga y.

Element x ∈ X helistas funktsiooni argument või sõltumatu muutuja.
Element y ∈ Y helistas funktsiooni väärtus või sõltuv muutuja.

Hulk X kutsutakse funktsiooni domeen.
Elementide hulk y ∈ Y, mille komplektis X on eelkujutised, kutsutakse ala või funktsiooni väärtuste komplekt.

Tegelikku funktsiooni nimetatakse ülalt piiratud (altpoolt), kui on selline arv M, et ebavõrdsus kehtib kõigi kohta:
.
Kutsutakse numbrifunktsiooni piiratud, kui on olemas selline arv M, et kõigi jaoks:
.

Ülemine serv või täpne ülemine piir Tegelikku funktsiooni nimetatakse väikseimaks arvuks, mis piirab selle väärtuste vahemikku ülalt. See tähendab, et see on arv s, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus ületab s′: .
Funktsiooni ülemist piiri saab tähistada järgmiselt:
.

Vastavalt alumine serv või täpne alumine piir Reaalfunktsiooni nimetatakse suurimaks arvuks, mis piirab selle väärtuste vahemikku altpoolt. See tähendab, et see on arv i, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus on väiksem kui i′: .
Funktsiooni infimumi saab tähistada järgmiselt:
.

Funktsiooni piiri määramine

Funktsiooni piiri määramine Cauchy järgi

Funktsiooni lõplikud piirid lõpp-punktides

Olgu funktsioon defineeritud mõnes lõpp-punkti läheduses, välja arvatud punkt ise. punktis, kui mõne jaoks on olemas selline asi, olenevalt , et kõigi x puhul, mille puhul kehtib ebavõrdsus
.
Funktsiooni piirang on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .

Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.

Ühepoolsed piirid.
Vasakpoolne piir punktis (vasakpoolne piir):
.
Punkti parempoolne piir (parempoolne piir):
.
Vasak- ja parempoolsed piirid on sageli tähistatud järgmiselt:
; .

Funktsiooni lõplikud piirid lõpmatuse punktides

Piirid lõpmatuse punktides määratakse kindlaks sarnasel viisil.
.
.
.
Neid nimetatakse sageli:
; ; .

Punkti naabruse mõiste kasutamine

Kui võtta kasutusele punkti punktsiooniga ümbruse mõiste, siis saame anda funktsiooni lõpliku piiri ühtse definitsiooni lõplikes ja lõpmata kaugetes punktides:
.
Siin on lõpp-punktid
; ;
.
Lõpmatuse punktide mis tahes ümbrus torgatakse:
; ; .

Lõpmatud funktsioonipiirangud

Definitsioon
Olgu funktsioon määratletud punkti mingis punkteeritud ümbruses (lõpmatus või lõpmatuses). Funktsiooni piir f (x) kui x → x 0 võrdub lõpmatusega, kui kellelegi, siis suvaliselt suur number M > 0 , on arv δ M > 0 , olenevalt M-st, et kõigi punktide δ M - punkti naabrusesse kuuluvate x kohta kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Lõpmatu piir on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .

Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni lõpmatu piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.

Võite tutvustada ka teatud märkide lõpmatute piiride määratlusi, mis on võrdsed ja :
.
.

Funktsiooni piiri universaalne määratlus

Kasutades punkti naabruse mõistet, saame anda funktsiooni lõpliku ja lõpmatu piiri universaalse definitsiooni, mis on rakendatav nii lõplike (kahe- ja ühepoolsete) kui ka lõpmatult kaugete punktide jaoks:
.

Funktsiooni piiri määramine Heine järgi

Olgu funktsioon defineeritud mingil hulgal X:.
Arvu a nimetatakse funktsiooni piiriks punktis:
,
kui mis tahes jada puhul, mis läheneb x-le 0 :
,
mille elemendid kuuluvad hulka X: ,
.

Kirjutame selle määratluse eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid kasutades:
.

Kui me võtame punkti x vasakpoolse ümbruse hulgana X 0 , siis saame vasakpoolse piiri määratluse. Kui see on paremakäeline, saame õige piiri definitsiooni. Kui võtta lõpmatuses oleva punkti naabruskond hulgana X, saame funktsiooni piiri määratluse lõpmatuses.

Teoreem
Funktsiooni piiri Cauchy ja Heine definitsioonid on samaväärsed.
Tõestus

Funktsiooni piiri omadused ja teoreemid

Lisaks eeldame, et vaadeldavad funktsioonid on määratletud punkti vastavas läheduses, milleks on lõplik arv või üks sümbolitest: . See võib olla ka ühepoolne piirpunkt, st olla kujul või . Naabruskond on kahepoolse piirmäära jaoks kahepoolne ja ühepoolse piiri jaoks ühepoolne.

Põhiomadused

Kui funktsiooni f väärtused (x) muuta (või määramata) lõplikku arvu punkte x 1, x 2, x 3, ... x n, siis see muudatus ei mõjuta funktsiooni piiri olemasolu ja väärtust suvalises punktis x 0 .

Kui on olemas lõplik piir, siis on olemas punkti x punkteeritud ümbrus 0 , millel funktsioon f (x) piiratud:
.

Olgu funktsioonil punkt x 0 lõplik nullist erinev piir:
.
Siis on suvalise arvu c korral vahemikust punkt x selline punkteeritud naabruskond 0 , milleks ,
, Kui ;
, Kui.

Kui mõnel punkti naabruskonnal , , on konstant, siis .

Kui punkti x mõnel torgatud ümbruskonnal on lõplikud piirid ja ja 0
,
See .

Kui , Ja mõnel punkti naabruses
,
See .
Eelkõige siis, kui mõne punkti naabruses
,
siis kui , siis ja ;
kui , siis ja .

Kui mõnel punkti x torgatud ümbruskonnal 0 :
,
ja on olemas lõplikud (või teatud märgi lõpmatud) võrdsed piirid:
, See
.

Peamiste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride põhiomadused."

Funktsiooni piiri aritmeetilised omadused

Olgu funktsioonid ja määratletud punkti mõnes punktsiooniga naabruses. Ja olgu piiratud piirid:
Ja .
Ja olgu C konstant, see tähendab antud number. Siis
;
;
;
, Kui.

Kui siis.

Aritmeetiliste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride aritmeetilised omadused".

Cauchy kriteerium funktsiooni piiri olemasoluks

Teoreem
Selleks, et funktsioon, mis on defineeritud lõpliku punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal või lõpmatuspunktis x 0 , oli selles punktis lõplik piir, on vajalik ja piisav, et iga ε korral > 0 seal oli selline punkti x torgatud naabruskond 0 , et mis tahes punktide ja selle naabruskonna puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.

Keerulise funktsiooni piir

Teoreem kompleksfunktsiooni piiri kohta
Laske funktsioonil olla piir ja kaardistada punkti läbimurtud naabruskond punkti punkteeritud ümbrusega. Olgu see funktsioon sellel naabruskonnal määratletud ja sellel on piirang.
Siin on viimased või lõpmatult kauged punktid: . Naabruskonnad ja neile vastavad piirid võivad olla kas kahe- või ühepoolsed.
Siis on keerulise funktsiooni piirang ja see on võrdne:
.

Kompleksfunktsiooni piirteoreemi rakendatakse siis, kui funktsioon ei ole punktis defineeritud või selle väärtus erineb piirväärtusest. Selle teoreemi rakendamiseks peab punktis, kus funktsiooni väärtuste hulk punkti ei sisalda, olema punkteeritud naabrus:
.

Kui funktsioon on pidev punktis , saab pideva funktsiooni argumendile rakendada piirmärki:
.
Järgnev on sellele juhtumile vastav teoreem.

Teoreem funktsiooni pidevfunktsiooni piiri kohta
Olgu funktsiooni g limiit (t) nagu t → t 0 , ja see on võrdne x-ga 0 :
.
Siin on punkt t 0 võib olla lõplik või lõpmatult kauge: .
Ja olgu funktsioon f (x) on pidev punktis x 0 .
Siis on kompleksfunktsiooni f piir (g(t)), ja see on võrdne f-ga (x0):
.

Teoreemide tõestused on toodud lehel
"Keerulise funktsiooni piir ja järjepidevus".

Lõpmatult väikesed ja lõpmata suured funktsioonid

Lõpmatult väikesed funktsioonid

Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult väikeseks, kui
.

Summa, vahe ja toode Lõpliku arvu lõpmatute väikeste funktsioonide juures on lõpmatult väike funktsioon juures .

Piiratud funktsiooni korrutis mõnel torgatud naabruses punkt , Et lõpmatult väike juures on lõpmatu funktsioon juures .

Selleks, et funktsioonil oleks lõplik piir, on vajalik ja piisav, et
,
kus on infinitesimal funktsioon juures .

"Lõpmata väikeste funktsioonide omadused".

Lõpmatult suured funktsioonid

Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult suureks, kui
.

Piiratud funktsiooni summa või erinevus, mõnel punkti naabruses ja lõpmatult suur funktsioon juures on lõpmatult suur funktsioon .

Kui funktsioon on jaoks lõpmatult suur ja funktsioon on piiratud punkti mingi läbitorkatud naabrusega, siis
.

Kui funktsioon , punkti mõnel torgatud naabruses, rahuldab ebavõrdsust:
,
ja funktsioon on lõpmatult väike:
, ja (punkti mõnel torgatud naabruskonnal), siis
.

Omaduste tõendid on esitatud jaotises
"Lõpmatult suurte funktsioonide omadused".

Lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vaheline seos

Kahest eelnevast omadusest tuleneb seos lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vahel.

Kui funktsioon on lõpmatult suur juures , siis funktsioon on lõpmatult väike juures .

Kui funktsioon on , ja jaoks lõpmatult väike, on funktsioon lõpmatult suur.

Lõpmatult väikese ja lõpmata suure funktsiooni suhet saab väljendada sümboolselt:
, .

Kui lõpmata väikesel funktsioonil on teatud märk punktis , see tähendab, et see on positiivne (või negatiivne) punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal, siis saab seda fakti väljendada järgmiselt:
.
Samamoodi, kui lõpmata suurel funktsioonil on teatud märk kohas , kirjutavad nad:
.

Siis saab sümboolset seost lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide vahel täiendada järgmiste seostega:
, ,
, .

Täiendavad valemid lõpmatuse sümbolite kohta leiate lehelt
"Punktid lõpmatuses ja nende omadused."

Monotoonsete funktsioonide piirid

Definitsioon
Mõnes komplektis määratletud funktsioon reaalarvud X kutsutakse rangelt suurenev, kui kõigi puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Vastavalt sellele, jaoks rangelt vähenemas funktsioon kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Sest mitte-kahanev:
.
Sest mitte suurenev:
.

Sellest järeldub, et ka rangelt kasvav funktsioon ei ole kahanev. Rangelt kahanev funktsioon on ka mittekasv.

Funktsiooni kutsutakse üksluine, kui see ei vähene või ei suurene.

Teoreem
Las funktsioon ei vähene intervallil, kus .
Kui see on ülalt piiratud arvuga M: siis on olemas lõplik piir. Kui ülalt ei piirata, siis .
Kui see on altpoolt piiratud arvuga m: siis on olemas lõplik piir. Kui altpoolt ei piirdu, siis .

Kui punktid a ja b on lõpmatuses, siis avaldistes tähendavad piirmärgid, et .
Seda teoreemi saab sõnastada kompaktsemalt.

Las funktsioon ei vähene intervallil, kus . Siis on punktides a ja b ühepoolsed piirid:
;
.

Sarnane teoreem mittekasvava funktsiooni kohta.

Las funktsioon ei suurene intervallil, kus . Siis on ühepoolsed piirangud:
;
.

Teoreemi tõestus on toodud lehel
"Monotoonsete funktsioonide piirid".

Viited:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 1983.