Statistikas kasutatakse laialdaselt keskmisi väärtusi. Keskmised väärtused iseloomustavad äritegevuse kvalitatiivseid näitajaid: turustuskulud, kasum, kasumlikkus jne.
Keskmine - See on üks levinumaid üldistusvõtteid. Keskmise olemuse õige mõistmine määrab selle erilise tähtsuse tingimustes turumajandus, kui keskmine läbi indiviidi ja juhuslik võimaldab tuvastada üldist ja vajalikku, tuvastada majandusarengu mustrite trendi.
keskmine väärtus - need on üldised näitajad, milles tegevust väljendatakse üldtingimused, uuritava nähtuse mustrid.
Statistilised keskmised arvutatakse õigesti statistiliselt korraldatud massivaatluse (pideva ja valikulise) massiandmete põhjal. Statistiline keskmine on aga objektiivne ja tüüpiline, kui see arvutatakse kvalitatiivselt homogeense populatsiooni (massinähtused) massiandmete põhjal. Näiteks kui arvutate keskmise palgadühistutes ja riigiettevõtetes ning tulemus laieneb kogu elanikkonnale, siis on keskmine fiktiivne, kuna see arvutati heterogeense üldkogumi põhjal ja selline keskmine kaotab igasuguse tähenduse.
Keskmise abil silutakse üksikutes vaatlusühikutes ühel või teisel põhjusel tekkivad erinevused tunnuse väärtuses.
Näiteks müüja keskmine tööviljakus sõltub paljudest põhjustest: kvalifikatsioon, tööstaaž, vanus, teenistuse vorm, tervis jne.
Keskmine toodang peegeldab kogu elanikkonna üldist omadust.
Keskmine väärtus peegeldab uuritava tunnuse väärtusi, seetõttu mõõdetakse seda selle tunnusega samas mõõtmes.
Iga keskmine väärtus iseloomustab uuritavat populatsiooni mis tahes ühe tunnuse järgi. Selleks, et saada uuritavast elanikkonnast mitmete oluliste tunnuste põhjal täielik ja igakülgne arusaam, on üldiselt vaja keskmiste väärtuste süsteemi, mis kirjeldaks nähtust erinevate nurkade alt.
Keskmisi on erinevaid:
aritmeetiline keskmine;
geomeetriline keskmine;
harmooniline keskmine;
keskmine ruut;
keskmine kronoloogiline.
Vaatame mõnda tüüpi keskmisi, mida statistikas kõige sagedamini kasutatakse.
Aritmeetiline keskmine
Lihtne aritmeetiline keskmine (kaalumata) võrdub atribuudi üksikute väärtuste summaga, mis on jagatud nende väärtuste arvuga.
Karakteristiku üksikuid väärtusi nimetatakse variantideks ja neid tähistatakse x(); rahvastikuüksuste arvu tähistatakse n-ga, tunnuse keskmist väärtust tähistatakse tähega 
. Seetõttu on aritmeetiline lihtkeskmine võrdne:
Diskreetsete jaotusseeriate andmete põhjal on selge, et samu iseloomulikke väärtusi (variante) korratakse mitu korda. Seega variant x esineb kokku 2 korda ja variant x 16 korda jne.
Karakteristiku identsete väärtuste arvu jaotuseseerias nimetatakse sageduseks või kaaluks ja seda tähistatakse sümboliga n.
Arvutame välja ühe töölise keskmise palga 
hõõrudes.:
Iga töötajate rühma palgafond võrdub valikuvõimaluste ja sageduse korrutisega ning nende toodete summa annab kõigi töötajate kogupalgafondi.
Vastavalt sellele saab arvutused esitada üldkujul:
Saadud valemit nimetatakse kaalutud aritmeetiliseks keskmiseks.
Töötlemise tulemusena saab statistilist materjali esitada mitte ainult diskreetsete jaotusridadena, vaid ka suletud või avatud intervallidega intervallvariatsiooniridadena.
Grupeeritud andmete keskmine arvutatakse kaalutud aritmeetilise keskmise valemi abil:
Majandusstatistika praktikas on mõnikord vaja keskmist arvutada grupi keskmiste või rahvastiku üksikute osade keskmiste (osakeskmiste) abil. Sellistel juhtudel võetakse valikutena (x) grupi või erakeskmised, mille alusel arvutatakse üldkeskmine tavalise kaalutud aritmeetilise keskmisena.
Aritmeetilise keskmise põhiomadused .
Aritmeetilisel keskmisel on mitmeid omadusi:
1. Aritmeetilise keskmise väärtus ei muutu tunnuse x iga väärtuse sageduse vähendamisest või suurendamisest n korda.
Kui kõik sagedused jagada või korrutada mis tahes arvuga, siis keskmine väärtus ei muutu.
2. Tunnuse individuaalsete väärtuste ühiskordaja võib võtta keskmise märgist kaugemale:
3. Kahe või enama suuruse summa (erinevuse) keskmine on võrdne nende keskmiste summaga (erinevus):
4. Kui x = c, kus c on konstantne väärtus, siis 
.
5. Atribuudi X väärtuste kõrvalekallete summa aritmeetilisest keskmisest x on võrdne nulliga:
Harmooniline keskmine.
Statistika kasutab koos aritmeetilise keskmisega harmoonilist keskmist, atribuudi pöördväärtuste aritmeetilise keskmise pöördväärtust. Nagu aritmeetiline keskmine, võib see olla lihtne ja kaalutud.
Variatsiooniridade karakteristikud koos keskmistega on režiim ja mediaan.
Mood - see on tunnuse (variandi) väärtus, mis kordub uuritavas populatsioonis kõige sagedamini. Diskreetsete jaotusseeriate puhul on režiimiks kõrgeima sagedusega variandi väärtus.
Võrdsete intervallidega intervalljaotuse seeriate puhul määratakse režiim järgmise valemiga:
Kus 
- režiimi sisaldava intervalli algväärtus;
- modaalintervalli väärtus;
- modaalintervalli sagedus;
- modaalsele intervallile eelneva intervalli sagedus;
- modaalsele intervallile järgneva intervalli sagedus.
Mediaan - see on variant, mis asub variatsiooniseeria keskel. Kui jaotusseeria on diskreetne ja paaritu arvu liikmetega, on mediaaniks järjestatud jada keskel asuv valik (järjestatud jada on rahvastikuühikute järjestus kasvavas või kahanevas järjekorras).
Teema 3. Keskmiste meetod
Keskmine suurus statistikas on kvalitatiivselt homogeensete nähtuste ja protsesside üldistatud tunnus mingi varieeruva tunnuse järgi, mis näitab üldkogumi ühikuga seotud tunnuse taset.
keskmine väärtus
abstraktne, sest iseloomustab tunnuse väärtust populatsiooni mõnes umbisikulises üksuses.Essents keskmine väärtus on see, et läbi individuaalse ja juhusliku avaldub üldine ja vajalik ehk massinähtuste arengu tendents ja muster. Keskmistes väärtustes üldistatavad omadused on omased kõigile elanikkonna üksustele.
Tänu sellele on keskmine väärtus suur tähtsus tuvastada mustreid, mis on omased massinähtustele ja ei ole märgatavad populatsiooni üksikutes üksustes. Alates W. Pettyst hakati statistilise analüüsi peamiseks tehnikaks pidama keskmisi.
Üldised põhimõtted keskmiste väärtuste rakendamine:
1) on vajalik rahvastikuüksuse, mille kohta keskmine väärtus arvutatakse, mõistlik valik;
2) keskmise väärtuse määramisel tuleb lähtuda keskmistatava tunnuse kvalitatiivsest sisust, arvestada uuritavate tunnuste seost, samuti arvutamiseks saadaolevaid andmeid;
3) keskmised väärtused tuleks arvutada kvalitatiivselt homogeensete populatsioonide põhjal, mis saadakse rühmitusmeetodil, mis hõlmab üldistavate näitajate süsteemi arvutamist;
4) üldkeskmisi peavad toetama grupi keskmised.
Sõltuvalt algandmete olemusest, rakendusalast ja statistikas arvutamise meetodist eristatakse järgmist: peamised meediumitüübid:
1) võimsuse keskmised(aritmeetiline keskmine, harmooniline, geomeetriline, keskmine ruut ja kuup);
2) struktuursed (mitteparameetrilised) vahendid(režiim ja mediaan).
Statistikas õige kirjeldus uuritud populatsioon igal üksikjuhul varieeruva tunnuse järgi annab ainult väga konkreetset tüüpi keskmise. Küsimus, millist tüüpi keskmist on konkreetsel juhul vaja rakendada, lahendatakse uuritava üldkogumi spetsiifilise analüüsi kaudu, samuti lähtutakse tulemuste mõtestatuse põhimõttest summeerimisel või kaalumisel. Need ja teised põhimõtted väljenduvad statistikas keskmiste teooria.
Näiteks aritmeetilist keskmist ja harmoonilist keskmist kasutatakse uuritava populatsiooni muutuva tunnuse keskmise väärtuse iseloomustamiseks. Geomeetrilist keskmist kasutatakse ainult dünaamika keskmiste määrade arvutamisel ja ruutkeskmist kasutatakse ainult variatsiooniindeksite arvutamisel.
Keskmiste väärtuste arvutamise valemid on toodud tabelis 3.1.
Tabel 3.1 – Keskmiste väärtuste arvutamise valemid
| Keskmiste tüübid | Arvutusvalemid | |
| lihtne | kaalutud | |
| 1. Aritmeetiline keskmine |  |
|
| 2. Harmooniline keskmine | ||
| 3. Geomeetriline keskmine | ||
| 4. Keskmine ruut |  |
Nimetused:- kogused, mille kohta arvutatakse keskmine; - keskmine, kus ülaltoodud riba näitab, et üksikute väärtuste keskmistamine toimub; - sagedus (tunnuse üksikute väärtuste korratavus).
Ilmselgelt on erinevad keskmised tuletatud võimsuse keskmise üldvalem (3.1):
, (3.1)
kui k = + 1 - aritmeetiline keskmine; k = -1 - harmooniline keskmine; k = 0 - geomeetriline keskmine; k = +2 – ruutkeskmine.
Keskmised väärtused võivad olla lihtsad või kaalutud. Kaalutud keskmised nimetatakse väärtusi, mis võtavad arvesse, et atribuutide väärtuste mõnel variandil võivad olla erinevad numbrid; sellega seoses tuleb iga valik selle arvuga korrutada. “Skaalad” on antud juhul koondühikute arvud erinevates rühmades, s.o. Iga valik on "kaalustatud" selle sagedusega. Sagedust f nimetatakse statistiline kaal või keskmine kaal.
Kui uurida kvalitatiivselt homogeensete omadustega populatsiooni, siis toimib siin keskmine väärtus kui tüüpiline keskmine. Näiteks määratakse kindlaks kindla sissetulekutasemega teatud tööstusharu töötajate rühmade jaoks tüüpiline keskmine kulutus esmatarbekaupadele.
Kvalitatiivselt heterogeensete tunnustega populatsiooni uurimisel võib esile tulla keskmiste näitajate ebatüüpilisus. Need on näiteks toodetud rahvatulu keskmised näitajad elaniku kohta (erinevad vanuserühmad). Keskmised väärtused üldistavad tunnuste või süsteemsete ruumiagregaatide (rahvusvaheline kogukond, kontinent, osariik, piirkond, piirkond jne) kvalitatiivselt heterogeenseid väärtusi või ajaliselt pikendatud (sajand, kümnend, aasta, aastaaeg jne) dünaamilisi agregaate. ). Selliseid keskmisi väärtusi nimetatakse süsteemi keskmised.
Lõpuks õige keskmise valik eeldab järgmist järjestust:
a) rahvastiku üldnäitaja kehtestamine;
b) suuruste matemaatilise seose määramine antud üldnäitaja jaoks;
c) üksikute väärtuste asendamine keskmiste väärtustega;
d) keskmise arvutamine vastava võrrandi abil.
3.2 Aritmeetiline keskmine ja selle omadused ning arvutustehnikad. Harmooniline keskmine
Aritmeetiline keskmine– kõige levinum keskmise suurusega tüüp; see arvutatakse juhtudel, kui keskmistatud tunnuse maht moodustatakse uuritava statistilise üldkogumi üksikute üksuste väärtuste summana.
Aritmeetilise keskmise olulisemad omadused :
1. Keskmise korrutis sageduste summaga on alati võrdne variantide (individuaalväärtuste) korrutiste summaga sageduste kaupa.
2. Kui lahutate (liidete) igast valikust suvalise arvu, siis uus keskmine väheneb (suureneb) sama arvu võrra.
3. Kui iga variant korrutada (jagada) mingi suvalise arvuga, siis uus keskmine suureneb (väheneb) sama palju
4. Kui kõik sagedused (kaalud) jagada või korrutada suvalise arvuga, siis aritmeetiline keskmine ei muutu.
5. Üksikute valikute aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete summa on alati null.
Saate lahutada suvalise konstantse väärtuse ( parem väärtus keskmised või kõrgeima sagedusega optsioonid), vähendage saadud erinevusi ühise teguri võrra (eelistatavalt intervalli väärtusega) ja väljendage sagedusi üksikasjades (protsendina) ja korrutage arvutatud keskmine ühisteguriga ja lisage suvaline konstantne väärtus.
Seda aritmeetilise keskmise arvutamise meetodit nimetatakse tingimuslikust nullist arvutamise meetod.
Harmooniline keskmine nimetatakse pöördaritmeetiliseks keskmiseks, kuna see väärtus saadakse k = -1. Lihtne harmooniline keskmine kasutatakse, kui iseloomulike väärtuste kaalud on samad. Näiteks peate arvutama kahe auto keskmise kiiruse, mis on läbinud sama tee, kuid koos erinevatel kiirustel: esimene - kiirusel 100 km/h, teine - 90 km/h. Harmoonilise keskmise meetodi abil arvutame keskmise kiiruse:
Statistikapraktikas kasutatakse seda sagedamini kaalutud harmooniline keskmine – juhtudel, kui iga tunnuse kaalud (või nähtuste mahud) ei ole võrdsed ja keskmise arvutamise algsuhtes on lugeja teada, kuid nimetaja on teadmata.
Näiteks keskmise hinna arvutamisel peame kasutama müügisumma ja müüdud ühikute arvu suhet. Me ei tea müüdud ühikute arvu ( me räägime erinevate kaupade kohta), kuid nende erinevate kaupade müügisummad on teada. Oletame, et peate välja selgitama müüdud kaupade keskmise hinna (tabel 3.2).
Tabel 3.2 – Algandmed
Saame:
Kui kasutate siin aritmeetilist keskmise valemit, saate keskmise hinna, mis on ebareaalne:
Kui keskmise kaaluhinna arvutamisel võtame kaupade arvu, siis õige tulemuse annab aritmeetilise kaalutud keskmise valem. Kui kasutada kaaludena partiide maksumust, siis harmooniline keskmine annab õige tulemuse.
See on, keskmineHarmooniline ei ole eriline keskmise tüüp, vaid pigem aritmeetilise keskmise arvutamise erimeetod. Statistikas on endiselt tavaks eristada omaette keskmise liigina harmoonilist keskmist, sest selle abil saab lihtsustada aritmeetilise keskmise arvutamise tehnikat ja, mis veelgi olulisem, arvesse võtta olemasoleva statistilise materjali olemust.
Kontrollida saab ka keskmise vormi (aritmeetilise või harmoonilise) vormi valiku õigsust lisakriteerium: kui kaaludena kasutatakse absoluutväärtusi, peaksid keskmise arvutamisel kõik vahepealsed toimingud andma olulisi näitajaid. Näiteks keskmise hinna arvutamiseks korrutage hind kaupade arvuga, et saada nende maksumus. Ja kaupade maksumuse jagamine nende hindadega annab kauba koguse.
Harmoonilise keskmise abil statistikas määratakse ka keskmine plaani täitmise protsent (plaani tegeliku elluviimise alusel), keskmine toimingute tegemiseks kuluv aeg (lähtudes keskmisest ühele toimingule kuluvast ajast ja summaarsest tööajast üksikud töötajad) jne.
Geomeetriline keskmine leiab selle rakenduse keskmiste kasvumäärade (keskmiste kasvukoefitsientide) määramisel, kui tunnuse individuaalsed väärtused esitatakse suhteliste väärtuste kujul. Seda kasutatakse ka siis, kui on vaja leida keskmine tunnuse minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel (näiteks vahemikus 100 kuni 1000000).
Keskmine ruut kasutatakse tunnuse varieerumise mõõtmiseks agregaadis (standardhälbe arvutamine).
Kehtib statistikas keskmiste enamuse reegel:
X kahju.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.
Statistiline üldkogum koosneb üksuste, objektide või nähtuste kogumist, mis on mõnes mõttes homogeensed ja millel on samal ajal erinevad omadused. Iga objekti tunnuste suuruse määravad nii need, mis on ühised kõigile populatsiooni üksustele kui ka selle individuaalsed omadused.
Analüüsides jaotuse järjestatud seeriaid (järjestus, intervall jne), võib märgata, et statistilise üldkogumi elemendid on selgelt koondunud teatud kesksete väärtuste ümber. Selline üksikute atribuutide väärtuste kontsentratsioon teatud kesksete väärtuste ümber esineb reeglina kõigis statistilistes jaotuses. Nimetatakse uuritava tunnuse individuaalsete väärtuste kalduvust rühmitada sagedusjaotuse keskpunkti ümber keskne tendents. Jaotuse keskse tendentsi iseloomustamiseks kasutatakse üldistavaid näitajaid, mida nimetatakse keskmisteks väärtusteks.
Keskmine suurus statistikas nimetavad nad üldnäitajat, mis iseloomustab tüüpiline suurus iseloomulik kvalitatiivselt homogeensele populatsioonile kindlatel koha- ja ajatingimustel ning peegeldab muutuva tunnuse hulka populatsiooniühiku kohta. Keskmine väärtus arvutatakse enamikul juhtudel, jagades tunnuse kogumahu seda tunnust omavate ühikute arvuga. Kui on teada näiteks kuupalgafond ja töötajate arv kuus, siis keskmise kuupalga saab määrata, jagades palgafondi töötajate arvuga.
Keskmised väärtused on sellised näitajad nagu tööpäeva keskmine kestus, nädal, aasta, keskmine tariifikategooria töötajad, keskmine tööviljakuse tase, keskmine rahvatulu elaniku kohta, keskmine teraviljasaak riigis, keskmine toidutarbimine elaniku kohta jne.
Keskmised väärtused arvutatakse nii absoluut- kui ka suhteliste väärtuste põhjal, neid nimetatakse indikaatoriteks ja neid mõõdetakse samades mõõtühikutes kui keskmistatud tunnus. Need iseloomustavad uuritava populatsiooni väärtust ühe numbriga. Keskmised väärtused peegeldavad sotsiaalmajanduslike nähtuste ja protsesside objektiivset ja tüüpilist taset.
Iga keskmine iseloomustab uuritavat populatsiooni ühe kindla tunnuse järgi, kuid mis tahes populatsiooni iseloomustamiseks, selle tüüpiliste tunnuste ja kvalitatiivsete tunnuste kirjeldamiseks on vaja keskmiste näitajate süsteemi. Seetõttu kasutatakse seda kodumaise statistika praktikas sotsiaal-majanduslike nähtuste uurimiseks reeglina keskmiste süsteem. Näiteks hinnatakse keskmise palga näitajaid koos tööviljakuse (keskmine toodang tööajaühiku kohta), kapitali ja tööjõu suhte ning energiatoodangu, töö mehhaniseerituse ja automatiseerituse taseme jne näitajatega.
Statistikateaduses ja praktikas on keskmised äärmiselt olulised. Keskmiste meetod on üks olulisemaid statistilisi meetodeid ja keskmine on üks statistikateaduse põhikategooriaid. Keskmiste teoorial on statistikateoorias üks keskseid kohti. Keskmised väärtused on aluseks variatsiooninäitajate (punkt 5), valimivigade (jagu 6), dispersiooni (jagu 8) ja korrelatsioonianalüüs(jaotis 9).
Samuti on võimatu ette kujutada statistikat ilma indeksiteta ja viimased esindavad sisuliselt keskmisi väärtusi. Statistilise rühmitamise meetodi kasutamine toob kaasa ka keskmiste väärtuste kasutamise.
Nagu juba märgitud, on rühmitamise meetod üks peamisi statistika meetodeid. Keskmiste meetod koos rühmitusmeetodiga on komponent teaduslikult välja töötatud statistiline metoodika. Keskmised näitajad täiendavad orgaaniliselt statistilise rühmitamise meetodit.
Keskmisi väärtusi kasutatakse nähtuste muutuste iseloomustamiseks aja jooksul, keskmiste kasvumäärade ja juurdekasvu arvutamiseks. Näiteks tööviljakuse ja palkade keskmiste kasvutempode võrdlus teatud perioodi (aastate arvu) kohta näitab nähtuse arengu olemust uuritaval perioodil, eraldi tööviljakuse ja eraldi töötasude osas. Nende kahe nähtuse kasvumäärade võrdlus annab aimu tööviljakuse kasvu või languse ja selle tasumise vahelise seose olemusest ja eripärast teatud aja jooksul.
Kõigil juhtudel, kui on vaja iseloomustada ühe numbriga muutuva tunnuse väärtuste komplekti, kasutatakse selle keskmist väärtust.
Statistilises agregaadis muutub tunnuse väärtus objektide lõikes, see tähendab, et see muutub. Keskmistades neid väärtusi ja andes atribuudi taseme väärtuse igale populatsiooni liikmele, võtame atribuudi individuaalsetest väärtustest välja, asendades sellega atribuudi väärtuste jaotuste seeriad. sama väärtus, mis on võrdne keskmise väärtusega. Selline abstraktsioon on aga õiguspärane vaid juhul, kui keskmistamine ei muuda põhiomadust antud tunnuse kui terviku suhtes. Seda statistilise üldkogumi põhiomadust, mis on seotud tunnuse individuaalsete väärtustega ja mida keskmistamisel tuleb hoida muutumatuna, nimetatakse keskmise määravaks omaduseks uuritava tunnuse suhtes. Teisisõnu, keskmine, mis asendab atribuudi üksikuid väärtusi, ei tohiks muuta nähtuse üldist mahtu, s.t. See võrdsus on kohustuslik: nähtuse maht võrdub keskmise väärtuse ja elanikkonna suuruse korrutisega. Näiteks kui kolmest odra saagikuse väärtusest (x, = 20,0; 23,3; 23,6 c/ha) arvutatakse keskmine (20,0 + 23,3 + 23,6): 3 = 22,3 c/ha ha, siis vastavalt definitsioonile keskmise omaduse järgi tuleb järgida järgmist võrdsust:
Nagu ülaltoodud näitest näha, ei lange odra keskmine saagikus kokku ühegi üksikuga, kuna ükski talu ei andnud saaki 22,3 c/ha. Kui aga kujutada ette, et iga talu sai 22,3 c/ha, siis kogusaak ei muutu ja võrdub 66,9 c/ha. Järelikult ei saa keskmine, mis asendab üksikute üksikute näitajate tegelikku väärtust, muuta uuritava tunnuse väärtuste kogusumma suurust.
Keskmiste väärtuste peamine tähtsus seisneb nende üldistavas funktsioonis, st. tunnuse paljude erinevate individuaalsete väärtuste asendamisel keskmise väärtusega, mis iseloomustab kogu nähtuste kogumit. Keskmise võime iseloomustada mitte üksikuid üksusi, vaid väljendada tunnuse taset populatsiooni iga ühiku kohta on selle eristusvõime. See omadus teeb keskmisest varieeruvate omaduste taseme üldistavaks näitajaks, s.t. indikaator, mis võtab välja tunnuse väärtuse individuaalsetest väärtustest populatsiooni üksikutes ühikutes. Kuid see, et keskmine on abstraktne, ei võta teda teaduslikust uurimistööst ilma. Abstraktsioon on mis tahes teadusliku uurimistöö vajalik aste. Keskmises väärtuses, nagu igas abstraktsioonis, realiseerub üksikisiku ja üldise dialektiline ühtsus. Keskmise tunnuse keskmiste ja individuaalsete väärtuste suhe väljendab dialektilist seost indiviidi ja üldise vahel.
Keskmiste väärtuste kasutamine peaks põhinema üld- ja üksikisiku, massi ja üksikisiku dialektiliste kategooriate mõistmisel ja vastastikusel seosel.
Keskmine väärtus peegeldab seda, mis on ühist igas üksikus, üksikus objektis. Tänu sellele muutub keskmine massilistele sotsiaalsetele nähtustele omaste ja üksiknähtustes mitte märgatavate mustrite tuvastamisel suureks tähtsuseks.
Nähtuste arengus kombineeritakse vajadus juhusega. Seetõttu on keskmised väärtused seotud seadusega suured numbrid. Selle seose olemus seisneb selles, et keskmise väärtuse arvutamisel on suurte arvude seadusest tulenevalt erineva suunaga juhuslikud kõikumised vastastikku tasakaalustatud, tühistatud ning keskmine väärtus näitab selgelt sageduse põhimustrit, vajalikkust ja mõju. üldtingimused, mis on iseloomulikud antud populatsioonile. Keskmine peegeldab uuritavate nähtuste tüüpilist, tegelikku taset. Nende tasemete hindamine ning ajas ja ruumis muutmine on keskmiste üks peamisi ülesandeid. Seega avaldub läbi keskmiste näiteks tööviljakuse, põllukultuuride saagikuse ja loomaviljakuse kasvu muster. Järelikult kujutavad keskmised väärtused üldnäitajaid, milles väljendub üldtingimuste mõju ja uuritava nähtuse muster.
Keskmiste väärtuste abil uurime nähtuste muutumist ajas ja ruumis, nende arengutrende, tunnuste vahelisi seoseid ja sõltuvusi, efektiivsust. erinevaid vorme tootmise, tööjõu ja tehnoloogia korraldus, teostus teaduse ja tehnoloogia areng, uute, progressiivsete väljaselgitamine teatud sotsiaal-majanduslike nähtuste ja protsesside arengus.
Keskmisi väärtusi kasutatakse sotsiaal-majanduslike nähtuste statistilises analüüsis laialdaselt, kuna just neis avalduvad nii ajas kui ruumis varieeruvate massiliste sotsiaalsete nähtuste arengu mustrid ja suundumused. Nii näiteks peegeldub tööviljakuse tõusu muster majanduses keskmise toodangu kasvus ühe tootmises hõivatud töötaja kohta, brutosaagi suurenemises - keskmise saagikuse kasvus jne.
Keskmine väärtus annab uuritava nähtuse üldistatud tunnuse ainult ühe tunnuse põhjal, mis peegeldab selle üht olulisemat aspekti. Sellega seoses on uuritava nähtuse põhjalikuks analüüsiks vaja luua mitmete omavahel seotud ja üksteist täiendavate oluliste tunnuste keskmiste väärtuste süsteem.
Selleks, et keskmine kajastaks seda, mis on uuritavates sotsiaalsetes nähtustes tõeliselt tüüpiline ja loomulik, on selle arvutamisel vaja kinni pidada järgmistest tingimustest.
1. Keskmise arvutamise kriteerium peab olema oluline. Vastasel juhul saadakse ebaoluline või moonutatud keskmine.
2. Keskmine tuleb arvutada ainult kvalitatiivselt homogeense populatsiooni kohta. Seetõttu peab keskmiste otsesele arvutamisele eelnema statistiline rühmitamine, mis võimaldab jagada uuritavat üldkogumit kvalitatiivselt homogeenseteks rühmadeks. Sellega seoses on keskmiste meetodi teaduslikuks aluseks statistilise rühmitamise meetod.
Populatsiooni homogeensuse küsimust ei tohiks formaalselt otsustada selle jaotusvormi järgi. See, nagu ka keskmise tüüpilisuse küsimus, tuleb lahendada totaalsust moodustavatest põhjustest ja tingimustest lähtuvalt. Homogeenne on ka tervik, mille üksused moodustuvad ühiste peamiste põhjuste ja tingimuste mõjul, mis määravad üldine tase antud omadus, mis on iseloomulik kogu populatsioonile.
3. Keskmise väärtuse arvutamisel tuleks lähtuda kõigi antud tüüpi ühikute või piisavalt suure objektide kogumi katmisest, et juhuslikud kõikumised oleksid omavahel võrdsed ja tekiks muster, tunnuse tüüpilised ja iseloomulikud suurused. uuritakse.
4. Üldine nõue Igat tüüpi keskmiste väärtuste arvutamisel on kohustuslik säilitada atribuudi kogumaht agregaadis muutumatuna, kui selle üksikud väärtused asendatakse keskmise väärtusega (nn keskmise määrav omadus).
Teema 5. Keskmised väärtused kui statistilised näitajad
Keskmise väärtuse mõiste. Statistiliste uuringute keskmiste ulatus
Keskmisi väärtusi kasutatakse saadud esmaste statistiliste andmete töötlemise ja summeerimise etapis. Keskmiste väärtuste määramise vajadus tuleneb asjaolust, et reeglina ei ole uuritavate populatsioonide erinevate üksuste sama tunnuse individuaalsed väärtused samad.
Keskmine suurus nimetatakse näitajaks, mis iseloomustab mingi tunnuse või tunnuste rühma üldistatud väärtust uuritavas populatsioonis.
Kui uurida kvalitatiivselt homogeensete omadustega populatsiooni, siis toimib siin keskmine väärtus kui tüüpiline keskmine. Näiteks teatud kindla sissetulekutasemega tööstusharu töötajate rühmade jaoks määratakse tüüpilised keskmised kulutused esmatarbekaupadele, s.o. tüüpiline keskmine üldistab atribuudi kvalitatiivselt homogeenseid väärtusi antud populatsioonis, mis on selle rühma töötajate kulude osatähtsus esmatähtsatele kaupadele.
Kvalitatiivselt heterogeensete tunnustega populatsiooni uurimisel võib esile tulla keskmiste näitajate ebatüüpilisus. Need on näiteks toodetud rahvatulu keskmised näitajad elaniku kohta (erinevad vanuserühmad), teravilja saagikuse keskmised näitajad kogu Venemaal (erinevate kliimavööndite piirkonnad ja erinevad teraviljakultuurid), elanikkonna sündimuse keskmised näitajad. kõik riigi piirkonnad, teatud perioodi keskmised temperatuurid jne. Siin üldistavad keskmised väärtused tunnuste või süsteemsete ruumiliste agregaatide (rahvusvaheline kogukond, kontinent, osariik, piirkond, piirkond jne) kvalitatiivselt heterogeenseid väärtusi või aja jooksul (sajand, kümnend, aasta, aastaaeg jne) pikendatud dünaamilisi agregaate. ) . Selliseid keskmisi väärtusi nimetatakse süsteemi keskmised.
Seega seisneb keskmiste väärtuste tähtsus nende üldistavas funktsioonis. Keskmine väärtus asendab suur number tunnuse individuaalsed väärtused, mis paljastavad kõigile elanikkonna üksustele omased ühised omadused. See omakorda võimaldab vältida juhuslikke põhjuseid ja tuvastada levinud põhjustest tulenevaid üldisi mustreid.
Keskmiste väärtuste tüübid ja nende arvutamise meetodid
Statistilise töötlemise etapis saab püstitada mitmesuguseid uurimisprobleeme, mille lahendamiseks on vaja valida sobiv keskmine. Sel juhul tuleb juhinduda järgmisest reeglist: keskmise lugejat ja nimetajat tähistavad suurused peavad olema omavahel loogiliselt seotud.
võimsuse keskmised;
struktuursed keskmised.
Tutvustame järgmisi konventsioone:
Kogused, mille kohta arvutatakse keskmine;
Keskmine, kus ülaltoodud riba näitab, et toimub üksikute väärtuste keskmistamine;
Sagedus (individuaalsete tunnusväärtuste korratavus).
Üldise võimsuse keskmise valemi põhjal on tuletatud erinevad keskmised:
(5.1)
kui k = 1 - aritmeetiline keskmine; k = -1 - harmooniline keskmine; k = 0 - geomeetriline keskmine; k = -2 - ruutkeskmine.
Keskmised väärtused võivad olla lihtsad või kaalutud. Kaalutud keskmised Need on väärtused, mis võtavad arvesse, et mõnel atribuutide väärtuste variandil võivad olla erinevad numbrid ja seetõttu tuleb iga valik selle arvuga korrutada. Teisisõnu, “skaalad” on koondühikute arvud erinevates rühmades, s.o. Iga valik on "kaalustatud" selle sagedusega. Sagedust f nimetatakse statistiline kaal või keskmine kaal.
Aritmeetiline keskmine- kõige levinum keskmise tüüp. Seda kasutatakse siis, kui arvutatakse rühmitamata statistiliste andmete põhjal, kus on vaja saada keskmine termin. Aritmeetiline keskmine on tunnuse keskmine väärtus, mille saamisel jääb tunnuse kogumaht agregaadis muutumatuks.
Aritmeetilise keskmise valemil (lihtne) on vorm
kus n on populatsiooni suurus.
Näiteks arvutatakse ettevõtte töötajate keskmine palk aritmeetilise keskmisena:
Siin on määravad näitajad iga töötaja töötasu ja ettevõtte töötajate arv. Keskmise arvutamisel jäi töötasu kogusumma samaks, kuid jagunes kõigi töötajate vahel võrdselt. Näiteks peate arvutama töötajate keskmise palga väikeses ettevõttes, kus töötab 8 inimest:
Keskmiste väärtuste arvutamisel saab keskmistatud tunnuse üksikuid väärtusi korrata, seega arvutatakse keskmine väärtus rühmitatud andmete põhjal. Sel juhul räägime kasutamisest aritmeetiline keskmine kaalutud, millel on vorm
(5.3)
Seega peame arvutama mõne keskmise aktsiahinna aktsiaselts börsil kauplemisel. Teatavasti toimusid tehingud 5 päeva jooksul (5 tehingut), müügikursiga müüdud aktsiate arv jagunes järgmiselt:
1-800 ak. - 1010 hõõruda.
2 - 650 ak. - 990 hõõruda.
3 - 700 ak. - 1015 hõõruda.
4 - 550 ak. - 900 rubla.
5 - 850 ak. - 1150 hõõruda.
Aktsiate keskmise hinna määramise esialgne suhe on tehingute kogusumma (TVA) ja müüdud aktsiate arvu (KPA) suhe:
OSS = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 = 3 634 500;
KPA = 800+650+700+550+850=3550.
Sel juhul oli aktsia keskmine hind võrdne
On vaja teada aritmeetilise keskmise omadusi, mis on väga oluline nii selle kasutamisel kui ka arvutamisel. Eristada saab kolme peamist omadust, mis kõige enam määrasid aritmeetilise keskmise laialdase kasutamise statistilistes ja majanduslikes arvutustes.
Omadus üks (null): tunnuse üksikute väärtuste positiivsete kõrvalekallete summa selle keskmisest väärtusest on võrdne negatiivsete kõrvalekallete summaga. See on väga oluline omadus, kuna see näitab, et kõik juhuslikest põhjustest põhjustatud kõrvalekalded (nii + kui ka -) tühistatakse vastastikku.
Tõestus:
Omadus kaks (minimaalne): tunnuse üksikute väärtuste ruutude kõrvalekallete summa aritmeetilisest keskmisest on väiksem kui mis tahes muust arvust (a), s.o. on minimaalne arv.
Tõestus.
Koostame muutuja a kõrvalekallete ruudu summa:
(5.4)
Selle funktsiooni ekstreemumi leidmiseks on vaja võrdsustada selle tuletis a suhtes nulliga:
Siit saame:
(5.5)
Järelikult saavutatakse kõrvalekallete ruudu summa ekstreemum . See ekstreemum on miinimum, kuna funktsioonil ei saa olla maksimumi.
Omadus kolm: konstantse väärtuse aritmeetiline keskmine on võrdne selle konstandiga: a = const.
Lisaks nendele kolmele kõige olulisemale aritmeetilise keskmise omadusele on nn disaini omadused, mis on elektroonilise arvutitehnoloogia kasutamise tõttu järk-järgult kaotamas oma tähtsust:
kui iga ühiku atribuudi individuaalne väärtus korrutada või jagada konstantse arvuga, siis aritmeetiline keskmine suureneb või väheneb sama palju;
aritmeetiline keskmine ei muutu, kui iga atribuudi väärtuse kaal (sagedus) jagatakse konstantse arvuga;
kui iga ühiku atribuudi individuaalseid väärtusi vähendatakse või suurendatakse sama palju, siis aritmeetiline keskmine väheneb või suureneb sama palju.
Harmooniline keskmine. Seda keskmist nimetatakse pöördaritmeetiliseks keskmiseks, kuna seda väärtust kasutatakse siis, kui k = -1.
Lihtne harmooniline keskmine kasutatakse siis, kui atribuutide väärtuste kaal on sama. Selle valemi saab tuletada põhivalemist, asendades k = -1:
Näiteks peame arvutama kahe auto keskmise kiiruse, mis läbisid sama tee, kuid erinevatel kiirustel: esimene kiirusel 100 km/h, teine 90 km/h. Harmoonilise keskmise meetodi abil arvutame keskmise kiiruse:
Statistilises praktikas kasutatakse sagedamini harmoonilist kaalutud, mille valemil on vorm
Seda valemit kasutatakse juhtudel, kui iga atribuudi kaalud (või nähtuste mahud) ei ole võrdsed. Algses vahekorras keskmise arvutamiseks on lugeja teada, kuid nimetaja on teadmata.
Selles peatükis kirjeldatakse keskmiste väärtuste eesmärki, käsitletakse nende peamisi liike ja vorme ning arvutusmeetodeid. Esitatud materjali uurimisel on vaja mõista keskmiste väärtuste koostamise nõudeid, kuna nende järgimine võimaldab neid väärtusi kasutada homogeensete ühikute komplekti atribuutide väärtuste tüüpiliste omadustena.
Keskmiste vormid ja liigid
keskmine väärtus on atribuutide väärtuste taseme üldistatud tunnus, mis saadakse üldkogumi ühiku kohta. Erinevalt suhtelisest väärtusest, mis on näitajate suhte mõõt, on keskmine väärtus elanikkonna ühiku kohta iseloomustava tunnuse mõõt.
Keskmise väärtuse kõige olulisem omadus on see, et see peegeldab seda, mis on ühine uuritava populatsiooni kõikidele üksustele.
Rahvastiku üksikute üksuste atribuutide väärtused kõiguvad ühes või teises suunas paljude tegurite mõjul, millest mõned võivad olla olulised või juhuslikud. Näiteks pangalaenu intressimäärad määravad kõikide krediidiasutuste puhul lähtetegurid (reservi nõude tase ja keskpanga poolt kommertspankadele antavate laenude baasintress jne), samuti krediidiasutustele iseloomulikud tunnused. iga konkreetne tehing, olenevalt antud laenuga kaasnevast riskist, selle suurusest ja tagasimakseperioodist, laenu menetlemise kuludest ja selle tagasimaksmise jälgimisest jne.
Keskmine väärtus võtab kokku tunnuse individuaalsed väärtused ja peegeldab üldiste tingimuste mõju, mis on antud populatsioonile kõige iseloomulikumad konkreetsetes koha- ja ajatingimustes. Keskmise olemus seisneb selles, et see tühistab populatsiooni üksikute üksuste iseloomulike väärtuste kõrvalekalded, mis on põhjustatud juhuslike tegurite toimest, ja võtab arvesse peamiste tegurite toimest põhjustatud muutusi. Keskmine väärtus peegeldab tunnuse tüüpilist taset antud ühikute populatsioonis, kui see arvutatakse kvalitatiivselt homogeense populatsiooni põhjal. Sellega seoses kasutatakse keskmist meetodit koos rühmitamismeetodiga.
Nimetatakse keskmisi väärtusi, mis iseloomustavad elanikkonda tervikuna üldine, ja keskmised, mis kajastavad rühma või alarühma omadusi, - Grupp.
Üld- ja grupikeskmiste kombinatsioon võimaldab võrrelda ajas ja ruumis ning laiendab oluliselt statistilise analüüsi piire. Näiteks 2002. aasta rahvaloenduse tulemusi kokku võttes selgus, et Venemaa jaoks nagu enamik Euroopa riigid, mida iseloomustab elanikkonna vananemine. Võrreldes 1989. aasta rahvaloendusega keskmine vanus riigi elanike arv kasvas kolme aasta võrra ja moodustas 37,7 aastat, mehed - 35,2 aastat, naised - 40,0 aastat (1989. aasta andmetel olid need näitajad vastavalt 34,7, 31,9 ja 37,2 aastat). Rosstati andmetel oli 2011. aastal meeste oodatav eluiga sünnimomendil 63 aastat, naistel 75,6 aastat.
Iga keskmine peegeldab ühe tunnuse järgi uuritava populatsiooni eripära. Praktiliste otsuste tegemiseks on reeglina vaja populatsiooni iseloomustada mitme tunnuse järgi. Sel juhul kasutatakse keskmiste süsteemi.
Näiteks selleks, et saavutada pangandustegevuses aktsepteeritava riskitaseme juures toimingute nõutav kasumlikkuse tase, määratakse väljastatud laenude keskmised intressimäärad, võttes arvesse hoiuste ja muude finantsinstrumentide keskmisi intressimäärasid.
Keskmise väärtuse vorm, tüüp ja arvutamise meetod sõltuvad uuringu eesmärgist, uuritavate tunnuste tüübist ja seostest, samuti lähteandmete iseloomust. Keskmised jagunevad kahte põhikategooriasse:
- 1) võimsuse keskmised;
- 2) struktuursed keskmised.
Keskmise valem määratakse rakendatud keskmise võimsuse väärtuse järgi. Kasvava eksponendiga k keskmine väärtus suureneb vastavalt.
