Intervall meetod on universaalne viis lahendada peaaegu kõik koolialgebra kursusel esinevad ebavõrdsused. See põhineb funktsioonide järgmistel omadustel:
1. Pidev funktsioon g(x) saab muuta märki ainult punktis, kus ta on võrdne 0-ga. Graafiliselt tähendab see, et pideva funktsiooni graafik saab liikuda ühelt pooltasandilt teisele ainult siis, kui see lõikub punktiga x -telg (pidame meeles, et OX-teljel (abstsisstelljel) asuva mis tahes punkti ordinaat on võrdne nulliga, see tähendab, et funktsiooni väärtus selles punktis on 0):
Näeme, et graafikul kujutatud funktsioon y=g(x) lõikab OX-telge punktides x= -8, x=-2, x=4, x=8. Neid punkte nimetatakse funktsiooni nullideks. Ja samades punktides muudab funktsioon g(x) märki.
2. Funktsioon võib muuta märki ka nimetaja nullidel - lihtsaim näide hästi tuntud funktsioon:
Näeme, et funktsioon muudab märki nimetaja juurtes punktis , kuid ei kao üheski punktis. Seega, kui funktsioon sisaldab murdosa, võib see nimetaja juurtes märki muuta.
2. Funktsioon ei muuda aga alati märki lugeja või nimetaja juures. Näiteks funktsioon y=x 2 ei muuda märki punktis x=0:
Sest võrrandil x 2 =0 on kaks võrdset juurt x=0, punktis x=0 näib funktsioon pöörduvat kaks korda väärtuseks 0. Sellist juurt nimetatakse teise kordsuse juureks.
Funktsioon 
muudab märki lugeja nullis, kuid ei muuda nimetaja nulli juures olevat märki: , kuna juur on teise, st paariskordsuse juur:
Tähtis! Paarikordse kordsuse juurtes funktsioon märki ei muuda.
Märge! Ükskõik milline mittelineaarne Koolialgebra kursuste ebavõrdsused lahendatakse tavaliselt intervallide meetodil.
Pakun teile üksikasjalikku, mida järgides saate vigu vältida mittelineaarsete võrratuste lahendamine.
1. Kõigepealt tuleb ebavõrdsus vormile tuua
P(x)V0,
kus V on ebavõrdsuse märk:<,>,≤ või ≥. Selleks vajate:
a) liigutage kõik liikmed võrratuse vasakule poole,
b) leidke saadud avaldise juured,
c) kordage võrratuse vasak pool
d) kirjutage astmetena identsed tegurid.
Tähelepanu! Viimane samm tuleb teha selleks, et mitte eksida juurte paljususega - kui tulemuseks on paarisastme kordaja, siis on vastav juur paariskordisusega.
2. Joonista leitud juured arvuteljele.
3. Kui ebavõrdsus on range, siis jäetakse arvuteljel juuri tähistavad ringid “tühjaks”, kui ebavõrdsus ei ole range, siis täidetakse ringid.
4. Valime juured ühtlase paljususega – neis P(x) märk ei muutu.
5. Määrake märk P(x) kõige parempoolsemas vahes. Selleks võtke suvaline väärtus x 0, mis on suurem kui suurem juur, ja asendage see väärtusega P(x).
Kui P(x 0)>0 (või ≥0), siis kõige parempoolsemasse ruumi paneme märgi “+”.
Kui P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
Kui läbite paariskordsuse juurt tähistavat punkti, siis märk EI MUUTU.
7. Veel kord vaatame algse võrratuse märki ja valime selle märgi intervallid, mida vajame.
8. Tähelepanu! Kui meie ebavõrdsus EI OLE RANGE, siis kontrollime eraldi nulli võrdsuse tingimust.
9. Kirjuta vastus üles.
Kui originaal ebavõrdsus sisaldab nimetajas tundmatut, siis liigutame ka kõik liikmed vasakule ja taandame ebavõrdsuse vasaku poole vormiks
(kus V on ebavõrdsuse märk:< или >)
Seda tüüpi range ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsusega
EI ole range vormi ebavõrdsus
samaväärne süsteem:
Praktikas, kui funktsioonil on vorm , toimime järgmiselt:
- Leidke lugeja ja nimetaja juured.
- Me rakendame need teljele. Jätke kõik suhtlusringid tühjaks. Seejärel, kui ebavõrdsus ei ole range, värvime lugeja juured üle ja nimetaja juured jätame alati tühjaks.
- Järgmisena järgime üldist algoritmi:
- Valime paariskordsusega juured (kui lugeja ja nimetaja sisaldavad samu juuri, siis loeme mitu korda samad juured esinevad). Ühtlase paljususe juurtes märk ei muutu.
- Leiame kõige parempoolsema pilu märgi.
- Me paneme sildid üles.
- Mitterange ebavõrdsuse korral kontrollime eraldi võrdsuse tingimust ja võrdsuse tingimust nullini.
- Valime välja vajalikud vahed ja eraldiseisvad juured.
- Kirjutame vastuse üles.
Et paremini mõista algoritmi võrratuste lahendamiseks intervallmeetodil, vaadake VIDEOÕPETUST, mis selgitab näidet üksikasjalikult võrratuste lahendamine intervallmeetodi abil.
Tunni teema "Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemide lahendamine"
10. klass
Tunni tüüp: otsing
Eesmärk: leida võimalusi moodulitega võrratuste lahendamiseks, intervallmeetodi rakendamine uues olukorras.
Tunni eesmärgid:
Pange proovile oma oskused ratsionaalse ebavõrdsuse ja nende süsteemide lahendamisel; - näidata õpilastele intervallmeetodi kasutamise võimalust moodulitega võrratuste lahendamisel;
Õpetada loogiliselt mõtlema;
Arendada oma töö enesehindamise oskust;
Õppige oma mõtteid väljendama
Õppige oma seisukohta mõistusega kaitsma;
Kujundada õpilastes positiivne õppimismotiiv;
Arendage õpilaste iseseisvust.
Tundide ajal
I. Aja organiseerimine(1 min)
Tere, täna jätkame teema “Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteem” uurimist, rakendame oma teadmisi ja oskusi uues olukorras.
Kirjutage üles tunni "Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemide lahendamine" kuupäev ja teema. Täna kutsun teid rännakule mööda matemaatika teid, kus ootavad teid katsed, jõuproov. Teie töölaudadel on teekaardidülesannetega, enesehinnangu reisileht, mille annad mulle (dispetšerile) üle reisi lõpus.
Reisi motoks saab olema aforism "Kes kõnnib, suudab teed, aga kes mõtleb matemaatikas". Võtke oma teadmised endaga kaasa. Kaasake oma mõtteprotsess ja asuge teele. Teel saadab meid maanteeraadio.Mängib muusikapala (1 min). Seejärel kostab terav signaali heli.
II. Teadmiste testimise etapp. Grupitöö."Pagasikontroll"
Siin tuleb esimene pagasi läbivaatuse test, mis paneb proovile teie teadmised sellel teemal
Nüüd jagatakse teid 3 või 4 inimese rühmadesse. Igaühel on laual paberitükk ülesandega. Jagage need ülesanded omavahel laiali, lahendage need ja kirjutage valmis vastused ühisele lehele. 3-liikmeline rühm valib mis tahes 3 ülesannet. Igaüks, kes täidab kõik ülesanded, annab sellest õpetajale teada. Mina või mu abilised kontrollime vastuseid ja kui vähemalt üks vastus on vale, tagastatakse rühmale leht uuesti kontrollimiseks. (lapsed vastuseid ei näe, neile öeldakse ainult, millises ülesandes on vale vastus).Võidab grupp, kes esimesena kõik ülesanded vigadeta sooritab. Edasi võidule.
Muusika on väga vaikne.
Kui kaks või kolm rühma lõpetavad korraga oma töö, aitab üks teise rühma lastest õpetajal kontrollida. Vastused õpetaja lehel (4 eksemplari).
Töö peatub võitjarühma ilmumisel.
Ärge unustage täita enesehindamise töölehte. Ja liigume edasi.
"Pagasi kontrolli" ülesandeleht
1) 3)
2) 4)
III. Teadmiste värskendamise ja uute teadmiste avastamise etapp. "Eureka"
Kontroll näitas, et teil on palju teadmisi.
Kuid teel tuleb ette igasuguseid olukordi, mõnikord on vaja leidlikkust ja me kontrollime, kas olete selle kaasa võtta.
Olete õppinud lahendama ratsionaalsete võrratuste süsteeme intervallmeetodi abil. Täna vaatame, milliste probleemide korral on soovitatav seda meetodit kasutada. Kuid kõigepealt meenutagem, mis on moodul.
1. Jätkake lausetega "Arvu moodul on võrdne arvu endaga, kui..."(suuliselt)
"Arvu moodul on võrdne vastupidise arvuga, kui..."
2. Olgu A(X) polünoom punktis x
Jätka salvestamist:
Vastus:
Kirjutage üles A(x) vastupidine avaldis
A(x) = 5-4x; A(x) = 6x 2-4x + 2
A(x)= -A(x)=
Õpilane kirjutab tahvlile, poisid kirjutavad vihikusse.
3. Nüüd proovime leida viisi, kuidas lahendada ruutvõrratus mooduliga
Millised on teie ettepanekud selle ebavõrdsuse lahendamiseks?
Kuulake poiste ettepanekuid.
Kui ettepanekuid pole, siis esitage küsimus: "Kas seda ebavõrdsust saab lahendada ebavõrdsussüsteemide abil?"
Õpilane tuleb välja ja otsustab.
IV. Uute teadmiste esmase kinnistamise etapp, lahendusalgoritmi koostamine. Pagasi täiendamine.
(Töötage 4-liikmelistes rühmades).
Nüüd soovitan teil pagasit täiendada. Töötate rühmades.Igale rühmale antakse 2 ülesannete kaarti.
Esimesele kaardile tuleb üles kirjutada tahvlil toodud võrratuste lahendamise süsteemid ja töötada välja selliste ebavõrdsuste lahendamise algoritm, neid pole vaja lahendada.
Esimene kaart on rühmade jaoks erinev, teine on sama
Mis juhtus?
Iga tahvli võrrandi alla peate kirjutama süsteemide komplekti.
4 õpilast tulevad välja ja kirjutavad süsteeme. Sel ajal arutame klassiga algoritmi.
V. Teadmiste kinnistamise etapp."Tee koju".
Pagas on täiendatud, nüüd on aeg tagasi suunduda. Nüüd lahendage mis tahes väljapakutud võrratus mooduliga ise vastavalt koostatud algoritmile.
Maanteeraadio on taas teiega teel.
Esitage vaikset taustamuusikat. Õpetaja kontrollib kavandit ja annab vajadusel nõu.
Ülesanded tahvlil.
Töö on lõpetatud. Kontrollige vastuseid (need on sisse lülitatud tagakülg tahvlid), täitke enesehinnangu reisileht.
Kodutööde seadmine.
Kirjuta see üles kodutöö(kopeerige märkmikusse ebavõrdsused, mida te ei teinud või tegite vigadega, soovi korral lisaks nr 84 (a) õpiku lk 373)
VI. Lõõgastuse etapp.
Kuidas see reis teile kasulik oli?
Mida sa õppisid?
Tehke kokkuvõte. Loendage, mitu punkti igaüks teist teenis.(poisid nimetavad lõppskoori).Andke enesehinnangulehed dispetšerile ehk siis mulle.
Ma tahan õppetunni lõpetada tähendamissõnaga.
“Tark kõndis ja temaga tuli vastu kolm inimest, kes kandsid kuuma päikese all ehituskividega kärusid. Tark peatus ja esitas igaühele küsimuse. Ta küsis esimeselt: "Mida sa terve päeva teinud oled?" Ja too vastas muigega, et on terve päeva neetud kive tassinud. Tark küsis teiselt: "Mida sa terve päeva tegid?" Ja ta vastas: "Tegin oma tööd kohusetundlikult," ja kolmas naeratas, ta nägu säras rõõmust ja mõnust: "Ja mina osalesin ehituses. templist!"
Õppetund on läbi.
Enesehinnangu leht
Perekonnanimi, eesnimi, klass | Punktide arv |
|
Töötamine rühmas ebavõrdsuse või ebavõrdsussüsteemide lahendamiseks. | 2 punkti, kui on tehtud õigesti ilma kõrvalise abita; 1 punkt, kui see on õigesti tehtud välise abiga; 0 punkti, kui te ülesannet ei täitnud Grupivõidu eest 1 lisapunkt |
Jätkame võimaluste otsimist ühe muutujaga seotud ebavõrdsuste lahendamiseks. Oleme juba uurinud lineaarset ja ruutvõrratust, mis on ratsionaalse ebavõrdsuse erijuhud. Selles artiklis selgitame, millist tüüpi ebavõrdsust peetakse ratsionaalseks, ja ütleme teile, millisteks tüüpideks need jagunevad (täisarv ja murdosa). Pärast seda näitame, kuidas neid õigesti lahendada, anname vajalikud algoritmid ja analüüsime konkreetseid probleeme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mõiste ratsionaalsed võrdsused
Kui nad õpivad koolis ebavõrdsuse lahendamise teemat, võtavad nad kohe ratsionaalse ebavõrdsuse. Nad omandavad ja lihvivad oskusi seda tüüpi väljendusviisidega töötamiseks. Sõnastame selle mõiste määratluse:
Definitsioon 1
Ratsionaalne ebavõrdsus on muutujatega võrratus, mis sisaldab mõlemas osas ratsionaalseid avaldisi.
Pange tähele, et definitsioon ei mõjuta mingil moel muutujate arvu küsimust, mis tähendab, et neid võib olla nii palju, kui soovite. Seetõttu on võimalikud ratsionaalsed ebavõrdsused 1, 2, 3 või enama muutujaga. Kõige sagedamini tuleb tegeleda avaldistega, mis sisaldavad ainult ühte muutujat, harvem kahte, ja ebavõrdsustega suur summa Muutujaid koolikursuse raames tavaliselt üldse ei arvestata.
Seega võime ratsionaalse ebavõrdsuse ära tunda, vaadates selle kirjutist. Sellel peaksid olema ratsionaalsed väljendid nii paremal kui ka vasakul küljel. siin on mõned näidised:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Kuid siin on ebavõrdsus kujul 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Kõik ratsionaalsed võrratused jagunevad täisarvudeks ja murdosadeks.
2. definitsioon
Kogu ratsionaalne võrdsus koosneb tervetest ratsionaalsetest väljenditest (mõlemas osas).
3. definitsioon
Murdline ratsionaalne võrdsus on võrdus, mis sisaldab murdosa ühes või mõlemas osas.
Näiteks ebavõrdsused kujul 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 ja 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 on murdosa ratsionaalne ja 0, 5 x ≤ 3 (2–5 aastat) Ja 1: x + 3 > 0- terve.
Analüüsisime, mis on ratsionaalne ebavõrdsus, ja tuvastasime nende peamised tüübid. Võime liikuda nende lahendamise viiside ülevaate juurde.
Ütleme nii, et me peame leidma lahendused tervele ratsionaalsele ebavõrdsusele r(x)< s (x) , mis sisaldab ainult ühte muutujat x. Kus r(x) Ja s(x) esindavad mis tahes täisarvu ratsionaalsed arvud või avaldised ja ebavõrdsuse märk võib erineda. Selle probleemi lahendamiseks peame selle ümber muutma ja saama samaväärse võrdsuse.
Alustame avaldise liigutamisega paremalt küljelt vasakule. Saame järgmise:
kujul r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Me teame seda r (x) − s (x) on täisarv ja iga täisarvu avaldise saab teisendada polünoomiks. Muutkem r (x) − s (x) in h(x). See avaldis on identselt võrdne polünoom. Arvestades, et r (x) − s (x) ja h (x) on samade x-i lubatud väärtuste vahemikuga, saame liikuda võrratuste h (x) juurde.< 0 (≤ , >, ≥), mis on samaväärne originaaliga.
Sageli piisab ebavõrdsuse lahendamiseks sellisest lihtsast teisendusest, kuna tulemuseks võib olla lineaarne või ruutvõrratus, mille väärtust on lihtne arvutada. Analüüsime selliseid probleeme.
Näide 1
Seisukord: lahendada terve ratsionaalse ebavõrdsuse x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Lahendus
Alustame avaldise nihutamisest vastupidise märgiga paremalt küljelt vasakule.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 - 1 ≤ 0
Nüüd, kui oleme kõik toimingud vasakpoolsete polünoomidega lõpetanud, võime edasi liikuda lineaarne ebavõrdsus 3 x − 2 ≤ 0, samaväärne tingimuses esitatuga. Seda on lihtne lahendada:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Vastus: x ≤ 2 3 .
Näide 2
Seisukord: leida lahendus ebavõrdsusele (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).
Lahendus
Teisaldame avaldise vasakult küljelt paremale ja teostame edasisi teisendusi lühendatud korrutusvalemite abil.
(x 2 + 1) 2 - 3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 x 2 - x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Meie teisenduste tulemusena saime ebavõrdsuse, mis kehtib mis tahes x väärtuste korral, seetõttu võib algse ebavõrdsuse lahendus olla mis tahes reaalarv.
Vastus: tõesti suvaline number.
Näide 3
Seisukord: lahendada ebavõrdsus x + 6 + 2 x 3 - 2 x (x 2 + x - 5) > 0.
Lahendus
Me ei kanna midagi paremalt poolt, kuna seal on 0. Alustame kohe, teisendades vasaku külje polünoomiks:
x + 6 + 2 x 3 - 2 x 3 - 2 x 2 + 10 x > 0 - 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Oleme tuletanud esialgsega samaväärse ruutvõrratuse, mida on lihtne lahendada mitme meetodi abil. Kasutame graafilist meetodit.
Alustuseks arvutame välja ruudukujulise trinoomi juured − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Nüüd märgime kõik diagrammil vajalikud nullid. Kuna juhtkoefitsient on väiksem kui null, on parabooli harud graafikul suunatud allapoole.
Vajame parabooli piirkonda, mis asub x-telje kohal, kuna meil on ebavõrdsuses märk >. Nõutav intervall võrdub (− 0 , 5 , 6) Seetõttu on see väärtuste vahemik meie jaoks vajalik lahendus.
Vastus: (− 0 , 5 , 6) .
Neid on rohkemgi keerulised juhtumid, kui vasak osutub kolmanda või kõrgema astme polünoomiks. Sellise ebavõrdsuse lahendamiseks on soovitatav kasutada intervallmeetodit. Kõigepealt arvutame polünoomi kõik juured h(x), mida enamasti tehakse polünoomi faktoriseerimisega.
Näide 4
Seisukord: arvutama (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Lahendus
Alustame, nagu alati, avaldise nihutamisest vasakule, misjärel peame laiendama sulgusid ja tooma sarnased terminid.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Teisenduste tulemusena saime esialgsega ekvivalendi, millest vasakul on kolmanda astme polünoom. Selle lahendamiseks kasutame intervallmeetodit.
Kõigepealt arvutame polünoomi juured, mille jaoks peame lahendama kuupvõrrandi x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Kas sellel on ratsionaalsed juured? Need saavad olla ainult vaba termini jagajate hulgas, s.o. numbrite hulgast ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Asendame need ükshaaval algsesse võrrandisse ja selgitame välja, et arvud 1, 2 ja 3 on selle juured.
Seega polünoom x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 võib kirjeldada kui toodet (x - 1) · (x - 2) · (x - 3) ja ebavõrdsus x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6< 0 saab kujutada kui (x - 1) · (x - 2) · (x - 3)< 0 . Seda tüüpi ebavõrdsuse korral on meil lihtsam määrata intervallide märke.
Järgmisena teostame intervallmeetodi ülejäänud sammud: joonistame arvujoone ja punktid sellele koordinaatidega 1, 2, 3. Nad jagavad sirge 4 intervalliks, mille jooksul nad peavad määrama märgid. Varjutagem intervallid miinusega, kuna algsel ebavõrdsusel on märk < .
Peame vaid valmis vastuse üles kirjutama: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Vastus: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Mõnel juhul lähtuge võrratusest r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) kuni h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , kus h(x)– polünoom, mille aste on suurem kui 2, sobimatu. See laieneb juhtudele, kus r(x) − s(x) väljendamine lineaarsete binoomide ja ruuttrinoomide korrutisena on lihtsam kui h(x) faktorite arvestamine üksikutesse teguritesse. Vaatame seda probleemi.
Näide 5
Seisukord: leida lahendus ebavõrdsusele (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) ≥ 2 x (x 2 - 2 x - 1).
Lahendus
See ebavõrdsus kehtib täisarvude kohta. Kui liigutada avaldist paremalt küljelt vasakule, avada sulud ja teostada terminite taandamine, saame x 4 - 4 x 3 - 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Sellise ebavõrdsuse lahendamine pole lihtne, kuna tuleb otsida neljanda astme polünoomi juuri. Sellel pole ühtki ratsionaalset juurt (näiteks 1, −1, 19 või − 19 ei sobi) ja muid juuri on raske otsida. See tähendab, et me ei saa seda meetodit kasutada.
Kuid on ka teisi lahendusi. Kui liigutame avaldisi algse võrratuse paremalt küljelt vasakule, saame ühisteguri sulgudes x 2 - 2 x - 1:
(x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) - 2 x (x 2 - 2 x - 1) ≥ 0 (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 2 × - 19) ≥ 0 .
Oleme saanud esialgsega võrdväärse võrratuse ja selle lahendus annab meile soovitud vastuse. Leiame vasakult poolt avaldise nullid, mille jaoks lahendame ruutvõrrandid x 2 - 2 x - 1 = 0 Ja x 2 - 2 x - 19 = 0. Nende juured on 1 ± 2, 1 ± 2 5. Liigume edasi võrrandile x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, mida saab lahendada intervallmeetodiga:
Vastavalt joonisele saab vastuseks - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Vastus: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Olgu lisatud, et mõnikord ei ole võimalik leida polünoomi kõiki juuri h(x) Seetõttu ei saa me seda esitada lineaarsete binoomide ja ruuttrinoomide korrutisena. Seejärel lahendage võrratus kujul h (x)< 0 (≤ , >, ≥) me ei saa, mis tähendab, et ka algset ratsionaalset ebavõrdsust on võimatu lahendada.
Oletame, et peame lahendama fraktsioneerivad ratsionaalsed võrratused kujul r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , kus r (x) ja s(x) on ratsionaalsed avaldised, x on muutuja. Vähemalt üks näidatud avaldistest on murdosa. Lahendusalgoritm on sel juhul järgmine:
- Määrame muutuja x lubatud väärtuste vahemiku.
- Liigume avaldise võrratuse paremalt küljelt vasakule ja tulemuseks oleva avaldise r (x) − s (x) esindama seda murdosana. Pealegi, kus p(x) Ja q(x) on täisarvulised avaldised, mis on lineaarsete binoomide, lagunematute ruuttrinoomide ja naturaalse astendajaga astmete korrutised.
- Järgmisena lahendame saadud ebavõrdsuse intervallmeetodi abil.
- Viimane samm on lahenduse käigus saadud punktide väljajätmine muutuja x vastuvõetavate väärtuste vahemikust, mille me alguses määratlesime.
See on murdosa ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamise algoritm. Suurem osa sellest on selge; väiksemaid selgitusi on vaja ainult lõike 2 kohta. Liigutasime avaldise paremalt küljelt vasakule ja saime r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) ja kuidas viia see kujule p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Esiteks, teeme kindlaks, kas seda teisendust saab alati teha. Teoreetiliselt on selline võimalus alati olemas, kuna iga ratsionaalse avaldise saab teisendada ratsionaalseks murdarvuks. Siin on murd, mille lugejas ja nimetajas on polünoomid. Tuletame meelde algebra põhiteoreemi ja Bezouti teoreemi ning teeme kindlaks, et iga n-astme polünoomi, mis sisaldab ühte muutujat, saab teisendada lineaarsete binoomide korrutiseks. Seetõttu saame teoreetiliselt alati avaldise sel viisil teisendada.
Praktikas on polünoomide faktooreerimine sageli üsna keeruline, eriti kui aste on kõrgem kui 4. Kui me ei saa laiendamist teostada, siis me seda ebavõrdsust ei lahenda, kuid koolikursustel selliseid probleeme tavaliselt ei uurita.
Järgmiseks peame otsustama, kas saadud võrratus p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) samaväärne r (x) − s (x) suhtes< 0 (≤ , >, ≥) ja algsele. On võimalus, et see võib osutuda ebavõrdseks.
Ebavõrdsuse samaväärsus tagatakse vastuvõetavate väärtuste vahemikus p(x)q(x) vastab väljendivahemikule r (x) − s (x). Siis ei pea järgima murdratsionaalvõrratuste lahendamise juhendi viimast punkti.
Kuid väärtuste vahemik p(x)q(x) võib olla laiem kui r (x) − s (x), näiteks murdude vähendamisega. Näide võiks olla alates x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 kuni x · x - 1 x + 3 . Või see võib juhtuda sarnaste terminite toomisel näiteks siia:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 kuni 1 x + 3
Sellistel juhtudel lisati algoritmi viimane samm. Selle käivitamisel vabanete kõrvalistest muutujaväärtustest, mis tekivad vastuvõetavate väärtuste vahemiku laienemise tõttu. Toome mõned näited, et oleks selgem, millest jutt.
Näide 6
Seisukord: leida lahendusi ratsionaalsele võrdsusele x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Lahendus
Tegutseme vastavalt ülaltoodud algoritmile. Kõigepealt määrame vastuvõetavate väärtuste vahemiku. IN sel juhul see määratakse võrratuste süsteemiga x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0, mille lahendiks on hulk (− ∞, − 1) ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Pärast seda peame selle ümber muutma, et oleks mugav kasutada intervallmeetodit. Esiteks anname algebralised murrud väikseima ühisnimetajani (x – 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Ahendame avaldise lugejas, kasutades summa ruudu valemit:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Saadud avaldise vastuvõetavate väärtuste vahemik on (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Näeme, et see on sarnane algse võrdsuse jaoks määratletule. Järeldame, et võrratus x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 on samaväärne algse võrrandiga, mis tähendab, et me ei vaja algoritmi viimast sammu.
Kasutame intervallmeetodit:
Näeme lahendust ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), mis on algse ratsionaalse ebavõrdsuse x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - lahendus. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Vastus: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Näide 7
Seisukord: arvutage lahendus x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Lahendus
Määrame vastuvõetavate väärtuste vahemiku. Selle ebavõrdsuse korral on see võrdne kõigi reaalarvudega, välja arvatud −2, −1, 0 ja 1 .
Liigume avaldised paremalt vasakule:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Tulemust arvesse võttes kirjutame:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Avaldise - 1 x - 1 korral on kehtivate väärtuste vahemik kõigi reaalarvude kogum, välja arvatud üks. Näeme, et väärtuste vahemik on laienenud: − 2 , − 1 ja 0 . See tähendab, et peame sooritama algoritmi viimase sammu.
Kuna jõudsime ebavõrdsuseni - 1 x - 1 > 0, saame kirjutada selle ekvivalendi 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Jätame välja punktid, mis ei kuulu algse võrdsuse vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Peame (− ∞ , 1) hulgast välja jätma arvud − 2 , − 1 ja 0 . Seega on ratsionaalse ebavõrdsuse x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 lahenduseks väärtused (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Vastus: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Kokkuvõtteks toome veel ühe näite probleemist, mille puhul lõplik vastus sõltub vastuvõetavate väärtuste vahemikust.
Näide 8
Seisukord: leida lahendus ebavõrdsusele 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Lahendus
Tingimuses määratud ebavõrdsuse lubatud väärtuste vahemik määratakse süsteemiga x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Sellel süsteemil pole lahendusi, sest
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 – (x + 1) = 0
See tähendab, et algsel võrdusel 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ei ole lahendust, kuna muutujal pole väärtusi, mille jaoks see tekitaks. meel.
Vastus: lahendusi pole.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
