Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Läbi mis tahes punkti saab tõmmata lõpmatu arvu sirgeid.

Kahe mittekattuvad punkti kaudu saab tõmmata ühe sirge.

Tasapinna kaks lahknevat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

Kolmemõõtmelises ruumis on kahe joone suhtelise asukoha jaoks kolm võimalust:

• jooned ristuvad;

• sirged on paralleelsed;

• sirgjooned ristuvad.

Otse rida— esimest järku algebraline kõver: sirgjoon Descartes'i koordinaatsüsteemis

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Üldvõrrand sirge.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirget saab määrata esimest järku võrrandiga

Ax + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B Ja KOOS Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- alguspunkti läbib sirgjoon

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (+ C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon OU

. B = C = 0, A ≠0- sirgjoon ühtib teljega OU

. A = C = 0, B ≠0- sirgjoon ühtib teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada kujul erinevates vormides olenevalt ükskõik millisest antud

esialgsed tingimused.

Punkti ja normaalvektori sirge võrrand.

Definitsioon. Descartes'i keeles ristkülikukujuline süsteem koordinaatvektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Lahendus. Kui A = 3 ja B = -1, koostame sirgjoone võrrandi: 3x - y + C = 0. Koefitsiendi C leidmiseks

Asendame saadud avaldisesse antud punkti A koordinaadid. Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: nõutav võrrand: 3x - y - 1 = 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) Ja M2 (x 2, y 2, z 2), Siis sirge võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on null, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. Peal

tasapinnal on ülal kirjutatud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

Kui x 1 ≠ x 2 Ja x = x 1, Kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kalle otse.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Rakendades ülaltoodud valemit, saame:

Sirge võrrand punkti ja kalde abil.

Kui sirge üldvõrrand Ax + Wu + C = 0 viia selleni:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti ja suunavektori sirge võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate ülesande sisestada

punkti läbiv sirge ja sirge suunav vektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirge suunav vektor.

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud rea võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. nõutav võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ах + Ву + С = 0 С≠0 üldvõrrandis, siis -С-ga jagades saame:

või kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, A b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ax + Wu + C = 0 arvuga jagada mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ*C< 0.

R- risti pikkus, mis on langenud lähtepunktist sirgele,

A φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud on sirge üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Kirjutamiseks kohustuslik Erinevat tüüpi võrrandid

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna sirgjoonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis nende joonte vaheline teravnurk

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirgjooned on risti,

Kui k 1 = -1/ k 2 .

Teoreem.

Otsene Ax + Wu + C = 0 Ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralleelselt, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A1 = λA, B1 = λB. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud sirgega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus sirgjooneni Ax + Wu + C = 0 defineeritud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- punktist langenud risti alus M antud jaoks

otsene. Siis punktide vaheline kaugus M Ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 Ja kell 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on antud punkti M 0 risti läbiva sirge võrrand

antud sirge. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

See artikkel jätkab tasapinnalise sirge võrrandi teemat: käsitleme seda tüüpi võrrandit sirge üldvõrrandina. Defineerime teoreemi ja esitame selle tõestuse; Mõelgem välja, mis on sirge mittetäielik üldvõrrand ja kuidas teha üleminekuid üldvõrrandilt teist tüüpi joone võrranditele. Kinnitame kogu teooriat illustratsioonide ja praktiliste probleemide lahendustega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olgu tasapinnal määratud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y.

1. teoreem

Mis tahes esimese astme võrrand kujul A x + B y + C = 0, kus A, B, C on mõned reaalarvud(A ja B ei ole korraga võrdsed nulliga) defineerib sirge tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Mis tahes sirge tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratakse omakorda võrrandiga, mille vorm on A x + B y + C = 0 teatud väärtuste komplekti A, B, C jaoks.

Tõestus

See teoreem koosneb kahest punktist; me tõestame neist igaüks.

1. Tõestame, et võrrand A x + B y + C = 0 määratleb tasapinna sirge.

Olgu mingi punkt M 0 (x 0 , y 0), mille koordinaadid vastavad võrrandile A x + B y + C = 0. Seega: A x 0 + B y 0 + C = 0. Lahutades võrrandite A x + B y + C = 0 vasakust ja paremast küljest võrrandi A x 0 + B y 0 + C = 0 vasak ja parem pool, saame uue võrrandi, mis näeb välja nagu A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . See on võrdne A x + B y + C = 0.

Saadud võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on vajalik ja piisav tingimus vektorite n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) perpendikulaarsuse jaoks 0, y - y 0) . Seega määrab punktide hulk M (x, y) sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, mis on risti vektori suunaga n → = (A, B). Võib eeldada, et see nii ei ole, kuid siis ei oleks vektorid n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) risti ja võrdus A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei vastaks tõele.

Järelikult defineerib võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kindla sirge ja seetõttu defineerib samaväärne võrrand A x + B y + C = 0 sama rida. Nii tõestasime teoreemi esimest osa.

1. Tõestame, et ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi iga tasapinna sirget saab määrata esimese astme võrrandiga A x + B y + C = 0.

Määratleme tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge a; punkt M 0 (x 0 , y 0), mida see sirge läbib, samuti selle sirge normaalvektor n → = (A, B) .

Olgu ka mingi punkt M (x, y) - ujukoma sirgel. Sel juhul on vektorid n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) üksteisega risti ja nende skalaarkorrutis seal on null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjutame ümber võrrandi A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, defineerime C: C = - A x 0 - B y 0 ja lõpptulemusena saame võrrandi A x + B y + C = 0.

Niisiis, me oleme tõestanud teoreemi teist osa ja oleme tõestanud kogu teoreemi tervikuna.

Definitsioon 1

Vormi võrrand A x + B y + C = 0 - See sirge üldvõrrand tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemisOxy.

Tõestatud teoreemile tuginedes võime järeldada, et sirge ja selle üldvõrrand, mis on määratletud tasapinnal fikseeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, on lahutamatult seotud. Teisisõnu, algne rida vastab selle üldvõrrandile; sirge üldvõrrand vastab antud sirgele.

Teoreemi tõestusest järeldub ka, et muutujate x ja y koefitsiendid A ja B on sirge normaalvektori koordinaadid, mis on antud sirge A x + B y + C = üldvõrrandiga. 0.

Mõelgem konkreetne näide sirge üldvõrrand.

Olgu antud võrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, mis vastab sirgele antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Selle sirge normaalvektor on vektor n → = (2 , 3) ​​. Joonistame joonisel etteantud sirge.

Võime väita ka järgmist: sirge, mida me joonisel näeme, määrab üldvõrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, kuna antud sirge kõigi punktide koordinaadid vastavad sellele võrrandile.

Võrrandi λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 saame, korrutades sirge üldvõrrandi mõlemad pooled arvuga λ, mis ei ole võrdne nulliga. Saadud võrrand on samaväärne algse üldvõrrandiga, seetõttu kirjeldab see tasapinnal sama sirget.

2. definitsioon

Täielik sirge üldvõrrand– selline sirge A x + B y + C = 0 üldvõrrand, milles arvud A, B, C erinevad nullist. Vastasel juhul on võrrand mittetäielik.

Analüüsime sirge mittetäieliku üldvõrrandi kõiki variatsioone.

1. Kui A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, saab üldvõrrandi kuju B y + C = 0. Selline mittetäielik üldvõrrand määratleb ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y sirge, mis on paralleelne O x teljega, kuna iga x reaalväärtuse korral võtab muutuja y väärtuse - C B . Teisisõnu, sirgjoone A x + B y + C = 0 üldvõrrand, kui A = 0, B ≠ 0, määrab punktide (x, y) asukoha, mille koordinaadid on võrdsed sama arvuga. - C B .
2. Kui A = 0, B ≠ 0, C = 0, saab üldvõrrandi kuju y = 0. See mittetäielik võrrand määratleb x-telje O x .
3. Kui A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, saame mittetäieliku üldvõrrandi A x + C = 0, mis määratleb ordinaadiga paralleelse sirge.
4. Olgu A ≠ 0, B = 0, C = 0, siis saab mittetäielik üldvõrrand kuju x = 0 ja see on koordinaatjoone O y võrrand.
5. Lõpuks, kui A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, on mittetäielik üldvõrrand kujul A x + B y = 0. Ja see võrrand kirjeldab sirget, mis läbib alguspunkti. Tegelikult vastab arvupaar (0, 0) võrdsusele A x + B y = 0, kuna A · 0 + B · 0 = 0.

Illustreerime graafiliselt kõiki ülaltoodud mittetäielikke sirgjoone üldvõrrandi liike.

Näide 1

On teada, et antud sirge on paralleelne ordinaatteljega ja läbib punkti 2 7, - 11. On vaja kirja panna antud sirge üldvõrrand.

Lahendus

Ordinaatteljega paralleelse sirge annab võrrand kujul A x + C = 0, milles A ≠ 0. Tingimus määrab ka punkti, mida joon läbib, koordinaadid ja selle punkti koordinaadid vastavad mittetäieliku üldvõrrandi A x + C = 0 tingimustele, s.t. võrdsus on tõsi:

A 2 7 + C = 0

Selle järgi on võimalik määrata C, kui anname A-le mingi nullist erineva väärtuse, näiteks A = 7. Sel juhul saame: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Teame mõlemad koefitsiendid A ja C, asendame need võrrandiga A x + C = 0 ja saame vajaliku sirgvõrrandi: 7 x - 2 = 0

Vastus: 7 x - 2 = 0

Näide 2

Joonisel on kujutatud sirgjoont, peate selle võrrandi üles kirjutama.

Lahendus

Antud joonis võimaldab hõlpsasti võtta algandmed probleemi lahendamiseks. Jooniselt näeme, et antud sirge on paralleelne O x teljega ja läbib punkti (0, 3).

Abstsissjoonega paralleelne sirgjoon määratakse mittetäieliku üldvõrrandiga B y + C = 0. Leiame B ja C väärtused. Punkti koordinaadid (0, 3), kuna antud sirge seda läbib, rahuldavad sirge võrrandit B y + C = 0, siis kehtib võrdsus: B · 3 + C = 0. Seadke B väärtuseks mõni muu väärtus kui null. Oletame, et B = 1, sel juhul võrrandist B · 3 + C = 0 leiame C: C = - 3. Me kasutame teadaolevad väärtused B ja C, saame sirge nõutava võrrandi: y - 3 = 0.

Vastus: y-3 = 0.

Tasapinna antud punkti läbiva sirge üldvõrrand

Laske antud sirgel läbida punkti M 0 (x 0 , y 0), siis vastavad selle koordinaadid sirge üldvõrrandile, s.t. võrdsus on tõene: A x 0 + B y 0 + C = 0. Lahutagem selle võrrandi vasak ja parem pool sirge üldvõrrandi vasakust ja paremast küljest. Saame: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, see võrrand on samaväärne algse üldisega, läbib punkti M 0 (x 0, y 0) ja sellel on normaalne vektor n → = (A, B) .

Saadud tulemus võimaldab kirjutada sirge üldvõrrandi -ga teadaolevad koordinaadid sirge normaalvektor ja selle sirge teatud punkti koordinaadid.

Näide 3

Antud on punkt M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib, ja selle sirge normaalvektor n → = (1 , - 2) . On vaja kirja panna antud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused võimaldavad saada võrrandi koostamiseks vajalikud andmed: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Seejärel:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Probleemi oleks saanud teisiti lahendada. Sirge üldvõrrand on A x + B y + C = 0. Antud normaalvektor võimaldab meil saada koefitsientide A ja B väärtused, siis:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nüüd leiame C väärtuse, kasutades ülesande tingimusega määratud punkti M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib. Selle punkti koordinaadid vastavad võrrandile x - 2 · y + C = 0, st. - 3 - 2 4 + C = 0. Seega C = 11. Nõutav sirge võrrand on järgmisel kujul: x - 2 · y + 11 = 0.

Vastus: x - 2 y + 11 = 0 .

Näide 4

Antud sirge 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja sellel sirgel paiknev punkt M 0. Teada on ainult selle punkti abstsiss ja see võrdub -3-ga. On vaja määrata antud punkti ordinaat.

Lahendus

Tähistame punkti M 0 koordinaadid x 0 ja y 0 . Lähteandmed näitavad, et x 0 = - 3. Kuna punkt kuulub antud sirgele, siis vastavad selle koordinaadid selle sirge üldvõrrandile. Siis on võrdsus tõsi:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defineerige y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastus: - 5 2

Üleminek sirge üldvõrrandilt teist tüüpi joone võrranditele ja vastupidi

Nagu me teame, on tasapinnal sama sirge jaoks mitut tüüpi võrrandeid. Võrrandi tüübi valik sõltub ülesande tingimustest; on võimalik valida selle lahendamiseks mugavam. Oskus üht tüüpi võrrandit teist tüüpi võrrandiks teisendada tuleb siin väga kasuks.

Kõigepealt vaatleme üleminekut üldvõrrandilt kujul A x + B y + C = 0 kanoonilisele võrrandile x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Kui A ≠ 0, siis nihutame liikme B y üldvõrrandi paremale poole. Vasakul küljel võtame sulgudest välja A. Selle tulemusena saame: A x + C A = - B y.

Selle võrdsuse saab kirjutada proportsioonina: x + C A - B = y A.

Kui B ≠ 0, jätame üldvõrrandi vasakule poolele ainult liikme A x, ülejäänud kanname paremale poole, saame: A x = - B y - C. Võtame sulgudest välja – B, siis: A x = - B y + C B .

Kirjutame võrdsuse ümber proportsiooni kujul: x - B = y + C B A.

Loomulikult ei ole vaja saadud valemeid pähe õppida. Üldvõrrandilt kanoonilisele üleminekul piisab toimingute algoritmi tundmisest.

Näide 5

Antud on sirge 3 y - 4 = 0 üldvõrrand. See on vaja teisendada kanooniliseks võrrandiks.

Lahendus

Kirjutame algse võrrandi 3 y - 4 = 0. Edasi tegutseme vastavalt algoritmile: termin 0 x jääb vasakule poole; ja paremal küljel paneme - 3 sulgudest välja; saame: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjutame saadud võrrandi proportsioonina: x - 3 = y - 4 3 0 . Seega oleme saanud kanoonilise vormi võrrandi.

Vastus: x - 3 = y - 4 3 0.

Sirge üldvõrrandi parameetrilisteks muutmiseks tehakse esmalt üleminek kanoonilisele vormile ja seejärel üleminek sirge kanoonilisest võrrandist parameetrilistele võrranditele.

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga 2 x - 5 y - 1 = 0. Kirjutage üles selle rea parameetrilised võrrandid.

Lahendus

Teeme ülemineku üldvõrrandilt kanoonilisele:

2 x - 5 a - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 a + 1 ⇔ 2 x = 5 a + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nüüd võtame saadud kanoonilise võrrandi mõlemad pooled võrdseks λ-ga, siis:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastus:x = 5 λ y = -1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Üldvõrrandi saab teisendada sirgjoone võrrandiks kaldega y = k · x + b, kuid ainult siis, kui B ≠ 0. Üleminekuks jätame termini B y vasakule poole, ülejäänud kantakse üle paremale. Saame: B y = - A x - C . Jagame saadud võrdsuse mõlemad pooled B-ga, mis erinevad nullist: y = - A B x - C B.

Näide 7

Sirge üldvõrrand on antud: 2 x + 7 y = 0. Peate selle võrrandi teisendama kaldevõrrandiks.

Lahendus

Teeme vajalikud toimingud vastavalt algoritmile:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastus: y = - 2 7 x .

Sirge üldvõrrandist piisab, kui lihtsalt saada võrrand lõikudes kujul x a + y b = 1. Sellise ülemineku tegemiseks nihutame arvu C võrrandi paremale poolele, jagame saadud võrrandi mõlemad pooled – C-ga ja lõpuks kanname muutujate x ja y koefitsiendid nimetajatesse:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Näide 8

On vaja teisendada sirge x - 7 y + 1 2 = 0 üldvõrrand lõikude kaupa sirge võrrandiks.

Lahendus

Liigume 1 2 paremale poole: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jagame võrdsuse mõlemad pooled -1/2-ga: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Üldiselt on ka vastupidine üleminek lihtne: teist tüüpi võrranditelt üldisele.

Segmentides oleva sirge võrrandi ja nurkkoefitsiendiga võrrandi saab hõlpsasti teisendada üldiseks, kogudes lihtsalt kõik võrrandi vasakul küljel olevad terminid:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanooniline võrrand teisendatakse üldiseks vastavalt järgmisele skeemile:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parameetrilistelt üleminekuks liikuge esmalt kanoonilisele ja seejärel üldisele:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Näide 9

Antud on sirge x = - 1 + 2 · λ y = 4 parameetrilised võrrandid. Selle sirge üldvõrrand on vaja üles kirjutada.

Lahendus

Teeme ülemineku parameetrilistest võrranditest kanoonilistele võrranditele:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Liigume kanoonilisest üldisele:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastus: y - 4 = 0

Näide 10

Antud on sirge võrrand lõikudes x 3 + y 1 2 = 1. On vaja teha üleminek üldine välimus võrrandid

Lahendus:

Kirjutame võrrandi lihtsalt nõutud kujul ümber:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sirge üldvõrrandi koostamine

Eespool ütlesime, et üldvõrrandi saab kirjutada normaalvektori teadaolevate koordinaatidega ja selle punkti koordinaatidega, mida joon läbib. Selline sirgjoon on defineeritud võrrandiga A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Seal analüüsisime ka vastavat näidet.

Nüüd vaatame rohkem keerulised näited, milles kõigepealt peate määrama normaalvektori koordinaadid.

Näide 11

Antud sirgega paralleelne sirge 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Teada on ka punkt M 0 (4, 1), mida antud sirge läbib. On vaja kirja panna antud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused ütlevad, et sirged on paralleelsed, siis sirge, mille võrrand tuleb kirjutada, normaalvektoriks võtame sirge n → = (2, - 3) suunavektori: 2 x – 3 a + 3 3 = 0. Nüüd teame kõiki rea üldvõrrandi loomiseks vajalikke andmeid:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Näide 12

Antud sirge läbib alguspunkti risti sirgega x - 2 3 = y + 4 5. Antud joone jaoks on vaja luua üldvõrrand.

Lahendus

Antud sirge normaalvektor on sirge x - 2 3 = y + 4 5 suunavektor.

Siis n → = (3, 5) . Sirge läbib alguspunkti, s.o. läbi punkti O (0, 0). Loome antud joone jaoks üldvõrrandi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastus: 3 x + 5 y = 0 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Antud punkti kindlas suunas läbiva sirge võrrand. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe sirge vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kaht punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge nurgakoefitsient määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaks sirget on antud kaldega võrranditega

y = k 1 x + B 1 ,

Tasapinna sirge võrrand.

Nagu teada, määratakse tasapinna mis tahes punkt mõnes koordinaatsüsteemis kahe koordinaadiga. Koordinaadisüsteemid võivad olenevalt aluse ja päritolu valikust olla erinevad.

Definitsioon. Joone võrrand nimetatakse seost y = f(x) selle sirge moodustavate punktide koordinaatide vahel.

Pange tähele, et sirge võrrandit saab väljendada parameetriliselt, st iga punkti iga koordinaati väljendatakse mõne sõltumatu parameetri kaudu t.

Tüüpiline näide on liikuva punkti trajektoor. Sel juhul mängib parameetri rolli aeg.

Tasapinna sirgjoone võrrand.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirget saab määrata esimest järku võrrandiga

Ax + Wu + C = 0,

Pealegi ei ole konstandid A ja B korraga võrdsed nulliga, s.t. A 2 + B 2  0. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse sirge üldvõrrand.

Olenevalt väärtustest konstant A, B ja C on võimalikud järgmised erijuhud:

C = 0, A  0, B  0 – sirgjoon läbib alguspunkti

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) – sirge, mis on paralleelne Ox-teljega

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy teljega paralleelne sirgjoon

B = C = 0, A  0 – sirgjoon ühtib Oy teljega

A = C = 0, B  0 – sirgjoon langeb kokku Ox teljega

Sirge võrrandit saab esitada erineval kujul, olenevalt antud lähtetingimustest.

Punkti ja normaalvektori sirge võrrand.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on vektor komponentidega (A, B) risti sirgega, mis on antud võrrandiga Ax + By + C = 0.

Näide. Leidke vektoriga risti olevat punkti A(1, 2) läbiva sirge võrrand (3, -1).

Kui A = 3 ja B = -1, koostame sirgjoone võrrandi: 3x – y + C = 0. Koefitsiendi C leidmiseks asendame saadud avaldisega antud punkti A koordinaadid.

Saame: 3 – 2 + C = 0, seega C = -1.

Kokku: nõutav võrrand: 3x – y – 1 = 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis neid punkte läbiva sirge võrrand on:

Kui mõni nimetajatest on null, tuleb vastav lugeja määrata nulliga.

Tasapinnal on ülaltoodud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

kui x 1  x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2.

Murd
=k kutsutakse kalle sirge.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Rakendades ülaltoodud valemit, saame:

Sirge võrrand punkti ja kalde abil.

Kui sirge Ax + By + C = 0 üldvõrrand taandatakse järgmisele kujule:

ja määrata
, siis nimetatakse saadud võrrandit kaldega sirge võrrandk.

Punkti ja suunavektori sirge võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis käsitleb sirge võrrandit läbi normaalvektori, saate sisestada läbi punkti sirge definitsiooni ja sirge suunavektori.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor ( 1,  2), mille komponendid vastavad tingimusele A 1 + B 2 = 0, nimetatakse sirge suunamisvektoriks

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leia sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbides punkti A(1, 2).

Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni kohaselt peavad koefitsiendid vastama järgmistele tingimustele:

1A + (-1)B = 0, s.o. A = B.

Siis on sirgjoone võrrand järgmine: Ax + Ay + C = 0 või x + y + C/A = 0.

kui x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. nõutav võrrand:

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge üldvõrrandis Ах + Ву + С = 0 С 0, siis –С-ga jagades saame:
või

, Kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient A on sirge ja Ox-telje lõikepunkti koordinaat ja b– sirge ja Oy telje lõikepunkti koordinaat.

Näide. Antud on sirge x – y + 1 = 0 üldvõrrand.Leia selle sirge võrrand lõikudes.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi Ax + By + C = 0 mõlemad pooled jagatakse arvuga
mida nimetatakse normaliseeriv tegur, siis saame

xcos + ysin - p = 0 –

sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk  tuleb valida nii, et С< 0.

p on alguspunktist sirgele langetatud ristnurga pikkus ja  on nurk, mille see risti moodustab Ox-telje positiivse suunaga.

Näide. Antud on sirge üldvõrrand 12x – 5y – 65 = 0. Sellele reale on vaja kirjutada erinevat tüüpi võrrandeid.

selle sirge võrrand segmentides:

selle sirge võrrand kaldega: (jagage 5-ga)

sirge tavavõrrand:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga lõikudes, näiteks sirged, mis on paralleelsed telgedega või läbivad koordinaatide alguspunkti.

Näide. Sirge lõikab koordinaattelgedel ära võrdsed positiivsed lõigud. Kirjutage sirgjoone võrrand, kui nendest lõikudest moodustatud kolmnurga pindala on 8 cm 2.

Sirge võrrand on järgmine:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ei sobi vastavalt ülesande tingimustele.

Kokku:
või x + y – 4 = 0.

Näide. Kirjutage võrrand sirge jaoks, mis läbib punkti A(-2, -3) ja alguspunkti.

Sirge võrrand on järgmine:
, kus x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Tasapinna sirgjoonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui kahele sirgele on antud y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

.

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2.

Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/k 2 .

Teoreem. Otsejooned Ax + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A on võrdelised 1 =  A, B 1 =  B. Kui ka C 1 =  C, siis jooned langevad kokku.

Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand

selle joonega risti.

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv sirgjoon, mis on risti sirgega y = kx + b, on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui on antud punkt M(x). 0 , y 0 ), siis on kaugus sirgjoonest Ах + Ву + С =0 määratletud kui

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

Koordinaadid x 1 ja y 1 saab leida võrrandisüsteemi lahendamisega:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirge võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on antud sirgega risti.

Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

.

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 on risti.

Leiame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, seega on sirged risti.

Näide. Antud on kolmnurga tipud A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Leiame külje AB võrrandi:
; 4x = 6a – 6;

2x – 3a + 3 = 0;

Nõutav kõrgusvõrrand on kujul: Ax + By + C = 0 või y = kx + b.

k = . Siis y =
. Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile:
kust b = 17. Kokku:
.

Vastus: 3x + 2a – 34 = 0.

Analüütiline geomeetria ruumis.

Ruumi sirge võrrand.

Ruumi sirge võrrand antud punktiga ja

suunavektor.

Võtame suvalise sirge ja vektori (m, n, p), paralleelselt antud sirgega. Vektor helistas juhtvektor sirge.

Sirgjoonel võtame kaks suvalist punkti M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ja M (x, y, z).

z

M 1

Tähistame nende punktide raadiusvektorid kui Ja , see on ilmne - =
.

Sest vektorid
Ja on kollineaarsed, siis on seos tõene
= t, kus t on mingi parameeter.

Kokkuvõttes võime kirjutada: = + t.

Sest see võrrand on rahuldatud sirge mis tahes punkti koordinaatidega, siis on saadud võrrand sirge parameetriline võrrand.

Seda vektorvõrrandit saab esitada koordinaatide kujul:

Selle süsteemi teisendamisel ja parameetri t väärtuste võrdsustamisel saame ruumi sirgjoone kanoonilised võrrandid:

.

Definitsioon. Suunakoosinused otsesed on vektori suunakoosinused , mida saab arvutada järgmiste valemite abil:

;

.

Siit saame: m: n: p = cos : cos : cos.

Nimetatakse arve m, n, p nurga koefitsiendid sirge. Sest on nullist erinev vektor, siis m, n ja p ei saa olla samaaegselt võrdsed nulliga, kuid üks või kaks neist arvudest võivad olla võrdsed nulliga. Sel juhul tuleks rea võrrandis vastavad lugejad määrata nulliga.

Ruumi läbimise sirgjoone võrrand

läbi kahe punkti.

Kui ruumisirgele märgime kaks suvalist punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis peavad nende punktide koordinaadid rahuldama sirge võrrandit. ülalt saadud:

.

Lisaks võime punkti M 1 jaoks kirjutada:

.

Lahendades need võrrandid koos, saame:

.

See on kahte ruumipunkti läbiva sirge võrrand.

Ruumi sirgjoone üldvõrrandid.

Sirge võrrandit võib pidada kahe tasandi lõikejoone võrrandiks.

Nagu eespool mainitud, saab vektorkujulist tasapinda määrata võrrandiga:

+ D = 0, kus

- lennuk tavaline; - raadius on tasapinna suvalise punkti vektor.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirget saab määrata esimest järku võrrandiga

Ax + Wu + C = 0,

Veelgi enam, konstandid A ja B ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse sirge üldvõrrand. Sõltuvalt konstantide A, B ja C väärtustest on võimalikud järgmised erijuhud:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – sirgjoon läbib alguspunkti

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) – sirge paralleelne Ox-teljega

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy teljega paralleelne sirgjoon

B = C = 0, A ≠0 – sirgjoon ühtib Oy teljega

A = C = 0, B ≠0 – sirgjoon langeb kokku Ox-teljega

Sirge võrrandit saab esitada erineval kujul, olenevalt antud lähtetingimustest.

Punktist ja normaalvektorist lähtuva sirge võrrand

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on vektor komponentidega (A, B) risti sirgega, mis on antud võrrandiga Ax + By + C = 0.

Näide. Leidke punktiga (3, -1) risti läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Kui A = 3 ja B = -1, koostame sirge võrrandi: 3x – y + C = 0. Koefitsiendi C leidmiseks asendame saadud avaldisega antud punkti A koordinaadid Saame: 3 – 2 + C = 0, seega C = -1 . Kokku: nõutav võrrand: 3x – y – 1 = 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis neid punkte läbiva sirge võrrand on:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, peaks vastav lugeja olema võrdne nulliga Tasapinnal on ülaltoodud sirge võrrand lihtsustatud:

kui x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2.

Murd = k nimetatakse kalle sirge.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Rakendades ülaltoodud valemit, saame:

Punktist ja kaldest lähtuva sirge võrrand

Kui Ax + Bu + C kokku = 0, viige vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit kaldega sirge võrrandk.

Punkti ja suunavektori sirge võrrand

Analoogiliselt punktiga, mis käsitleb sirge võrrandit läbi normaalvektori, saate sisestada läbi punkti sirge definitsiooni ja sirge suunavektori.

Definitsioon. Iga nullist erinevat vektorit (α 1, α 2), mille komponendid vastavad tingimusele A α 1 + B α 2 = 0, nimetatakse sirge suunavaks vektoriks

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni kohaselt peavad koefitsiendid vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrand järgmine: Ax + Ay + C = 0 või x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 korral saame C/ A = -3, st. nõutav võrrand:

Sirge võrrand segmentides

Kui sirge üldvõrrandis Ах + Ву + С = 0 С≠0, siis –С-ga jagades saame: või

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient A on sirge ja Ox-telje lõikepunkti koordinaat ja b– sirge ja Oy telje lõikepunkti koordinaat.

Näide. Antud on sirge x – y + 1 = 0 üldvõrrand.Leia selle sirge võrrand lõikudes.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Sirge normaalvõrrand

Kui võrrandi Ax + By + C = 0 mõlemad pooled korrutatakse arvuga mida nimetatakse normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

sirge normaalvõrrand. Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Näide. Antud on sirge üldvõrrand 12x – 5y – 65 = 0. Sellele reale on vaja kirjutada erinevat tüüpi võrrandeid.

selle sirge võrrand segmentides:

selle sirge võrrand kaldega: (jagage 5-ga)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga lõikudes, näiteks sirged, mis on paralleelsed telgedega või läbivad koordinaatide alguspunkti.

Näide. Sirge lõikab koordinaattelgedel ära võrdsed positiivsed lõigud. Kirjutage sirgjoone võrrand, kui nendest lõikudest moodustatud kolmnurga pindala on 8 cm 2.

Lahendus. Sirge võrrand on kujul: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Näide. Kirjutage võrrand sirge jaoks, mis läbib punkti A(-2, -3) ja alguspunkti.

Lahendus. Sirge võrrand on järgmine: , kus x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Tasapinna sirgjoonte vaheline nurk

Definitsioon. Kui kahele sirgele on antud y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

.

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2.

Teoreem. Sirged Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 = λA, B 1 = λB on võrdelised. Kui ka C 1 = λC, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud sirgega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv sirgjoon, mis on risti sirgega y = kx + b, on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis määratakse kaugus sirgeni Ax + Bу + C = 0

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Koordinaadid x 1 ja y 1 saab leida võrrandisüsteemi lahendamisega:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirge võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on antud sirgega risti. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, seega on sirged risti.

Näide. Antud on kolmnurga tipud A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 a – 6;

2 x – 3 a + 3 = 0;

Nõutav kõrgusvõrrand on kujul: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3 x + 2 a – 34 = 0.