Diskreetsed juhuslikud suurused on seadusega ette nähtud. Juhusliku suuruse jaotusseadus

Tõenäosusteooria rakendustes on katse kvantitatiivsed omadused esmatähtsad. Kogus, mida saab kvantitatiivselt määrata ja mis eksperimendi tulemusena võib olenevalt juhtumist kuluda erinevaid tähendusi, kutsus juhuslik muutuja.

Näited juhuslikest muutujatest:

1. Mitu korda ilmub paarisarv punkte kümne täringuheite jooksul.

2. Laskuri tabamuste arv märklauale, kes sooritab laskuri.

3. Plahvatava mürsu kildude arv.

Igas toodud näites võib juhuslik muutuja võtta ainult isoleeritud väärtusi, st väärtusi, mida saab nummerdada naturaalse arvude seeria abil.

Sellist juhuslikku muutujat, mille võimalikud väärtused on üksikud isoleeritud arvud, mida see muutuja teatud tõenäosustega võtab, nimetatakse diskreetne.

Diskreetse juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv võib olla lõplik või lõpmatu (loendatav).

Jaotamise seadus Diskreetne juhuslik suurus on selle võimalike väärtuste ja nende vastavate tõenäosuste loend. Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadust saab täpsustada tabeli kujul (tõenäosuse jaotuse jada), analüütiliselt ja graafiliselt (tõenäosuse jaotuse polügoon).

Katse läbiviimisel on vaja hinnata uuritavat väärtust "keskmiselt". Juhusliku suuruse keskmise väärtuse rolli mängib arvtunnus nn matemaatiline ootus, mis määratakse valemiga

Kus x 1 , x 2 ,.. , x n– juhuslike muutujate väärtused X, A lk 1 ,lk 2 , ... , lk n– nende väärtuste tõenäosused (pange tähele, et lk 1 + lk 2 +…+ lk n = 1).

Näide. Laskmine toimub sihtmärgil (joonis 11).

Tabamus I-s annab kolm punkti, II-s kaks punkti, III-s ühe punkti. Ühe laskuri ühe löögiga kogutud punktide arvul on jaotusseadus kujul

Laskurite oskuste võrdlemiseks piisab, kui võrrelda saadud punktide keskmisi väärtusi, s.o. matemaatilised ootused M(X) Ja M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Teine laskur annab keskmiselt veidi suurema punktide arvu, s.o. see annab korduval vallandamisel paremaid tulemusi.

Märgime matemaatilise ootuse omadused:

1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga:

M(C) =C.

2. Juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Vastastikku sõltumatute juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus võrdub tegurite matemaatiliste ootuste korrutisega

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Binoomjaotuse matemaatiline eitus võrdub katsete arvu ja sündmuse toimumise tõenäosuse korrutisega ühes katses (ülesanne 4.6).

M(X) = pr.

Hinnata, kuidas juhuslik suurus “keskmiselt” kaldub kõrvale oma matemaatilisest ootusest, s.o. Juhusliku suuruse väärtuste leviku iseloomustamiseks tõenäosusteoorias kasutatakse dispersiooni mõistet.

Dispersioon juhuslik muutuja X nimetatakse ruudu hälbe matemaatiliseks ootuseks:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersioon on juhusliku suuruse dispersiooni arvnäitaja. Definitsioonist on selge, et mida väiksem on juhusliku suuruse dispersioon, seda tihedamalt paiknevad selle võimalikud väärtused matemaatilise ootuse ümber, st seda rohkem paremad väärtused juhuslikku muutujat iseloomustab selle matemaatiline ootus.

Definitsioonist järeldub, et dispersiooni saab arvutada valemi abil

.

Dispersiooni on mugav arvutada teise valemi abil:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersioonil on järgmised omadused:

1. Konstandi dispersioon on null:

D(C) = 0.

2. Konstantse teguri saab dispersioonimärgist välja võtta ruudustades:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Sõltumatute juhuslike suuruste summa dispersioon on võrdne terminite dispersiooni summaga:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Binoomjaotuse dispersioon võrdub katsete arvu ja sündmuse toimumise ja mittetoimumise tõenäosuse korrutisega ühes katses:

D(X) = npq.

Tõenäosusteoorias kasutatakse sageli arvulist tunnust, mis võrdub juhusliku suuruse dispersiooni ruutjuurega. Seda arvulist karakteristikku nimetatakse keskmiseks ruuthälbeks ja seda tähistatakse sümboliga

.

See iseloomustab juhusliku suuruse kõrvalekalde ligikaudset suurust selle keskmisest väärtusest ja on sama mõõtmega kui juhuslikul suurusel.

4.1. Laskja laseb kolm lasku sihtmärki. Iga lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,3.

Looge tabamuste arvu jaotusseeria.

Lahendus. Tabamuste arv on diskreetne juhuslik suurus X. Iga väärtus x n juhuslik muutuja X vastab teatud tõenäosusele P n .

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus aastal sel juhul saab määrata levitamise lähedal.

Selles probleemis X võtab väärtused 0, 1, 2, 3. Bernoulli valemi järgi

,

Leiame juhusliku suuruse võimalike väärtuste tõenäosused:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Juhusliku muutuja väärtuste järjestamisega X kasvavas järjekorras saame jaotusrea:

X n

Pange tähele, et summa

tähendab tõenäosust, et juhuslik suurus X võtab võimalike hulgast vähemalt ühe väärtuse ja see sündmus on seetõttu usaldusväärne

.

4.2 .Urnis on neli palli numbritega 1 kuni 4. Välja võetakse kaks palli. Juhuslik väärtus X– pallinumbrite summa. Koostage juhusliku suuruse jaotusseeria X.

Lahendus. Juhusliku muutuja väärtused X on 3, 4, 5, 6, 7. Leiame vastavad tõenäosused. Juhusliku muutuja väärtus 3 X võib aktsepteerida ainsal juhul, kui ühel valitud kuulist on number 1 ja teisel 2. Võimalike testitulemuste arv on võrdne nelja kombinatsioonide arvuga (võimalike pallipaaride arv) kahest.

Klassikalise tõenäosusvalemi abil saame

Samamoodi

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Summa 5 võib esineda kahel juhul: 1 + 4 ja 2 + 3, seega

.

X on kujul:

Leidke jaotusfunktsioon F(x) juhuslik suurus X ja joonistada seda. Arvutage jaoks X selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

Lahendus. Juhusliku suuruse jaotusseadust saab määrata jaotusfunktsiooni abil

F(x) =P(X x).

Jaotusfunktsioon F(x) on mittekahanev, vasakpoolne pidev funktsioon, mis on defineeritud tervel arvureal, while

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Diskreetse juhusliku suuruse korral väljendatakse seda funktsiooni valemiga

.

Seega antud juhul

Jaotusfunktsiooni graafik F(x) on astmeline joon (joonis 12)

	F(x)

Oodatud väärtusM(X) on väärtuste kaalutud aritmeetiline keskmine X 1 , X 2 ,……X n juhuslik muutuja X kaaludega ρ 1, ρ 2, …… , ρ n ja seda nimetatakse juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks X. Vastavalt valemile

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersioon iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste hajumise astet selle keskmisest väärtusest ja tähistatakse D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Diskreetse juhusliku muutuja korral on dispersioonil vorm

või seda saab arvutada valemi abil

Asendades ülesande arvandmed valemisse, saame:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Kaks täringut veeretatakse korraga kaks korda. Kirjutage diskreetse juhusliku suuruse jaotuse binoomseadus X- paarispunktide koguarvu esinemiste arv kahel täringul.

Lahendus. Tutvustame juhuslikku sündmust

A= (kaks täringut ühe viskega andsid kokku paarisarv punkte).

Kasutades klassikalist tõenäosuse definitsiooni, leiame

R(A)= ,

Kus n - reegli järgi leitakse võimalike testitulemuste arv

korrutamine:

n = 6∙6 =36,

m - üritust pooldavate inimeste arv A tulemused - võrdsed

m= 3∙6=18.

Seega on ühe katse õnnestumise tõenäosus

ρ = P(A)= 1/2.

Probleem lahendatakse Bernoulli testskeemi abil. Üks väljakutse siin on kahe täringu ühekordne veeretamine. Selliste testide arv n = 2. Juhuslik muutuja X võtab tõenäosustega väärtused 0, 1, 2

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Juhusliku suuruse nõutav binoomjaotus X saab esitada jaotussarjana:

X n
ρ n

4.5 . Kuuest osast koosnevas partiis on neli standardset. Kolm osa valiti juhuslikult. Koostage diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotus X– standardosade arv valitud hulgas ja leida selle matemaatiline ootus.

Lahendus. Juhusliku muutuja väärtused X on numbrid 0,1,2,3. Selge see R(X=0)=0, kuna on ainult kaks mittestandardset osa.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Juhusliku suuruse jaotusseadus X Esitame selle jaotussarja kujul:

X n
ρ n

Oodatud väärtus

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Tõesta, et diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- sündmuse esinemiste arv A V n sõltumatud katsed, millest igaühes on sündmuse toimumise tõenäosus võrdne ρ – võrdne katsete arvu korrutisega sündmuse toimumise tõenäosusega ühes katses, st tõestada, et binoomjaotuse matemaatiline ootus

M(X) =n . ρ ,

ja dispersioon

D(X) =n.p. .

Lahendus. Juhuslik väärtus X võib võtta väärtused 0, 1, 2..., n. Tõenäosus R(X= k) leitakse Bernoulli valemi abil:

R(X=k)= R n(k)= ρ To (1-ρ ) n- To

Juhusliku suuruse jaotusrida X on kujul:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Kus q= 1- ρ .

Matemaatilise ootuse jaoks on meil avaldis:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Ühe testi puhul ehk koos n= 1 juhusliku suuruse jaoks X 1 – sündmuse esinemiste arv A- jaotussarja vorm:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ lk = lk

D(X 1) = lk – lk 2 = lk(1- lk) = pq.

Kui X k – sündmuse esinemiste arv A millises testis siis R(X To)= ρ Ja

X = X 1 +X 2 +….+X n .

Siit saame

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nr,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Kvaliteedikontrolli osakond kontrollib toodete standardsust. Tõenäosus, et toode on standardne, on 0,9. Iga partii sisaldab 5 toodet. Leidke diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- partiide arv, millest igaüks sisaldab 4 standardtoodet - kui kontrollitakse 50 partiid.

Lahendus. Tõenäosus, et igas juhuslikult valitud partiis on 4 standardtoodet, on konstantne; tähistame seda ρ .Siis juhusliku suuruse matemaatiline ootus X võrdub M(X)= 50∙ρ.

Leiame tõenäosuse ρ Bernoulli valemi järgi:

ρ = P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Visatakse kolm täringut. Leidke langenud punktide summa matemaatiline ootus.

Lahendus. Saate leida juhusliku suuruse jaotuse X- langenud punktide summa ja seejärel selle matemaatiline ootus. See tee on aga liiga tülikas. Lihtsam on kasutada teist tehnikat, mis esindab juhuslikku muutujat X, mille matemaatiline ootus vajab arvutamist, mitme lihtsama juhusliku suuruse summana, mille matemaatilist ootust on lihtsam arvutada. Kui juhuslik suurus X i on veeretatud punktide arv i- luud ( i= 1, 2, 3), siis punktide summa X väljendatakse kujul

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Algse juhusliku suuruse matemaatilise ootuse arvutamiseks jääb üle vaid kasutada matemaatilise ootuse omadust

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

See on ilmne

R(X i = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Seetõttu on juhusliku suuruse matemaatiline ootus X i paistab nagu

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Määrake testimise käigus ebaõnnestunud seadmete arvu matemaatiline ootus, kui:

a) kõigi seadmete rikke tõenäosus on sama R ja testitavate seadmete arv on võrdne n;

b) ebaõnnestumise tõenäosus i – seadme väärtus on võrdne lk i , i= 1, 2, … , n.

Lahendus. Olgu juhuslik suurus X on ebaõnnestunud seadmete arv

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Selge see

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

Juhul “a” on seadme rikke tõenäosus sama, st

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Selle vastuse saaks kohe, kui märkame, et juhuslik suurus X on binoomjaotus parameetritega ( n, lk).

4.10. Kaks täringut visatakse korraga kaks korda. Kirjutage diskreetse juhusliku suuruse jaotuse binoomseadus X - paarisarv punktide viskamiste arv kahel täringul.

Lahendus. Lase

A=(paarisarvu viskamine esimesel täringul),

B =(paarisarvu veeretamine teisel täringul).

Paarisarvu saamist mõlemale täringule ühe viskega väljendab korrutis AB. Siis

R (AB) = R(A)∙R(IN) =
.

Kahe täringu teise viske tulemus ei sõltu esimesest, seega kehtib Bernoulli valem, kui

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Juhuslik väärtus X võib võtta väärtused 0, 1, 2 , mille tõenäosuse saab leida Bernoulli valemi abil:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Juhusliku suuruse jaotusrida X:

4.11. Seade koosneb suurest hulgast iseseisvalt töötavatest elementidest, mille iga elemendi rikke tõenäosus aja jooksul on sama väga väike t. Leidke keskmine keeldumiste arv aja jooksul t elemendid, kui tõenäosus, et selle aja jooksul vähemalt üks element ebaõnnestub, on 0,98.

Lahendus. Inimeste arv, kes aja jooksul keeldusid t elemendid – juhuslik muutuja X, mis jaotub Poissoni seaduse järgi, kuna elementide arv on suur, elemendid töötavad iseseisvalt ja iga elemendi rikke tõenäosus on väike. Sündmuse keskmine esinemiste arv aastal n testid on võrdsed

M(X) = n.p..

Kuna ebaõnnestumise tõenäosus TO elemendid alates n väljendatakse valemiga

R n (TO)
,

kus  = n.p., siis tõenäosus, et ükski element selle aja jooksul ebaõnnestub t jõuame kohale K = 0:

R n (0)= e -  .

Seetõttu on vastupidise sündmuse tõenäosus ajas t vähemalt üks element ebaõnnestub – võrdne 1-ga - e -  . Vastavalt ülesande tingimustele on see tõenäosus 0,98. Alates Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

siit  = -Ln 0,02  4.

Nii et aja jooksul t seadme töös ebaõnnestub keskmiselt 4 elementi.

4.12 . Täringut veeretatakse, kuni ilmub "kaks". Leia keskmine visete arv.

Lahendus. Tutvustame juhuslikku muutujat X– testide arv, mis tuleb teha kuni meid huvitava sündmuse toimumiseni. Tõenäosus, et X= 1 on võrdne tõenäosusega, et ühe täringuviske ajal ilmub “kaks”, s.t.

R(X= 1) = 1/6.

Sündmus X= 2 tähendab, et esimesel katsel "kaks" ei tulnud, kuid teisel tuli. Sündmuse tõenäosus X= 2 leitakse sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegliga:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Samamoodi

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

jne. Saame tõenäosusjaotuste seeria:

					(5/6) To ∙1/6

Keskmine visete (katsete) arv on matemaatiline ootus

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

Leiame seeria summa:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

Seega

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Seega peate tegema keskmiselt 6 täringuviset, kuni ilmub "kaks".

4.13. Sõltumatud testid viiakse läbi samasuguse sündmuse esinemise tõenäosusega A igas testis. Leidke sündmuse toimumise tõenäosus A, kui sündmuse esinemiste arvu dispersioon kolmes sõltumatus katses on 0,63 .

Lahendus. Sündmuse esinemiste arv kolmes katses on juhuslik suurus X, jaotatud binoomseaduse järgi. Sündmuse esinemiste arvu dispersioon sõltumatutes katsetes (igas katses sama sündmuse toimumise tõenäosusega) on võrdne katsete arvu korrutisega sündmuse toimumise ja mittetoimumise tõenäosusega (probleem 4.6)

D(X) = npq.

Tingimuste järgi n = 3, D(X) = 0,63, nii et saate R leida võrrandist

0,63 = 3∙R(1-R),

millel on kaks lahendust R 1 = 0,7 ja R 2 = 0,3.

X; tähenduses F(5); tõenäosus, et juhuslik suurus X võtab väärtused segmendist . Jaotuse hulknurga konstrueerimine.

1. Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x) on teada X:

Määrake juhusliku suuruse jaotuse seadus X tabeli kujul.

1. Juhusliku suuruse jaotuse seadus on antud X:

X	–28	–20	–12	–4
lk	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Tõenäosus, et kauplusel on kogu tootevaliku kvaliteedisertifikaadid, on 0,7. Komisjon kontrollis sertifikaatide saadavust aastal neli kauplust ringkond. Koostada jaotusseadus, arvutada matemaatiline ootus ja hajuvus kaupluste arvule, kus kontrolli käigus kvaliteedisertifikaate ei leitud.

1. Elektrilampide keskmise põlemisaja määramiseks 350 ühesuguse karbi partiis võeti katsetamiseks igast kastist üks elektrilamp. Hinnake altpoolt tõenäosust, et valitud elektrilampide keskmine põlemisaeg erineb kogu partii keskmisest põlemisajast absoluutväärtuses vähem kui 7 tundi, kui on teada, et keskmine põlemisaeg standardhälve Elektrilampide põlemisaeg igas kastis on alla 9 tunni.

1. Telefonijaamas tekib vale ühendus tõenäosusega 0,002. Leidke tõenäosus, et 500 ühenduse hulgas toimub järgmine:

Leidke juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X. Koostage funktsioonide graafikud ja . Arvutage juhusliku suuruse matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan X.

1. Automaatmasin teeb rulle. Arvatakse, et nende läbimõõt on normaalse jaotusega juhuslik suurus, mille keskmine väärtus on 10 mm. Kui suur on standardhälve, kui tõenäosusega 0,99 on läbimõõt vahemikus 9,7 mm kuni 10,3 mm.

Näidis A: 6 9 7 6 4 4

Näidis B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

17. variant.

1. 35 osa hulgast on 7 mittestandardsed. Leidke tõenäosus, et kaks juhuslikult võetud osa osutuvad standardseks.

1. Visatakse kolm täringut. Leidke tõenäosus, et langenud külgede punktide summa on 9-kordne.

1. Sõna “SEIKLUS” koosneb kaartidest, millest igaühel on üks täht. Kaardid segatakse ja võetakse ükshaaval välja ilma tagastamata. Leia tõenäosus, et ilmumise järjekorras väljavõetud tähed moodustavad sõna: a) SEIKLUS; b) VANG.

1. Urnis on 6 musta ja 5 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
1. 2 valget palli;
2. vähem kui 2 valget palli;
3. vähemalt üks must pall.

1. Aühes testis on 0,4. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus:
1. sündmus A ilmub 3 korda 7 sõltumatu katse seerias;
2. sündmus A ilmub 400 katsest koosnevas seerias vähemalt 220 ja mitte rohkem kui 235 korda.

1. Tehas saatis baasi 5000 kvaliteetset toodet. Iga transporditava toote kahjustamise tõenäosus on 0,002. Leia tõenäosus, et teekonnal ei saa kahjustada rohkem kui 3 toodet.

1. Esimeses urnis on 4 valget ja 9 musta palli ning teises urnis on 7 valget ja 3 musta palli. Esimesest urnist tõmmatakse juhuslikult 3 palli ja teisest 4. Leia tõenäosus, et kõik tõmmatud pallid on sama värvi.

1. Juhusliku suuruse jaotuse seadus on antud X:

Arvutage selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

1. Karbis on 10 pliiatsit. Juhuslikult joonistatakse 4 pliiatsit. Juhuslik väärtus X– valitud siniste pliiatsite arv. Leia selle jaotuse seadus, 2. ja 3. järgu alg- ja keskmoment.

1. osakond tehniline kontroll kontrollib 475 tootel defekte. Tõenäosus, et toode on defektne, on 0,05. Leidke tõenäosusega 0,95 piirid, millesse jääb testitavate defektsete toodete arv.

1. Telefonijaamas tekib vale ühendus tõenäosusega 0,003. Leidke tõenäosus, et 1000 ühenduse hulgas toimub järgmine:
1. vähemalt 4 vale ühendust;
2. rohkem kui kaks vale ühendust.

1. Juhusliku suuruse määrab jaotustiheduse funktsioon:

Leidke juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X. Koostage funktsioonide graafikud ja . Arvutage juhusliku suuruse X matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan.

1. Juhusliku muutuja määrab jaotusfunktsioon:

1. Proovi järgi A lahendage järgmised probleemid:
1. luua variatsiooniseeria;

· valimi keskmine;

· valimi dispersioon;

Režiim ja mediaan;

Näidis A: 0 0 2 2 1 4

1. arvutage variatsiooniseeria arvkarakteristikud:

· valimi keskmine;

· valimi dispersioon;

valimi standardhälve;

· režiim ja mediaan;

Näidis B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

18. valik.

1. 10 hulgas loterii piletid 2 võidavad. Leidke tõenäosus, et viiest juhuslikult võetud piletist võidab üks.

1. Visatakse kolm täringut. Leidke tõenäosus, et veeretatud punktide summa on suurem kui 15.

1. Sõna "PERIMETER" koosneb kaartidest, millest igaühele on kirjutatud üks täht. Kaardid segatakse ja võetakse ükshaaval välja ilma tagastamata. Leia tõenäosus, et väljavõetud tähed moodustavad sõna: a) PERIMETER; b) MÕÕTJA.

1. Urnis on 5 musta ja 7 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
1. 4 valget palli;
2. vähem kui 2 valget palli;
3. vähemalt üks must pall.

1. Sündmuse toimumise tõenäosus Aühes katses on 0,55. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus:
1. sündmus A ilmub 3 korda 5 väljakutse seerias;
2. sündmus A ilmub 300 katsest koosnevas seerias vähemalt 130 ja mitte rohkem kui 200 korda.

1. Konservipurgi purunemise tõenäosus on 0,0005. Leidke tõenäosus, et 2000 purgi hulgast lekib kaks.

1. Esimeses urnis on 4 valget ja 8 musta palli ning teises urnis on 7 valget ja 4 musta palli. Esimesest urnist tõmmatakse juhuslikult kaks palli ja teisest urnist kolm palli. Leidke tõenäosus, et kõik joonistatud pallid on sama värvi.

1. Montaaži saabuvatest osadest on esimesest masinast 0,1%, teisest 0,2%, kolmandast 0,25% ja neljandast 0,5%. Masina tootlikkuse suhted on vastavalt 4:3:2:1. Juhuslikult võetud osa osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et osa on valmistatud esimesel masinal.

1. Juhusliku suuruse jaotuse seadus on antud X:

Arvutage selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

1. Elektrikul on kolm lambipirni, millest igaühel on defekt tõenäosusega 0,1. Pirnid keeratakse pessa ja vool lülitatakse sisse. Voolu sisselülitamisel põleb defektne pirn koheselt läbi ja asendatakse teisega. Leidke testitud lambipirnide arvu jaotusseadus, matemaatiline ootus ja dispersioon.

1. Sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,3 iga 900 sõltumatu lasu kohta. Kasutades Tšebõševi ebavõrdsust, hinnake tõenäosust, et sihtmärk tabatakse vähemalt 240 ja maksimaalselt 300 korda.

1. Telefonijaamas tekib vale ühendus tõenäosusega 0,002. Leidke tõenäosus, et 800 ühenduse hulgas toimub järgmine:
1. vähemalt kolm vale ühendust;
2. rohkem kui neli vale ühendust.

1. Juhusliku suuruse määrab jaotustiheduse funktsioon:

Leidke juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon. Joonistage funktsioonide ja graafikud. Arvutage juhusliku suuruse matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan X.

1. Juhusliku muutuja määrab jaotusfunktsioon:

1. Proovi järgi A lahendage järgmised probleemid:
1. luua variatsiooniseeria;
2. arvutada suhtelisi ja akumuleeritud sagedusi;
3. koostama empiiriline funktsioon jaotada ja koostada selle graafik;
4. arvutage variatsiooniseeria arvkarakteristikud:

· valimi keskmine;

· valimi dispersioon;

valimi standardhälve;

· režiim ja mediaan;

Näidis A: 4 7 6 3 3 4

1. Kasutades näidist B, lahendage järgmised probleemid:
1. luua rühmitatud variatsiooniseeria;
2. ehitada histogramm ja sageduse hulknurk;
3. arvutage variatsiooniseeria arvkarakteristikud:

· valimi keskmine;

· valimi dispersioon;

valimi standardhälve;

· režiim ja mediaan;

Näidis B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

19. variant.

1. Objektil töötab 16 naist ja 5 meest. 3 inimest valiti juhuslikult, kasutades nende personalinumbrit. Leidke tõenäosus, et kõik valitud inimesed on mehed.

2. Visatakse neli münti. Leidke tõenäosus, et ainult kahel mündil on “vapp”.

3. Sõna “PSÜHHOLOOGIA” koosneb kaartidest, millest igaühele on kirjutatud üks täht. Kaardid segatakse ja võetakse ükshaaval välja ilma tagastamata. Leia tõenäosus, et väljavõetud tähed moodustavad sõna: a) PSÜHHOLOOGIA; b) PERSONAL.

4. Urnis on 6 musta ja 7 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:

a. 3 valget palli;

b. vähem kui 3 valget palli;

c. vähemalt üks valge pall.

5. Sündmuse toimumise tõenäosus Aühes katses on 0,5. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus:

a. sündmus A ilmub 3 korda 5 sõltumatu katse seerias;

b. sündmus A ilmub 50 katsest koosnevas seerias vähemalt 30 ja mitte rohkem kui 40 korda.

6. Sama võimsusega masinaid on 100, mis töötavad üksteisest sõltumatult samas režiimis, milles nende ajam on sisse lülitatud 0,8 töötunniks. Kui suur on tõenäosus, et igal ajahetkel lülitub sisse 70 kuni 86 masinat?

7. Esimeses urnis on 4 valget ja 7 musta palli ning teises urnis on 8 valget ja 3 musta palli. Esimesest urnist tõmmatakse juhuslikult 4 palli ja teisest 1 pall. Leidke tõenäosus, et väljatõmmatud pallide hulgas on ainult 4 musta palli.

8. Automüügisalong võtab igapäevaselt vastu kolme margi autosid mahus: “Moskvich” – 40%; "Oke" - 20%; "Volga" - 40% kõigist imporditud autodest. Moskvitši autodest on vargusvastane seade 0,5%, Okal – 0,01%, Volgal – 0,1%. Leia tõenäosus, et ülevaatusele viidud autol on vargusvastane seade.

9. Numbrid ja valitakse lõigul juhuslikult. Leidke tõenäosus, et need arvud rahuldavad ebavõrdsust.

10. Juhusliku suuruse jaotuse seadus on antud X:

X
lk	0,1	0,2	0,3	0,4

Leidke juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X; tähenduses F(2); tõenäosus, et juhuslik suurus X võtab väärtused intervallist . Jaotuse hulknurga konstrueerimine.

Nagu teada, juhuslik muutuja nimetatakse muutuvaks suuruseks, mis võib olenevalt juhtumist omandada teatud väärtused. Juhuslikud muutujad on näidatud suurtähtedega Ladina tähestik(X, Y, Z) ja nende väärtused on näidatud vastavate väiketähtedega (x, y, z). Juhuslikud muutujad jagunevad katkendlikeks (diskreetseteks) ja pidevateks.

Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik muutuja, mis võtab teatud nullist erineva tõenäosusega ainult lõpliku või lõpmatu (loendatava) väärtuste komplekti.

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus on funktsioon, mis ühendab juhusliku suuruse väärtused neile vastavate tõenäosustega. Jaotusseadust saab täpsustada ühel järgmistest viisidest.

1 . Jaotusseaduse saab esitada tabeli abil:

kus λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) kasutades jaotusfunktsioon F(x) , mis määrab iga väärtuse x puhul tõenäosuse, et juhuslik suurus X võtab väärtuse, mis on väiksem kui x, s.t. F(x) = P(X< x).

Funktsiooni F(x) omadused

3 . Jaotusseadust saab graafiliselt täpsustada – jaotuspolügoon (polügon) (vt ülesanne 3).

Pange tähele, et mõne probleemi lahendamiseks pole vaja teada jaotusseadust. Mõnel juhul piisab ühe või mitme kõige enam peegeldava numbri teadmisest olulised omadused jaotusseadus. See võib olla arv, millel on juhusliku suuruse "keskmine väärtus", või arv, mis näitab juhusliku suuruse keskmist kõrvalekalde suurust selle keskmisest väärtusest. Selliseid numbreid nimetatakse juhusliku suuruse arvulisteks tunnusteks.

Diskreetse juhusliku suuruse põhilised numbrilised karakteristikud :

• Matemaatiline ootus diskreetse juhusliku suuruse (keskmine väärtus). M(X)=Σ x i p i.
  Binoomjaotuse korral M(X)=np, Poissoni jaotuse korral M(X)=λ
• Dispersioon diskreetne juhuslik suurus D(X) = M2 või D(X) = M(X 2) − 2. Erinevust X–M(X) nimetatakse juhusliku suuruse kõrvalekaldeks tema matemaatilisest ootusest.
  Binoomjaotuse korral D(X)=npq, Poissoni jaotuse korral D(X)=λ
• Standardhälve (standardhälve) σ(X)=√D(X).

Näiteid ülesannete lahendamisest teemal “Diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus”

Ülesanne 1.

Välja anti 1000 loteriipiletit: neist 5 võidab 500 rubla, 10 võidab 100 rubla, 20 võidab 50 rubla, 50 võidab 10 rubla. Määrata juhusliku suuruse X – võidud pileti kohta – tõenäosusjaotuse seadus.

Lahendus. Vastavalt probleemi tingimustele on see võimalik järgmised väärtused juhuslik suurus X: 0, 10, 50, 100 ja 500.

Ilma võiduta piletite arv on 1000 – (5+10+20+50) = 915, siis P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Samamoodi leiame kõik muud tõenäosused: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Esitame saadud seaduse tabeli kujul:

Leiame väärtuse X matemaatilise ootuse: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. ülesanne.

Seade koosneb kolmest iseseisvalt töötavast elemendist. Iga elemendi ebaõnnestumise tõenäosus ühes katses on 0,1. Koostage jaotusseadus ebaõnnestunud elementide arvu kohta ühes katses, konstrueerige jaotuspolügoon. Leia jaotusfunktsioon F(x) ja joonistada see. Leidke diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve.

Lahendus. 1. Diskreetsel juhuslikul muutujal X = (ebaõnnestunud elementide arv ühes katses) on järgmised võimalikud väärtused: x 1 = 0 (ükski seadme elementidest ei ebaõnnestunud), x 2 = 1 (üks element ebaõnnestus), x 3 = 2 ( kaks elementi ebaõnnestusid ) ja x 4 =3 (kolm elementi ebaõnnestus).

Elementide rikked on üksteisest sõltumatud, iga elemendi rikke tõenäosus on võrdne, seetõttu on see rakendatav Bernoulli valem . Arvestades, et tingimuse järgi n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, määrame väärtuste tõenäosused:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Kontrollige: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Seega on soovitud X-i binoomjaotuse seadus järgmine:

Joonistame x i võimalikud väärtused piki abstsisstellge ja vastavad tõenäosused p i piki ordinaattelge. Konstrueerime punktid M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Ühendades need punktid sirgjooneliste segmentidega, saame soovitud jaotuspolügooni.

3. Leiame jaotusfunktsiooni F(x) = Р(Х

Kui x ≤ 0 on meil F(x) = Р(Х<0) = 0;
0 eest< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 eest< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 jaoks< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 korral on F(x) = 1, sest üritus on usaldusväärne.

Funktsiooni F(x) graafik

4. Binoomjaotuse X jaoks:
- matemaatiline ootus M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersioon D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardhälve σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Õppeasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

Juhised

õppida korrespondentõppe raamatupidamise teaduskonna (NISPO) üliõpilaste poolt teemat “Juhuslikud muutujad”

Gorki, 2013

Juhuslikud muutujad

Diskreetsed ja pidevad juhuslikud suurused

Tõenäosusteooria üks peamisi mõisteid on mõiste juhuslik muutuja . Juhuslik muutuja on suurus, mis testimise tulemusena võtab oma paljudest võimalikest väärtustest vaid ühe ja pole ette teada, millise.

On juhuslikud muutujad diskreetne ja pidev . Diskreetne juhuslik muutuja (DRV) on juhuslik suurus, mis võib omandada piiratud arvu üksteisest eraldatud väärtusi, st. kui selle suuruse võimalikud väärtused saab ümber arvutada. Pidev juhuslik muutuja (CNV) on juhuslik suurus, mille kõik võimalikud väärtused täidavad täielikult arvurea teatud intervalli.

Juhuslikke muutujaid tähistatakse ladina tähestiku suurtähtedega X, Y, Z jne. Juhuslike suuruste võimalikud väärtused on tähistatud vastavate väikeste tähtedega.

Salvestus
tähendab "tõenäosust, et juhuslik muutuja X võtab väärtuse 5, mis võrdub 0,28.

Näide 1 . Täringut visatakse üks kord. Sel juhul võivad ilmuda numbrid 1 kuni 6, mis näitavad punktide arvu. Tähistame juhuslikku muutujat X=(visatud punktide arv). See juhuslik muutuja võib testi tulemusel võtta ainult ühe kuuest väärtusest: 1, 2, 3, 4, 5 või 6. Seetõttu võib juhuslik muutuja X DSV on olemas.

Näide 2 . Kui kivi visata, läbib see teatud vahemaa. Tähistame juhuslikku muutujat X=(kivi lennukaugus). See juhuslik muutuja võib teatud intervallist võtta mis tahes, kuid ainult ühe väärtuse. Seetõttu juhuslik muutuja X seal on NSV.

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus

Diskreetset juhuslikku muutujat iseloomustavad väärtused, mida see võib võtta, ja nende väärtuste võtmise tõenäosus. Nimetatakse vastavust diskreetse juhusliku suuruse võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste vahel diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus .

Kui kõik võimalikud väärtused on teada
juhuslik muutuja X ja tõenäosused
nende väärtuste ilmumist, siis arvatakse, et DSV jaotusseadus X on teada ja seda saab kirjutada tabeli kujul:

DSV jaotusseadust saab graafiliselt kujutada, kui punktid on kujutatud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis
,
, …,
ja ühendage need sirgjooneliste segmentidega. Saadud kujundit nimetatakse jaotuse hulknurgaks.

Näide 3 . Puhastamiseks mõeldud teravili sisaldab 10% umbrohtu. Juhuslikult valiti välja 4 tera. Tähistame juhuslikku muutujat X=(umbrohtude arv nelja valitud hulgas). Koostage DSV levitamise seadus X ja jaotuspolügoon.

Lahendus . Vastavalt näidistingimustele. Seejärel:

Kirjutame tabeli kujul üles DSV X jaotusseaduse ja konstrueerime jaotuspolügoni:

Diskreetse juhusliku suuruse ootus

Diskreetse juhusliku suuruse olulisemaid omadusi kirjeldatakse tema tunnustega. Üks neist omadustest on oodatud väärtus juhuslik muutuja.

Olgu DSV levitamise seadus teada X:

Matemaatiline ootus DSV X on selle suuruse iga väärtuse korrutiste summa vastava tõenäosusega:
.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on ligikaudu võrdne kõigi selle väärtuste aritmeetilise keskmisega. Seetõttu võetakse praktilistes ülesannetes sageli matemaatiliseks ootuseks selle juhusliku suuruse keskmist väärtust.

Näide 8 . Laskur kogub 4, 8, 9 ja 10 punkti tõenäosustega 0,1, 0,45, 0,3 ja 0,15. Leidke ühe löögiga punktide arvu matemaatiline ootus.

Lahendus . Tähistame juhuslikku muutujat X=(skooritud punktide arv). Siis . Seega on oodatav keskmine ühe löögiga kogutud punktide arv 8,2 ja 10 tabamusega - 82.

Peamised omadused matemaatilised ootused on järgmised:

.

.

, Kus
,
.

.

, Kus X Ja Y on sõltumatud juhuslikud muutujad.

Erinevus
helistas hälve juhuslik muutuja X selle matemaatilisest ootusest. See erinevus on juhuslik suurus ja selle matemaatiline ootus on null, s.t.
.

Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon

Juhusliku muutuja iseloomustamiseks kasutame lisaks matemaatilisele ootusele ka dispersioon , mis võimaldab hinnata juhusliku suuruse väärtuste hajumist (levikut) selle matemaatilise ootuse ümber. Kahe võrdse matemaatiliste ootustega homogeense juhusliku muutuja võrdlemisel loetakse “parimaks” väärtuseks see, mille levik on väiksem, s.t. väiksem dispersioon.

Dispersioon juhuslik muutuja X nimetatakse juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiliseks ootuseks tema matemaatilisest ootusest: .

Praktilistes ülesannetes kasutatakse dispersiooni arvutamiseks samaväärset valemit.

Dispersiooni peamised omadused on:

.

Antakse diskreetse juhusliku suuruse jaotusseeria. Leidke puuduv tõenäosus ja joonistage jaotusfunktsioon. Arvutage selle suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.

Juhuslikul muutujal X on ainult neli väärtust: -4, -3, 1 ja 2. See võtab kõik need väärtused teatud tõenäosusega. Kuna kõigi tõenäosuste summa peab olema võrdne 1-ga, on puuduv tõenäosus võrdne:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Koostame juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni. On teada, et jaotusfunktsioon , siis:

Seega

Joonistame funktsiooni F(x) .

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on võrdne juhusliku suuruse väärtuse ja vastava tõenäosuse korrutiste summaga, s.o.

Diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni leiame järgmise valemi abil:

RAKENDUS

Kombinatoorika elemendid Siin: - arvu faktoriaal

Sündmuste toimingud Sündmus on mis tahes fakt, mis võib juhtuda või mitte juhtuda kogemuse tulemusena. Sündmuste ühendamine A Ja IN- see sündmus KOOS mis koosneb esinemisest või sündmusest A või sündmused IN või mõlemad sündmused korraga. Määramine: ; Crossing Sündmused A Ja IN- see sündmus KOOS, mis koosneb mõlema sündmuse samaaegsest toimumisest. Määramine: ;

Klassikaline tõenäosuse määratlus Sündmuse tõenäosus A on katsete arvu suhe , soodsad sündmuse toimumiseks A, katsete koguarvule :

Tõenäosuse korrutamise valem Sündmuse tõenäosus võib leida järgmise valemi abil: - sündmuse tõenäosus A, - sündmuse tõenäosus IN, - sündmuse tõenäosus IN tingimusel, et sündmus A on juba juhtunud. Kui sündmused A ja B on sõltumatud (ühe toimumine ei mõjuta teise toimumist), on sündmuse tõenäosus võrdne:

Tõenäosuste lisamise valem Sündmuse tõenäosus võib leida järgmise valemi abil: Sündmuse tõenäosus A, Sündmuse tõenäosus IN, - sündmuste koosesinemise tõenäosus A Ja IN. Kui sündmused A ja B ei ühildu (ei saa toimuda samaaegselt), on sündmuse tõenäosus võrdne:

Kogutõenäosuse valem Las sündmus A võib juhtuda ühe sündmusega samaaegselt , , …, - nimetagem neid hüpoteesideks. Tuntud ka - täitmise tõenäosus i-th hüpotees ja - sündmuse A toimumise tõenäosus täitmisel i- hüpotees. Siis sündmuse tõenäosus A võib leida valemiga:

Bernoulli skeem Olgu siis n sõltumatut testi. Sündmuse toimumise (edu) tõenäosus A igas neist on konstantne ja võrdne lk, ebaõnnestumise tõenäosus (st sündmust ei toimu A) q = 1 - lk. Siis esinemise tõenäosus k edu sisse n testid leiate Bernoulli valemi abil: Tõenäoliselt õnnestumiste arv Bernoulli skeemis on see teatud sündmuse juhtude arv, mille tõenäosus on suurim. Leitakse järgmise valemi abil:

Juhuslikud muutujad diskreetne pidev (näiteks tüdrukute arv 5 lapsega peres) (näiteks veekeetja korralikult töötamise aeg) Diskreetsete juhuslike suuruste arvulised karakteristikud Olgu jaotusrea abil antud diskreetne suurus: X R , , …, - juhusliku suuruse väärtused X; , , … on vastavad tõenäosusväärtused. Jaotusfunktsioon Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X on funktsioon, mis on defineeritud tervel arvureal ja võrdne tõenäosusega, et X tuleb vähem X:

Küsimused eksamiks

Sündmus. Operatsioonid juhuslike sündmuste korral.

Sündmuse tõenäosuse mõiste.

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise reeglid. Tingimuslikud tõenäosused.

Kogu tõenäosuse valem. Bayesi valem.

Bernoulli skeem.

Juhuslik muutuja, selle jaotusfunktsioon ja jaotusjada.

Jaotusfunktsiooni põhiomadused.

Oodatud väärtus. Matemaatilise ootuse omadused.

Dispersioon. Dispersiooni omadused.

Ühemõõtmelise juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse tihedus.

Jaotuste tüübid: ühtlane, eksponentsiaalne, normaal-, binoomjaotus ja Poissoni jaotus.

Moivre-Laplace'i lokaalsed ja integraalteoreemid.

Kahe juhusliku suuruse süsteemi seadus ja jaotusfunktsioon.

Kahe juhusliku suuruse süsteemi jaotustihedus.

Jaotuse tingimuslikud seadused, tinglik matemaatiline ootus.

Sõltuvad ja sõltumatud juhuslikud muutujad. Korrelatsioonikordaja.

Näidis. Proovi töötlemine. Hulknurk ja sageduse histogramm. Empiiriline jaotusfunktsioon.

Jaotusparameetrite hindamise kontseptsioon. Nõuded hindamisele. Usaldusvahemik. Intervallide konstrueerimine matemaatilise ootuse ja standardhälbe hindamiseks.

Statistilised hüpoteesid. Nõusoleku kriteeriumid.