Teate, mida jagada naturaalarv a naturaalarvuga b tähendab naturaalarvu c leidmist, mis b-ga korrutades annab arvu a. See väide jääb tõeseks, kui vähemalt üks arvudest a, b, c on kümnendmurd.
Vaatame mõnda näidet, kus jagaja on naturaalarv.
1,2: 4 = 0,3, kuna 0,3 * 4 = 1,2;
2,5: 5 = 0,5, kuna 0,5 * 5 = 2,5;
1: 2 = 0,5, kuna 0,5 * 2 = 1.
Mida aga teha juhtudel, kui jagamist ei saa suuliselt läbi viia?
Näiteks kuidas jagada 43,52 17-ga?
Suurendades dividendi 43,52 100 korda, saame arvuks 4352. Siis on avaldise 4352:17 väärtus 100 korda suurem kui avaldise 43,52:17 väärtus. Nurgaga jagades saate hõlpsalt kindlaks teha, et 4352: 17 = 256. Siin suurendatakse dividendi 100 korda. Niisiis, 43,52: 17 = 2,56. Pange tähele, et 2,56 * 17 = 43,52, mis kinnitab, et jagamine viidi läbi õigesti.
Jagatise 2,56 võib saada erinevalt. Jagame 4352 nurgaga 17-ga, ignoreerides koma. Sel juhul tuleks koma jagatis asetada vahetult enne esimest numbrit pärast dividendi koma:
Kui dividend on väiksem kui jagaja, siis jagatise täisarv on null. Näiteks:
Vaatame teist näidet. Leiame jagatise 3,1:5. Meil on:
Peatasime jagamise protsessi, kuna dividendi numbrid said otsa ja me ei saanud nulli jäägiks. Teate, et kümnendmurd ei muutu, kui sellele lisatakse paremal suvaline arv nulle. Siis saab selgeks, et dividendi numbrid ei saa lõppeda. Meil on:
Nüüd leiame kahe naturaalarvu jagatise, kui dividend ei jagajaga võrdselt. Näiteks leiame jagatise 31:5. Ilmselt ei jagu arv 31 5-ga:
Peatasime jagunemisprotsessi, kuna meil said dividendinumbrid otsa. Kui aga esitada dividendi kümnendmurruna, saab jagamist jätkata.
Meil on: 31:5 = 31,0:5. Järgmisena teeme jagamise nurgaga:
Seega 31:5 = 6,2.
Eelmises lõigus saime teada, et kui koma nihutada paremale 1, 2, 3 jne võrra. numbrit, siis murru suureneb vastavalt 10, 100, 1000 jne korda ja kui koma nihutada vasakule 1, 2, 3 jne numbri võrra, siis murdosa väheneb 10, 100, 1000 jne, vastavalt jne korda.
Seetõttu kasutage järgmist reeglit juhtudel, kui jagaja on 10, 100, 1000 jne.
Kümnendmurru jagamiseks arvuga 10, 100, 1000 jne, peate nihutama koma selles murrus vasakule 1, 2, 3 jne numbri võrra..
Näiteks: 4,23: 10 = 0,423; 2: 100 = 0,02; 58,63: 1000 = 0,05863.
Niisiis, õppisime, kuidas jagada kümnendmurdu naturaalarvuga.
Näitame, kuidas kümnendmurruga jagamist saab taandada naturaalarvuga jagamiseks.
$\frac(2)(5) km = 400 m$
,$\frac(20)(50) km = 400 m$
,$\frac(200)(500) km = 400 m$
.Me saame sellest aru
$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$
Need. 2:5 = 20:50 = 200:500.
See näide illustreerib järgmist. kui dividendi ja jagajat suurendada samaaegselt 10, 100, 1000 jne võrra. korda, siis jagatis ei muutu .
Leiame jagatise 43,52: 1,7.
Suurendame nii dividendi kui ka jagajat 10 korda. Meil on:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .
Suurendame nii dividendi kui ka jagajat 10 korda. Meil on: 43,52: 1,7 = 25,6.
Kümnendmurru kümnendmurdu jagamiseks tehke järgmist.
1) nihutada dividendis ja jagajas koma paremale nii mitme numbri võrra, kui palju on jagajas pärast koma;
2) jagada naturaalarvuga.
Näide 1 . Vanja kogus 140 kg õunu ja pirne, millest 0,24 olid pirnid. Mitu kilogrammi pirne Vanya kogus?
Lahendus. Meil on:
0,24 $=\frac(24)(100)$
.1) 140: 100 = 1,4 (kg) - on
Õunad ja pirnid.
2) 1,4 * 24 = 33,6 (kg) - pirnid koguti.
Vastus: 33,6 kg.
Näide 2 . Hommikusöögiks sõi Karupoeg Puhh 0,7 tünni mett. Mitu kilogrammi mett oli tünnis, kui Karupoeg Puhh sõi ära 4,2 kg?
Lahendus. Meil on:
0,7 $=\frac(7)(10)$
.1) 4,2: 7 = 0,6 (kg) - on
Lihtsalt kallis.
2) 0,6 * 10 = 6 (kg) - tünnis oli mett.
Vastus: 6 kg.
Kümnendmurruga jagamine taandatakse naturaalarvuga jagamiseks.
Arvu kümnendmurruga jagamise reegel
Arvu kümnendmurruga jagamiseks tuleb nihutada koma nii dividendis kui ka jagajas paremale nii palju numbreid, kui palju on jagajas pärast koma. Pärast seda jagage naturaalarvuga.
Näited.
Jaga kümnendmurruga:
Kümnendkohaga jagamiseks tuleb nihutada koma nii dividendis kui ka jagajas nii mitme numbri võrra paremale, kui palju on pärast koma jagajas ehk ühe numbri võrra. Saame: 35,1: 1,8 = 351: 18. Nüüd teostame jagamise nurgaga. Selle tulemusena saame: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Kümnendmurdude jagamiseks nihutame nii dividendis kui jagajas koma ühte kohta paremale: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Nüüd teostame naturaalarvu. Tulemus: 14,76: 3,6 = 4,1.
Naturaalarvu jagamiseks kümnendmurruga tuleb nii dividendi kui ka jagajat nihutada paremale nii palju kohti, kui palju on jagajas pärast koma. Kuna sel juhul jagajasse koma ei kirjutata, täidame puuduva märkide arvu nullidega: 70: 1,75 = 7000: 175. Saadud naturaalarvud jagame nurgaga: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .
4) 0,1218: 0,058
Ühe kümnendmurru jagamiseks teisega nihutame koma nii dividendis kui ka jagajas paremale nii mitme numbri võrra, kui palju on jagajas pärast koma ehk kolme kümnendkoha võrra. Seega 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Kümnendmurruga jagamine asendati naturaalarvuga jagamisega. Jagame nurka. Meil on: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
I. Kümnendmurru naturaalarvuga jagamiseks peate murdosa selle arvuga jagama, kuna naturaalarvud jagunevad, ja panema jagatisesse koma, kui kogu osa jagamine on lõpetatud.
Näited.
Tehke jagamine: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.
Lahendus.
Näide 1) 96,25: 5.
Jagame “nurgaga” samamoodi nagu naturaalarvusid. Pärast seda, kui oleme numbri maha võtnud 2 (kümnendike arv on esimene koht pärast koma dividendis 96, 2 5), jagatisesse paneme koma ja jätkame jagamist.
Vastus: 19,25.
Näide 2) 4,78: 4.
Jagame nii, nagu naturaalarvud jagunevad. Jagatisesse paneme koma kohe pärast selle eemaldamist 7
— dividendi 4 esimene number pärast koma, 7
8. Jätkame jagamist edasi. 38-36 lahutamisel saame 2, kuid jagamist ei lõpetata. Kuidas me edasi toimime? Teame, et kümnendmurru lõppu saab lisada nulle – see ei muuda murru väärtust. Määrame nulli ja jagame 20 4-ga. Saame 5 - jagamine on lõppenud.
Vastus: 1,195.
Näide 3) 183,06: 45.
Jagage 18306 45-ga. Jagatisesse paneme koma kohe pärast numbri eemaldamist 0
— esimene number pärast koma dividendis 183, 0
6. Nii nagu näites 2), pidime arvule 36 määrama nulli – arvude 306 ja 270 vahe.
Vastus: 4,068.
Järeldus: kümnendmurru jagamisel naturaalarvuga privaatne panime koma kohe pärast seda, kui võtame maha dividendi kümnendiku koha näitaja. Pange tähele: kõik on esile tõstetud numbrid punaselt nendes kolmes näites kuuluvad kategooriasse kümnendikku dividendist.
II. Kümnendmurru jagamiseks 10, 100, 1000 jne võrra tuleb koma nihutada 1, 2, 3 jne numbri võrra vasakule.
Näited.
Tehke jagamine: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.
Lahendus.
Kümnendkoha liigutamine vasakule sõltub sellest, mitu nulli pärast ühte on jagajas. Niisiis, kümnendmurru jagamisel 10
kanname dividendina üle koma vasakule ühele numbrile; kui jagatud 100
- liigutage koma jäi kaks numbrit; kui jagatud 1000
teisendada selle kümnendmurruks koma kolm numbrit vasakule.
Kümnendkohtade lisamine on sama, mis täisarvude liitmine. Vaatame seda näidetega.
1) 0,132 + 2,354. Märgistame terminid üksteise alla.
Siin saadi 2 tuhandiku liitmisel 4 tuhandikule 6 tuhandikku;
3 sajandiku liitmisel 5 sajandikuga on tulemuseks 8 sajandikku;
1 kümnendiku liitmisest 3 kümnendikuga -4 kümnendikku ja
0 täisarvu lisamisest 2 täisarvuga - 2 täisarvu.
2) 5,065 + 7,83.
Teises terminis pole tuhandeid, seega on oluline terminite üksteise järel märgistamisel mitte vigu teha.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Siin on tuhandikute liitmisel tulemuseks 21 tuhandikku; kirjutasime tuhandete alla 1 ja sajandikutele lisasime 2, nii et sajandikukohas saime järgmised terminid: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; kokku annavad 19 sajandikku, meie kirjutasime alla 9 sajandikku ja 1 arvestati kümnendikku jne.
Seega tuleb kümnendmurdude lisamisel järgida järgmist järjekorda: märgi murrud üksteise alla nii, et kõikides terminites paikneksid üksteise all samad numbrid ja kõik komad ühes vertikaalses veerus; Mõne termini kümnendkohtadest paremale lisatakse vähemalt mõttes selline arv nulle, et kõik pärast koma olevad liikmed oleksid ühepalju numbritega. Seejärel lisage numbrite järgi, alustades parem pool, ja saadud summas asetatakse koma samasse vertikaalsesse veergu, kus see nendes terminites asub.
§ 108. Kümnendmurdude lahutamine.
Kümnendkohtade lahutamine toimib samamoodi nagu täisarvude lahutamine. Näitame seda näidetega.
1) 9,87 - 7,32. Märgistame minuendi all oleva alajaotuse nii, et sama numbri ühikud oleksid üksteise all:
2) 16,29 - 4,75. Märgime minuendi all oleva alajaotuse, nagu esimeses näites:
Kümnendike lahutamiseks tuli 6-st võtta üks terve ühik ja jagada see kümnendikku.
3) 14,0213-5,350712. Kirjutame alla minuendi all olevale alajaotusele:
Lahutamine toimus järgmiselt: kuna me ei saa 0-st lahutada 2 miljondikut, siis peaksime pöörama vasakul asuva lähima numbri ehk sajatuhandikesse, kuid sajatuhandiku asemel on ka null, seega võtame 1 kümnetuhandiku. 3 kümnetuhandik ja Me jagame selle sajatuhandikeks, saame 10 sajatuhandikku, millest jätame sajatuhandikesse kategooriasse 9 sajatuhandik ja jagame 1 sajatuhandiku miljoniteks, saame 10 miljondiku. Seega on meil kolmes viimases numbris: miljondik 10, sajatuhandik 9, kümnetuhandik 2. Suurema selguse ja mugavuse huvides (et mitte unustada) on need arvud kirjutatud minuendi vastavate murdarvude kohale. Nüüd saate hakata lahutama. 10 miljondikust lahutame 2 miljondikut, saame 8 miljonit; 9 sajatuhandikest lahutame 1 sajatuhandiku, saame 8 sajatuhandiku jne.
Seega järgitakse kümnendmurdude lahutamisel järgmist järjekorda: märkige minuendi all olev alajaotus nii, et samad numbrid paikneksid üksteise all ja kõik komad oleksid samas vertikaalses veerus; paremale lisavad nad vähemalt mõttes nii palju nulle minuendis või alamlahendis, et neil oleks sama arv numbreid, seejärel lahutavad nad numbrite kaupa, alustades paremalt poolt ja saadud vahesse panevad koma sama vertikaalne veerg, milles see asub minuendis ja lahutades.
§ 109. Kümnendmurdude korrutamine.
Vaatame mõningaid näiteid kümnendmurdude korrutamisest.
Nende arvude korrutise leidmiseks saame arutleda järgmiselt: kui tegurit suurendada 10 korda, siis on mõlemad tegurid täisarvud ja saame need siis korrutada vastavalt täisarvude korrutamise reeglitele. Kuid me teame, et kui üks teguritest suureneb mitu korda, suureneb toode sama palju. See tähendab, et arv, mis saadakse täisarvuliste tegurite korrutamisel, st 28 23-ga, on 10 korda suurem tegelikust korrutisest ja tõelise korrutise saamiseks tuleb leitud korrutist 10 korda vähendada. Seetõttu peate siin üks kord korrutama 10-ga ja üks kord jagama 10-ga, kuid 10-ga korrutamine ja jagamine toimub koma ühe koha võrra paremale ja vasakule nihutades. Seetõttu peate tegema seda: teguris liigutage koma õigesse kohta, see võrdub 23-ga, seejärel peate saadud täisarvud korrutama:
See toode on tegelikust tootest 10 korda suurem. Seetõttu tuleb seda 10 korda vähendada, selleks nihutame koma ühe koha võrra vasakule. Seega saame
28 2,3 = 64,4.
Kontrollimiseks saab kirjutada kümnendmurru nimetajaga ja sooritada toimingu harilike murdude korrutamise reegli järgi, s.t.
2) 12,27 0,021.
Selle näite erinevus eelmisest seisneb selles, et siin on mõlemad tegurid esitatud kümnendmurdudena. Kuid siin ei pööra me korrutamise käigus tähelepanu komadele, st suurendame ajutiselt kordajat 100 korda ja kordajat 1000 korda, mis suurendab korrutist 100 000 korda. Seega, korrutades 1227 21-ga, saame:
1 227 21 = 25 767.
Arvestades, et saadud toode on 100 000 korda suurem tegelikust tootest, peame nüüd seda 100 000 korda vähendama, pannes sellesse õigesti koma, siis saame:
32,27 0,021 = 0,25767.
Kontrollime:
Seega piisab kahe kümnendmurru korrutamiseks komadele tähelepanu pööramata, kui korrutada need täisarvudena ja korrutis eraldada paremal pool komaga nii palju kümnendkohti, kui oli korrutis ja korrutis. kordajas kokku.
Viimase näite tulemuseks oli viie kümnendkohaga korrutis. Kui nii suurt täpsust ei nõuta, ümardatakse kümnendmurd. Ümardamisel peaksite kasutama sama reeglit, mis oli näidatud täisarvude puhul.
§ 110. Korrutamine tabelite abil.
Mõnikord saab kümnendkohtade korrutamist teha tabelite abil. Selleks saab kasutada näiteks neid kahekohaliste arvude korrutustabeleid, mille kirjeldus on antud varem.
1) Korrutage 53 1,5-ga.
Korrutame 53 15-ga. Tabelis on see toode 795. Leidsime toote 53 15-ga, kuid meie teine tegur oli 10 korda väiksem, mis tähendab, et toodet tuleb vähendada 10 korda, st.
53 1,5 = 79,5.
2) Korrutage 5,3 4,7-ga.
Esiteks leiame tabelist korrutise 53 korda 47, see saab olema 2 491. Aga kuna suurendasime kordajat ja kordajat kokku 100 korda, on saadud korrutis 100 korda suurem, kui see peaks olema; seega peame seda toodet 100 korda vähendama:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Korrutage 0,53 7,4-ga.
Esiteks leiame tabelist korrutise 53 korda 74; see on 3 922. Aga kuna suurendasime kordajat 100 korda ja kordajat 10 korda, suurenes korrutis 1000 korda; seega peame nüüd seda 1000 korda vähendama:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Kümnendmurdude jagamine.
Vaatame kümnendmurdude jagamist järgmises järjekorras:
1. Kümnendmurru jagamine täisarv,
1. Jaga kümnendmurd täisarvuga.
1) Jaga 2,46 2-ga.
Jagasime 2-ga kõigepealt terve, siis kümnendiku ja lõpuks sajandikuga.
2) Jaga 32,46 3-ga.
32,46: 3 = 10,82.
Jagasime 3 kümnendikku 3-ga, seejärel hakkasime jagama 2 ühikut 3-ga; kuna dividendi (2) ühikute arv on jagajast (3) väiksem, pidime jagatisesse panema 0; edasi, jäägile võtsime 4 kümnendikku ja jagasime 24 kümnendikku 3-ga; sai jagatis 8 kümnendikku ja jagas lõpuks 6 sajandikku.
3) Jagage 1,2345 5-ga.
1,2345: 5 = 0,2469.
Siin on jagatis esikohal null täisarvu, kuna üks täisarv ei jagu 5-ga.
4) Jaga 13,58 4-ga.
Selle näite eripära on see, et kui saime jagatis 9 sajandikku, avastasime jäägi, mis on võrdne 2 sajandikuga, jagasime selle jäägi tuhandeteks, saime 20 tuhandiku ja lõpetasime jagamise.
Reegel. Kümnendmurru jagamine täisarvuga toimub samamoodi nagu täisarvude jagamine ja saadud jäägid teisendatakse järjest väiksemateks kümnendmurdudeks; Jagamine jätkub, kuni jääk on null.
2. Jaga koma kümnendkohaga.
1) Jaga 2,46 0,2-ga.
Me juba teame, kuidas jagada kümnendmurdu täisarvuga. Mõelgem, kas seda uut jagunemisjuhtumit on võimalik taandada eelmisele? Omal ajal pidasime jagatise märkimisväärseks omaduseks, et see jääb muutumatuks, kui dividend ja jagaja samaaegselt suurenevad või vähenevad sama arv kordi. Kui jagaja oleks täisarv, saaksime meile antud numbreid hõlpsasti jagada. Selleks piisab selle 10-kordsest suurendamisest ja õige jagatise saamiseks on vaja dividendi suurendada sama palju, s.o 10 korda. Seejärel asendatakse nende numbrite jaotus järgmiste numbrite jagamisega:
Lisaks ei ole enam vaja andmetes muudatusi teha.
Teeme selle jaotuse:
Seega 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Jaga 1,25 1,6-ga.
Suurendame jagajat (1,6) 10 korda; et jagatis ei muutuks, suurendame dividendi 10 korda; 12 täisarvu ei jagu 16-ga, seega kirjutame jagatisesse 0 ja jagame 125 kümnendikku 16-ga, jagatis saame 7 kümnendikku ja jääk 13. Jagame 13 kümnendikku sajandikuteks, määrates nulli ja jagame 130, sajandikku 16-ga jne. Pange tähele järgmist:
a) kui konkreetses ei ole täisarve, siis kirjutatakse nende asemele null täisarvu;
b) kui pärast dividendi numbri lisamist jäägile saadakse arv, mis jagajaga ei jagu, siis jagatisesse kirjutatakse null;
c) kui pärast dividendi viimase numbri eemaldamist jagamine ei lõpe, siis jagamine jätkub, lisades jäägile nullid;
d) kui dividend on täisarv, siis kümnendmurruga jagamisel suurendatakse seda, lisades sellele nullid.
Seega, arvu kümnendmurruga jagamiseks peate jagaja koma ära jätma ja seejärel suurendama dividendi nii mitu korda, kui palju jagaja selles koma ära jättes suurenes, ning seejärel jagama vastavalt reeglile. kümnendmurru jagamiseks täisarvuga.
§ 112. Ligikaudsed jagatised.
Eelmises lõigus vaatlesime kümnendmurdude jagamist ja kõigis lahendatud näidetes oli jagamine lõpetatud, st saadi täpne jagatis. Enamasti pole aga täpset jagatist võimalik saada, ükskõik kui kaugele jagamist jätkame. Siin on üks selline juhtum: jagage 53 101-ga.
Oleme jagatis juba viis numbrit saanud, kuid jagamine pole veel lõppenud ja pole lootustki, et see kunagi lõppeks, kuna ülejäänus hakkavad meil olema numbrid, mida on juba varem kohatud. Jagatis korduvad ka arvud: on ilmne, et pärast arvu 7 ilmub lõputult arv 5, seejärel 2 jne. Sellistel juhtudel jagamine katkeb ja piirdub jagatise paari esimese numbriga. Seda jagatist nimetatakse lähedased. Näitame näidetega, kuidas jagada jagamist.
Olgu vaja jagada 25 3-ga. Ilmselgelt ei saa sellisest jagamisest täpset jagatist, väljendatuna täis- või kümnendmurruna. Seetõttu otsime ligikaudset jagatist:
25: 3 = 8 ja ülejäänud 1
Ligikaudne jagatis on 8; see on muidugi väiksem kui täpne jagatis, sest seal on jääk 1. Täpse jagatise saamiseks tuleb leitud ligikaudsele jagatisele lisada murd, mis saadakse 1-ga võrdse jäägi jagamisel 3-ga, s.t. , kuni 8; see on murdosa 1/3. See tähendab, et täpne jagatis väljendatakse segaarvuna 8 1/3. Kuna 1/3 esindab õige murdosa, st murdosa, vähem kui üks, siis lubame selle ära visata viga, mis vähem kui üks. Jagatis 8 saab olema ligikaudne jagatis kuni ühtsuseni miinusega. Kui 8 asemel võtame jagatis 9, siis lubame ka vea, mis on väiksem kui üks, kuna me ei liida kogu ühikut, vaid 2/3. Selline privaatne tahe ligikaudne jagatis ühe piires ülejäägiga.
Võtame nüüd teise näite. Oletame, et peame jagama 27 8-ga. Kuna siin ei saa me täpset täisarvuna väljendatud jagatist, otsime ligikaudset jagatist:
27: 8 = 3 ja ülejäänud 3.
Siin on viga võrdne 3/8, see on väiksem kui üks, mis tähendab, et ligikaudne jagatis (3) leiti täpsusega ühele, millel on puudus. Jätkame jagamist: jagame ülejäänud 3 kümnendikku, saame 30 kümnendikku; jagage need 8-ga.
Kümnendike asemel saime jagatis 3 ja ülejäänu 6 kümnendikku. Kui piirduda arvuga 3,3 ja jätta kõrvale 6, siis lubame viga alla kümnendiku. Miks? Sest täpse jagatise saaks, kui 3,3-le liidame 6 kümnendiku 8-ga jagamise tulemuse; see jaotus annaks tulemuseks 6/80, mis on alla kümnendiku. (Kontrolli!) Seega, kui jagatis piirdume kümnendikutega, siis võime öelda, et oleme jagatise leidnud kümnendiku täpsusega(miinusega).
Jätkame jagamist, et leida teine komakoht. Selleks jagame 6 kümnendikku sajandikuteks ja saame 60 sajandikku; jagage need 8-ga.
Kolmanda koha jagatis osutus 7 ja ülejäänud 4 sajandikku; kui me need ära jätame, lubame viga alla ühe sajandiku, sest 4 sajandikku jagatud 8-ga on väiksem kui üks sajandik. Sellistel juhtudel öeldakse, et jagatis on leitud sajandiku täpsusega(miinusega).
Praegu vaadeldavas näites saame täpse jagatise väljendatuna kümnendmurruna. Selleks piisab, kui jagada viimane jääk, 4 sajandikku, tuhandeteks ja jagada 8-ga.
Kuid valdaval enamusel juhtudel on täpset jagatist võimatu saada ja tuleb piirduda selle ligikaudsete väärtustega. Vaatame nüüd seda näidet:
40: 7 = 5,71428571...
Arvu lõppu paigutatud punktid näitavad, et jagamine pole lõpetatud, st võrdsus on ligikaudne. Tavaliselt kirjutatakse ligikaudne võrdsus järgmiselt:
40: 7 = 5,71428571.
Võtsime jagatise kaheksa kohta pärast koma. Kuid kui nii suurt täpsust pole vaja, võite piirduda ainult jagatise terve osaga, st arvuga 5 (täpsemalt 6); suurema täpsuse huvides võiks arvesse võtta kümnendikke ja võtta jagatis 5,7; kui see täpsus on mingil põhjusel ebapiisav, võite peatuda sajandikutel ja võtta 5,71 jne. Kirjutame välja üksikud jagatised ja nimetame need.
Esimene ligikaudne jagatis, mille täpsus on üks 6.
Teine » » » kümnendikuni 5.7.
Kolmas » » » ühe sajandikuni 5.71.
Neljas » » » ühe tuhandikuni 5,714.
Seega, et leida ligikaudne jagatis, mis on täpne mõne, näiteks 3. kümnendkoha täpsusega (st kuni ühe tuhandikuni), lõpetage jagamine kohe, kui see märk on leitud. Sel juhul peate meeles pidama §-s 40 sätestatud reeglit.
§ 113. Lihtsamad protsente puudutavad ülesanded.
Pärast kümnendkohtade tundmaõppimist teeme veel paar protsenti ülesandeid.
Need probleemid on sarnased nendega, mida lahendasime fraktsioonide osakonnas; kuid nüüd kirjutame sajandikud kümnendmurdude kujul, st ilma selgelt määratud nimetajata.
Esiteks peate suutma hõlpsalt liikuda tavalisest murrust kümnendkohani, mille nimetaja on 100. Selleks peate jagama lugeja nimetajaga:
Allolevas tabelis on näidatud, kuidas % (protsent) sümboliga arv asendatakse kümnendmurruga, mille nimetaja on 100:
Vaatleme nüüd mitmeid probleeme.
1. Antud arvu protsendi leidmine.
Ülesanne 1.Ühes külas elab vaid 1600 inimest. Laste arv koolieas moodustab 25% elanike koguarvust. Kui palju on selles külas kooliealisi lapsi?
Selles ülesandes peate leidma 25% ehk 0,25 1600-st. Ülesanne lahendatakse korrutamisega:
1600 0,25 = 400 (lapsed).
Seetõttu on 25% 1600-st 400.
Selle ülesande selgeks mõistmiseks on kasulik meenutada, et iga saja elanikkonna kohta on 25 kooliealist last. Seetõttu saate kõigi kooliealiste laste arvu leidmiseks esmalt välja selgitada, mitu sadu on arvus 1600 (16), ja seejärel korrutada 25 sadade arvuga (25 x 16 = 400). Nii saate kontrollida lahenduse kehtivust.
2. ülesanne. Hoiupangad annavad hoiustajatele aastas 2% tootlust. Kui palju tulu saab hoiustaja aastas, kui ta paneb kassasse: a) 200 rubla? b) 500 rubla? c) 750 rubla? d) 1000 rubla?
Kõigil neljal juhul peate probleemi lahendamiseks arvutama 0,02 näidatud summadest, st kõik need numbrid tuleb korrutada 0,02-ga. Teeme seda:
a) 200 0,02 = 4 (rub.),
b) 500 0,02 = 10 (rub.),
c) 750 0,02 = 15 (rub.),
d) 1000 0,02 = 20 (rub.).
Kõiki neid juhtumeid saab kontrollida järgmiste kaalutlustega. Hoiupangad annavad investoritele 2% tulu, s.o 0,02 hoiustesse hoiustatud summast. Kui summa oleks 100 rubla, siis 0,02 sellest oleks 2 rubla. See tähendab, et iga sada toob investorile 2 rubla. tulu. Seetõttu piisab igal vaadeldaval juhul sellest, kui välja mõelda, mitu sadu antud arvus on, ja korrutada 2 rubla selle arvuga sadadega. Näites a) on 2 sadu, mis tähendab
2 2 = 4 (hõõru).
Näites d) on 10 sadu, mis tähendab
2 10 = 20 (hõõru).
2. Arvu leidmine selle protsendi järgi.
Ülesanne 1. Kevadel lõpetas koolis 54 õpilast, mis moodustab 6% kooli õpilastest. Kui palju õpilasi eelmisel aastal koolis oli? õppeaasta?
Teeme kõigepealt selgeks selle ülesande tähenduse. Kooli lõpetas 54 õpilast, mis moodustab 6% õpilaste üldarvust ehk teisisõnu 6 sajandikku (0,06) kõigist kooli õpilastest. See tähendab, et teame õpilaste osa, mis on väljendatud arvuga (54) ja murdosaga (0,06) ning sellest murdosast peame leidma täisarvu. Seega on meie ees tavaline ülesanne leida arv selle murdosa hulgast (§90, lõige 6). Seda tüüpi probleemid lahendatakse jagamise teel:
See tähendab, et koolis oli ainult 900 õpilast.
Selliseid ülesandeid on kasulik kontrollida pöördülesande lahendamisega, s.t pärast ülesande lahendamist tuleks vähemalt oma peas lahendada esimest tüüpi ülesanne (antud arvu protsendi leidmine): võtke leitud arv ( 900) antud kujul ja leidke lahendatud ülesandes näidatud protsent sellest, nimelt:
900 0,06 = 54.
2. ülesanne. Perel kulub kuu jooksul toidule 780 rubla, mis moodustab 65% isa kuupalgast. Määrake tema kuupalk.
Sellel ülesandel on sama tähendus kui eelmisel. See annab osa igakuisest töötasust, väljendatuna rublades (780 rubla), ja näitab, et see osa moodustab 65% ehk 0,65 kogupalgast. Ja see, mida te otsite, on kogu tulu:
780: 0,65 = 1 200.
Seetõttu on nõutav sissetulek 1200 rubla.
3. Arvude protsendi leidmine.
Ülesanne 1. Kooli raamatukogus on ainult 6000 raamatut. Nende hulgas on 1200 matemaatikateemalist raamatut. Kui suur protsent matemaatikaraamatutest moodustab raamatukogus olevate raamatute koguarvu?
Oleme juba kaalunud (§97) sedalaadi probleeme ja jõudnud järeldusele, et kahe arvu protsendi arvutamiseks tuleb leida nende arvude suhe ja korrutada see 100-ga.
Meie ülesandes peame leidma arvude 1200 ja 6000 protsentuaalse suhte.
Leiame esmalt nende suhte ja seejärel korrutame selle 100-ga:
Seega on arvude 1200 ja 6000 osakaal 20. Ehk siis matemaatikaraamatud moodustavad 20% kõigi raamatute koguarvust.
Kontrollimiseks lahendame pöördülesande: leidke 20% 6000-st:
6 000 0,2 = 1 200.
2. ülesanne. Tehas peaks saama 200 tonni kivisütt. 80 tonni on juba tarnitud Mitu protsenti kivisütt on tehasesse tarnitud?
See ülesanne küsib, mitu protsenti on üks arv (80) teisest (200). Nende arvude suhe on 80/200. Korrutame selle 100-ga:
See tähendab, et 40% kivisöest on tarnitud.
Varem või hiljem hakkavad kõik lapsed koolis õppima murde: nende liitmist, jagamist, korrutamist ja kõiki võimalikke tehteid, mida murdudega teha saab. Lapsele korraliku abi osutamiseks ei tohiks vanemad ise unustada täisarvude murdudeks jagamist, vastasel juhul ei saa te teda kuidagi aidata, vaid ajate ta ainult segadusse. Kui peate seda toimingut meeles pidama, kuid te lihtsalt ei saa kogu oma peas olevat teavet ühte reeglisse panna, siis aitab see artikkel teid: õpite jagama arvu murdosaga ja näete selgeid näiteid.
Kuidas jagada arv murdarvuks
Kirjutage oma näide umbkaudse mustandina üles, et saaksite teha märkmeid ja kustutada. Pidage meeles, et täisarv kirjutatakse lahtrite vahele, otse nende ristumiskohta, ja murdarvud kirjutatakse igaüks oma lahtrisse.
- IN seda meetodit peate murru tagurpidi pöörama, st kirjutama nimetaja lugejasse ja lugeja nimetajasse.
- Jagamismärk tuleb muuta korrutamiseks.
- Nüüd pole vaja teha muud, kui sooritada korrutamine juba õpitud reeglite järgi: lugeja korrutatakse täisarvuga, kuid nimetajat ei puuduta.
Loomulikult saate sellise tegevuse tulemusena väga suur number lugejas. Sellesse olekusse ei saa jätta murdosa – õpetaja lihtsalt ei aktsepteeri seda vastust. Vähendage murdosa, jagades lugeja nimetajaga. Kirjutage saadud täisarv lahtrite keskel olevast murrust vasakule ja ülejäänud osa on uus lugeja. Nimetaja jääb muutumatuks.
See algoritm on isegi lapse jaoks üsna lihtne. Pärast viie-kuuekordset läbimist mäletab laps protseduuri ja saab seda rakendada mis tahes fraktsioonidele.
Kuidas jagada arvu kümnendkohaga
On ka teist tüüpi murde – kümnendkohti. Nendeks jagamine toimub täiesti erineva algoritmi järgi. Kui leiate sellise näite, järgige juhiseid:
- Esiteks teisendage mõlemad arvud kümnendkohtadeks. Seda on lihtne teha: teie jagaja on juba murruna ja te eraldate jagatava naturaalarvu komaga, saades kümnendmurru. See tähendab, et kui dividend oli 5, saate murdosa 5,0. Arv tuleb eraldada nii paljude numbritega, kui palju on pärast koma ja jagajat.
- Pärast seda peate tegema mõlemad kümnendmurrud naturaalarvud. See võib alguses tunduda pisut segane, kuid see on kõige rohkem kiire tee jaotus, mis võtab mõne harjutuse järel sekundeid. Murd 5.0 saab numbriks 50, murd 6.23 saab 623.
- Tehke jaotus. Kui arvud on suured või jagamine toimub jäägiga, tehke seda veerus. Nii näete selgelt kõiki selle näite toiminguid. Te ei pea koma tahtlikult panema, kuna see ilmub pika jagamisprotsessi ajal iseenesest.
Seda tüüpi jagamine tundub esialgu liiga segane, kuna peate dividendi ja jagaja muutma murdarvuks ja seejärel tagasi naturaalarvudeks. Kuid pärast lühikest harjutamist hakkate kohe nägema neid numbreid, mille peate lihtsalt üksteisega jagama.
Pidage meeles, et oskus murdude ja täisarvudega nende järgi õigesti jagada võib elus mitu korda kasuks tulla, seetõttu teadke neid reegleid ja lihtsad põhimõtted laps vajab ideaalis, et kõrgemates klassides ei saaks nad komistuskiviks, mille tõttu ei saa laps keerulisemaid probleeme lahendada.
