Las gráficas de funciones pares e impares tienen las siguientes características:
Si una función es par, entonces su gráfica es simétrica con respecto a la ordenada. Si una función es impar, entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.
Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=\left|x \right|\).Solución. Considere la función: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) y sustituya el opuesto \(-x \) en lugar de \(x \). Como resultado de transformaciones simples obtenemos: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ En otros Es decir, si reemplaza el argumento con el signo opuesto, la función no cambiará.
Esto significa que esta función es par y su gráfica será simétrica con respecto al eje de ordenadas (eje vertical). La gráfica de esta función se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que al construir un gráfico, solo puedes dibujar la mitad y la segunda parte (a la izquierda del eje vertical, dibuja simétricamente a la parte derecha). Al determinar la simetría de una función antes de comenzar a trazar su gráfica, puedes simplificar enormemente el proceso de construir o estudiar la función. Si es difícil registrarse vista general, puedes hacerlo de forma más sencilla: sustituye los mismos valores de diferentes signos en la ecuación. Por ejemplo -5 y 5. Si los valores de la función resultan ser iguales, entonces podemos esperar que la función sea par. Desde un punto de vista matemático, este enfoque no es del todo correcto, pero desde un punto de vista práctico es conveniente. Para aumentar la confiabilidad del resultado, puede sustituir varios pares de valores opuestos.
Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=x\left|x \right|\).
Solución. Comprobemos lo mismo que en el ejemplo anterior: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Esto significa que la función original es impar (el signo de la función ha cambiado al opuesto).
Conclusión: la función es simétrica con respecto al origen. Puedes construir solo la mitad y dibujar la segunda simétricamente. Este tipo de simetría es más difícil de trazar. Esto significa que estás mirando el gráfico desde el otro lado de la hoja, e incluso al revés. O puedes hacer esto: toma la parte dibujada y gírala alrededor del origen 180 grados en sentido antihorario.
Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=x^3+x^2\).
Solución. Realicemos la misma verificación de cambio de signo que en los dos ejemplos anteriores. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Como resultado, obtenemos que: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Y esto significa que la función no es par ni impar.
Conclusión: la función no es simétrica ni con respecto al origen ni al centro del sistema de coordenadas. Esto sucedió porque es la suma de dos funciones: par e impar. La misma situación ocurrirá si restas dos funciones diferentes. Pero la multiplicación o división conducirá a un resultado diferente. Por ejemplo, el producto de una función par y una impar produce una función impar. O el cociente de dos números impares da como resultado una función par.
La uniformidad y la imparidad de una función son una de sus principales propiedades, y la paridad ocupa una parte impresionante. curso escolar matemáticas. Determina en gran medida el comportamiento de la función y facilita enormemente la construcción del gráfico correspondiente.
Determinemos la paridad de la función. En términos generales, la función en estudio se considera incluso si para valores opuestos de la variable independiente (x) ubicada en su dominio de definición, los valores correspondientes de y (función) resultan ser iguales.
Demos una definición más estricta. Considere alguna función f (x), que está definida en el dominio D. Será par si para cualquier punto x ubicado en el dominio de definición:
- -x (punto opuesto) también se encuentra en este ámbito,
- f(-x) = f(x).
De la definición anterior se sigue la condición necesaria para el dominio de definición de dicha función, es decir, la simetría con respecto al punto O, que es el origen de las coordenadas, ya que si algún punto b está contenido en el dominio de definición de un par función, entonces el punto correspondiente b también se encuentra en este dominio. Por lo tanto, de lo anterior se desprende la conclusión: la función par tiene una forma simétrica con respecto al eje de ordenadas (Oy).
¿Cómo determinar la paridad de una función en la práctica?
Especifiquemos usando la fórmula h(x)=11^x+11^(-x). Siguiendo el algoritmo que se deriva directamente de la definición, primero examinamos su dominio de definición. Obviamente, está definido para todos los valores del argumento, es decir, se cumple la primera condición.
El siguiente paso es sustituir el valor opuesto (-x) por el argumento (x).
Obtenemos:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Dado que la suma satisface la ley conmutativa (conmutativa), es obvio que h(-x) = h(x) y la dependencia funcional dada es par.
Comprobemos la paridad de la función h(x)=11^x-11^(-x). Siguiendo el mismo algoritmo, obtenemos que h(-x) = 11^(-x) -11^x. Sacando el menos, al final tenemos
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=-h(x). Por tanto, h(x) es impar.
Por cierto, cabe recordar que hay funciones que no se pueden clasificar según estos criterios, no se llaman ni pares ni impares.
Incluso las funciones tienen varias propiedades interesantes:
- como resultado de agregar funciones similares, obtienen una igual;
- como resultado de restar tales funciones, se obtiene una par;
- incluso, también incluso;
- como resultado de multiplicar dos de estas funciones, se obtiene una par;
- como resultado de multiplicar funciones pares e impares, se obtiene una impar;
- como resultado de dividir funciones pares e impares, se obtiene una impar;
- la derivada de tal función es impar;
- Si elevas al cuadrado una función impar, obtienes una función par.
La paridad de una función se puede utilizar para resolver ecuaciones.
Para resolver una ecuación como g(x) = 0, donde el lado izquierdo de la ecuación es una función par, será suficiente encontrar sus soluciones para valores no negativos de la variable. Las raíces resultantes de la ecuación deben combinarse con los números opuestos. Uno de ellos está sujeto a verificación.
Esto también se utiliza con éxito para resolver problemas no estándar con un parámetro.
Por ejemplo, ¿hay algún valor del parámetro a para el cual la ecuación 2x^6-x^4-ax^2=1 tendrá tres raíces?
Si tenemos en cuenta que la variable entra en la ecuación en potencias pares, entonces está claro que reemplazar x por - x no cambiará la ecuación dada. De ello se deduce que si un determinado número es su raíz, entonces el número opuesto también es la raíz. La conclusión es obvia: las raíces de una ecuación distintas de cero se incluyen en el conjunto de sus soluciones en “pares”.
Está claro que el número en sí no es 0, es decir, el número de raíces de dicha ecuación solo puede ser par y, naturalmente, para cualquier valor del parámetro no puede tener tres raíces.
Pero el número de raíces de la ecuación 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 puede ser impar y para cualquier valor del parámetro. De hecho, es fácil comprobar que el conjunto de raíces de esta ecuación contiene soluciones “por pares”. Comprobemos si 0 es una raíz. Cuando lo sustituimos en la ecuación, obtenemos 2=2. Así, además de los "pareados", 0 también es raíz, lo que demuestra su número impar.
La dependencia de una variable y de una variable x, en la que cada valor de x corresponde a un único valor de y se llama función. Para la designación utilice la notación y=f(x). Cada función tiene una serie de propiedades básicas, como monotonicidad, paridad, periodicidad y otras.
Eche un vistazo más de cerca a la propiedad de paridad.
Se llama a una función y=f(x) incluso si satisface las dos condiciones siguientes:
2. El valor de la función en el punto x, perteneciente al dominio de definición de la función, debe ser igual al valor de la función en el punto -x. Es decir, para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = f(-x).
Gráfica de una función par
Si trazas la gráfica de una función par, será simétrica con respecto al eje Oy.
Por ejemplo, la función y=x^2 es par. Vamos a ver. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.
Tomemos un x=3 arbitrario. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Por lo tanto f(x) = f(-x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es par. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^2.
La figura muestra que la gráfica es simétrica con respecto al eje Oy.
Gráfica de una función impar
Una función y=f(x) se llama impar si satisface las dos condiciones siguientes:
1. El dominio de definición de una función dada debe ser simétrico con respecto al punto O. Es decir, si algún punto a pertenece al dominio de definición de la función, entonces el punto correspondiente -a también debe pertenecer al dominio de definición. de la función dada.
2. Para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = -f(x).
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al punto O, el origen de las coordenadas. Por ejemplo, la función y=x^3 es impar. Vamos a ver. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.
Tomemos un x=2 arbitrario. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Por lo tanto f(x) = -f(x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es impar. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^3.
La figura muestra claramente que la función impar y=x^3 es simétrica con respecto al origen.
De vuelta atras
¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.
Objetivos:
- formar el concepto de paridad y rareza de una función, enseñar la capacidad de determinar y utilizar estas propiedades cuando investigación de funciones, Graficado;
- desarrollar la actividad creativa de los estudiantes, pensamiento lógico, capacidad de comparar, generalizar;
- cultivar el trabajo duro y la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .
Equipo: instalación multimedia, pizarra interactiva, folletos.
Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de actividades de búsqueda e investigación.
Fuentes de información:
1. Álgebra novena clase A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra noveno grado A.G. Mordkovich. Libro de problemas.
3. Álgebra noveno grado. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
DURANTE LAS CLASES
1. Momento organizacional
Establecer metas y objetivos para la lección.
2. revisando la tarea
No. 10.17 (libro de problemas de noveno grado. A.G. Mordkovich).
A) en = F(X), F(X) = 
b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;
c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 en X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. La función aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en naím = – 3, en naib no existe
8. La función es continua.
(¿Ha utilizado un algoritmo de exploración de funciones?) Deslizar.
2. Revisemos la tabla que se le pidió en la diapositiva.
| Llena la mesa | |||||
Dominio |
Ceros de función |
Intervalos de constancia de signos. |
Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con Oy. | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Actualizando conocimientos
– Se dan funciones.
– Especificar el alcance de la definición de cada función.
– Compare el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y – 2.
– ¿Para cuál de estas funciones en el dominio de definición se cumplen las igualdades? F(– X)
= F(X), F(– X) = – F(X)? (ingrese los datos obtenidos en la tabla) Deslizar
| F(1) y F(– 1) | F(2) y F(– 2) | graficos | F(– X) = –F(X) | F(– X) = F(X) | ||
| 1. F(X) = | ||||||
| 2. F(X) = X 3 | ||||||
| 3. F(X) = | X | | ||||||
| 4.F(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. F(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. F(X)= | X > –1 | y no definido |
– Mientras hacíamos este trabajo, muchachos, identificamos otra propiedad de la función, desconocida para ustedes, pero no menos importante que las demás: la uniformidad y la imparidad de la función. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar la uniformidad y la imparidad de una función, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de funciones y trazar gráficas.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (pág. 110) . Deslizar
Def. 1 Función en = F (X), definido en el conjunto X se llama incluso, si por algún valor XЄ X se ejecuta igualdad f(–x)= f(x). Dar ejemplos.
Def. 2 Función y = f(x), definido en el conjunto X se llama extraño, si por algún valor XЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.
¿Dónde encontramos los términos “par” e “impar”?
¿Cuál de estas funciones crees que será par? ¿Por qué? ¿Cuáles son extraños? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= xn, Dónde norte– un número entero, se puede argumentar que la función es impar cuando norte– impar y la función es par cuando norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2X– 3 no son ni pares ni impares, porque las igualdades no se satisfacen F(– X) = – F(X), F(–
X) = F(X)
El estudio de si una función es par o impar se llama estudio de la paridad de una función. Deslizar
En las definiciones 1 y 2 estábamos hablando de los valores de la función en x y – x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor X, y en – X.
Def 3. Si un conjunto numérico, junto con cada uno de sus elementos x, también contiene el elemento opuesto –x, entonces el conjunto X llamado conjunto simétrico.
Ejemplos:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos y , [–5;4] son asimétricos.
– ¿Las funciones pares tienen un dominio de definición que es un conjunto simétrico? ¿Los raros?
– Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(X) – par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. ¿Es cierta la afirmación inversa: si el dominio de definición de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
– Esto significa que la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo se examina la paridad de una función? Intentemos crear un algoritmo.
Deslizar
Algoritmo para estudiar una función de paridad.
1. Determinar si el dominio de definición de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.
2. Escribe una expresión para F(–X).
3. Comparar F(–X).Y F(X):
- Si F(–X).= F(X), entonces la función es par;
- Si F(–X).= – F(X), entonces la función es impar;
- Si F(–X) ≠ F(X) Y F(–X) ≠ –F(X), entonces la función no es par ni impar.
Ejemplos:
Examinar la función a) para determinar la paridad en=x5+; b) en= ; V) en= .
Solución.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => función h(x)= x 5 + impar.
segundo) y =,
en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), un conjunto asimétrico, lo que significa que la función no es ni par ni impar.
V) F(X) = , y = f (x),
1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
opcion 2
1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7)?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Grafica la función en = F(X), Si en = F(X) es una función par.
Grafica la función en = F(X), Si en = F(X) es una función impar.
Control mutuo deslizar.
6. Tarea: №11.11, 11.21,11.22;
Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.
***(Asignación de la opción Examen Unificado del Estado).
1. La función impar y = f(x) se define en toda la recta numérica. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Encuentra el valor de la función h( X) = en X = 3.
7. Resumiendo
