Propiedades matemáticas
La peculiaridad de un hexágono regular es la igualdad de su lado y el radio del círculo circunscrito, ya que
Todos los ángulos miden 120°.
El radio del círculo inscrito es igual a:
El perímetro de un hexágono regular es:
El área de un hexágono regular se calcula mediante las fórmulas:
Los hexágonos embaldosan un plano, es decir, pueden llenar un plano sin huecos ni superposiciones, formando el llamado parquet.
Parquet hexagonal (parquet hexagonal)- mosaico de un plano con hexágonos regulares iguales ubicados de lado a lado.
El parquet hexagonal es dual al parquet triangular: si conectas los centros de hexágonos adyacentes, los segmentos dibujados darán un parquet triangular. El símbolo de Schläfli para un parquet hexagonal es (6,3), lo que significa que tres hexágonos se encuentran en cada vértice del parquet.
El parquet hexagonal es el embalaje de círculos más denso en un plano. En el espacio euclidiano bidimensional, el mejor relleno es situar los centros de los círculos en los vértices de un parquet formado por hexágonos regulares, en el que cada círculo está rodeado por otros seis. La densidad de este paquete es . En 1940 se demostró que este embalaje es el más denso.
Un hexágono regular de lado es una cobertura universal, es decir, cualquier conjunto de diámetro puede ser cubierto por un hexágono regular de lado (lema de Pala).
Se puede construir un hexágono regular usando un compás y una regla. A continuación se muestra el método de construcción propuesto por Euclides en Elementos, Libro IV, Teorema 15.
Hexágono regular en naturaleza, tecnología y cultura.
Muestre la división del plano en hexágonos regulares. La forma hexagonal permite ahorrar más en las paredes que otras, es decir, se gastará menos cera en panales con este tipo de celdas.
Algunos cristales y moléculas complejos., como el grafito, tienen una red cristalina hexagonal.
Se forma cuando las gotas microscópicas de agua en las nubes son atraídas por partículas de polvo y se congelan. Los cristales de hielo que aparecen, que inicialmente no superan los 0,1 mm de diámetro, caen y crecen como resultado de la condensación de la humedad del aire sobre ellos. Esto produce formas cristalinas de seis puntas. Debido a la estructura de las moléculas de agua, entre los rayos del cristal son posibles ángulos de sólo 60° y 120°. El cristal de agua principal tiene la forma de un hexágono regular en el plano. Luego se depositan nuevos cristales en los vértices de dicho hexágono, y sobre ellos se depositan otros nuevos, y así se obtienen diversas formas de estrellas de copos de nieve.
Los científicos de la Universidad de Oxford pudieron simular la apariencia de dicho hexágono en condiciones de laboratorio. Para saber cómo se produce esta formación, los investigadores colocaron una botella de agua de 30 litros sobre una mesa giratoria. Simuló la atmósfera de Saturno y su rotación normal. En el interior, los científicos colocaron pequeños anillos que giran más rápido que el contenedor. Esto generó vórtices y chorros en miniatura, que los experimentadores visualizaron con pintura verde. Cuanto más rápido giraba el anillo, más grandes se volvían los vórtices, lo que provocaba que el flujo cercano se desviara de su forma circular. De esta manera, los autores del experimento lograron obtener varias formas: óvalos, triángulos, cuadrados y, por supuesto, el hexágono deseado.
Un monumento natural de aproximadamente 40.000 columnas de basalto (menos a menudo de andesita) interconectadas que se formaron como resultado de una antigua erupción volcánica. Situada en el noreste de Irlanda del Norte, a 3 km al norte de la localidad de Bushmills.
Las cimas de las columnas forman una especie de trampolín, que comienza al pie del acantilado y desaparece bajo la superficie del mar. La mayoría de las columnas son hexagonales, aunque algunas tienen cuatro, cinco, siete y ocho esquinas. La columna más alta mide unos 12 m de altura.
Hace unos 50-60 millones de años, durante el período Paleógeno, el sitio de Antrim estuvo sujeto a una intensa actividad volcánica cuando el basalto fundido penetró en los sedimentos para formar extensas mesetas de lava. A medida que se enfriaba rápidamente, el volumen de la sustancia disminuía (algo similar se observa cuando el lodo se seca). La compresión horizontal dio como resultado una característica estructura de pilares hexagonales.
La sección transversal de la tuerca tiene forma de hexágono regular.
La figura más famosa con más de cuatro esquinas es un hexágono regular. En geometría se utiliza a menudo en problemas. Y en la vida, así es exactamente como se ven los panales cuando se cortan.
¿En qué se diferencia del incorrecto?
En primer lugar, un hexágono es una figura con 6 vértices. En segundo lugar, puede ser convexo o cóncavo. El primero se diferencia en que cuatro vértices se encuentran a un lado de una línea recta trazada por los otros dos.
En tercer lugar, un hexágono regular se caracteriza por el hecho de que todos sus lados son iguales. Además, cada esquina de la figura también tiene el mismo significado. Para determinar la suma de todos sus ángulos, necesitarás utilizar la fórmula: 180º * (n - 2). Aquí n es el número de vértices de la figura, es decir, 6. Un cálculo sencillo da un valor de 720º. Es decir, cada ángulo mide 120 grados.
En las actividades cotidianas, el hexágono regular se encuentra en el copo de nieve y la nuez. Los químicos lo ven incluso en la molécula de benceno.
¿Qué propiedades necesitas saber al resolver problemas?
A lo expuesto anteriormente habría que añadir:
- las diagonales de la figura trazada por el centro la dividen en seis triángulos, que son equiláteros;
- el lado de un hexágono regular tiene un valor que coincide con el radio del círculo circunscrito a su alrededor;
- Usando tal figura, es posible llenar el plano, y no habrá espacios entre ellos ni superposiciones.
Designaciones introducidas
Tradicionalmente, el lado de una figura geométrica regular se designa con la letra latina "a". Para resolver problemas también se requiere área y perímetro, estos son S y P, respectivamente. Un círculo puede inscribirse en un hexágono regular o describirse alrededor de él. Luego se ingresan los valores de sus radios. Se designan con las letras r y R, respectivamente.
Algunas fórmulas incluyen un ángulo interno, un semiperímetro y una apotema (que es perpendicular al centro de cualquier lado desde el centro del polígono). Las letras utilizadas para ellos son: α, р, m.
Fórmulas que describen la figura.
Para calcular el radio de un círculo inscrito necesitarás lo siguiente: r= (a * √3) / 2, con r = m. Es decir, la misma fórmula será para la apotema.
Como el perímetro de un hexágono es la suma de todos sus lados, se determinará de la siguiente manera: P = 6 * a. Teniendo en cuenta que el lado es igual al radio del círculo inscrito, para el perímetro existe la siguiente fórmula para un hexágono regular: P = 6 * R. A partir de la dada para el radio del círculo inscrito, se obtiene la siguiente fórmula: Se deriva la relación entre a y r. Entonces la fórmula toma la siguiente forma: P = 4 r * √3.
Para el área de un hexágono regular puede resultar útil lo siguiente: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Tareas
No 1. Condición. Hay un prisma hexagonal regular, cada borde del cual mide 4 cm. En él está inscrito un cilindro cuyo volumen hay que encontrar.
Solución. El volumen de un cilindro se define como el producto del área de la base por la altura. Este último coincide con el borde del prisma. Y es igual al lado de un hexágono regular. Es decir, la altura del cilindro también es de 4 cm.
Para saber el área de su base, necesitarás calcular el radio del círculo inscrito en el hexágono. La fórmula para esto se da arriba. Esto significa r = 2√3 (cm). Entonces el área del círculo: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (cm 2).
Respuesta. V = 150,72cm3.
No 2. Condición. Calcula el radio de un círculo inscrito en un hexágono regular. Se sabe que su lado mide √3 cm. ¿A qué será igual su perímetro?
Solución. Este problema requiere el uso de dos de las siguientes fórmulas. Además hay que aplicarlos sin siquiera modificarlos, basta con sustituir el valor del lado y calcular.
Así, el radio del círculo inscrito es igual a 1,5 cm. Para el perímetro, resulta correcto el siguiente valor: 6√3 cm.
Respuesta. r = 1,5 cm, P = 6√3 cm.
No 3. Condición. El radio del círculo circunscrito es de 6 cm ¿Qué valor tendrá el lado de un hexágono regular en este caso?
Solución. De la fórmula para el radio de un círculo inscrito en un hexágono se obtiene fácilmente aquella con la que se calcula el lado. Está claro que el radio se multiplica por dos y se divide por la raíz de tres. Es necesario deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Por tanto, el resultado de las acciones toma la siguiente forma: (12 √3) / (√3 * √3), es decir, 4√3.
Respuesta. a = 4√3cm.
¿Hay un lápiz cerca de ti? Mire su sección transversal: es un hexágono regular o, como también se le llama, un hexágono. Esta forma también tiene la sección transversal de una nuez, un campo de ajedrez hexagonal, algunas moléculas de carbono complejas (por ejemplo, el grafito), un copo de nieve, un panal y otros objetos. Recientemente se descubrió un hexágono regular gigante en ¿No parece extraño que la naturaleza utilice con tanta frecuencia estructuras de esta forma particular para sus creaciones? Miremos más de cerca.
Un hexágono regular es un polígono con seis lados iguales y ángulos iguales. Del curso escolar sabemos que tiene las siguientes propiedades:
- La longitud de sus lados corresponde al radio del círculo circunscrito. De todos, sólo el hexágono regular tiene esta propiedad.
- Los ángulos son iguales entre sí y la magnitud de cada uno es 120°.
- El perímetro de un hexágono se puede encontrar mediante la fórmula Р=6*R, si se conoce el radio del círculo descrito a su alrededor, o Р=4*√(3)*r, si el círculo está inscrito en él. R y r son los radios del círculo circunscrito e inscrito.
- El área ocupada por un hexágono regular se determina de la siguiente manera: S=(3*√(3)*R 2)/2. Si se desconoce el radio, sustituya la longitud de uno de los lados; como se sabe, corresponde a la longitud del radio del círculo circunscrito.
Un hexágono regular tiene una característica interesante, gracias a la cual se ha vuelto tan común en la naturaleza: es capaz de llenar cualquier superficie de un plano sin superposiciones ni espacios. Incluso existe el llamado lema Palema, según el cual un hexágono regular, cuyo lado es igual a 1/√(3), es una cobertura universal, es decir, puede cubrir cualquier conjunto con un diámetro de una unidad. .
Ahora veamos cómo construir un hexágono regular. Existen varios métodos, el más sencillo de los cuales consiste en utilizar un compás, un lápiz y una regla. Primero, dibujamos un círculo arbitrario con un compás, luego marcamos un punto en un lugar arbitrario de este círculo. Sin cambiar el ángulo del compás, colocamos la punta en este punto, marcamos la siguiente muesca en el círculo y continuamos así hasta conseguir los 6 puntos. Ahora solo queda unirlos con segmentos rectos y obtendrás la figura deseada.
En la práctica, hay casos en los que es necesario dibujar un hexágono grande. Por ejemplo, en un techo de placas de yeso de dos niveles, alrededor del lugar de montaje de la lámpara de araña central, es necesario instalar seis lámparas pequeñas en el nivel inferior. Será muy, muy difícil encontrar brújulas de este tamaño. ¿Qué hacer en este caso? ¿Cómo se puede dibujar un círculo grande? Muy simple. Debe tomar un hilo fuerte de la longitud requerida y atar uno de sus extremos frente al lápiz. Ahora solo queda encontrar un asistente que presione el segundo extremo del hilo contra el techo en el punto deseado. Por supuesto, en este caso, es posible que se produzcan errores menores, pero es poco probable que un extraño los note.
¿Sabes cómo es un hexágono regular?
Esta pregunta no fue hecha por casualidad. La mayoría de los estudiantes de 11º grado no saben la respuesta a esta pregunta.
Un hexágono regular es aquel en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos también son iguales..
Tuerca de hierro. Copo de nieve. Celda de un panal en el que viven las abejas. Molécula de benceno. ¿Qué tienen estos objetos en común? - El hecho de que todos ellos tienen una forma hexagonal regular.
Muchos escolares se confunden cuando ven problemas que involucran un hexágono regular y creen que se necesitan algunas fórmulas especiales para resolverlos. ¿Es tan?
Dibujemos las diagonales de un hexágono regular. Tenemos seis triángulos equiláteros. 
Sabemos que el área de un triángulo regular es: .
Entonces el área de un hexágono regular es seis veces mayor.
¿Dónde está el lado de un hexágono regular?
Tenga en cuenta que en un hexágono regular, la distancia desde su centro a cualquiera de los vértices es la misma e igual al lado del hexágono regular.
Esto significa que el radio de un círculo circunscrito alrededor de un hexágono regular es igual a su lado..
El radio de un círculo inscrito en un hexágono regular no es difícil de encontrar.
Es igual.
Ahora puedes resolver fácilmente cualquier problema de USE que involucre un hexágono regular.
Encuentra el radio de un círculo inscrito en un hexágono regular de lado.
El radio de dicho círculo es igual a .
Respuesta: .
¿Cuál es el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio es 6?
Sabemos que el lado de un hexágono regular es igual al radio del círculo que lo rodea.
¿Sabes cómo es un hexágono regular?
Esta pregunta no fue hecha por casualidad. La mayoría de los estudiantes de 11º grado no saben la respuesta a esta pregunta.
Un hexágono regular es aquel en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos también son iguales..
Tuerca de hierro. Copo de nieve. Celda de un panal en el que viven las abejas. Molécula de benceno. ¿Qué tienen estos objetos en común? - El hecho de que todos ellos tienen una forma hexagonal regular.
Muchos escolares se confunden cuando ven problemas que involucran un hexágono regular y creen que se necesitan algunas fórmulas especiales para resolverlos. ¿Es tan?
Dibujemos las diagonales de un hexágono regular. Tenemos seis triángulos equiláteros.
Sabemos que el área de un triángulo regular es: .
Entonces el área de un hexágono regular es seis veces mayor.
¿Dónde está el lado de un hexágono regular?
Tenga en cuenta que en un hexágono regular, la distancia desde su centro a cualquiera de los vértices es la misma e igual al lado del hexágono regular.
Esto significa que el radio de un círculo circunscrito alrededor de un hexágono regular es igual a su lado..
El radio de un círculo inscrito en un hexágono regular no es difícil de encontrar.
Es igual.
Ahora puedes resolver fácilmente cualquier problema de USE que involucre un hexágono regular.
Encuentra el radio de un círculo inscrito en un hexágono regular de lado.
El radio de dicho círculo es igual a .
Respuesta: .
¿Cuál es el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio es 6?
Sabemos que el lado de un hexágono regular es igual al radio del círculo que lo rodea.
