Entre toda la diversidad desigualdades logarítmicas Las desigualdades con bases variables se estudian por separado. Se resuelven mediante una fórmula especial que, por alguna razón, rara vez se enseña en la escuela:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
En lugar de la casilla de verificación “∨”, puedes poner cualquier signo de desigualdad: más o menos. Lo principal es que en ambas desigualdades los signos son los mismos.
De esta manera nos deshacemos de los logaritmos y reducimos el problema a desigualdad racional. Esto último es mucho más fácil de resolver, pero al descartar logaritmos, pueden aparecer raíces adicionales. Para cortarlos, basta con encontrar el rango de valores aceptables. Si ha olvidado la ODZ de un logaritmo, le recomiendo repetirla; consulte "¿Qué es un logaritmo?".
Todo lo relacionado con el rango de valores aceptables debe anotarse y resolverse por separado:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Estas cuatro desigualdades constituyen un sistema y deben satisfacerse simultáneamente. Cuando se ha encontrado el rango de valores aceptables, solo queda cruzarlo con la solución de la desigualdad racional, y la respuesta está lista.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Primero, escribamos la ODZ del logaritmo:
Las dos primeras desigualdades se satisfacen automáticamente, pero la última deberá escribirse. Como el cuadrado de un número es cero si y sólo si el número en sí es cero, tenemos:
x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Resulta que la ODZ del logaritmo son todos los números excepto cero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ahora resolvemos la desigualdad principal:
Hacemos la transición de una desigualdad logarítmica a una racional. La desigualdad original tiene un signo "menor que", lo que significa que la desigualdad resultante también debe tener un signo "menor que". Tenemos:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Los ceros de esta expresión son: x = 3; x = −3; x = 0. Además, x = 0 es raíz de la segunda multiplicidad, lo que significa que al pasar por ella el signo de la función no cambia. Tenemos:
Obtenemos x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Este conjunto está completamente contenido en la ODZ del logaritmo, lo que significa que ésta es la respuesta.
Convertir desigualdades logarítmicas
A menudo, la desigualdad original es diferente de la anterior. Esto se puede corregir fácilmente utilizando las reglas estándar para trabajar con logaritmos; consulte "Propiedades básicas de los logaritmos". A saber:
- Cualquier número se puede representar como un logaritmo con una base determinada;
- La suma y diferencia de logaritmos con las mismas bases se pueden sustituir por un logaritmo.
Por otra parte, me gustaría recordarles el rango de valores aceptables. Como puede haber varios logaritmos en la desigualdad original, se requiere encontrar el VA de cada uno de ellos. De este modo, esquema general Las soluciones a desigualdades logarítmicas son las siguientes:
- Encuentre el VA de cada logaritmo incluido en la desigualdad;
- Reducir la desigualdad a una estándar usando las fórmulas para sumar y restar logaritmos;
- Resuelva la desigualdad resultante usando el esquema dado arriba.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Encontremos el dominio de definición (DO) del primer logaritmo:
Resolvemos usando el método del intervalo. Encontrar los ceros del numerador:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Entonces - los ceros del denominador:
x - 1 = 0;
x = 1.
Marcamos ceros y signos en la flecha de coordenadas:
Obtenemos x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). El segundo logaritmo tendrá el mismo VA. Si no lo crees, puedes comprobarlo. Ahora transformamos el segundo logaritmo para que la base sea dos:
Como puedes ver, los tres en la base y delante del logaritmo se han reducido. Obtuvimos dos logaritmos con la misma base. Sumémoslos:
iniciar sesión 2 (x − 1) 2< 2;
iniciar sesión 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Obtuvimos la desigualdad logarítmica estándar. Nos deshacemos de los logaritmos usando la fórmula. Dado que la desigualdad original contiene un signo "menor que", la expresión racional resultante también debe ser menor que cero. Tenemos:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2 x - 3< 0;
(x-3)(x+1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Tenemos dos conjuntos:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Respuesta del candidato: x ∈ (−1; 3).
Queda por cruzar estos conjuntos; obtenemos la respuesta real:
Estamos interesados en la intersección de conjuntos, por lo que seleccionamos intervalos que están sombreados en ambas flechas. Obtenemos x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - todos los puntos están perforados.
Definición de logaritmo La forma más sencilla de escribirlo matemáticamente es:
La definición de logaritmo se puede escribir de otra forma:
Preste atención a las restricciones que se imponen sobre la base del logaritmo ( a) y a la expresión sublogarítmica ( X). En el futuro, estas condiciones se convertirán en restricciones importantes para OD, que deberán tenerse en cuenta a la hora de resolver cualquier ecuación con logaritmos. Entonces, ahora, además de las condiciones estándar que conducen a restricciones en ODZ (positividad de las expresiones bajo las raíces de potencias pares, denominador diferente a cero, etc.), también se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:
- La expresión sublogarítmica solo puede ser positiva.
- La base del logaritmo solo puede ser positiva y no igual a uno..
Tenga en cuenta que ni la base del logaritmo ni la expresión sublogarítmica pueden ser iguales a cero. Tenga en cuenta también que el valor del logaritmo en sí puede tomar todos los valores posibles, es decir El logaritmo puede ser positivo, negativo o cero. Los logaritmos tienen muchas propiedades diferentes que se derivan de las propiedades de las potencias y de la definición de logaritmo. Enumerémoslos. Entonces, las propiedades de los logaritmos:
Logaritmo del producto:
Logaritmo de una fracción:
Sacando el grado del signo logaritmo:
Preste especial atención a aquellas de las últimas propiedades enumeradas en las que aparece el signo del módulo después de tomar el grado. No olvides que al colocar una potencia par fuera del signo del logaritmo, debajo del logaritmo o en la base, debes dejar el signo del módulo.
Otro características beneficiosas logaritmos:
La última propiedad se utiliza muy a menudo en ecuaciones y desigualdades logarítmicas complejas. Debería ser recordado tan bien como todos los demás, aunque a menudo se le olvide.
Lo más simple ecuaciones logarítmicas tener la forma:
Y su solución viene dada por una fórmula que se deriva directamente de la definición del logaritmo:
Otras ecuaciones logarítmicas más simples son aquellas que, utilizando transformaciones algebraicas y las fórmulas y propiedades de los logaritmos anteriores, se pueden reducir a la forma:
La solución a tales ecuaciones teniendo en cuenta la ODZ es la siguiente:
Algunos otros ecuaciones logarítmicas con una variable en la base se puede reducir a la forma:
En tales ecuaciones logarítmicas forma general la solución también se deriva directamente de la definición del logaritmo. Sólo en este caso existen restricciones adicionales para DZ que deben tenerse en cuenta. Como resultado, para resolver una ecuación logarítmica con una variable en la base, es necesario resolver el siguiente sistema:
Al resolver ecuaciones logarítmicas más complejas que no se pueden reducir a una de las ecuaciones presentadas anteriormente, también se utiliza activamente. método de reemplazo de variables. Como de costumbre, al utilizar este método, es necesario recordar que después de introducir el reemplazo, la ecuación debe simplificarse y ya no contener la antigua incógnita. También debe recordar realizar la sustitución inversa de variables.
A veces, al resolver ecuaciones logarítmicas también hay que utilizar método gráfico. Este método consiste en construir gráficas de funciones que están en los lados izquierdo y derecho de la ecuación con la mayor precisión posible en un plano de coordenadas y luego encontrar las coordenadas de sus puntos de intersección en el dibujo. Las raíces obtenidas de esta manera deben verificarse mediante sustitución en la ecuación original.
A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas también suele ser útil método de agrupación. Al utilizar este método, lo principal a recordar es que: para que el producto de varios factores sea igual a cero, es necesario que al menos uno de ellos sea igual a cero, y el resto existió. Cuando los factores son logaritmos o paréntesis con logaritmos, y no sólo paréntesis con variables como en las ecuaciones racionales, pueden ocurrir muchos errores. Dado que los logaritmos tienen muchas restricciones en la región donde existen.
Al decidir sistemas de ecuaciones logarítmicas la mayoría de las veces hay que utilizar el método de sustitución o el método de sustitución de variables. Si existe tal posibilidad, entonces al resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas, uno debe esforzarse por garantizar que cada una de las ecuaciones del sistema se lleve individualmente a una forma en la que sea posible hacer la transición de una ecuación logarítmica a una uno racional.
Las desigualdades logarítmicas más simples se resuelven aproximadamente de la misma manera que las ecuaciones similares. Primero, usando transformaciones algebraicas y las propiedades de los logaritmos, debemos intentar llevarlos a una forma en la que los logaritmos en los lados izquierdo y derecho de la desigualdad tengan las mismas bases, es decir, obtenga una desigualdad de la forma:
Después de lo cual es necesario pasar a una desigualdad racional, teniendo en cuenta que esta transición debe realizarse de la siguiente manera: si la base del logaritmo es mayor que uno, entonces no es necesario cambiar el signo de la desigualdad, y si la la base del logaritmo es menor que uno, entonces debes cambiar el signo de la desigualdad al opuesto (esto significa cambiar "menos" por "más" o viceversa). En este caso, no es necesario cambiar los signos menos a más, sin pasar por las reglas aprendidas previamente. Anotemos matemáticamente lo que obtenemos como resultado de realizar dicha transición. Si la base es mayor que uno obtenemos:
Si la base del logaritmo es menor que uno, cambiamos el signo de la desigualdad y obtenemos el siguiente sistema:
Como vemos, al resolver desigualdades logarítmicas, como es habitual, también se tiene en cuenta la ODZ (esta es la tercera condición en los sistemas anteriores). Además, en este caso es posible no exigir la positividad de ambas expresiones sublogarítmicas, sino sólo la positividad de la menor de ellas.
Al decidir desigualdades logarítmicas con una variable en la base logaritmo, es necesario considerar ambas opciones de forma independiente (cuando la base es menor que uno y mayor que uno) y combinar las soluciones de estos casos en un conjunto. Al mismo tiempo, no debemos olvidarnos de la DL, es decir. sobre el hecho de que tanto la base como todas las expresiones sublogarítmicas deben ser positivas. Así, al resolver una desigualdad de la forma:
Obtenemos el siguiente conjunto de sistemas:
Las desigualdades logarítmicas más complejas también se pueden resolver mediante cambios de variables. Algunas otras desigualdades logarítmicas (como las ecuaciones logarítmicas) requieren el procedimiento de llevar el logaritmo de ambos lados de la desigualdad o ecuación a la misma base para resolverlas. Entonces, al realizar un procedimiento de este tipo con desigualdades logarítmicas, hay una sutileza. Tenga en cuenta que al llevar logaritmos a una base mayor que uno, el signo de desigualdad no cambia, pero si la base es menor que uno, entonces el signo de desigualdad se invierte.
Si una desigualdad logarítmica no se puede reducir a racional o resolver mediante una sustitución, entonces en este caso se debe usar método de intervalo generalizado, que es el siguiente:
- Definir licencia de conducir;
- Transformar la desigualdad para que quede un cero en el lado derecho (en el lado izquierdo, si es posible, reducir a un denominador común, factorizar, etc.);
- Encuentra todas las raíces del numerador y denominador y trácalas en el eje numérico, y si la desigualdad no es estricta, pinta sobre las raíces del numerador, pero en cualquier caso deja las raíces del denominador punteadas;
- Encuentra el signo de la expresión completa en cada uno de los intervalos sustituyendo un número de un intervalo dado en la desigualdad transformada. En este caso, ya no es posible alternar signos de ningún modo al pasar por puntos del eje. Es necesario determinar el signo de una expresión en cada intervalo sustituyendo el valor del intervalo en esta expresión, y así sucesivamente para cada intervalo. No hay otra manera (de eso se trata, en general, la diferencia entre el método de intervalo generalizado y el habitual);
- Encuentre la intersección de la ODZ y los intervalos que satisfacen la desigualdad, pero no pierda los puntos individuales que satisfacen la desigualdad (las raíces del numerador en desigualdades no estrictas), y no olvide excluir de la respuesta todas las raíces de la denominador en todas las desigualdades.
- Atrás
- Adelante
¿Cómo prepararse con éxito para el CT en física y matemáticas?
Para prepararse con éxito para el CT en física y matemáticas, es necesario, entre otras cosas, cumplir tres condiciones fundamentales:
- Estudie todos los temas y complete todas las pruebas y tareas proporcionadas en los materiales educativos de este sitio. Para hacer esto, no necesita nada en absoluto, a saber: dedicar de tres a cuatro horas todos los días a prepararse para el CT en física y matemáticas, estudiar teoría y resolver problemas. El caso es que el CT es un examen en el que no basta solo con saber física o matemáticas, también es necesario poder resolver rápidamente y sin fallos una gran cantidad de problemas de diferentes temas y de diversa complejidad. Esto último sólo se puede aprender resolviendo miles de problemas.
- Aprenda todas las fórmulas y leyes de la física, y fórmulas y métodos de las matemáticas. De hecho, esto también es muy sencillo de hacer: en física sólo hay unas 200 fórmulas necesarias, y en matemáticas incluso un poco menos. Cada una de estas materias tiene alrededor de una docena de métodos estándar para resolver problemas. nivel básico dificultades que también se pueden aprender, y así, de forma totalmente automática y sin dificultad, resolver la mayor parte del CT en el momento adecuado. Después de esto, sólo tendrás que pensar en las tareas más difíciles.
- Asista a las tres etapas de las pruebas de ensayo en física y matemáticas. Cada RT se puede visitar dos veces para decidirse por ambas opciones. Nuevamente, en el CT, además de la capacidad de resolver problemas de manera rápida y eficiente y el conocimiento de fórmulas y métodos, también debe poder planificar adecuadamente el tiempo, distribuir fuerzas y, lo más importante, completar correctamente el formulario de respuesta, sin confundiendo los números de respuestas y problemas, o su propio apellido. Además, durante la RT, es importante acostumbrarse al estilo de hacer preguntas en los problemas, lo que puede parecer muy inusual para una persona no preparada en el DT.
La implementación exitosa, diligente y responsable de estos tres puntos le permitirá aparecer en el CT excelente resultado, el máximo de lo que eres capaz de hacer.
¿Encontraste un error?
Si crees que has encontrado un error en materiales educativos, entonces por favor escríbanos por correo electrónico. También puede informar un error a red social(). En la carta indique la materia (física o matemáticas), el nombre o número del tema o prueba, el número del problema o el lugar del texto (página) donde, en su opinión, hay un error. Describa también cuál es el error sospechoso. Su carta no pasará desapercibida, se corregirá el error o se le explicará por qué no es un error.
DESIGUALDADES LOGARÍTMICAS EN EL USO
Sechin Mijaíl Alexandrovich
Pequeña Academia de Ciencias para estudiantes de la República de Kazajstán "Iskatel"
MBOU "Escuela secundaria nº 1 soviética", 11º grado, ciudad. Distrito soviético Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesora de la institución educativa presupuestaria municipal “Escuela secundaria número 1 de Sovetskaya”
Distrito soviético
Objetivo del trabajo: estudio del mecanismo para resolver desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos no estándar, identificando datos interesantes logaritmo
Tema de estudio:
3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Contenido
Introducción…………………………………………………………………………………….4
Capítulo 1. Historia del problema……………………………………………………...5
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos……………… 7
2.2. Método de racionalización……………………………………………………………… 15
2.3. Sustitución no estándar………………………………………… ............ ..... 22
2.4. Tareas con trampas……………………………………………………27
Conclusión……………………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introducción
Estoy en el grado 11 y planeo ingresar a una universidad donde la materia principal sean las matemáticas. Por eso trabajo mucho con los problemas de la parte C. En la tarea C3, necesito resolver una desigualdad o sistema de desigualdades no estándar, generalmente relacionado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me enfrenté al problema de la escasez de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen que se ofrecen en C3. Métodos que se estudian en currículum escolar sobre este tema, no proporcionan una base para resolver las tareas C3. La profesora de matemáticas me sugirió que trabajara en las tareas C3 de forma independiente y bajo su dirección. Además, me interesaba la pregunta: ¿nos encontramos con logaritmos en nuestras vidas?
Teniendo esto en cuenta, se eligió el tema:
“Desigualdades logarítmicas en el Examen Estatal Unificado”
Objetivo del trabajo: estudio del mecanismo de resolución de problemas C3 utilizando métodos no estándar, identificando datos interesantes sobre el logaritmo.
Tema de estudio:
1) Encuentre la información necesaria sobre métodos no estándar Soluciones a desigualdades logarítmicas.
2) encontrar información adicional sobre logaritmos.
3) Aprenda a resolver problemas C3 específicos utilizando métodos no estándar.
Resultados:
La importancia práctica reside en la ampliación del aparato para resolver problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, para clubes y clases optativas de matemáticas.
El producto del proyecto será la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”.
Capítulo 1. Antecedentes
A lo largo del siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. Mejorar los instrumentos, estudiar los movimientos planetarios y otros trabajos requirió cálculos colosales, a veces de varios años. La astronomía corría verdadero peligro de ahogarse en cálculos incumplidos. Surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo, en el negocio de seguros, se necesitaron tablas de interés compuesto para diferentes significados por ciento. La principal dificultad era la multiplicación y división de números de varios dígitos, especialmente cantidades trigonométricas.
El descubrimiento de los logaritmos se basó en las propiedades de las progresiones que eran bien conocidas a finales del siglo XVI. Sobre la conexión entre los términos de la progresión geométrica q, q2, q3, ... y progresión aritmética sus indicadores son 1, 2, 3,... Arquímedes habló en su “Salmitis”. Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a exponentes negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, la división, la exponenciación y la extracción de raíces en progresión geométrica se corresponden en aritmética -en el mismo orden- con la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Aquí surgió la idea del logaritmo como exponente.
En la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos, han pasado varias etapas.
Nivel 1
Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Bürgi (1552-1632). Ambos querían proporcionar un medio nuevo y conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron este problema de diferentes maneras. Napier expresó cinemáticamente la función logarítmica y así entró en un nuevo campo de la teoría de funciones. Bürgi se mantuvo sobre la base de considerar progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no es similar a la moderna. El término "logaritmo" (logaritmo) pertenece a Napier. Surgió de una combinación de palabras griegas: logos - "relación" y ariqmo - "número", que significa "número de relaciones". Inicialmente, Napier utilizó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", a diferencia de numeri naturalts - "números naturales".
En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresh College de Londres, Napier sugirió tomar cero como logaritmo de uno y 100 como logaritmo de diez, o lo que equivale a lo mismo. cosa, solo 1. Así es como se imprimieron los logaritmos decimales y las primeras tablas logarítmicas. Más tarde, las tablas de Briggs fueron complementadas por el librero holandés y entusiasta de las matemáticas Adrian Flaccus (1600-1667). Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que los demás, publicaron sus tablas más tarde que los demás, en 1620. Los signos log y log fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659 y seguido por N. Mercator en 1668, y el maestro londinense John Speidel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 con el nombre "Nuevos logaritmos".
Las primeras tablas logarítmicas se publicaron en ruso en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas hubo errores de cálculo. Las primeras tablas sin errores se publicaron en 1857 en Berlín, elaboradas por el matemático alemán K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos está asociado con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal. En ese momento, se había establecido la conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos.
El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en un ensayo
"Logaritmotecnia" (1668) da una serie que da la expansión de ln(x+1) en
potencias de x:
Esta expresión corresponde exactamente a su línea de pensamiento, aunque, por supuesto, no utilizó los signos d, ..., sino un simbolismo más engorroso. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica para calcular los logaritmos cambió: comenzaron a determinarse mediante series infinitas. En sus conferencias" Matemáticas elementales Con punto mas alto visión", leído en 1907-1908, F. Klein propuso utilizar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos.
Etapa 3
Definición de función logarítmica como función inversa
exponencial, logaritmo como exponente de una base dada
no fue formulado de inmediato. Ensayo de Leonhard Euler (1707-1783)
"Una introducción al análisis de los infinitesimales" (1748) sirvió para profundizar
Desarrollo de la teoría de funciones logarítmicas. De este modo,
Han pasado 134 años desde que se introdujeron los logaritmos por primera vez
(contando desde 1614), antes de que los matemáticos llegaran a la definición
el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar.
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas.
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos.
Transiciones equivalentes
, si a > 1
, si 0 <
а <
1
Método de intervalo generalizado
Este método más universal al resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El diagrama de solución se ve así:
1. Lleva la desigualdad a la forma donde está la función del lado izquierdo 
, y a la derecha 0.
2. Encuentra el dominio de la función. .
3. Encuentra los ceros de la función. , es decir, resolver la ecuación 
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).
4. Dibuja el dominio de definición y los ceros de la función en la recta numérica.
5. Determinar los signos de la función. sobre los intervalos obtenidos.
6. Seleccione intervalos donde la función toma los valores requeridos y escriba la respuesta.
Ejemplo 1.
Solución:
Apliquemos el método del intervalo.
dónde
Para estos valores, todas las expresiones bajo los signos logarítmicos son positivas.
Respuesta:
Ejemplo 2.
Solución:
1er forma . ADL está determinada por la desigualdad X> 3. Tomar logaritmos para tales X en base 10, obtenemos
La última desigualdad podría resolverse aplicando reglas de expansión, es decir, comparando factores con cero. Sin embargo, en en este caso fácil de determinar intervalos de signo constante de una función
por lo tanto, se puede aplicar el método del intervalo.
Función F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ es continuo en X> 3 y desaparece en puntos X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Así, determinamos los intervalos de signo constante de la función. F(X):
Respuesta:
2do método . Apliquemos directamente las ideas del método del intervalo a la desigualdad original.
Para ello recordemos que las expresiones a b- a c y ( a - 1)(b- 1) tener un signo. Entonces nuestra desigualdad en X> 3 equivale a desigualdad
o
La última desigualdad se resuelve mediante el método del intervalo.
Respuesta:
Ejemplo 3.
Solución:
Apliquemos el método del intervalo.
Respuesta:
Ejemplo 4.
Solución:
Desde 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 para todos los reales X, Eso
Para resolver la segunda desigualdad utilizamos el método del intervalo.
En la primera desigualdad hacemos el reemplazo.
entonces llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, que satisfacen la desigualdad -0,5< y < 1.
De donde, porque
obtenemos la desigualdad
que se lleva a cabo cuando X, para lo cual 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ahora bien, teniendo en cuenta la solución a la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos
Respuesta:
Ejemplo 5.
Solución:
La desigualdad equivale a un conjunto de sistemas.
o
Usemos el método del intervalo o
Respuesta:
Ejemplo 6.
Solución:
Desigualdad es igual a sistema
Dejar
Entonces y > 0,
y la primera desigualdad
el sistema toma la forma
o, desplegándose
trinomio cuadrático factorizado,
Aplicando el método del intervalo a la última desigualdad,
vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.
Así, la desigualdad original es equivalente al sistema:
Entonces, las soluciones a la desigualdad son todas
2.2. Método de racionalización.
Anteriormente, la desigualdad no se resolvía mediante el método de racionalización; no se conocía. Así es la "nueva modernidad" método efectivo soluciones a desigualdades exponenciales y logarítmicas" (cita del libro de S.I. Kolesnikova)
E incluso si el maestro lo conocía, existía el temor: ¿lo conoce el experto en el examen y por qué no lo dan en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿De dónde lo sacaste? Siéntate - 2".
Ahora el método se promueve en todas partes. Y para los expertos existe pautas, asociado a este método, y en las "Ediciones más completas opciones tipicas..." La solución C3 utiliza este método.
¡MARAVILLOSO MÉTODO!
"Mesa mágica"
En otras fuentes
Si a >1 y b >1, luego log a b >0 y (a -1)(b -1)>0;
Si a >1 y 0 si 0<a<1 и b
>1, luego registra a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<a<1 и 00 y (a -1)(b -1)>0. El razonamiento realizado es simple, pero simplifica significativamente la solución de desigualdades logarítmicas. Ejemplo 4.
iniciar sesión x (x 2-3)<0
Solución:
Ejemplo 5.
iniciar sesión 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Solución: Ejemplo 6.
Para resolver esta desigualdad, en lugar del denominador escribimos (x-1-1)(x-1), y en lugar del numerador, escribimos el producto (x-1)(x-3-9 + x). Ejemplo 7.
Ejemplo 8.
2.3. Sustitución no estándar. Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
registro 4 (3 x -1) registro 0,25 Hagamos el reemplazo y=3 x -1; entonces esta desigualdad tomará la forma Registro 4 registro 0,25 Porque iniciar sesión 0,25 Hagamos el reemplazo t =log 4 y y obtengamos la desigualdad t 2 -2t +≥0, cuya solución son los intervalos - Así, para encontrar los valores de y tenemos un conjunto de dos desigualdades simples Por tanto, la desigualdad original es equivalente al conjunto de dos desigualdades exponenciales, La solución a la primera desigualdad de este conjunto es el intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ejemplo 8.
Solución:
Desigualdad es igual a sistema La solución a la segunda desigualdad que define la ODZ será el conjunto de aquellos X,
para cual X > 0.
Para resolver la primera desigualdad hacemos la sustitución. Entonces obtenemos la desigualdad o El conjunto de soluciones a la última desigualdad se encuentra mediante el método. intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, obtenemos o muchos de esos X, que satisfacen la última desigualdad pertenece a ODZ ( X> 0), por lo tanto, es una solución del sistema, y de ahí la desigualdad original. Respuesta: 2.4. Tareas con trampas. Ejemplo 1.
Solución. La ODZ de la desigualdad es toda x que satisface la condición 0 Ejemplo 2.
iniciar sesión 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Respuesta. (0; 0,5)U.
Respuesta :
(3;6)
.
= -registro 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , luego reescribimos la última desigualdad como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solución de este conjunto son los intervalos 0.<у≤2 и 8≤у<+.
es decir, agregados 
. Por tanto, la desigualdad original se satisface para todos los valores de x de los intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Por lo tanto, todas las x son del intervalo 0
Conclusión
No fue fácil encontrar métodos específicos para resolver problemas C3 a partir de una gran cantidad de fuentes educativas diferentes. En el transcurso del trabajo realizado, pude estudiar métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas complejas. Estos son: transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos, el método de racionalización. , sustitución no estándar , Tareas con trampas en ODZ. Estos métodos no están incluidos en el plan de estudios escolar.
Utilizando diferentes métodos, resolví 27 desigualdades propuestas en el Examen Estatal Unificado en la parte C, es decir, C3. Estas desigualdades con soluciones por métodos formaron la base de la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”, que se convirtió en un proyecto producto de mi actividad. Se confirmó la hipótesis que planteé al inicio del proyecto: los problemas C3 se pueden resolver eficazmente si se conocen estos métodos.
Además, descubrí datos interesantes sobre los logaritmos. Fue interesante para mí hacer esto. Los productos de mi proyecto serán útiles tanto para estudiantes como para profesores.
Conclusiones:
De esta manera se logró el objetivo del proyecto y se resolvió el problema. Y recibí la experiencia más completa y variada de las actividades del proyecto en todas las etapas del trabajo. Mientras trabajaba en el proyecto, mi principal impacto en el desarrollo fue la competencia mental, las actividades relacionadas con las operaciones mentales lógicas, el desarrollo de la competencia creativa, la iniciativa personal, la responsabilidad, la perseverancia y la actividad.
Una garantía de éxito a la hora de crear un proyecto de investigación para Obtuve: experiencia escolar significativa, la capacidad de obtener información de diversas fuentes, verificar su confiabilidad y clasificarla por importancia.
Además del conocimiento directo de la materia en matemáticas, amplié mis habilidades prácticas en el campo de la informática, adquirí nuevos conocimientos y experiencia en el campo de la psicología, establecí contactos con compañeros de clase y aprendí a cooperar con adultos. Durante las actividades del proyecto se desarrollaron habilidades educativas generales organizativas, intelectuales y comunicativas.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades con una variable (tareas estándar C3).
2. Malkova A. G. Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
3. Samarova S. S. Resolver desigualdades logarítmicas.
4. Matemáticas. Colección de trabajos formativos editados por A.L. Semenov e I.V. Yáshchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Desigualdades logarítmicas
En lecciones anteriores nos familiarizamos con las ecuaciones logarítmicas y ahora sabemos qué son y cómo resolverlas. La lección de hoy estará dedicada al estudio de las desigualdades logarítmicas. ¿Cuáles son estas desigualdades y cuál es la diferencia entre resolver una ecuación logarítmica y una desigualdad?
Las desigualdades logarítmicas son desigualdades que tienen una variable que aparece debajo del signo del logaritmo o en su base.
O también podemos decir que una desigualdad logarítmica es una desigualdad en la que su valor desconocido, como en una ecuación logarítmica, aparecerá bajo el signo del logaritmo.
Las desigualdades logarítmicas más simples tienen la siguiente forma:
donde f(x) y g(x) son algunas expresiones que dependen de x.
Veamos esto usando este ejemplo: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Resolver desigualdades logarítmicas
Antes de resolver desigualdades logarítmicas, vale la pena señalar que una vez resueltas son similares a desigualdades exponenciales, a saber:
Primero, al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo de logaritmo, también debemos comparar la base del logaritmo con uno;
En segundo lugar, al resolver una desigualdad logarítmica usando un cambio de variables, necesitamos resolver desigualdades con respecto al cambio hasta obtener la desigualdad más simple.
Pero tú y yo hemos considerado aspectos similares de la resolución de desigualdades logarítmicas. Ahora prestemos atención a una diferencia bastante significativa. Usted y yo sabemos que la función logarítmica tiene un dominio de definición limitado, por lo tanto, al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo de logaritmo, debemos tener en cuenta el rango de valores permitidos (ADV).
Es decir, hay que tener en cuenta que al resolver una ecuación logarítmica, tú y yo primero podemos encontrar las raíces de la ecuación y luego verificar esta solución. Pero resolver una desigualdad logarítmica no funcionará de esta manera, ya que al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo de logaritmo, será necesario anotar la ODZ de la desigualdad.
Además, conviene recordar que la teoría de las desigualdades se compone de números reales, que son números positivos y negativos, así como del número 0.
Por ejemplo, cuando el número "a" es positivo, entonces necesitas usar la siguiente notación: a >0. En este caso, tanto la suma como el producto de estos números también serán positivos.
El principio fundamental para resolver una desigualdad es reemplazarla por una desigualdad más simple, pero lo principal es que sea equivalente a la dada. Además, también obtuvimos una desigualdad y nuevamente la reemplazamos por una que tiene una forma más simple, etc.
Al resolver desigualdades con una variable, es necesario encontrar todas sus soluciones. Si dos desigualdades tienen la misma variable x, entonces dichas desigualdades son equivalentes, siempre que sus soluciones coincidan.
Al realizar tareas para resolver desigualdades logarítmicas, debes recordar que cuando a > 1, entonces la función logarítmica aumenta, y cuando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Métodos para resolver desigualdades logarítmicas.
Ahora veamos algunos de los métodos que se utilizan al resolver desigualdades logarítmicas. Para una mejor comprensión y asimilación, intentaremos comprenderlos mediante ejemplos concretos.
Todos sabemos que la desigualdad logarítmica más simple tiene la siguiente forma:
En esta desigualdad, V – es uno de los siguientes signos de desigualdad:<,>, ≤ o ≥.
Cuando la base de un logaritmo dado es mayor que uno (a>1), haciendo la transición de logaritmos a expresiones bajo el signo del logaritmo, entonces en esta versión se conserva el signo de desigualdad, y la desigualdad tendrá la siguiente forma:
que es equivalente a este sistema:
En el caso de que la base del logaritmo sea mayor que cero y menor que uno (0 Esto es equivalente a este sistema: Veamos más ejemplos de cómo resolver las desigualdades logarítmicas más simples que se muestran en la siguiente imagen: Ejercicio. Intentemos resolver esta desigualdad: Resolver el rango de valores aceptables. Ahora intentemos multiplicar su lado derecho por: Veamos qué se nos ocurre: Ahora pasemos a convertir expresiones sublogarítmicas. Debido a que la base del logaritmo es 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Y de esto se deduce que el intervalo que obtuvimos en su totalidad pertenece a la ODZ y es una solución a tal desigualdad. Aquí está la respuesta que obtuvimos: Ahora intentemos analizar qué necesitamos para resolver con éxito desigualdades logarítmicas. Primero, concentra toda tu atención y trata de no equivocarte al realizar las transformaciones que se dan en esta desigualdad. Además, debe recordarse que al resolver tales desigualdades, es necesario evitar expansiones y contracciones de las desigualdades, lo que puede conducir a la pérdida o adquisición de soluciones extrañas. En segundo lugar, al resolver desigualdades logarítmicas, es necesario aprender a pensar lógicamente y comprender la diferencia entre conceptos como un sistema de desigualdades y un conjunto de desigualdades, de modo que pueda seleccionar fácilmente soluciones a la desigualdad, mientras se guía por su DL. En tercer lugar, para resolver con éxito tales desigualdades, cada uno de ustedes debe conocer perfectamente todas las propiedades de las funciones elementales y comprender claramente su significado. Tales funciones incluyen no solo logarítmicas, sino también racionales, potencias, trigonométricas, etc., en una palabra, todas aquellas que estudiaste durante el álgebra escolar. Como puede ver, habiendo estudiado el tema de las desigualdades logarítmicas, no hay nada difícil en resolver estas desigualdades, siempre que sea cuidadoso y persistente en el logro de sus objetivos. Para evitar problemas al resolver desigualdades, es necesario practicar tanto como sea posible, resolviendo varias tareas y al mismo tiempo recordar los métodos básicos para resolver dichas desigualdades y sus sistemas. Si no logras resolver desigualdades logarítmicas, debes analizar cuidadosamente tus errores para no volver a repetirlos en el futuro. Para comprender mejor el tema y consolidar el material tratado, resuelva las siguientes desigualdades:
Ejemplos de resolución
3x > 24;
x > 8. 
¿Qué se necesita para resolver desigualdades logarítmicas?
Tarea
