En el curso de geometría estudiamos las propiedades de las figuras geométricas y ya hemos visto las más simples: los triángulos y sus alrededores. Al mismo tiempo, también discutimos casos especiales específicos de estas figuras, como el tri-coal-ni-ki rectangular, igual y derecho. Ahora ha llegado el momento de hablar de figuras más generales y complejas. mucho carbón.
Con un caso privado mucho carbón Ya lo sabemos: este es un triángulo (ver Fig. 1).
Arroz. 1. Triángulo
En el mismo nombre ya se indica que se trata de una fi-gu-ra, que tiene tres esquinas. A continuación, en mucho carbón puede haber muchos de ellos, es decir Mas de tres. Por ejemplo, dibuje un pentágono (ver Fig. 2), es decir fi-gu-ru con cinco esquinas-la-mi.
Arroz. 2. Penta-esquina. Polígono voluminoso
Definición.Polígono- una figura que consta de varios puntos (más de dos) y corresponde al número de puntos de los puntos que los siguen juntos. Estos puntos se llaman top-ella-en-mi mucho carbón, pero de corte - cien-ro-na-mi. En este caso, no hay dos lados adyacentes que se encuentren en la misma línea recta y no hay dos lados no adyacentes que se crucen.
Definición.Polígono derecho- este es un polígono convexo, que tiene todos los lados y ángulos iguales.
Cualquier polígono Divide el plano en dos áreas: interna y externa. El área interna también es de mucho carbón.
En otras palabras, por ejemplo, cuando hablan del pentágono, se refieren tanto a toda su región interna como a sus límites.tsu. Y todos los puntos que se encuentran dentro de una gran cantidad de carbón están relacionados con la región interior, es decir. el punto también es de-no-sit-xia a los cinco-carbón-ni-ku (ver Fig. 2).
Una gran cantidad de carbón a veces se denomina n-carbón para enfatizar que es común el caso de un número desconocido de ángulos (n piezas).
Definición. Perímetro de muchos-carbón-no-ka- la suma de las longitudes de los lados de un montón de carbón.
Ahora necesitamos familiarizarnos con las vistas de muchas brasas. Están divididos en te tiras un pedo Y pedos. Por ejemplo, el polígono que se muestra en la Fig. 2, parece que te estás tirando pedos, y en la Fig. 3 no tirarse pedos.
Arroz. 3. Polígono lleno de baches
2. Polígonos convexos y no convexos
Definición 1. Polígono na-za-va-et-sya te tiras un pedo, si al pasar directamente por cualquiera de sus lados, toda la polígono se encuentra sólo a un lado de esta línea recta. Neva-puk-ly-mi todos los demás aparecen mucho carbón.
Es fácil imaginar que al extender cualquier lado de las cinco esquinas de la Fig. 2 todo resultará estar a un lado de esta recta, es decir es un pedo. Pero al pasar directamente a través de los cuatro carbones de la Fig. 3 ya vemos que ella lo divide en dos partes, es decir. no es un gran pedo.
Pero hay otra definición de cuánto carbón tienes.
Definición 2. Polígono na-za-va-et-sya te tiras un pedo, si cuando selecciona dos de sus puntos internos y cuando los conecta desde un corte, todos los puntos del corte también son internos, no es exactamente mucho carbón.
Se puede ver una demostración del uso de esta definición en el ejemplo de la construcción de cortes en la Fig. 2 y 3.
Definición. Dia-go-na-lew Se llama mucho carbón a cualquier corte que conecta dos cimas no adyacentes del mismo.
3. Teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un n-gón convexo
Para describir las propiedades de los polígonos, existen dos teoremas importantes sobre sus ángulos: teo-re-ma sobre la suma de los ángulos internos de muchos ángulos Y teo-re-ma sobre la suma de los ángulos externos de muchos ángulos. Mirémoslos.
Teorema. Sobre la suma de los ángulos internos tienes muchos ángulos (norte-carbón-no-ka).
¿Dónde está el número de sus ángulos (lados)?
Prueba 1. Ilustración de la Fig. 4 n-gon que sobresalen.
Arroz. 4. Tú-n-gon lleno de baches
Desde arriba realizaremos todos los diagnósticos posibles. Dividen n-gon-nik en tri-gon-nik, porque. Cada uno de los lados forma una gran cantidad de carbón, excepto los lados que se encuentran hacia arriba. Es fácil ver en la figura que la suma de los ángulos de todos estos triángulos será exactamente igual a la suma de los ángulos internos de la n-esquina. Dado que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es , entonces la suma de los ángulos internos de un n-ángulo:
Razón 2. Es posible que exista otra razón para este teorema. Ilustración de un n-gon análogo en la Fig. 5 y conecta cualquiera de sus puntos internos con todos los vértices.
Hemos dividido el n-carbón en n triángulos (cuantos lados, tantos triángulos) ). La suma de todos sus ángulos es igual a la suma de los ángulos internos del polígono y la suma de los ángulos en el punto interno, y este es el ángulo. Tenemos:
Q.E.D.
Do-ka-za-pero.
Según la teoría anterior, está claro que la suma de los ángulos n-carbón no depende del número de sus lados (de n). Por ejemplo, en un triángulo, la suma de los ángulos es . En wh-reh-coal-no-ke, y la suma de los ángulos, etc.
4. Teorema sobre la suma de los ángulos externos de un n-gón convexo
Teorema. Sobre la suma de los ángulos externos de una gran cantidad de carbón (norte-carbón-no-ka).
Donde es el número de sus ángulos (lados), y , ..., son los ángulos externos.
Prueba. La imagen de un n-gon convexo en la Fig. 6 y designe sus ángulos internos y externos.
Arroz. 6. N-gon convexo con esquinas externas designadas
Porque el ángulo externo está conectado con el ángulo interno como adyacente, entonces 
y similar para las demás esquinas exteriores. Entonces:
Durante el desarrollo previo, ya hemos utilizado el teorema sobre la suma de los ángulos internos n-coal-ni-ka.
Do-ka-za-pero.
Del teorema anterior se desprende un hecho interesante de que la suma de los ángulos externos del n-carbón convexo es igual a 
sobre el número de sus ángulos (lados). Por cierto, dependiendo de la suma de los ángulos internos.
A continuación, trabajaremos con más detalle con el caso particular de mucho carbón - por qué-eres-re-carbón-no-mi. En la próxima lección, conoceremos una figura como par-ral-le-lo-gramo y analizaremos sus propiedades.
FUENTE
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Triángulo, cuadrado, hexágono: casi todo el mundo conoce estas figuras. Pero no todo el mundo sabe qué es un polígono regular. Pero todos son iguales: un polígono regular es aquel que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas figuras de este tipo, pero todas tienen las mismas propiedades y se les aplican las mismas fórmulas.
Propiedades de los polígonos regulares
Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, puede inscribirse en una circunferencia. Esta propiedad básica se utiliza a menudo al construir una figura. Además, se puede inscribir un círculo en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que un círculo inscrito en un polígono regular tenga un centro común con él. Estas figuras geométricas están sujetas a los mismos teoremas. Cualquier lado de un n-gón regular está relacionado con el radio del círculo R que lo rodea, por lo que se puede calcular mediante la siguiente fórmula: a = 2R ∙ sin180°. A través de él puedes encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.
Cómo encontrar el número de lados de un polígono regular
Cualquiera consta de un cierto número de segmentos iguales entre sí que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todos los ángulos de la figura resultante tienen el mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen numero mayor lados Estos también incluyen figuras en forma de estrella. Para polígonos regulares complejos, los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con un número arbitrario de lados n. Dibuja un círculo a su alrededor. Establece el radio R. Ahora imagina que te dan un n-gon. Si los puntos de sus ángulos se encuentran en un círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar usando la fórmula: a = 2R ∙ sinα: 2.
Calcular el número de lados de un triángulo regular inscrito
Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que a un cuadrado y un n-gón. Un triángulo se considerará regular si sus lados tienen la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construyamos un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y su altura, puedes encontrar el valor de sus lados. Para ello utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a = x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a = b = c. Entonces será verdadera la siguiente afirmación: a = b = c = x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. En este caso, conviene proyectarlo estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a del triángulo isósceles usando la fórmula a = b = x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Entonces c = 2xtanα. De esta sencilla forma podrás encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.
Calcular los lados de un cuadrado inscrito en un círculo.
Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados iguales y esquinas. Se le aplican las mismas fórmulas que a un triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que una diagonal divide un ángulo por la mitad. Inicialmente su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos, cuyos ángulos en la base serán iguales a 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base del triángulo rectángulo formado después división. Esta no es la única forma de encontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera: a4 = R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R = a: 2tg (360 o: 2n), donde a es la longitud del lado.
Cómo calcular el perímetro de un n-gon
El perímetro de un n-gon es la suma de todos sus lados. Es fácil de calcular. Para hacer esto, necesita conocer el significado de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que cualquier polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P = an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para encontrar el perímetro de un octágono regular con un lado de 3 cm, es necesario multiplicarlo por 8, es decir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm, para un hexágono con un lado de 5 cm, calculamos de la siguiente manera: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Y así para cada polígono.
Encontrar el perímetro de un paralelogramo, cuadrado y rombo
Dependiendo de cuántos lados tenga un polígono regular se calcula su perímetro. Esto facilita mucho la tarea. Efectivamente, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, uno es suficiente. Usando el mismo principio, encontramos el perímetro de los cuadriláteros, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que se trata de figuras diferentes, la fórmula para ellas es la misma: P = 4a, donde a es el lado. Pongamos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado mide 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Para un paralelogramo, solo los lados opuestos son iguales. Por tanto, su perímetro se encuentra utilizando un método diferente. Entonces, necesitamos saber el largo a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P = (a + b) ∙ 2. Un paralelogramo en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales se llama rombo.
Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo
El perímetro del correcto se puede encontrar usando la fórmula P = 3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. En un triángulo rectángulo sólo dos lados tienen el mismo valor. La base se puede encontrar mediante el teorema de Pitágoras. Una vez conocidos los valores de los tres lados calculamos el perímetro. Se puede encontrar usando la fórmula P = a + b + c, donde a y b son lados iguales y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a = b = a, lo que significa a + b = 2a, entonces P = 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encontremos su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras con = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Ahora calculamos el perímetro P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Cómo encontrar los ángulos de un polígono regular.
Un polígono regular aparece en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo o un octágono regulares. Parecería que no hay nada más fácil que construir tú mismo esta figura. Pero esto sólo es sencillo a primera vista. Para construir cualquier n-gón, necesitas saber el valor de sus ángulos. ¿Pero cómo encontrarlos? Incluso los científicos antiguos intentaron construir polígonos regulares. Descubrieron cómo colocarlos en círculos. Y luego se marcaron los puntos necesarios y se conectaron con líneas rectas. Para figuras simples se resolvió el problema constructivo. Se obtuvieron fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides, en su famosa obra "Inception", se ocupó de la resolución de problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gónos. Encontró formas de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15 gon. Primero necesitas calcular la suma de sus ángulos interiores. Es necesario utilizar la fórmula S = 180⁰(n-2). Entonces, nos dan un góno de 15, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Encontramos la suma de todos los ángulos interiores de un góno de 15. Ahora necesitas obtener el valor de cada uno de ellos. Hay 15 ángulos en total, hacemos el cálculo 2340⁰: 15 = 156⁰. Esto significa que cada ángulo interno es igual a 156⁰, ahora usando una regla y un compás puedes construir un góndola regular de 15. Pero ¿qué pasa con los n-gons más complejos? Durante muchos siglos, los científicos han luchado por resolver este problema. Fue encontrado recién en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se considera oficialmente resuelto por completo.
Cálculo de ángulos de n-gonos en radianes.
Por supuesto, hay varias formas de encontrar los ángulos de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también se pueden expresar en radianes. ¿Cómo hacerlo? Debe proceder de la siguiente manera. Primero, averiguamos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Esto significa que obtenemos el valor: n - 2. Multiplicamos la diferencia encontrada por el número n (“pi” = 3,14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-gón. Consideremos estos cálculos usando el mismo decágono como ejemplo. Entonces, el número n es 15. Apliquemos la fórmula S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Por supuesto, esta no es la única forma de calcular un ángulo en radianes. Simplemente puedes dividir el ángulo en grados por 57,3. Después de todo, esto es cuántos grados equivalen a un radianes.
Cálculo de ángulos en grados.
Además de los grados y radianes, puedes intentar encontrar los ángulos de un polígono regular en grados. Esto se hace de la siguiente manera. Resta 2 del número total de ángulos y divide la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado obtenido por 200. Por cierto, prácticamente no se utiliza una unidad de medida de ángulos como los grados.
Cálculo de ángulos externos de n-gonos.
Para cualquier polígono regular, además del interno, también podemos calcular esquina exterior. Su valor se encuentra de la misma forma que para otras figuras. Entonces, para encontrar el ángulo externo de un polígono regular, necesitas saber el valor del ángulo interno. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos siempre es igual a 180 grados. Por tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, el ángulo interno de un cuadrado es de 90 grados, lo que significa que el ángulo externo será 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Como vemos, no es difícil de encontrar. El ángulo externo puede tomar un valor de +180⁰ a -180⁰, respectivamente.
Materia, edad del estudiante: geometría, noveno grado.
Objetivo de la lección: estudiar tipos de polígonos.
Tarea educativa: actualizar, ampliar y generalizar los conocimientos de los estudiantes sobre los polígonos; formarse una idea de las “partes componentes” de un polígono; realizar una encuesta de cantidad elementos constituyentes polígonos regulares (de triángulo a n-gón);
Tarea de desarrollo: desarrollar la capacidad de analizar, comparar, sacar conclusiones, desarrollar habilidades computacionales, habla matemática oral y escrita, memoria, así como independencia en las actividades de pensamiento y aprendizaje, la capacidad de trabajar en parejas y grupos; desarrollar actividades de investigación y educación;
Tarea educativa: cultivar la independencia, la actividad, la responsabilidad por el trabajo asignado, la perseverancia en la consecución de la meta.
Durante las clases: cita escrita en la pizarra
“La naturaleza habla el lenguaje de las matemáticas, las letras de este lenguaje... figuras matemáticas”. G.Galliley
Al comienzo de la lección, la clase se divide en grupos de trabajo (en nuestro caso, se divide en grupos de 4 personas cada uno; el número de miembros del grupo es igual al número de grupos de preguntas).
1.Etapa de llamada-
Objetivos:
a) actualizar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema;
b) despertar el interés por el tema que se estudia, motivando a cada alumno para las actividades educativas.
Técnica: Juego “¿Crees que…”, organización del trabajo con texto.
Formas de trabajo: frontal, grupal.
"Crees eso..."
1. ... ¿la palabra “polígono” indica que todas las figuras de esta familia tienen “muchos ángulos”?
2. ... ¿pertenece un triángulo a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre muchas formas geométricas diferentes en un plano?
3. ... ¿un cuadrado es un octágono regular (cuatro lados + cuatro esquinas)?
Hoy en la lección hablaremos de polígonos. Aprendemos que esta figura está limitada por una línea discontinua cerrada, que a su vez puede ser simple, cerrada. Hablemos del hecho de que los polígonos pueden ser planos, regulares o convexos. Uno de los polígonos planos es un triángulo, con el que está familiarizado desde hace mucho tiempo (puede mostrarles a los estudiantes carteles que representen polígonos, una línea discontinua, mostrarles diferentes tipos, también puedes utilizar TSO).
2. Etapa de concepción
Objetivo: obtener nueva información, comprenderla, seleccionarla.
Técnica: zigzag.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
A cada miembro del grupo se le entrega un texto sobre el tema de la lección, y el texto se compila de tal manera que incluya tanto información ya conocida por los estudiantes como información completamente nueva. Junto con el texto, los estudiantes reciben preguntas cuyas respuestas deben encontrarse en este texto.
Polígonos. Tipos de polígonos.
¿Quién no ha oído hablar del misterioso Triángulo de las Bermudas, en el que barcos y aviones desaparecen sin dejar rastro? Pero el triángulo, que nos es familiar desde la infancia, está plagado de muchas cosas interesantes y misteriosas.
Además de los tipos de triángulos que ya conocemos, divididos por lados (escaleno, isósceles, equilátero) y ángulos (agudo, obtuso, rectangular), el triángulo pertenece a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre muchas formas geométricas diferentes en el avión.
La palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchos ángulos". Pero esto no basta para caracterizar la figura.
Una línea discontinua A 1 A 2 ...A n es una figura que consta de los puntos A 1, A 2, ...A n y los segmentos que los conectan A 1 A 2, A 2 A 3,.... Los puntos se denominan vértices de la polilínea y los segmentos se denominan enlaces de la polilínea. (Figura 1)
Una línea discontinua se llama simple si no tiene intersecciones (Fig. 2, 3).
Una polilínea se dice cerrada si sus extremos coinciden. La longitud de una línea discontinua es la suma de las longitudes de sus eslabones (Fig. 4).
Una línea discontinua cerrada simple se llama polígono si sus enlaces vecinos no se encuentran en la misma línea recta (Fig. 5).
Sustituye un número específico, por ejemplo 3, en la palabra “polígono” en lugar de la parte “muchos” y obtendrás un triángulo. O 5. Entonces - un pentágono. Fíjate que, cuantos ángulos hay, tantos lados hay, por lo que estas figuras bien podrían denominarse poliláteras.
Los vértices de la línea discontinua se llaman vértices del polígono y los enlaces de la línea discontinua se llaman lados del polígono.
El polígono divide el plano en dos áreas: interna y externa (Fig. 6).
Un polígono plano o área poligonal es la parte finita de un plano delimitado por un polígono.
Dos vértices de un polígono que son extremos de un lado se llaman adyacentes. Los vértices que no son extremos de un lado no son vecinos.
Un polígono con n vértices y, por tanto, n lados, se llama n-gón.
A pesar de número más pequeño Un polígono tiene 3 lados, pero los triángulos, cuando se conectan entre sí, pueden formar otras figuras, que a su vez también son polígonos.
Los segmentos que conectan vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.
Un polígono se llama convexo si se encuentra en el mismo semiplano con respecto a cualquier recta que contenga su lado. En este caso, se considera que la propia recta pertenece al semiplano.
El ángulo de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice.
Demostremos el teorema (sobre la suma de los ángulos de un n-gón convexo): La suma de los ángulos de un n-gón convexo es igual a 180 0 *(n - 2).
Prueba. En el caso n=3 el teorema es válido. Sea A 1 A 2 ...A n un polígono convexo dado y n>3. Dibujemos diagonales en él (desde un vértice). Como el polígono es convexo, estas diagonales lo dividen en n – 2 triángulos. La suma de los ángulos de un polígono es la suma de los ángulos de todos estos triángulos. La suma de los ángulos de cada triángulo es igual a 180 0, y el número de estos triángulos n es 2. Por lo tanto, la suma de los ángulos de un n-gón convexo A 1 A 2 ...A n es igual a 180 0 * (norte - 2). El teorema ha sido demostrado.
El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice.
Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales.
Entonces el cuadrado se puede llamar de otra manera: un cuadrilátero regular. Los triángulos equiláteros también son regulares. Estas figuras han despertado durante mucho tiempo el interés de los artesanos que decoraban los edificios. Hicieron bonitos diseños, por ejemplo sobre parquet. Pero no todos los polígonos regulares podrían utilizarse para fabricar parquet. El parquet no se puede fabricar a partir de octágonos regulares. El hecho es que cada ángulo es igual a 135 0. Y si algún punto es el vértice de dos de esos octágonos, entonces suman 270 0, y no hay lugar para que quepa el tercer octágono allí: 360 0 - 270 0 = 90 0. Pero para un cuadrado esto es suficiente. Por lo tanto, puedes hacer parquet a partir de octágonos y cuadrados regulares.
Las estrellas también son correctas. Nuestra estrella de cinco puntas es una estrella pentagonal regular. Y si giras el cuadrado alrededor del centro 45 0, obtienes una estrella octogonal regular.
1 grupo
¿Qué es una línea quebrada? Explica qué son los vértices y enlaces de una polilínea.
¿Qué línea discontinua se llama simple?
¿Qué línea discontinua se llama cerrada?
¿Cómo se llama un polígono? ¿Cómo se llaman los vértices de un polígono? ¿Cómo se llaman los lados de un polígono?
2do grupo
¿Qué polígono se llama plano? Da ejemplos de polígonos.
¿Qué es n – cuadrado?
Explica qué vértices de un polígono son adyacentes y cuáles no.
¿Cuál es la diagonal de un polígono?
3 grupo
¿Qué polígono se llama convexo?
Explica qué ángulos de un polígono son externos y cuáles son internos.
¿Qué polígono se llama regular? Da ejemplos de polígonos regulares.
4 grupo
¿Cuál es la suma de los ángulos de un n-gón convexo? Pruébalo.
Los estudiantes trabajan con el texto, buscan respuestas a las preguntas planteadas, luego de lo cual se forman grupos de expertos, en los que se trabaja sobre los mismos temas: los estudiantes resaltan los puntos principales, elaboran un resumen de apoyo y presentan información en uno de las formas gráficas. Al finalizar el trabajo, los estudiantes regresan a sus grupos de trabajo.
3. Etapa de reflexión -
a) evaluación del propio conocimiento, desafío al siguiente paso de conocimiento;
b) comprensión y apropiación de la información recibida.
Recepción: trabajo de investigación.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
Los grupos de trabajo incluyen especialistas en responder cada apartado de las preguntas propuestas.
Al regresar al grupo de trabajo, el experto presenta las respuestas a sus preguntas a los demás miembros del grupo. El grupo intercambia información entre todos los miembros del grupo de trabajo. Así, en cada grupo de trabajo, gracias al trabajo de expertos, se forma una comprensión general del tema en estudio.
Trabajo de investigación de los estudiantes: completar la tabla.
| polígonos regulares | Dibujo | Número de lados | Número de vértices | Suma de todos los ángulos interiores. | Medida de grado interna ángulo | Medida en grados del ángulo externo. | Número de diagonales |
| Un triángulo | |||||||
| b) cuadrilátero | |||||||
| B) cinco barras | |||||||
| D) hexágono | |||||||
| D) n-gon |
Resolver problemas interesantes sobre el tema de la lección.
- En un cuadrilátero, traza una línea recta que lo divida en tres triángulos.
- ¿Cuántos lados tiene un polígono regular y cada uno de sus ángulos interiores mide 135 0?
- En un determinado polígono, todos los ángulos interiores son iguales entre sí. ¿Puede la suma de los ángulos interiores de este polígono ser igual a: 360 0, 380 0?
Resumiendo la lección. Grabación de tareas.
Propiedades de los polígonos
Un polígono es figura geométrica, generalmente se define como una línea discontinua cerrada sin autointersecciones (un polígono simple (Fig. 1a)), pero a veces se permiten autointersecciones (entonces el polígono no es simple).
Los vértices del polígono se llaman vértices del polígono y los segmentos se llaman lados del polígono. Los vértices de un polígono se llaman adyacentes si son los extremos de uno de sus lados. Los segmentos que unen vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.
Ángulo (o esquina interna) de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice, y el ángulo se calcula a partir del lado del polígono. En particular, el ángulo puede superar los 180° si el polígono no es convexo.
El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice. En general, un ángulo exterior es la diferencia entre 180° y un ángulo interior. Para > 3, cada vértice del -gón tiene 3 diagonales, por lo que el número total de diagonales del -gón es igual.
Un polígono con tres vértices se llama triángulo, con cuatro, cuadrilátero, con cinco, pentágono, etc.
Polígono con norte llamados vértices norte- cuadrado.
Un polígono plano es una figura que consta de un polígono y una parte finita del área limitada por él.
Un polígono se llama convexo si se cumple una de las siguientes condiciones (equivalentes):
- 1. se encuentra a un lado de cualquier línea recta que conecte sus vértices vecinos. (es decir, las extensiones de los lados del polígono no intersecan sus otros lados);
- 2. es la intersección (es decir, la parte común) de varios semiplanos;
- 3. cualquier segmento que termine en puntos pertenecientes al polígono pertenece íntegramente a éste.
Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales, por ejemplo triángulo equilátero, cuadrado y pentágono.
Se dice que un polígono convexo está circunscrito a un círculo si todos sus lados tocan algún círculo.
Un polígono regular es un polígono en el que todos los ángulos y todos los lados son iguales.
Propiedades de los polígonos:
1 Cada diagonal de un -gón convexo, donde >3, lo descompone en dos polígonos convexos.
2 La suma de todos los ángulos de un triángulo convexo es igual.
D-vo: Demostraremos el teorema mediante el método de inducción matemática. En = 3 es obvio. Supongamos que el teorema es verdadero para un -gón, donde <, y pruébalo para -gon.
Sea un polígono dado. Dibujemos la diagonal de este polígono. Según el teorema 3, un polígono se descompone en un triángulo y un triángulo convexo (Fig. 5). Por la hipótesis de la inducción. Por otro lado, . Sumando estas igualdades y teniendo en cuenta que (- haz de ángulo interno ) Y (- haz de ángulo interno ), obtenemos Cuando obtenemos: .
3 Alrededor de cualquier polígono regular se puede describir un círculo, y sólo uno.
D-vo: Sea un polígono regular, y y las bisectrices de los ángulos, y (Fig. 150). Desde entonces, por lo tanto, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ACERCA DE. Probemos que oh = OA 2 = ACERCA DE =… = OA PAG . Triángulo ACERCA DE isósceles, por lo tanto ACERCA DE= ACERCA DE. Según el segundo criterio para la igualdad de triángulos, por tanto, ACERCA DE = ACERCA DE. De la misma manera, se demuestra que ACERCA DE = ACERCA DE etc. Entonces el punto ACERCA DE es equidistante de todos los vértices del polígono, por lo que un círculo con centro ACERCA DE radio ACERCA DE está circunscrita al polígono.
Demostremos ahora que sólo existe un círculo circunscrito. Consideremos unos tres vértices de un polígono, por ejemplo, A 2 , . Dado que solo un círculo pasa por estos puntos, entonces alrededor del polígono … No puedes describir más de un círculo.
- 4 Puedes inscribir un círculo en cualquier polígono regular, y solo uno.
- 5 Un círculo inscrito en un polígono regular toca los lados del polígono en sus puntos medios.
- 6 El centro de un círculo circunscrito a un polígono regular coincide con el centro de un círculo inscrito en el mismo polígono.
- 7 simetría:
Dicen que una figura tiene simetría (simétrica) si existe tal movimiento (no idéntico) que traduce esta figura en sí misma.
- 7.1. Un triángulo general no tiene ejes ni centros de simetría; es asimétrico. Un triángulo isósceles (pero no equilátero) tiene un eje de simetría: la bisectriz perpendicular a la base.
- 7.2. Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría (bisectrices perpendiculares a los lados) y simetría rotacional alrededor del centro con un ángulo de rotación de 120°.
7.3 Cualquier n-gón regular tiene n ejes de simetría y todos pasan por su centro. También tiene simetría rotacional con respecto al centro con un ángulo de rotación.
Incluso cuando norte Algunos ejes de simetría pasan por vértices opuestos, otros por los puntos medios de lados opuestos.
por extraño norte cada eje pasa por la parte superior y media del lado opuesto.
El centro de un polígono regular con un número par de lados es su centro de simetría. Un polígono regular con un número impar de lados no tiene centro de simetría.
8 Similitud:
Con semejanza y -gon entra en -gon, semiplano en semiplano, por lo tanto convexo norte-el ángulo se vuelve convexo norte-gon.
Teorema: Si los lados y ángulos de polígonos convexos satisfacen las igualdades:
¿Dónde está el coeficiente del podio?
entonces estos polígonos son similares.
- 8.1 La relación de los perímetros de dos polígonos similares es igual al coeficiente de similitud.
- 8.2. La relación de las áreas de dos polígonos similares convexos es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.
teorema del perímetro del triángulo polígono
