Prueba:
Primero demostremos el teorema para el caso de la secuencia 
Según la fórmula binomial de Newton:
Suponiendo que obtengamos
De esta igualdad (1) se deduce que a medida que n aumenta, aumenta el número de términos positivos en el lado derecho. Además, a medida que n aumenta, el número disminuye, por lo que los valores 
están aumentando. Por lo tanto la secuencia 
creciente, y (2)*Demostramos que es acotado. Reemplace cada paréntesis en el lado derecho de la igualdad con uno, el lado derecho aumentará y obtenemos la desigualdad.
Fortalezcamos la desigualdad resultante, reemplacemos 3,4,5, ..., que está en los denominadores de las fracciones, con el número 2: encontramos la suma entre paréntesis usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica: Por lo tanto 
(3)*
Entonces, la secuencia está acotada desde arriba y se satisfacen las desigualdades (2) y (3): 
Por tanto, basándose en el teorema de Weierstrass (criterio para la convergencia de una secuencia), la secuencia 
aumenta monótonamente y es limitado, lo que significa que tiene un límite, denotado por la letra e. Aquellos. 
Sabiendo que el segundo límite notable es cierto para valores naturales de x, demostramos el segundo límite notable para x real, es decir, demostramos que 
. Consideremos dos casos:
1. Sea cada valor de x entre dos números enteros positivos: donde es Toda una parte X. => =>
Si , entonces Por lo tanto, según el límite 
Tenemos
Basado en el criterio (sobre el límite de una función intermedia) de la existencia de límites 
2. Deja. Hagamos la sustitución − x = t, entonces
De estos dos casos se deduce que 
de verdad x.
Consecuencias:
9 .) Comparación de infinitesimales. El teorema sobre la sustitución de infinitesimales por equivalentes en el límite y el teorema sobre la parte principal de los infinitesimales.
Sean las funciones a( X) y B( X) – b.m. en X ® X 0 .
DEFINICIONES.
1)a( X) llamado infinitesimal más alto orden cómo b (X) Si
Escribe: a( X) = o(b( X)) .
2)a( X) Y b( X)son llamados infinitesimales del mismo orden, Si
donde CÎℝ y C¹ 0 .
Escribe: a( X) = oh(b( X)) .
3)a( X) Y b( X) son llamados equivalente , Si
Escribe: a( X) ~ b( X).
4)a( X) llamado infinitesimal de orden k relativo
absolutamente infinitesimal b( X),
si es infinitesimal a( X)Y(b( X))k tienen el mismo orden, es decir Si
donde CÎℝ y C¹ 0 .
TEOREMA 6 (sobre la sustitución de infinitesimales por equivalentes).
Dejar a( X), b( X), un 1 ( X), segundo 1 ( X)– b.m. en x ® X 0 . Si a( X) ~ un 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),
Eso 
Prueba: Sea a( X) ~ un 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Entonces
TEOREMA 7 (sobre la parte principal del infinitesimal).
Dejar a( X)Y b( X)– b.m. en x ® X 0 , y b( X)– b.m. orden superior que a( X).
= , a desde b( X) – orden superior a ( X), entonces, es decir 
de esta claro que un( X) + b( X) ~ un ( X)
10) Continuidad de una función en un punto (en lenguaje épsilon-delta, límites geométricos) Continuidad unilateral. Continuidad en un intervalo, en un segmento. Propiedades de funciones continuas.
1. Definiciones básicas
Dejar F(X) se define en alguna vecindad del punto X 0 .
DEFINICIÓN 1. Función f(X) llamado continuo en un punto X 0 si la igualdad es verdadera
Notas.
1) En virtud del Teorema 5 §3, la igualdad (1) se puede escribir en la forma
Condición (2) – definición de continuidad de una función en un punto en el lenguaje de límites unilaterales.
2) La igualdad (1) también se puede escribir como:
Dicen: "si una función es continua en un punto X 0, entonces el signo del límite y la función se pueden intercambiar."
DEFINICIÓN 2 (en lenguaje e-d).
Función f(X) llamado continuo en un punto X 0 Si"e>0 $d>0 semejante, Qué
si xОU( X 0 , d) (es decir | X – X 0 | < d),
entonces f(X)ÎU( F(X 0), e) (es decir, | F(X) – F(X 0) | < e).
Dejar X, X 0 Î D(F) (X 0 – fijo, X - arbitrario)
Denotemos: D X= x-x 0 – incremento de argumento
D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – incremento de función en el punto x 0
DEFINICIÓN 3 (geométrica).
Función f(X) en llamado continuo en un punto
X 0
si en este punto un incremento infinitesimal en el argumento corresponde a un incremento infinitesimal en la función, es decir.
Deja que la función F(X) se define en el intervalo [ X 0 ; X 0 + d) (en el intervalo ( X 0 – d; X 0 ]).
DEFINICIÓN. Función f(X) llamado continuo en un punto
X 0 a la derecha
(izquierda
), si la igualdad es verdadera
Es obvio que F(X) es continua en el punto X 0 Û F(X) es continua en el punto X 0 derecha e izquierda.
DEFINICIÓN. Función f(X) llamado continuo durante un intervalo mi ( a; b) si es continua en cada punto de este intervalo.
Función f(X) se llama continua en el segmento [a; b] si es continuo en el intervalo (a; b) y tiene continuidad unidireccional en los puntos límite(es decir, continuo en el punto a a la derecha, en el punto b- izquierda).
11) Puntos de quiebre, su clasificación.
DEFINICIÓN. Si la función f(X) definido en alguna vecindad del punto x 0 , pero no es continuo en este punto, entonces F(X) llamado discontinuo en el punto x 0 , y el punto en si X 0 llamado el punto de ruptura funciones f(X) .
Notas.
1) F(X) se puede definir en una vecindad incompleta del punto X 0 .
Luego considere la correspondiente continuidad unilateral de la función.
2) De la definición de Þ punto X 0 es el punto de ruptura de la función F(X) en dos casos:
a) U( X 0 , d)О D(F) , pero para F(X) la igualdad no se cumple
b) U * ( X 0 , d)О D(F) .
Para funciones elementales sólo es posible el caso b).
Dejar X 0 – punto de interrupción de la función F(X) .
DEFINICIÓN. Punto x 0 llamado punto de quiebre I algo así como si la función f(X)tiene límites finitos a la izquierda y a la derecha en este punto.
Si estos límites son iguales, entonces el punto x 0 llamado punto de ruptura removible , de lo contrario - punto de salto .
DEFINICIÓN. Punto x 0 llamado punto de quiebre II algo así como si al menos uno de los límites unilaterales de la función f(X)en este punto es igual¥ o no existe.
12) Propiedades de funciones continuas en un intervalo (teoremas de Weierstrass (sin prueba) y Cauchy
Teorema de Weierstrass
Sea la función f(x) continua en el intervalo, entonces
1)f(x)está limitado a
2)f(x) toma su valor más pequeño en el intervalo y valor más alto
Definición: El valor de la función m=f se llama el más pequeño si m≤f(x) para cualquier x€ D(f).
Se dice que el valor de la función m=f es mayor si m≥f(x) para cualquier x € D(f).
La función puede tomar el valor más pequeño/más grande en varios puntos del segmento.
f(x 3)=f(x 4)=máx.
El teorema de Cauchy.
Sea la función f(x) continua en el segmento y x sea el número contenido entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto x 0 € tal que f(x 0)= g
El término "límite notable" se utiliza ampliamente en los libros de texto y manuales metodológicos para denotar identidades importantes que ayudan significativamente simplifica tu trabajo en encontrar límites.
Sino ser capaz de traer tu límite a lo maravilloso, necesitas echarle un buen vistazo, porque no se encuentran en forma directa, y a menudo en forma de consecuencias, equipadas con términos y factores adicionales. Sin embargo, primero la teoría, luego los ejemplos, ¡y lo lograrás!
El primer límite maravilloso.
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El primer límite notable se escribe de la siguiente manera (incertidumbre de la forma $0/0$):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
Corolarios del primer límite destacable
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$Soluciones de ejemplo: 1 límite maravilloso
Ejemplo 1. Calcula el límite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Solución. El primer paso es siempre el mismo: sustituimos el valor límite $x=0$ en la función y obtenemos:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Hemos obtenido una incertidumbre de la forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, que debe revelarse. Si te fijas bien, el límite original es muy parecido al primero destacable, pero no es el mismo. Nuestra tarea es llevarlo a la similitud. Transformémoslo así: mire la expresión debajo del seno, haga lo mismo en el denominador (en términos relativos, multiplique y divida por $3x$), luego reduzca y simplifique:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Arriba está exactamente el primer límite destacable: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( hizo un reemplazo condicional ) y=3x. $$ Respuesta: $3/8$.
Ejemplo 2. Calcula el límite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Solución. Sustituimos el valor límite $x=0$ en la función y obtenemos:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$
Obtuvimos una incertidumbre de la forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Transformemos el límite usando el primer límite maravilloso (¡tres veces!) en simplificación:
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Respuesta: $9/16$.
Ejemplo 3. Encuentra el límite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Solución.¿Qué pasa si hay una expresión compleja bajo la función trigonométrica? No importa, aquí procedemos de la misma manera. Primero, verifiquemos el tipo de incertidumbre, sustituyamos $x=0$ en la función y obtenemos:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Obtuvimos una incertidumbre de la forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Multiplica y divide por $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \izquierda[\frac(0)(0)\derecha] = $$
Nuevamente tenemos incertidumbre, pero en este caso es sólo una fracción. Reduzcamos el numerador y el denominador en $x$:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ fracción(3)(5). $$
Respuesta: $3/5$.
Segundo límite maravilloso
El segundo límite notable se escribe de la siguiente manera (incertidumbre de la forma $1^\infty$):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(o) \quad \lim\limits_( x\a 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$
Consecuencias del segundo límite destacable
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\a 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$Ejemplos de soluciones: 2 límite maravilloso
Ejemplo 4. Encuentra el límite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Solución. Comprobemos el tipo de incertidumbre, sustituyamos $x=\infty$ en la función y obtenemos:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Obtuvimos una incertidumbre de la forma $\left$. El límite puede reducirse a la segunda cosa destacable. Transformemos:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
La expresión entre paréntesis es en realidad el segundo límite notable $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t= - 3x/2$, entonces
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Respuesta:$e^(-2/3)$.
Ejemplo 5. Encuentra el límite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ ps
Solución. Sustituimos $x=\infty$ en la función y obtenemos una incertidumbre de la forma $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Y necesitamos $\left$. Entonces, comencemos transformando la expresión entre paréntesis:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) =$$
La expresión entre paréntesis es en realidad el segundo límite notable $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, por lo tanto
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Este artículo: “El segundo límite notable” está dedicado a la divulgación dentro de los límites de incertidumbres de la forma:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ y $ ^\infty $.
Además, tales incertidumbres pueden revelarse utilizando logaritmos exponenciales. función de potencia, pero este es un método de solución diferente, que se tratará en otro artículo.
Fórmula y consecuencias
Fórmula el segundo límite notable se escribe de la siguiente manera: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( donde ) e \approx 2.718 $$
Se deduce de la fórmula consecuencias, que son muy convenientes para resolver ejemplos con límites: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( donde ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Vale la pena señalar que el segundo límite notable no siempre se puede aplicar a una función exponencial, sino solo en los casos en que la base tiende a la unidad. Para hacer esto, primero calcule mentalmente el límite de la base y luego saque conclusiones. Todo esto se discutirá en soluciones de ejemplo.
Ejemplos de soluciones
Veamos ejemplos de soluciones usando la fórmula directa y sus consecuencias. También analizaremos casos en los que la fórmula no es necesaria. Basta con escribir sólo una respuesta preparada.
| Ejemplo 1 |
| Encuentra el límite $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Solución |
|
Sustituyamos el infinito en el límite y observemos la incertidumbre: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Encontremos el límite de la base: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Hemos obtenido una base igual a uno, lo que significa que ya podemos aplicar el segundo límite destacable. Para ello, ajustemos la base de la función a la fórmula restando y sumando uno: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ grande(1 + \frac(1)(x+3) \grande)^(x+3) = $$ Veamos el segundo corolario y escribamos la respuesta: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proveeremos solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna! |
| Respuesta |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Ejemplo 4 |
| Resuelve el límite $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Solución |
|
Encontramos el límite de la base y vemos que $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, lo que significa que podemos aplicar el segundo límite destacable. Según el plan estándar, sumamos y restamos uno a la base del título: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Ajustamos la fracción a la fórmula de la 2ª nota. límite: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Ahora ajustemos el grado. La potencia debe contener una fracción igual al denominador de la base $ \frac(3x^2-2)(6) $. Para ello multiplica y divide el grado por él, y continúa resolviendo: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ El límite ubicado en la potencia en $ e $ es igual a: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Por tanto, continuando con la solución tenemos: |
| Respuesta |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Examinemos casos en los que el problema es similar al segundo límite notable, pero puede resolverse sin él.
En el artículo: “El segundo límite notable: ejemplos de soluciones” se analizó la fórmula, sus consecuencias y se dieron tipos de problemas comunes sobre este tema.
La fórmula para el segundo límite notable es lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Otra forma de escritura se ve así: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Cuando hablamos del segundo límite notable, tenemos que lidiar con una incertidumbre de la forma 1 ∞, es decir unidad en grado infinito.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Consideremos problemas en los que será útil la capacidad de calcular el segundo límite notable.
Ejemplo 1
Encuentra el límite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Solución
sustituyamos la fórmula requerida y realizar los cálculos.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Nuestra respuesta resultó ser elevada al poder del infinito. Para determinar el método de solución utilizamos la tabla de incertidumbre. Elijamos el segundo límite destacable y hagamos un cambio de variables.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Si x → ∞, entonces t → - ∞.
Veamos qué obtuvimos después del reemplazo:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Respuesta: lím x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = mi - 1 2 .
Ejemplo 2
Calcula el límite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Solución
Sustituyamos el infinito y obtenemos lo siguiente.
lím x → ∞ x - 1 x + 1 x = lím x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
En la respuesta obtuvimos nuevamente lo mismo que en el problema anterior, por lo tanto, podemos usar nuevamente el segundo límite destacable. A continuación, debemos seleccionar la parte completa en la base de la función de potencia:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Después de esto, el límite adopta la siguiente forma:
lím x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lím x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Reemplazar variables. Supongamos que t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; si x → ∞, entonces t → ∞.
Después de eso, anotamos lo que obtuvimos en el límite original:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = mi - 2
Para realizar esta transformación, utilizamos las propiedades básicas de límites y potencias.
Respuesta: lím x → ∞ x - 1 x + 1 x = mi - 2 .
Ejemplo 3
Calcula el límite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Solución
lím x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lím x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Después de eso, necesitamos transformar la función para aplicar el segundo gran límite. Obtuvimos lo siguiente:
lím x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lím x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Como ahora tenemos los mismos exponentes en el numerador y denominador de la fracción (igual a seis), el límite de la fracción en el infinito será igual a la relación de estos coeficientes en potencias superiores.
lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lím x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Sustituyendo t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 obtenemos un segundo límite notable. Significa qué:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Respuesta: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
conclusiones
Incertidumbre 1 ∞, es decir la unidad elevada a una potencia infinita es una incertidumbre de ley de potencia, por lo tanto, se puede revelar utilizando las reglas para encontrar los límites de funciones de potencia exponenciales.
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Hay varios límites notables, pero los más famosos son el primer y segundo límites notables. Lo destacable de estos límites es que son muy utilizados y con su ayuda puedes encontrar otros límites que se encuentran en numerosas tareas. Esto es lo que haremos en la parte práctica de esta lección. Para resolver problemas reduciéndolos al primer o segundo límite notable, no es necesario revelar las incertidumbres contenidas en ellos, ya que los valores de estos límites han sido deducidos durante mucho tiempo por grandes matemáticos.
El primer límite maravilloso. Se llama límite de la relación del seno de un arco infinitesimal al mismo arco, expresado en medida en radianes:
Pasemos a resolver problemas en el primer límite destacable. Nota: si hay una función trigonométrica debajo del signo de límite, este es un signo casi seguro de que esta expresión se puede reducir al primer límite destacable.
Ejemplo 1. Encuentra el límite.
Solución. Sustitución en lugar X cero conduce a la incertidumbre:
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El denominador es seno, por tanto, la expresión se puede llevar al primer límite notable. Comencemos la transformación:
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El denominador es el seno de tres X, pero el numerador tiene solo una X, lo que significa que necesitas obtener tres X en el numerador. ¿Para qué? para presentar 3 X = a y obtener la expresión.
Y llegamos a una variación del primer límite destacable:
porque no importa qué letra (variable) en esta fórmula esté en lugar de X.
Multiplicamos X por tres e inmediatamente dividimos:
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De acuerdo con el primer límite notable observado, reemplazamos la expresión fraccionaria:
Ahora finalmente podemos resolver este límite:
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Ejemplo 2. Encuentra el límite.
Solución. La sustitución directa nuevamente conduce a la incertidumbre de “cero dividido por cero”:
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Para obtener el primer límite notable, es necesario que la x bajo el signo del seno en el numerador y solo la x en el denominador tengan el mismo coeficiente. Sea este coeficiente igual a 2. Para hacer esto, imagine el coeficiente actual para x como se muestra a continuación, realizando operaciones con fracciones, obtenemos:
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Ejemplo 3. Encuentra el límite.
Solución. Al sustituir, obtenemos nuevamente la incertidumbre “cero dividido por cero”:
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Probablemente ya entiendas que a partir de la expresión original puedes obtener el primer límite maravilloso multiplicado por el primer límite maravilloso. Para hacer esto, descomponemos los cuadrados de x en el numerador y el seno en el denominador en factores idénticos, y para obtener los mismos coeficientes para x y seno, dividimos x en el numerador por 3 e inmediatamente multiplicamos por 3. Obtenemos:
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Ejemplo 4. Encuentra el límite.
Solución. Una vez más obtenemos la incertidumbre “cero dividido por cero”:
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Podemos obtener la relación de los dos primeros límites notables. Dividimos tanto el numerador como el denominador por x. Luego, para que coincidan los coeficientes de los senos y las x, multiplicamos la x superior por 2 e inmediatamente la dividimos por 2, y multiplicamos la x inferior por 3 e inmediatamente la dividimos por 3. Obtenemos:
Ejemplo 5. Encuentra el límite.
Solución. Y nuevamente la incertidumbre del “cero dividido por cero”:
Recordamos de la trigonometría que la tangente es la relación entre el seno y el coseno, y el coseno de cero es igual a uno. Realizamos las transformaciones y obtenemos:
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Ejemplo 6. Encuentra el límite.
Solución. La función trigonométrica bajo el signo de un límite sugiere nuevamente el uso del primer límite destacable. Lo representamos como la relación entre seno y coseno.
