El desarrollo de la superficie de un cono es una figura plana que se obtiene combinando la superficie lateral y la base del cono con un plano determinado.
Opciones para construir un barrido:
Desarrollo de un cono circular recto.
El desarrollo de la superficie lateral de un cono circular recto es un sector circular cuyo radio es igual a la longitud de la generatriz de la superficie cónica l, y el ángulo central φ está determinado por la fórmula φ=360*R/ l, donde R es el radio del círculo de la base del cono.
En una serie de problemas de geometría descriptiva, la solución preferida es aproximar (reemplazar) un cono con una pirámide inscrita en él y construir un desarrollo aproximado, sobre el cual conviene dibujar líneas que se encuentran en la superficie cónica.
Algoritmo de construcción
- Encajamos una pirámide poligonal en una superficie cónica. Cuantas más caras laterales tenga una pirámide inscrita, más precisa será la correspondencia entre el desarrollo real y el aproximado.
- Construimos el desarrollo de la superficie lateral de la pirámide utilizando el método del triángulo. Conectamos los puntos pertenecientes a la base del cono con una curva suave.
Ejemplo
En la figura siguiente, una pirámide hexagonal regular SABCDEF está inscrita en un cono circular recto, y el desarrollo aproximado de su superficie lateral consta de seis triángulos isósceles, las caras de la pirámide.
Considere el triángulo S 0 A 0 B 0 . Las longitudes de sus lados S 0 A 0 y S 0 B 0 son iguales a la generatriz l de la superficie cónica. El valor A 0 B 0 corresponde a la longitud A’B’. Para construir un triángulo S 0 A 0 B 0 en un lugar arbitrario del dibujo, trazamos el segmento S 0 A 0 =l, después de lo cual desde los puntos S 0 y A 0 dibujamos círculos con radio S 0 B 0 =l y A 0 B 0 = A'B' respectivamente. Conectamos el punto de intersección de los círculos B 0 con los puntos A 0 y S 0.
Construimos las caras S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 de la pirámide SABCDEF de manera similar al triángulo S 0 A 0 B 0 .
Los puntos A, B, C, D, E y F, que se encuentran en la base del cono, están conectados por una curva suave: un arco de círculo, cuyo radio es igual a l.
Desarrollo de cono inclinado
Consideremos el procedimiento para construir un escaneo de la superficie lateral de un cono inclinado utilizando el método de aproximación (aproximación).
Algoritmo
- En el círculo de la base del cono inscribimos el hexágono 123456. Conectamos los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 con el vértice S. La pirámide S123456 así construida, con un cierto grado de aproximación es sustituye a la superficie cónica y se utiliza como tal en otras construcciones.
- Determinamos los valores naturales de las aristas de la pirámide mediante el método de rotación alrededor de la línea de proyección: en el ejemplo se utiliza el eje i, perpendicular al plano de proyección horizontal y que pasa por el vértice S.
Así, como resultado de la rotación del borde S5, su nueva proyección horizontal S'5' 1 toma una posición paralela al plano frontal π 2. En consecuencia, S''5'' 1 es el tamaño real de S5. - Construimos un escaneo de la superficie lateral de la pirámide S123456, que consta de seis triángulos: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . La construcción de cada triángulo se realiza por tres lados. Por ejemplo, △S 0 1 0 6 0 tiene una longitud S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6'' 1 , 1 0 6 0 =1’6’.
El grado en que el desarrollo aproximado corresponde al real depende del número de caras de la pirámide inscrita. El número de caras se elige en función de la facilidad de lectura del dibujo, los requisitos para su precisión, la presencia de puntos y líneas características que deben transferirse al desarrollo.
Transferir una línea desde la superficie de un cono a un desarrollo.
La línea n que se encuentra en la superficie del cono se forma como resultado de su intersección con un determinado plano (figura siguiente). Consideremos el algoritmo para construir la línea n en un escaneo.
Algoritmo
- Encontramos las proyecciones de los puntos A, B y C en los que la línea n corta las aristas de la pirámide S123456 inscrita en el cono.
- Determinamos el tamaño natural de los segmentos SA, SB, SC girando alrededor de la línea recta que sobresale. En el ejemplo considerado, SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
- Encontramos la posición de los puntos A 0 , B 0 , C 0 en las aristas correspondientes de la pirámide, trazando en el escaneo los segmentos S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' ' 1, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
- Conectamos los puntos A 0 , B 0 , C 0 con una línea suave.
Desarrollo de un cono truncado.
El método que se describe a continuación para construir el desarrollo de un cono truncado circular recto se basa en el principio de similitud.
Entre la variedad de cuerpos geométricos, uno de los más interesantes es el cono. Se forma girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Cómo encontrar el volumen de un cono - conceptos básicos
Antes de empezar a calcular el volumen de un cono, conviene familiarizarse con los conceptos básicos.
- Cono circular: la base de dicho cono es un círculo. Si la base es una elipse, parábola o hipérbola, entonces la figura se llama cono elíptico, parabólico o hiperbólico. Vale recordar que los dos últimos tipos de conos tienen un volumen infinito.
- Un cono truncado es la parte de un cono situada entre la base y un plano paralelo a esta base, situado entre la parte superior y la base.
- La altura es un segmento perpendicular a la base extendido desde arriba.
- La generatriz de un cono es un segmento que conecta el límite de la base y la cima.
Volumen del cono
Para calcular el volumen de un cono, use la fórmula V=1/3*S*H, donde S es el área de la base, H es la altura. Dado que la base del cono es un círculo, su área se encuentra mediante la fórmula S = nR^2, donde n = 3,14, R es el radio del círculo.
Existe una situación en la que se desconocen algunos de los parámetros: altura, radio o generatriz. En este caso, conviene recurrir al teorema de Pitágoras. La sección axial del cono es un triángulo isósceles, que consta de dos triángulos rectángulos, donde l es la hipotenusa y H y R son los catetos. Entonces l=(H^2+R^2)^1/2.
Volumen de un cono truncado
Un cono truncado es un cono con la parte superior cortada.
Para encontrar el volumen de dicho cono necesitarás la fórmula:
V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),
donde n=3,14, r – radio del círculo de la sección transversal, R – radio de la base grande, H – altura.
La sección axial del cono truncado será un trapezoide isósceles. Por lo tanto, si necesitas encontrar la longitud de la generatriz de un cono o el radio de uno de los círculos, debes usar fórmulas para encontrar los lados y las bases de un trapezoide.
Calcula el volumen de un cono si su altura es de 8 cm y su radio de base es de 3 cm.
Dado: H=8 cm, R=3 cm.
Primero, encontremos el área de la base usando la fórmula S=nR^2.
S=3,14*3^2=28,26cm^2
Ahora, usando la fórmula V=1/3*S*H, encontramos el volumen del cono.
V=1/3*28,26*8=75,36cm^3
Las figuras en forma de cono se encuentran por todas partes: conos de estacionamiento, torres de edificios, pantallas de lámparas. Por tanto, saber encontrar el volumen de un cono en ocasiones puede resultar útil tanto en la vida profesional como en la cotidiana.
En lugar de la palabra "patrón", a veces se utiliza "escariador", pero este término es ambiguo: por ejemplo, un escariador es una herramienta para aumentar el diámetro de un agujero, y en la tecnología electrónica existe el concepto de escariador. Por lo tanto, aunque estoy obligado a utilizar las palabras “desarrollo de conos” para que los motores de búsqueda puedan encontrar este artículo usándolas, utilizaré la palabra “patrón”.
Crear un patrón para un cono es una cuestión sencilla. Consideremos dos casos: para un cono lleno y para uno truncado. En la foto (Click para agrandar) Se muestran bocetos de dichos conos y sus patrones. (Debo señalar de inmediato que solo hablaremos de conos rectos con base redonda. Consideraremos conos con base ovalada y conos inclinados en los siguientes artículos).
1. cono lleno
Designaciones:
Los parámetros del patrón se calculan mediante las fórmulas:
;
;
Dónde 
.
2. cono truncado
Designaciones:
Fórmulas para calcular los parámetros del patrón: 
;
;
;
Dónde 
.
Tenga en cuenta que estas fórmulas también son adecuadas para un cono lleno si sustituimos .
A veces, a la hora de construir un cono, el valor del ángulo en su vértice (o en el vértice imaginario, si el cono está truncado) es fundamental. El ejemplo más simple es cuando necesitas que un cono encaje perfectamente dentro de otro. Denotemos este ángulo con una letra (ver imagen).
En este caso, podemos usarlo en lugar de uno de tres valores de entrada: o. ¿Por qué "juntos oh", no juntos mi"? Porque para construir un cono bastan tres parámetros, y el valor del cuarto se calcula a través de los valores de los otros tres. Por qué exactamente tres, y no dos o cuatro, es una cuestión que escapa al alcance de este artículo. Una voz misteriosa me dice que esto está relacionado de alguna manera con la tridimensionalidad del objeto “cono”. (Compárese con los dos parámetros iniciales del objeto bidimensional “segmento de círculo”, a partir del cual calculamos todos sus demás parámetros en el artículo).
A continuación se muestran las fórmulas mediante las cuales se determina el cuarto parámetro del cono cuando se dan tres.
4. Métodos de construcción de patrones.
- Calcula los valores en una calculadora y construye un patrón en papel (o directamente en metal) usando un compás, una regla y un transportador.
- Ingrese fórmulas y datos de origen en una hoja de cálculo (por ejemplo, Microsoft Excel). Utilice el resultado obtenido para crear un patrón utilizando un editor gráfico (por ejemplo, CorelDRAW).
- Utilice mi programa, que dibujará en la pantalla e imprimirá un patrón para un cono con los parámetros dados. Este patrón se puede guardar como un archivo vectorial e importar a CorelDRAW.
5. Bases no paralelas
En cuanto a los conos truncados, el programa Cones actualmente crea patrones para conos que solo tienen bases paralelas.
Para aquellos que buscan una manera de construir un patrón para un cono truncado con bases no paralelas, aquí hay un enlace proporcionado por uno de los visitantes del sitio:
Un cono truncado con bases no paralelas.
En geometría, un cono truncado es un cuerpo que se forma girando un trapezoide rectangular alrededor del lado del mismo que es perpendicular a la base. Como calcular volumen de un cono truncado, todo el mundo lo sabe gracias a un curso de geometría escolar y, en la práctica, este conocimiento lo utilizan a menudo los diseñadores de diversas máquinas y mecanismos, los desarrolladores de algunos bienes de consumo y los arquitectos.
Cálculo del volumen de un cono truncado.
Fórmula para calcular el volumen de un cono truncado.
El volumen de un cono truncado se calcula mediante la fórmula:
| V | πh (R 2 + R × r + r 2) |
h- altura del cono
r- radio de la base superior
R- radio de la base inferior
V- volumen de un cono truncado
π - 3,14
Con cuerpos geométricos como conos truncados, en la vida cotidiana todo el mundo choca con bastante frecuencia, si no constantemente. Tienen forma de una gran variedad de recipientes muy utilizados en la vida cotidiana: cubos, vasos, algunas tazas. No hace falta decir que los diseñadores que los desarrollaron probablemente utilizaron la fórmula mediante la cual se calcula volumen de un cono truncado, ya que este valor es muy importante en este caso, porque determina una característica tan importante como es la capacidad del producto.
Estructuras de ingeniería que representan. conos truncados, a menudo se puede ver en grandes empresas industriales, así como en centrales térmicas y nucleares. Esta es exactamente la forma de las torres de refrigeración: dispositivos diseñados para enfriar grandes volúmenes de agua forzando un contraflujo de aire atmosférico. Muy a menudo, estos diseños se utilizan en los casos en que es necesario reducir significativamente la temperatura de una gran cantidad de líquido en poco tiempo. Los desarrolladores de estas estructuras deben determinar volumen de un cono truncado la fórmula para calcular que es bastante simple y conocida por todos aquellos que alguna vez estudiaron bien en la escuela secundaria.
Las piezas que tienen esta forma geométrica se encuentran con bastante frecuencia en el diseño de diversos dispositivos técnicos. Por ejemplo, las transmisiones por engranajes utilizadas en sistemas donde es necesario cambiar la dirección de la transmisión cinética se implementan con mayor frecuencia mediante engranajes cónicos. Estas piezas son parte integral de una amplia variedad de cajas de cambios, así como de cajas de cambios automáticas y manuales utilizadas en los automóviles modernos.
Algunas herramientas de corte muy utilizadas en la producción, como las fresas, tienen forma de cono truncado. Con su ayuda, puede procesar superficies inclinadas en un cierto ángulo. Para afilar los cortadores de equipos para trabajar metales y madera, a menudo se utilizan muelas abrasivas, que también son conos truncados. Además, volumen de un cono truncado Es necesario que los diseñadores de tornos y fresadoras determinen qué herramientas de corte implican la fijación equipadas con mangos cónicos (brocas, escariadores, etc.).
Definición de cono truncado
Se puede obtener un cono truncado a partir de un cono regular cortando dicho cono con un plano paralelo a la base. Entonces la figura que se ubica entre dos planos (este plano y la base de un cono ordinario) se llamará cono truncado.
Él tiene dos bases, que para un cono circular son círculos, y uno de ellos es más grande que el otro. Además, un cono truncado tiene altura- un segmento que conecta dos bases y es perpendicular a cada una de ellas.
Calculadora online
Un cono truncado puede ser directo, luego el centro de una base se proyecta hacia el centro de la segunda. si el cono inclinado, entonces dicha proyección no se lleva a cabo.
Considere un cono circular recto. El volumen de una figura determinada se puede calcular de varias formas.
Fórmula para el volumen de un cono truncado utilizando los radios de las bases y la distancia entre ellas.
Si nos dan un cono truncado circular, entonces podemos encontrar su volumen usando la fórmula:
Volumen de un cono truncadoV = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V=3 1 ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2 )
R 1, r 2 r_1, r_2 r 1
,
r 2
- radios de las bases del cono;
S.S h- la distancia entre estas bases (la altura del cono truncado).
Veamos un ejemplo.
Problema 1Calcula el volumen de un cono truncado si se sabe que el área de la base pequeña es igual a 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 π cm2 , grande - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 π cm2 , y su altura es igual a 14 cm 14\texto( cm) 1 4 cm.
Solución
S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1
=
6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2
=
1 6 9 π
h = 14 h = 14 h =1
4
Encontremos el radio de la base pequeña:
S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 = π ⋅ r 1 2
64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2
64 = r 1 2 64 = r_1^2 6 4 = r 1 2
R 1 = 8 r_1 = 8 r 1 = 8
Asimismo, para una base grande:
S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 = π ⋅ r 2 2
169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ r 2 2
169 = r 2 2 169 = r_2^2 1 6 9 = r 2 2
R 2 = 13 r_2 = 13 r 2 = 1 3
Calculemos el volumen del cono:
V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\aprox4938\text(cm)^3V=3 1 ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2 ) = 3 1 ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3
Respuesta
4938cm3. 4938\texto(cm)^3.4 9 3 8 cm3 .
Fórmula para el volumen de un cono truncado usando las áreas de las bases y su distancia al vértice
Tengamos un cono truncado. Agreguémosle mentalmente la pieza que falta, convirtiéndolo así en un "cono normal" con tapa. Entonces, el volumen de un cono truncado se puede encontrar como la diferencia entre los volúmenes de dos conos con sus bases correspondientes y su distancia (altura) hasta la parte superior del cono.
Volumen de un cono truncadoV = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V=3 1 ⋅ S⋅H-3 1 ⋅ s⋅h =3 1 ⋅ (S⋅H-s⋅h)
S S S- área de la base del cono grande;
S.S h- la altura de este (grande) cono;
s s s- área de la base del cono pequeño;
S.S h- la altura de este (pequeño) cono;
Determine el volumen de un cono truncado si la altura del cono lleno es S.S h igual a 10 cm 10\texto( cm)
Solución
R=5 R=5
Encuentra el área de ambas bases del cono:
S = π ⋅ R 2 = π ⋅ 5 2 ≈ 78.5 S=\pi\cdot R^2=\pi\cdot 5^2\approx78.5
s = π ⋅ r 2 = π ⋅ 4 2 ≈ 50.24 s=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 4^2\approx50.24
Encuentra la altura del cono pequeño. S.S
H − h = 8 H-h=8
h = H − 8 h=H-8
h = 10 − 8 h = 10-8
h = 2 h = 2
El volumen es igual a la fórmula:
V = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) ≈ 1 3 ⋅ (78.5 ⋅ 10 − 50.24 ⋅ 2) ≈ 228 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\aprox\frac(1)(3)\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\aprox228\text( cm)^3
Respuesta
228cm3. 228\texto(cm)^3.
