Fracción propia. Fracción: ¿qué es? Tipos de fracciones

fracción adecuada

Cuarteles

Orden. a Y b existe una regla que permite identificar de forma única una y sólo una de tres relaciones entre ellos: “< », « >" o " = ". Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos a Y b están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente a no negativo, pero b- negativo, entonces a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Sumar fracciones
Operación de suma. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de suma C. Además, el número mismo C llamado cantidad números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma. La regla de suma tiene la siguiente forma: .
Operación de multiplicación. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de multiplicación, que les asigna algún número racional C. Además, el número mismo C llamado trabajar números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación. La regla de multiplicación se ve así: .
Transitividad de la relación de orden. Para cualquier triple de números racionales a , b Y C Si a menos b Y b menos C, Eso a menos C, y si a es igual b Y b es igual C, Eso a es igual C. 6435">Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
Presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
La presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto, que al sumarlo da 0.
Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.
Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
Disponibilidad de unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
Presencia de números recíprocos. Todo número racional tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
Distributividad de la multiplicación respecto de la suma. La operación de multiplicación se coordina con la operación de suma mediante la ley de distribución:
Conexión de la relación de orden con la operación de suma. A las partes izquierda y derecha desigualdad racional puedes sumar el mismo número racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, puedes tomar tantas unidades que su suma exceda a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se distinguen como básicas porque, en general, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse basándose en las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. . Semejante propiedades adicionales Tantos. Tiene sentido enumerar aquí sólo algunos de ellos.

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Contabilidad de un conjunto

Numeración de números racionales

Para estimar el número de números racionales, es necesario encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales.

El más simple de estos algoritmos se ve así. Se compila una tabla interminable de fracciones ordinarias, en cada una i-ésima línea en cada j la columna en la que se encuentra la fracción. Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas comenzando desde uno. Las celdas de la tabla se indican con , donde i- el número de la fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y j- número de columna.

La tabla resultante se recorre utilizando una “serpiente” según el siguiente algoritmo formal.

Estas reglas se buscan de arriba a abajo y se selecciona la siguiente posición en función de la primera coincidencia.

En el proceso de tal recorrido, cada nuevo número racional se asocia con otro número natural. Es decir, la fracción 1/1 se asigna al número 1, la fracción 2/1 al número 2, etc. Cabe señalar que solo se numeran las fracciones irreducibles. Un signo formal de irreductibilidad es que el máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción es igual a uno.

Siguiendo este algoritmo, podemos enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de los números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos simplemente asignando a cada número racional su opuesto. Eso. el conjunto de los números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable mediante la propiedad de conjuntos contables. El conjunto de los números racionales también es contable como la unión de un conjunto contable con uno finito.

La afirmación sobre la contabilización del conjunto de los números racionales puede causar cierta confusión, ya que a primera vista parece que es mucho más extenso que el conjunto de los números naturales. De hecho, esto no es así y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.

Falta de números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no puede expresarse mediante ninguna número racional

Números racionales de la forma 1 / norte en general norte Se pueden medir cantidades arbitrariamente pequeñas. Este hecho crea la impresión engañosa de que los números racionales se pueden utilizar para medir cualquier distancia geométrica. Es fácil demostrar que esto no es cierto.

Por el teorema de Pitágoras sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo se expresa como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus catetos. Eso. la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con un cateto unitario es igual a , es decir, el número cuyo cuadrado es 2.

Si asumimos que un número puede representarse por algún número racional, entonces existe tal número entero metro y un numero tan natural norte, eso , y la fracción es irreducible, es decir, números metro Y norte- mutuamente simples.

Si entonces , es decir. metro 2 = 2norte 2. Por lo tanto, el número metro 2 es par, pero el producto de dos números impares es impar, lo que significa que el número en sí metro también incluso. entonces hay un numero natural k, tal que el número metro se puede representar en la forma metro = 2k. Cuadrado numérico metro En este sentido metro 2 = 4k 2, pero por otro lado metro 2 = 2norte 2 significa 4 k 2 = 2norte 2, o norte 2 = 2k 2. Como se mostró anteriormente para el número metro, esto significa que el número norte- incluso como metro. Pero entonces no son primos relativos, ya que ambos son bisecados. La contradicción resultante demuestra que no es un número racional.

Las reglas y técnicas matemáticas simples, si no se utilizan constantemente, se olvidan más rápidamente. Los términos desaparecen de la memoria aún más rápido.

Uno de estos acciones simples– la transformación no es fracción adecuada en el correcto o, en otras palabras, mixto.

Fracción impropia

Una fracción impropia es aquella en la que el numerador (el número que está encima de la línea) es mayor o igual que el denominador (el número que está debajo de la línea). Esta fracción se obtiene sumando fracciones o multiplicando una fracción por un número entero. Según las reglas de las matemáticas, dicha fracción debe convertirse en una fracción propia.

fracción adecuada

Es lógico suponer que todas las demás fracciones se llaman propias. Una definición estricta es que una fracción cuyo numerador es menor que su denominador se llama propia. Una fracción que tiene una parte entera a veces se llama fracción mixta.

Convertir una fracción impropia en una fracción propia

Primer caso: el numerador y el denominador son iguales entre sí. El resultado de convertir cualquier fracción de este tipo es uno. No importa si son tres tercios o ciento veinticinco ciento veinticinco. Esencialmente, dicha fracción denota la acción de dividir un número por sí mismo.

Segundo caso: el numerador es mayor que el denominador. Aquí debes recordar el método de dividir números con resto.
Para hacer esto, necesita encontrar el número más cercano al valor del numerador, que es divisible por el denominador sin resto. Por ejemplo, tienes la fracción diecinueve tercios. El número más cercano que se puede dividir por tres es dieciocho. Son seis. Ahora resta el número resultante del numerador. Conseguimos uno. Este es el resto. Anota el resultado de la conversión: seis enteros y un tercio.

Pero antes de reducir la fracción a el tipo correcto, debe comprobar si se puede acortar.
Puedes reducir una fracción si el numerador y el denominador tienen un factor común. Es decir, un número por el que ambos son divisibles sin resto. Si hay varios de estos divisores, debes encontrar el más grande.
Por ejemplo, todos los números pares tienen un divisor común: dos. Y la fracción dieciséis doceavos tiene un divisor común más: cuatro. Este es el máximo divisor. Divide el numerador y el denominador entre cuatro. Resultado de la reducción: cuatro tercios. Ahora, como práctica, convierte esta fracción a una fracción propia.

Fracción en matemáticas, un número que consta de una o más partes (fracciones) de una unidad. Las fracciones son parte del campo de los números racionales. Según la forma en que se escriben, las fracciones se dividen en 2 formatos: común tipo y decimal .

Numerador de fracción- un número que muestra el número de acciones tomadas (ubicado en la parte superior de la fracción, encima de la línea). denominador de fracción- un número que muestra en cuántas acciones se divide la unidad (ubicado debajo de la línea - en la parte inferior). , a su vez, se dividen en: correcto Y incorrecto, mezclado Y compuesto están estrechamente relacionados con las unidades de medida. 1 metro contiene 100 cm, lo que significa que 1 m se divide en 100 partes iguales. Así, 1 cm = 1/100 m (un centímetro equivale a una centésima de metro).

o 3/5 (tres quintos), aquí 3 es el numerador, 5 es el denominador. Si el numerador es menor que el denominador, entonces la fracción es menor que uno y se llama correcto:

Si el numerador es igual al denominador, la fracción es igual a uno. Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor que uno. En ambos últimos casos la fracción se llama equivocado:

Para aislar el número entero más grande contenido en una fracción impropia, se divide el numerador por el denominador. Si la división se realiza sin resto, entonces la fracción impropia tomada es igual al cociente:

Si la división se realiza con resto, entonces el cociente (incompleto) da el número entero deseado y el resto se convierte en el numerador de la parte fraccionaria; el denominador de la parte fraccionaria sigue siendo el mismo.

Un número que contiene un número entero y una parte fraccionaria se llama mezclado. Fracción numero mixto tal vez fracción impropia. Luego puedes seleccionar el número entero más grande de la parte fraccionaria y representar el número mixto de tal manera que fracción se convirtió en una fracción propia (o desapareció por completo).

Las fracciones comunes se dividen en fracciones \textit (propias) y \textit (impropias). Esta división se basa en una comparación del numerador y denominador.

fracciones propias

fracción adecuada Se llama fracción ordinaria $\frac(m)(n)$, en la que el numerador es menor que el denominador, es decir millones de dólares

Ejemplo 1

Por ejemplo, las fracciones $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ son correctas , entonces cómo en cada uno de ellos el numerador es menor que el denominador, lo que cumple con la definición de fracción propia.

Existe una definición de fracción propia, que se basa en comparar la fracción con uno.

correcto, si es menor que uno:

Ejemplo 2

Por ejemplo, la fracción común $\frac(6)(13)$ es propia porque se cumple la condición $\frac(6)(13)

fracciones impropias

Fracción impropia Se llama fracción ordinaria $\frac(m)(n)$, en la que el numerador es mayor o igual que el denominador, es decir $m\ge n$.

Ejemplo 3

Por ejemplo, las fracciones $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ son irregulares , entonces cómo en cada uno de ellos el numerador es mayor o igual que el denominador, lo que cumple con la definición de fracción impropia.

Demos una definición de fracción impropia, que se basa en su comparación con una.

La fracción común $\frac(m)(n)$ es equivocado, si es igual o mayor que uno:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Ejemplo 4

Por ejemplo, la fracción común $\frac(21)(4)$ es impropia porque se cumple la condición $\frac(21)(4) >1$;

la fracción común $\frac(8)(8)$ es impropia porque se cumple la condición $\frac(8)(8)=1$.

Echemos un vistazo más de cerca al concepto de fracción impropia.

Tomemos como ejemplo la fracción impropia $\frac(7)(7)$. El significado de esta fracción es tomar siete partes de un objeto, que se divide en siete partes iguales. Así, a partir de las siete acciones disponibles se puede componer todo el objeto. Aquellos. la fracción impropia $\frac(7)(7)$ describe el objeto completo y $\frac(7)(7)=1$. Entonces, las fracciones impropias, en las que el numerador es igual al denominador, describen un objeto completo y dicha fracción puede reemplazarse por el número natural $1$.

$\frac(5)(2)$ -- es bastante obvio que a partir de estas cinco segundas partes puedes formar $2$ objetos completos (un objeto completo estará formado por $2$ partes, y para componer dos objetos completos debes necesita $2+2=4$ acciones) y queda una segunda acción. Es decir, la fracción impropia $\frac(5)(2)$ describe $2$ de un objeto y $\frac(1)(2)$ la parte de este objeto.

$\frac(21)(7)$ - a partir de veintiún séptimos partes puedes hacer $3$ objetos completos ($3$ objetos con $7$ partes en cada uno). Aquellos. la fracción $\frac(21)(7)$ describe $3$ objetos completos.

De los ejemplos considerados, podemos sacar la siguiente conclusión: una fracción impropia se puede reemplazar por un número natural si el numerador es divisible por el denominador (por ejemplo, $\frac(7)(7)=1$ y $\frac (21)(7)=3$) , o la suma de un número natural y una fracción propia, si el numerador no es completamente divisible por el denominador (por ejemplo, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Por eso estas fracciones se llaman equivocado.

Definición 1

El proceso de representar una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción propia (por ejemplo, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) se llama separar la parte entera de una fracción impropia.

Cuando se trabaja con fracciones impropias, existe una estrecha conexión entre ellas y los números mixtos.

Una fracción impropia a menudo se escribe como un número mixto: un número que consta de un número entero y una parte fraccionaria.

Para escribir una fracción impropia como un número mixto, debes dividir el numerador por el denominador con resto. El cociente será la parte entera del número mixto, el resto será el numerador de la parte fraccionaria y el divisor será el denominador de la parte fraccionaria.

Ejemplo 5

Escribe la fracción impropia $\frac(37)(12)$ como un número mixto.

Solución.

Divide el numerador por el denominador con resto:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (resto\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Respuesta.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Para escribir un número mixto como una fracción impropia, debes multiplicar el denominador por la parte entera del número, sumar el numerador de la parte fraccionaria al producto resultante y escribir la cantidad resultante en el numerador de la fracción. El denominador de la fracción impropia será igual al denominador de la parte fraccionaria del número mixto.

Ejemplo 6

Escribe el número mixto $5\frac(3)(7)$ como una fracción impropia.

Solución.

Respuesta.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Sumar números mixtos y fracciones propias

Suma de números mixtos$a\frac(b)(c)$ y fracción propia$\frac(d)(e)$ se realiza sumando a una fracción dada la parte fraccionaria de un número mixto dado:

Ejemplo 7

Suma la fracción propia $\frac(4)(15)$ y el número mixto $3\frac(2)(5)$.

Solución.

Usemos la fórmula para sumar un número mixto y una fracción propia:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ izquierda(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Al dividir por el número \textit(5) podemos determinar que la fracción $\frac(10)(15)$ es reducible. Realicemos la reducción y encontremos el resultado de la suma:

Entonces, el resultado de sumar la fracción propia $\frac(4)(15)$ y el número mixto $3\frac(2)(5)$ es $3\frac(2)(3)$.

Respuesta:$3\frac(2)(3)$

Sumar números mixtos y fracciones impropias

Sumar fracciones impropias y números mixtos se reduce a la suma de dos números mixtos, para lo cual basta con aislar la parte entera de la fracción impropia.

Ejemplo 8

Calcula la suma del número mixto $6\frac(2)(15)$ y la fracción impropia $\frac(13)(5)$.

Solución.

Primero, extraigamos la parte entera de la fracción impropia $\frac(13)(5)$:

Respuesta:$8\frac(11)(15)$.

Fracción impropia

Cuarteles

Orden. a Y b existe una regla que permite identificar de forma única una y sólo una de tres relaciones entre ellos: “< », « >" o " = ". Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos a Y b están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente a no negativo, pero b- negativo, entonces a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Sumar fracciones
Operación de suma. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de suma C. Además, el número mismo C llamado cantidad números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma. La regla de suma tiene la siguiente forma: .
Operación de multiplicación. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de multiplicación, que les asigna algún número racional C. Además, el número mismo C llamado trabajar números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación. La regla de multiplicación se ve así: .
Transitividad de la relación de orden. Para cualquier triple de números racionales a , b Y C Si a menos b Y b menos C, Eso a menos C, y si a es igual b Y b es igual C, Eso a es igual C. 6435">Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
Presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
La presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto, que al sumarlo da 0.
Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.
Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
Disponibilidad de unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
Presencia de números recíprocos. Todo número racional tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
Distributividad de la multiplicación respecto de la suma. La operación de multiplicación se coordina con la operación de suma mediante la ley de distribución:
Conexión de la relación de orden con la operación de suma. Se puede sumar el mismo número racional a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, puedes tomar tantas unidades que su suma exceda a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se distinguen como básicas porque, en general, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse basándose en las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. . Hay muchas propiedades adicionales de este tipo. Tiene sentido enumerar aquí sólo algunos de ellos.

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Contabilidad de un conjunto

Numeración de números racionales

La tabla resultante se recorre utilizando una “serpiente” según el siguiente algoritmo formal.

Estas reglas se buscan de arriba a abajo y se selecciona la siguiente posición en función de la primera coincidencia.

Falta de números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no se puede expresar mediante ningún número racional.