Sea una función y=f(x), X es su dominio de definición, Y es su rango de valores. Sabemos que cada x 0 corresponde a un único valor y 0 =f(x 0), y 0 Y.
Puede resultar que cada y (o su parte 1) también corresponda a un único x de X.
Luego dicen que en la región (o su parte ) la función x=y se define como la función inversa de la función y=f(x).
Por ejemplo:
X 
=(); Y=$
Dado que esta función es decreciente y continua en el intervalo $X$, entonces en el intervalo $Y=$, que también es decreciente y continua en este intervalo (Teorema 1).
Calculemos $x$:
\ \
Seleccione $x$ adecuado:
Respuesta: función inversa $y=-\sqrt(x)$.
Problemas para encontrar funciones inversas.
En esta parte consideraremos funciones inversas para algunas funciones elementales. Resolveremos los problemas según el esquema anterior.
Ejemplo 2
Encuentra la función inversa de la función $y=x+4$
Encontremos $x$ a partir de la ecuación $y=x+4$:
Ejemplo 3
Encuentra la función inversa de la función $y=x^3$
Solución.
Dado que la función es creciente y continua en todo el dominio de definición, entonces, según el Teorema 1, tiene una función inversa continua y creciente.
Encontremos $x$ a partir de la ecuación $y=x^3$:
Encontrar valores adecuados de $x$
El valor es adecuado en nuestro caso (ya que el dominio de definición son todos los números)
Redefinimos las variables, obtenemos que la función inversa tiene la forma
Ejemplo 4
Encuentra la función inversa para la función $y=cosx$ en el intervalo $$
Solución.
Considere la función $y=cosx$ en el conjunto $X=\left$. Es continuo y decreciente en el conjunto $X$ y asigna el conjunto $X=\left$ al conjunto $Y=[-1,1]$, por lo tanto, según el teorema de la existencia de una función monótona continua inversa, la función $y=cosx$ en el conjunto $Y$ hay una función inversa, que también es continua y creciente en el conjunto $Y=[-1,1]$ y mapea el conjunto $[-1,1]$ al conjunto $\left$.
Encontremos $x$ a partir de la ecuación $y=cosx$:
Encontrar valores adecuados de $x$
Redefinimos las variables, obtenemos que la función inversa tiene la forma
Ejemplo 5
Encuentra la función inversa para la función $y=tgx$ en el intervalo $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
Solución.
Considere la función $y=tgx$ en el conjunto $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Es continuo y creciente en el conjunto $X$ y asigna el conjunto $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ al conjunto $Y =R$, por lo tanto, por el teorema sobre la existencia de una función monótona continua inversa, la función $y=tgx$ en el conjunto $Y$ tiene una función inversa, que también es continua y creciente en el conjunto $Y=R $ y asigna el conjunto $R$ al conjunto $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
Encontremos $x$ a partir de la ecuación $y=tgx$:
Encontrar valores adecuados de $x$
Redefinimos las variables, obtenemos que la función inversa tiene la forma
¿Qué es una función inversa? ¿Cómo encontrar la inversa de una función dada?
Definición .
Sea la función y=f(x) definida en el conjunto D, y E sea el conjunto de sus valores. Función inversa con respecto a la función y=f(x) es una función x=g(y), que se define en el conjunto E y asigna a cada y∈E un valor x∈D tal que f(x)=y.
Así, el dominio de definición de la función y=f(x) es el dominio de valores de su función inversa, y el dominio de valores y=f(x) es el dominio de definición de la función inversa.
Para encontrar la función inversa de una función dada y=f(x), necesitas :
1) En la fórmula de la función, sustituya x en lugar de y, y y en lugar de x:
2) De la igualdad resultante, expresa y hasta x:
Encuentra la función inversa de la función y=2x-6.
Las funciones y=2x-6 e y=0.5x+3 son mutuamente inversas.
Las gráficas de las funciones directa e inversa son simétricas con respecto a la recta y=x(bisectrices de los cuartos de coordenadas I y III).
y=2x-6 y y=0.5x+3 - . La gráfica de una función lineal es. Para construir una línea recta, toma dos puntos.
Es posible expresar y sin ambigüedades en términos de x en el caso en que la ecuación x=f(y) tenga una solución única. Esto se puede hacer si la función y=f(x) toma cada uno de sus valores en un solo punto en su dominio de definición (dicha función se llama reversible).
Teorema (condición necesaria y suficiente para la invertibilidad de una función)
Si la función y=f(x) está definida y es continua en un intervalo numérico, entonces para que la función sea invertible es necesario y suficiente que f(x) sea estrictamente monótona.
Además, si y=f(x) aumenta en un intervalo, entonces la función inversa también aumenta en este intervalo; si y=f(x) disminuye, entonces la función inversa disminuye.
Si la condición de reversibilidad no se cumple en todo el dominio de definición, puede seleccionar un intervalo donde la función solo aumenta o solo disminuye, y en este intervalo encontrar la función inversa a la dada.
Un ejemplo clásico es. Entre)
