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Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia
Sujeto: Fractales- especialobjetosvivoYsin vidapaz
Jabárovsk TOGU 2015
- Tabla de contenido
- fractal geométrico gráficos fractales
- Historia de los fractales
- Clasificación de fractales
- Fractales geométricos
- Fractales algebraicos
- Aplicación de fractales
- Fractales y el mundo que nos rodea.
- gráficos fractales
- Aplicación de fractales
- Ciencias Naturales
- ingeniería de radio
- Ciencias de la Computación
- Economía y Finanzas
Historia de los fractales
Muy a menudo nos encontramos con objetos especiales, pero pocas personas saben que se trata de fractales. Los fractales son objetos únicos generados por los movimientos impredecibles del mundo caótico. Se encuentran tanto en objetos pequeños, como la membrana celular, como en objetos grandes, como el Sistema Solar y la Galaxia. En la vida cotidiana, podemos ver fractales en el papel tapiz, en la tela, en el protector de pantalla de una computadora y en la naturaleza: plantas, animales marinos y fenómenos naturales.
Los fractales han fascinado a los científicos desde la antigüedad, y a los programadores y especialistas en infografía también les encantan estos objetos. El descubrimiento de los fractales supuso una revolución en la percepción humana del mundo y el descubrimiento de una nueva estética del arte y la ciencia.
¿Qué son entonces los fractales? fractales- una figura geométrica que tiene la propiedad de autosemejanza, es decir, compuesta de varias partes, cada una de las cuales es similar a la figura en su conjunto.
El término fractal fue propuesto en 1975. Benoit Mandelbrot para designar las estructuras irregulares y autosemejantes que le interesaban. El nacimiento de la geometría fractal es la publicación de su libro “La geometría fractal de la naturaleza” en 1977. Su trabajo se basó en los trabajos de los científicos Poincaré, Fatou, Julia, Cantor y Hausdorff, que trabajaron en 1875? 1925 en la misma zona. Pero sólo en nuestros días pudieron combinar su trabajo en un solo sistema.
¿El concepto de “fractal” se deriva del latín “fractus”? formado por fragmentos. Una de las definiciones es: “Un fractal es una estructura que consta de partes que, en algún sentido, son similares al todo”.
Benoit Mandelbrot en sus obras dio ejemplos vívidos del uso de fractales para explicar algunos fenómenos naturales. Prestó gran atención a una propiedad interesante que tienen muchos fractales. El hecho es que a menudo un fractal se puede dividir en partes arbitrariamente pequeñas, de modo que cada parte resulta ser simplemente una copia reducida del todo. En otras palabras, si miramos un fractal a través de un microscopio, nos sorprenderá ver la misma imagen que sin microscopio. Esta propiedad de autosemejanza distingue claramente a los fractales de los objetos de la geometría clásica.
Para los científicos modernos, ¿estudiar fractales? no sólo una nueva área de conocimiento. Se trata del descubrimiento de un nuevo tipo de geometría que describe el mundo que nos rodea y que se puede ver no sólo en los libros de texto, sino también en la naturaleza y en el Universo ilimitado. Ahora, Mandelbrot y otros científicos han ampliado el campo de la geometría fractal para que pueda aplicarse a casi todo en el mundo, desde predecir los precios del mercado de valores hasta hacer nuevos descubrimientos en física teórica.
Clasificación de fractales
Existen diferentes clasificaciones de fractales.
La principal clasificación de los fractales es la división en geométricos y algebraicos.
Los fractales geométricos tienen una autosimilitud exacta y los fractales algebraicos tienen una autosemejanza aproximada.
También existe una división en fractales naturales y artificiales.
Los fractales creados por el hombre incluyen aquellos que fueron inventados por científicos; tienen propiedades fractales a cualquier escala. Los fractales naturales están sujetos a una limitación en el área de existencia, es decir, el tamaño máximo y mínimo en el que un objeto exhibe propiedades fractales.
Los fractales más simples son los fractales geométricos.
Fractales geométricos
Los fractales geométricos también se llaman clásicos, deterministas o lineales. Son los más visuales, ya que tienen la llamada autosimilitud rígida, que no cambia cuando cambia la escala. Esto significa que no importa qué tan cerca te acerques al fractal, seguirás viendo el mismo patrón.
En el caso bidimensional, estos fractales se pueden obtener especificando una línea discontinua llamada generador. En un paso del algoritmo, cada uno de los segmentos de una polilínea determinada (iniciador) se reemplaza por una polilínea generadora en la escala apropiada. Como resultado de la repetición interminable de este procedimiento, se obtiene una curva fractal. A pesar de la aparente complejidad de esta curva, su forma está determinada únicamente por la forma del generador.
Los fractales geométricos más famosos: curva de Koch, curva de Minkowski, curva de Levy, curva del dragón, servilleta y alfombra de Sierpinski, pentágono de Durero.
Construcción de algunos fractales geométricos.
1). Curva de Koch.
Fue inventado en 1904 por un matemático alemán llamado Helge von Koch. Para construirlo se toma un solo segmento, se divide en tres partes iguales y se reemplaza el eslabón del medio por un triángulo equilátero sin este eslabón. En el siguiente paso, repetimos la operación para cada uno de los cuatro segmentos resultantes. Como resultado de la repetición interminable de este procedimiento, se obtiene una curva fractal.
2). La servilleta de Sierpinski.
En 1915, el matemático polaco Waclaw Sierpinski ideó un objeto interesante. Para construirlo, toma un triángulo equilátero sólido. En el primer paso, se retira del centro un triángulo equilátero invertido. El segundo paso elimina tres triángulos invertidos de los tres triángulos restantes, y así sucesivamente. Según la teoría, este proceso no tendrá fin y no quedará espacio habitable en el triángulo, pero tampoco se desmoronará: el resultado será un objeto que constará únicamente de agujeros.
3). El dragón de Harter-Haithway.
¿El dragón de Harter, también conocido como dragón Harter-Haithaway, fue estudiado por primera vez por físicos de la NASA? John Haithaway, William Harter y Bruce Banks. Fue descrito en 1967 por Martin Gardner en la columna "Juegos matemáticos" de Scientific American.
En el siguiente paso, cada uno de los segmentos de recta se reemplaza por dos segmentos que forman los lados laterales de un triángulo rectángulo isósceles, cuyo segmento original sería la hipotenusa. Como resultado, el segmento parece doblarse en ángulo recto. La dirección de desviación se alterna. El primer segmento se dobla hacia la derecha (a medida que se mueve de izquierda a derecha), el segundo hacia la izquierda, el tercero hacia la derecha nuevamente, etc.
Ejemplos de fractales geométricos
CurvaKochServilletaSierpinski
El dragónHarter-Hathway
El segundo gran grupo de fractales son los algebraicos. Deben su nombre porque están construidos sobre la base de fórmulas algebraicas.
Fractales algebraicos
No se pueden crear fractales complejos (algebraicos) sin la ayuda de una computadora. Para obtener resultados coloridos, esta computadora debe tener un potente coprocesador matemático y un monitor de alta resolución. Deben su nombre porque están construidos sobre la base de fórmulas algebraicas. Como resultado del procesamiento matemático de esta fórmula, se muestra en la pantalla un punto de cierto color. El resultado es una figura extraña en la que las líneas rectas se convierten en curvas y aparecen efectos de autosemejanza en varios niveles de escala, aunque no sin deformaciones. Casi todos los puntos de la pantalla de una computadora son como un fractal separado.
Los fractales algebraicos más famosos: conjuntos de Mandelbrot y Julia, piscinas de Newton.
Los fractales algebraicos tienen una autosimilitud aproximada. De hecho, si magnificas un área pequeña de cualquier fractal complejo y luego haces lo mismo en una pequeña porción de esa área, las dos ampliaciones serán significativamente diferentes entre sí. Las dos imágenes serán muy similares en detalles, pero no serán completamente idénticas.
ALGEBRAICO FRACTALES
Aproximaciones del conjunto de Mandelbrot
Los fractales encuentran cada vez más aplicaciones en la ciencia. La razón principal es que describen el mundo real mejor que la física y las matemáticas tradicionales.
Aplicación de fractales
1). Teoría del caos: Los fractales siempre están asociados con la palabra caos. La teoría del caos se define como el estudio de sistemas dinámicos complejos no lineales. El caos es la ausencia de previsibilidad. Ocurre en sistemas dinámicos cuando, para dos valores iniciales muy cercanos, el sistema se comporta de manera completamente diferente. Un ejemplo de un sistema dinámico caótico es el clima. Ejemplos de tales sistemas son los flujos turbulentos, las poblaciones biológicas, la sociedad y sus subsistemas: económicos, políticos y otros sistemas sociales. Uno de los conceptos centrales de esta teoría es la imposibilidad de predecir con precisión el estado de un sistema. La teoría del caos no se centra en el desorden de un sistema (la imprevisibilidad hereditaria del sistema), sino en el orden que hereda (el comportamiento común de sistemas similares). Por tanto, la ciencia del caos es un sistema de ideas sobre diversas formas de orden, donde la aleatoriedad se convierte en el principio organizador.
2). Economía: análisis del mercado de valores.
3). Astrofísica: descripción de los procesos de agrupación de galaxias en el Universo.
4). Geología: estudio de la rugosidad mineral;
5). Cartografía: estudio de las formas del litoral; Estudio de una extensa red de cauces fluviales.
6). Mecánica de líquidos y gases, física de superficies:
- dinámica y turbulencia de flujos complejos.
- modelado de llamas;
7). Biología y Medicina:
- modelización de poblaciones animales y migración de aves;
- modelización de epidemias;
- análisis de la estructura del sistema circulatorio;
- consideración de superficies complejas de membranas celulares;
- descripción de procesos internos del cuerpo, por ejemplo, los latidos del corazón.
8). Antenas fractales: El uso de la geometría fractal en el diseño de dispositivos de antena fue utilizado por primera vez por el ingeniero estadounidense Nathan Cohen, que entonces vivía en el centro de Boston, donde estaba prohibida la instalación de antenas externas en los edificios. Recortó una forma de curva de Koch en papel de aluminio, la pegó en un trozo de papel y luego la adjuntó al receptor. Resultó que una antena de este tipo no funciona peor que una normal. Y aunque los principios físicos de funcionamiento de dicha antena aún no se han estudiado, esto no impidió que Cohen fundara su propia empresa y lanzara su producción en serie.
9). Compresión de imágenes: las ventajas de los algoritmos de compresión de imágenes fractales son un tamaño de archivo muy pequeño y un tiempo de recuperación de imágenes corto. Otra ventaja de la compresión fractal es que cuando se amplía la imagen, no hay efecto de pixelación (aumentando el tamaño de los puntos a tamaños que distorsionan la imagen). Con la compresión fractal, después de la ampliación, la imagen suele verse incluso mejor que antes.
10). Gráficos por computadora: Los gráficos por computadora están atravesando un período de intenso desarrollo en la actualidad. Pudo recrear una infinita variedad de formas fractales y paisajes en la pantalla del monitor, sumergiendo al espectador en un increíble espacio virtual. Hoy en día, utilizando algoritmos relativamente simples, es posible crear imágenes tridimensionales de paisajes y formas fantásticos que pueden transformarse con el tiempo en imágenes aún más emocionantes. Algunos editores gráficos aprovechan la tendencia de los fractales a parecerse a montañas, flores y árboles (por ejemplo, nubes fractales de 3D Studio MAX, montañas fractales de World Builder). Los modelos fractales se utilizan ampliamente hoy en día en los juegos de computadora, creando en ellos un entorno que es difícil de distinguir de la realidad.
El final del siglo XX estuvo marcado no sólo por el descubrimiento de estructuras asombrosamente bellas e infinitamente diversas llamadas fractales, sino también por la conciencia de la naturaleza fractal de la naturaleza. El mundo que nos rodea es muy diverso y sus objetos no encajan en el marco rígido de las líneas y superficies euclidianas.
Fractales y el mundo que nos rodea.
« La belleza es siempre relativa... No debemos asumir que las costas del océano son verdaderamente informes sólo porque su forma es diferente de la forma regular de los muelles que hemos construido; la forma de las montañas no puede considerarse irregular por el hecho de que no sean conos o pirámides regulares; Sólo porque las distancias entre las estrellas son desiguales, no se sigue que hayan sido esparcidas por el cielo por una mano inepta. Estos errores sólo existen en nuestra imaginación. , de hecho, no lo son y de ninguna manera interfieren con las verdaderas manifestaciones de la vida en la Tierra, ni en el reino de las plantas y los animales, ni entre las personas”. Estas palabras del científico inglés del siglo XVII. Richard Bentley indica que la idea de combinar las formas de costas, montañas y objetos celestes y contrastarlas con construcciones euclidianas surgió en la mente de la gente desde hace mucho tiempo.
Galileo Galilei dijo que “el gran libro de la Naturaleza está escrito en el lenguaje de la geometría”. Ahora podemos decir con confianza que está escrito en el lenguaje de la geometría fractal.
Lo que observamos en la naturaleza a menudo nos intriga con la repetición interminable de un mismo patrón, aumentado o disminuido tantas veces como deseemos. Las extrañas formas de las costas y los intrincados meandros de los ríos, las superficies quebradas de las cadenas montañosas y los contornos de las nubes, las ramas extendidas de los árboles y los arrecifes de coral, el tímido parpadeo de una vela y los espumosos arroyos de los ríos de montaña: todo esto son fractales. Algunos de ellos, como las nubes o los arroyos tormentosos, cambian constantemente de forma, otros, como los árboles o las cadenas montañosas, mantienen su estructura sin cambios. Todos los tipos de estructuras fractales tienen en común su autosemejanza, la propiedad principal que garantiza el cumplimiento de la ley básica en los fractales, la ley de la unidad en la diversidad del universo.
Los sistemas y órganos humanos también son estructuras fractales. Por ejemplo, los vasos sanguíneos se ramifican repetidamente, es decir. tienen una naturaleza fractal. La actividad eléctrica del corazón es un proceso fractal. Los cardiólogos han descubierto que las características espectrales de los latidos del corazón obedecen a leyes fractales, al igual que los terremotos y los fenómenos económicos. En los tejidos del tracto digestivo, una superficie ondulada está incrustada en otra. Los pulmones también representan un ejemplo de un área grande comprimida en un espacio pequeño. De hecho, toda la estructura del cuerpo humano es de naturaleza fractal; esto ya ha sido reconocido por los científicos. El principio de un solo simple, que define un complejo diverso, está integrado en el genoma humano, cuando una célula de un organismo vivo contiene información sobre todo el organismo en su conjunto.
Estructuras fractales en la naturaleza.
Aquí hay algunas fotos de muestra:
Como dijo el biólogo John Haldane: "El mundo no sólo es más extraño de lo que pensamos, sino más extraño de lo que podemos imaginar". Los fractales no son inventos de Mandelbrot. Existen objetivamente. En formas y procesos naturales, en la ciencia y el arte, que reflejan y comprenden este mundo. Benoit Mandelbrot recibió en 1993 el premio honorífico Wolf de física “por cambiar nuestra visión del mundo gracias a las ideas de la geometría fractal”.
Actualmente, las pinturas fractales son muy populares. Dan una impresión absolutamente fantástica. Muchas líneas finas que forman un todo o elementos inusuales se entrelazan en una sola imagen. Destellos de luz brillante y líneas suaves moderadas. El fractal parece vivo. Arde, brilla, atrae y no puedes apartar la vista de él, estudiando hasta el más mínimo e insignificante detalle.
gráficos fractales
Pinturas fractales en el interior.
Aplicación de fractales
Ciencias Naturales
En física, los fractales surgen naturalmente al modelar procesos no lineales, como flujos de fluidos turbulentos, procesos complejos de difusión-adsorción, llamas, nubes y similares. Los fractales se utilizan para modelar materiales porosos, por ejemplo, en la petroquímica. En biología, se utilizan para modelar poblaciones y describir sistemas de órganos internos (el sistema de vasos sanguíneos). Después de la creación de la curva de Koch, se propuso utilizarla al calcular la longitud de la costa.
ingeniería de radio
El uso de la geometría fractal en el diseño de dispositivos de antena fue utilizado por primera vez por el ingeniero estadounidense Nathan Cohen, que entonces vivía en el centro de Boston, donde estaba prohibida la instalación de antenas externas en edificios. Nathan recortó una curva de Koch en papel de aluminio, la pegó en una hoja de papel y luego la fijó al receptor. Cohen fundó su propia empresa y comenzó su producción en serie.
Ciencias de la Computación
Compresión de imágenes
árbol fractal
Existen algoritmos de compresión de imágenes que utilizan fractales. Se basan en la idea de que en lugar de la imagen en sí, se puede almacenar un mapa de compresión para el cual esta imagen (o alguna cercana) es un punto fijo. Microsoft utilizó una de las variantes de este algoritmo al publicar su enciclopedia, pero estos algoritmos no se utilizaron ampliamente.
Gráficos de computadora
Los fractales se utilizan ampliamente en gráficos por computadora para construir imágenes de objetos naturales, como árboles, arbustos, paisajes montañosos, superficies marinas, etc. Hay muchos programas disponibles para generar imágenes fractales.
Descentralizado redes
El sistema de asignación de direcciones IP en la red Netsukuku (esta red es un proyecto para crear una red peer-to-peer distribuida y autoorganizada capaz de garantizar la interacción de una gran cantidad de nodos con una carga mínima en el procesador central y la memoria) utiliza el principio de compresión de información fractal para almacenar de forma compacta información sobre los nodos de la red. Cada nodo de la red Netsukuku almacena solo 4 KB de información sobre el estado de los nodos vecinos, mientras que cualquier nodo nuevo se conecta a la red común sin necesidad de una regulación central de la distribución de direcciones IP, que, por ejemplo, es típica de la Internet. Así, el principio de compresión de información fractal garantiza un funcionamiento completamente descentralizado y, por tanto, el más estable de toda la red.
Economía y Finanzas
A. A. Almazov en su libro “Teoría fractal. Cómo cambiar tu visión de los mercados” sugirió una forma de utilizar fractales al analizar las cotizaciones de acciones, en particular en el mercado Forex.
Cada vez que miras los fractales, piensas en lo hermosos que son el mundo real y el mundo de las matemáticas, y que las matemáticas realmente son un lenguaje que puede describir casi todo lo que existe en el Universo.
Bibliografía
1. Mandelbrot B. Geometría fractal de la naturaleza. M.: “Instituto de Investigaciones Informáticas”, 2002. 656 p.
2. Morozov A.D. Introducción a la teoría de los fractales. N. Novgorod: Editorial Nizhny Novgorod. Universidad, 1999, 140 p.
3. Peitgen H.-O., Richter P. H. La belleza de los fractales. M.: “Mir”, 1993. - 176 p.
4. Tikhoplav V.Yu., Tikhoplav T.S. Armonía del caos o realidad fractal. San Petersburgo: Editorial “Ves”, 2003. 340 p.
5. Feder E. Fractales. M: “Mir”, 1991. 254 p.
6. Schroeder M. Fractales, caos, leyes de potencia. Miniaturas del paraíso sin fin. Izhevsk: “RKhD”, 2001. 528 p.
Lista de sitios sobre fractales
1. http://www.fractals.nsu.ru.
2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.
3. http://www.multifractal.narod.ru.
4. http://algolist.manual.ru.
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El concepto matemático de estructuras fractales fue esbozado por el matemático franco-estadounidense Benoit Mandelbrot en varios de sus artículos y monografías de las décadas de 1970 y 1980, incluido el famoso "Fractal Geometry of Nature" (B. Mandelbrot, "The Fractal Geometry of Nature ", mil novecientos ochenta y dos).
En realidad, el término “fractal” fue propuesto por B. Mandelbrot a mediados de los años 1970. para denotar formas geométricas irregulares y autosemejantes en todas las escalas, se deriva, como explica el propio científico, del participio latino “fractus” y, de acuerdo con la semántica del verbo original “frangere”, significa “fragmentado”. , “roto” y “de forma irregular”. Sorprendentemente, todavía no se ha desarrollado una definición matemática exacta y coherente de los fractales. En su forma más general, más allá del alcance de definiciones matemáticas especiales, B. Mandelbrot definió un fractal como "una estructura que consta de partes que en algún sentido son similares al todo". El grado de complejidad, "fractura" de un objeto fractal determina su dimensión fractal, que con mayor frecuencia excede su dimensión topológica, es decir, una línea, debido a numerosas curvas, tiende a convertirse en un plano, y un plano "plegado" en una figura tridimensional.
Esencialmente, el trabajo puramente matemático de B. Mandelbrot, dedicado a problemas teóricos y aplicados de geometría de un tipo especial, objetos geométricos y naturales irregulares (estructuras autosemejantes y formaciones de dimensión fraccionaria), sirvió como catalizador para numerosos estudios de fractalidad en una variedad de disciplinas humanas: urbanismo, arquitectura, psicología, historia del arte, filosofía, sociología, antropología cultural. Con el advenimiento de la geometría fractal, los conceptos filosóficos de espacios “pliegues”, “corrugados” y “lisos” de J. Deleuze y F. Guattari aparecen bajo una luz completamente diferente, que, en nuestra opinión, anticipó la idea de una descripción fractal del mundo en su complejidad ontológica. A finales de la década de 2000. fractal y fractalidad no solo tomaron forma en conceptos científicos completos en el discurso humanitario, sino que también comenzaron a usarse como criterio cuantitativo y cualitativo para pronósticos futuristas y evaluaciones estéticas.
La idea central del concepto fractal es autosemejanza tanto fenómenos naturales como fenómenos socioculturales, cuya dinámica antes se consideraba caótica. La autosimilitud significa que dentro del sistema, algunas de sus secciones de diferentes escalas repiten la configuración del sistema como un todo, es decir, dentro de la forma general hay un patrón fractal (in)finitamente “replicado”.
En otras palabras, un fractal es una estructura autosemejante: una estructura que contiene en diferentes niveles un número (in)finito de sus “copias”, que en un grado u otro repiten los rasgos característicos del sistema en su conjunto (patrones, conexiones estructurales, diseños, imágenes, ideas, etc.) ). El patrón fractal, en un sentido u otro idéntico al todo, se reproduce en cada nivel posterior de una escala más pequeña, formando una especie de estructura "anidada". La similitud no depende de la escala de consideración de la estructura fractal, es decir, el fractal tiene la propiedad de invariancia de escala (escalamiento). Esto significa que moviéndose a niveles internos más pequeños del fractal, es decir, como si examináramos secciones de la estructura fractal bajo un microscopio, descubrimos nuevamente todos iguales (o similares) configuraciones físicas o mentales que eran visibles en la estructura en su conjunto. Por lo tanto, cualquier fragmento autosemejante de una estructura fractal representa el todo, "desplegando" desde sí mismo todo el complejo de significados y formas inherentes al propio fractal como una cierta integridad.
Los fractales naturales son costas, montañas, lechos de ríos, árboles con sus copas y hojas ramificadas, copos de nieve, el sistema circulatorio y nervioso humano, etc. Las propiedades fractales se demuestran mediante sistemas sociales y culturales que tienen niveles jerárquicos: por ejemplo, un país - un ciudad - un barrio; personas - grupo sociocultural - familia, etc. Además, cualquier objeto sociocultural en cada uno de los diferentes niveles jerárquicos de la cultura - desde el gobierno hasta la moda individual, desde la planificación urbana hasta la forma de envolver regalos, etc. - representa simbólicamente un ser autosimilar. modelo de su cultura. Es importante tener en cuenta que similitud no significa identidad absoluta, estamos hablando de alguna similitud fundamental que puede manifestarse espacial o conceptualmente.
Cualquier fractal puede presentarse como una visualización de un determinado algoritmo, un conjunto de procedimientos matemáticos que tienen la naturaleza de iteraciones sucesivas (múltiples repeticiones de operaciones determinadas). Iteraciones fractales – recursivo, es decir, cada resultado del paso anterior sirve como valor inicial para un nuevo ciclo de autorreproducción de la estructura fractal (patrón, diseño, idea).
Así, lo que es común a todos los fractales es la presencia de un procedimiento recursivo para su generación y una cadena (in)finita de autopoiesis (autoconstrucción). En un sentido matemático estricto, un fractal es infinito, por lo tanto la estructura fractal norte-ésimo orden se llama prefractal. Además, con la ayuda de fórmulas matemáticas relativamente simples, “se puede describir la forma de una nube con tanta claridad y sencillez como un arquitecto describe un edificio mediante dibujos que utilizan el lenguaje de la geometría tradicional”. Los fractales matemáticos son infinitos, al igual que los fractales culturales relacionados con la génesis cultural y la transmisión cultural, pero los artefactos culturales fractales (por ejemplo, edificios, muñecos nido o imágenes en anuncios) tienen una "profundidad" de fractalidad limitada, a veces no más de dos niveles de iteración. .
Autosimilitud fractal:
pagoda japonesa
Delta del río Lena
La autosemejanza y la naturaleza recursiva del fractal hicieron posible el surgimiento de conceptos no matemáticos de fractal. El fractal resultó ser una visualización clara y operativa de la idea de formación infinita, incompletitud, procesualidad y la dinámica inmanentemente "programada" de todos los fenómenos socioculturales. Un fractal, en efecto, “no es una forma finita (¿nadie ha visto nunca un fractal como un número?), pero es la ley de construcción de esta forma”, un “gen de formación de formas”, como dijo el matemático ruso. y el filósofo A.V Voloshinov lo llama. El contenido principal de un fractal como concepto paradigmático es el desarrollo interminable en cada nuevo nivel de inmersión en una estructura ordenada o "caótica". todos iguales significados dados en el “principio de los comienzos” - con la similitud fundamental inalterada de las partes con el todo.
Otra cualidad importante de los fractales es la asombrosa belleza y el impresionante espectáculo de sus visualizaciones, que demuestran un plegado barroco o una compleja geometría de alta tecnología. Numerosos experimentos creativos de artistas programadores con algoritmos fractales llevaron al surgimiento a finales del siglo XX de todo un movimiento artístico llamado pintura fractal o arte fractal.
Resulta obvio que los fractales son esos “monstruos” y “monstruosidades”, como los denominaron los matemáticos a principios del siglo XX. “son capaces de servir como herramientas conceptuales centrales para encontrar respuestas a algunas de las preguntas que durante mucho tiempo han perseguido al hombre sobre la forma del mundo en el que vive” y, agreguemos, que él crea.
Arte fractal digital
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A menudo, los brillantes descubrimientos científicos pueden cambiar radicalmente nuestras vidas. Por ejemplo, la invención de una vacuna puede salvar a muchas personas, pero la creación de nuevas armas conduce al asesinato. Literalmente ayer (en la escala de la historia) el hombre “domesticó” la electricidad, y hoy ya no puede imaginar su vida sin ella. Sin embargo, también hay descubrimientos que, como suele decirse, permanecen en la sombra, a pesar de que también tienen uno que otro impacto en nuestras vidas. Uno de estos descubrimientos fue el fractal. La mayoría de la gente nunca ha oído hablar de este concepto y no será capaz de explicar su significado. En este artículo intentaremos comprender la cuestión de qué es un fractal y considerar el significado de este término desde la perspectiva de la ciencia y la naturaleza.
Orden en el caos
Para entender qué es un fractal conviene empezar el análisis desde la posición de las matemáticas, pero antes de profundizar en ello filosofaremos un poco. Cada persona tiene una curiosidad natural, gracias a la cual aprende sobre el mundo que le rodea. A menudo, en su búsqueda de conocimiento, intenta utilizar la lógica en sus juicios. Así, al analizar los procesos que ocurren a su alrededor, intenta calcular relaciones y derivar ciertos patrones. Las mentes más brillantes del planeta están ocupadas resolviendo estos problemas. En términos generales, nuestros científicos están buscando patrones donde no los hay, y no debería haberlos. Y, sin embargo, incluso en el caos existe una conexión entre ciertos acontecimientos. Esta conexión es lo que es el fractal. Como ejemplo, consideremos una rama rota tirada en el camino. Si lo miramos de cerca, veremos que con todas sus ramas y ramitas parece un árbol. Esta similitud de una parte separada con un todo único indica el llamado principio de autosemejanza recursiva. Los fractales se pueden encontrar por todas partes en la naturaleza, porque muchas formas orgánicas e inorgánicas se forman de manera similar. Se trata de nubes, conchas marinas, caracoles, copas de árboles e incluso el sistema circulatorio. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todas estas formas aleatorias se describen fácilmente mediante un algoritmo fractal. Ahora hemos llegado a considerar qué es un fractal desde la perspectiva de las ciencias exactas.
Algunos hechos secos
La palabra "fractal" en sí se traduce del latín como "parcial", "dividido", "fragmentado", y en cuanto al contenido de este término, no existe una formulación como tal. Suele interpretarse como un conjunto autosemejante, una parte del todo, que repite su estructura a nivel micro. Este término fue acuñado en los años setenta del siglo XX por Benoit Mandelbrot, a quien se reconoce como el padre. Hoy en día, el concepto de fractal significa una imagen gráfica de una determinada estructura que, cuando se amplía, será similar a ella misma. Sin embargo, la base matemática para la creación de esta teoría se sentó incluso antes del nacimiento del propio Mandelbrot, pero no pudo desarrollarse hasta que aparecieron las computadoras electrónicas.
Antecedentes históricos o cómo empezó todo
A principios del siglo XIX y XX, el estudio de la naturaleza de los fractales era esporádico. Esto se explica por el hecho de que los matemáticos preferían estudiar objetos que pudieran investigarse sobre la base de teorías y métodos generales. En 1872, el matemático alemán K. Weierstrass construyó un ejemplo de función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Sin embargo, esta construcción resultó ser enteramente abstracta y difícil de percibir. Luego vino el sueco Helge von Koch, quien en 1904 construyó una curva continua que no tenía tangente en ninguna parte. Es bastante fácil de dibujar y resulta que tiene propiedades fractales. Una de las variantes de esta curva lleva el nombre de su autor: "copo de nieve de Koch". Además, la idea de la autosemejanza de figuras fue desarrollada por el futuro mentor de B. Mandelbrot, el francés Paul Levy. En 1938 publicó el artículo "Curvas y superficies planas y espaciales formadas por partes similares a un todo". En él describió un nuevo tipo: la curva C de Lewy. Todas las figuras anteriores se clasifican convencionalmente como fractales geométricos.
Fractales dinámicos o algebraicos
El conjunto de Mandelbrot pertenece a esta clase. Los primeros investigadores en esta dirección fueron los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia. En 1918, Julia publicó un artículo basado en el estudio de iteraciones de funciones racionales complejas. Aquí describió una familia de fractales que están estrechamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot. A pesar de que este trabajo glorificó al autor entre los matemáticos, rápidamente fue olvidado. Y solo medio siglo después, gracias a las computadoras, el trabajo de Julia recibió una segunda vida. Las computadoras hicieron posible hacer visible para cada persona la belleza y la riqueza del mundo de los fractales que los matemáticos podían "ver" mostrándolos a través de funciones. Mandelbrot fue el primero en utilizar una computadora para realizar cálculos (un volumen así no se puede hacer manualmente) que permitieron construir una imagen de estas figuras.
Una persona con imaginación espacial.
Mandelbrot comenzó su carrera científica en el Centro de Investigación de IBM. Mientras estudiaban las posibilidades de transmitir datos a largas distancias, los científicos se enfrentaron al hecho de las grandes pérdidas que surgían debido a la interferencia del ruido. Benoit estaba buscando formas de resolver este problema. Al examinar los resultados de las mediciones, notó un patrón extraño: los gráficos de ruido parecían iguales en diferentes escalas de tiempo.
Se observó una imagen similar tanto durante un día como durante siete días o durante una hora. El propio Benoit Mandelbrot repetía a menudo que no trabaja con fórmulas, sino que juega con imágenes. Este científico se distinguió por el pensamiento imaginativo; tradujo cualquier problema algebraico al área geométrica, donde la respuesta correcta es obvia. Por eso no es de extrañar que se distinguiera por su riqueza y se convirtiera en el padre de la geometría fractal. Después de todo, la conciencia de esta figura sólo puede llegar cuando estudias los dibujos y piensas en el significado de estos extraños remolinos que forman el patrón. Los patrones fractales no tienen elementos idénticos, pero son similares en cualquier escala.
Julia - Mandelbrot
Uno de los primeros dibujos de esta figura fue una interpretación gráfica del conjunto, que nació del trabajo de Gastón Julia y fue desarrollado posteriormente por Mandelbrot. Gaston intentó imaginar cómo sería un conjunto basándose en una fórmula simple que se repitió a través de un circuito de retroalimentación. Intentemos explicar lo dicho en lenguaje humano, por así decirlo, con los dedos. Para un valor numérico específico, usamos una fórmula para encontrar un nuevo valor. Lo sustituimos en la fórmula y encontramos lo siguiente. El resultado es grande. Para representar un conjunto así es necesario realizar esta operación un número enorme de veces: cientos, miles, millones. Esto es lo que hizo Benoit. Procesó la secuencia y transfirió los resultados a forma gráfica. Posteriormente, coloreó la figura resultante (cada color corresponde a un número determinado de iteraciones). Esta imagen gráfica se llama “fractal de Mandelbrot”.
L. Carpenter: arte creado por la naturaleza
La teoría de los fractales encontró rápidamente una aplicación práctica. Dado que está muy relacionado con la visualización de imágenes autosimilares, los artistas fueron los primeros en adoptar los principios y algoritmos para construir estas formas inusuales. La primera de ellas fue la futura fundadora de Pixar, Lauren Carpenter. Mientras trabajaba en una presentación de prototipos de aviones, se le ocurrió la idea de utilizar una imagen de montañas como fondo. Hoy en día, casi todos los usuarios de computadoras pueden hacer frente a tal tarea, pero en los años setenta del siglo pasado, las computadoras no podían realizar tales procesos porque en ese momento no existían editores gráficos ni aplicaciones para gráficos tridimensionales. Y entonces Loren se topó con el libro de Mandelbrot "Fractales: forma, aleatoriedad y dimensión". En él, Benoit dio muchos ejemplos, mostrando que los fractales existen en la naturaleza (fyva), describió sus diversas formas y demostró que se pueden describir fácilmente mediante expresiones matemáticas. El matemático citó esta analogía como argumento a favor de la utilidad de la teoría que estaba desarrollando en respuesta a una avalancha de críticas por parte de sus colegas. Argumentaron que un fractal es sólo una imagen bonita, no tiene valor y es un subproducto del trabajo de las máquinas electrónicas. Carpenter decidió probar este método en la práctica. Después de estudiar detenidamente el libro, el futuro animador comenzó a buscar una manera de implementar la geometría fractal en gráficos por computadora. Sólo tardó tres días en reproducir en su ordenador una imagen completamente realista del paisaje montañoso. Y hoy este principio se utiliza ampliamente. Resulta que crear fractales no requiere mucho tiempo ni esfuerzo.
La solución del carpintero.
El principio que utilizó Lauren fue simple. Consiste en dividir los más grandes en elementos pequeños, y éstos en otros más pequeños similares, y así sucesivamente. Carpenter, usando triángulos grandes, los dividió en 4 pequeños, y así sucesivamente, hasta tener un paisaje montañoso realista. Así, se convirtió en el primer artista en utilizar un algoritmo fractal en gráficos por ordenador para construir la imagen requerida. Hoy en día este principio se utiliza para imitar diversas formas naturales realistas.
La primera visualización 3D utilizando un algoritmo fractal
Unos años más tarde, Lauren aplicó sus avances en un proyecto a gran escala: el vídeo animado Vol Libre, mostrado en Siggraph en 1980. Este video sorprendió a muchos y su creador fue invitado a trabajar en Lucasfilm. Aquí el animador pudo desarrollar todo su potencial; creó paisajes tridimensionales (un planeta entero) para el largometraje "Star Trek". Cualquier programa moderno ("Fractals") o aplicación para crear gráficos 3D (Terragen, Vue, Bryce) utiliza el mismo algoritmo para modelar texturas y superficies.
Tom Beddard
Beddard, que anteriormente era físico láser y ahora artista y artista digital, creó una serie de formas geométricas muy intrigantes, a las que llamó fractales de Fabergé. Exteriormente se parecen a los huevos decorativos de un joyero ruso y tienen el mismo patrón brillante e intrincado; Beddard utilizó un método de plantilla para crear sus representaciones digitales de los modelos. Los productos resultantes sorprenden por su belleza. Aunque muchos se niegan a comparar un producto hecho a mano con un programa de ordenador, hay que admitir que las formas resultantes son extremadamente bellas. Lo más destacado es que cualquiera puede construir un fractal de este tipo utilizando la biblioteca de software WebGL. Te permite explorar varias estructuras fractales en tiempo real.
Fractales en la naturaleza
Pocas personas prestan atención, pero estas asombrosas figuras están presentes en todas partes. La naturaleza se crea a partir de figuras autosimilares, simplemente no nos damos cuenta. Basta mirar a través de una lupa nuestra piel o la hoja de un árbol y veremos fractales. O tomemos, por ejemplo, una piña o incluso la cola de un pavo real: están formadas por figuras similares. Y la variedad de brócoli Romanescu llama la atención en su apariencia, porque realmente se la puede llamar un milagro de la naturaleza.
pausa musical
Resulta que los fractales no son sólo formas geométricas, también pueden ser sonidos. Así, el músico Jonathan Colton escribe música utilizando algoritmos fractales. Pretende corresponder a la armonía natural. El compositor publica todas sus obras bajo una licencia CreativeCommons Attribution-Nocommercial, que permite la distribución, copia y transferencia gratuitas de obras a otros.
Indicador fractal
Esta técnica ha encontrado una aplicación muy inesperada. Sobre esta base se creó una herramienta para analizar el mercado bursátil y, como resultado, comenzó a utilizarse en el mercado Forex. Hoy en día, el indicador fractal se encuentra en todas las plataformas comerciales y se utiliza en una técnica comercial llamada ruptura de precios. Esta técnica fue desarrollada por Bill Williams. Como comenta el autor sobre su invento, este algoritmo es una combinación de varias “velas”, en las que la central refleja el punto extremo máximo o, por el contrario, el mínimo.
Finalmente
Entonces vimos qué es un fractal. Resulta que en el caos que nos rodea, en realidad existen formas ideales. La naturaleza es el mejor arquitecto, constructor e ingeniero ideal. Está organizado de forma muy lógica y si no podemos encontrar un patrón, esto no significa que no exista. Quizás necesitemos mirar en una escala diferente. Podemos decir con confianza que los fractales todavía guardan muchos secretos que aún tenemos que descubrir.
Cómo se descubrió el fractal
Las formas matemáticas conocidas como fractales tienen su origen en el genio del eminente científico Benoit Mandelbrot. Durante la mayor parte de su vida enseñó matemáticas en la Universidad de Yale en Estados Unidos. En 1977 - 1982, Mandelbrot publicó trabajos científicos dedicados al estudio de la "geometría fractal" o "geometría de la naturaleza", en los que descompuso formas matemáticas aparentemente aleatorias en elementos componentes que, tras un examen más detenido, resultaron repetidos, que demostró la presencia de un determinado modelo para copiar. El descubrimiento de Mandelbrot tuvo importantes consecuencias en el desarrollo de la física, la astronomía y la biología.
Fractales en la naturaleza
En la naturaleza, muchos objetos tienen propiedades fractales, por ejemplo: copas de árboles, coliflor, nubes, sistemas circulatorio y alveolar de humanos y animales, cristales, copos de nieve, cuyos elementos están dispuestos en una estructura compleja, costas (el concepto fractal permitía científicos para medir la costa de las Islas Británicas y otros objetos que antes no se podían medir).
Veamos la estructura de la coliflor. Si cortas una de las flores, es obvio que en tus manos queda la misma coliflor, solo que de menor tamaño. Podemos seguir cortando una y otra vez, incluso bajo un microscopio, pero lo único que obtenemos son pequeñas copias de la coliflor. En este caso más simple, incluso una pequeña parte del fractal contiene información sobre toda la estructura final.
Fractales en tecnología digital
La geometría fractal ha hecho una contribución invaluable al desarrollo de nuevas tecnologías en el campo de la música digital y también hizo posible comprimir imágenes digitales. Los algoritmos de compresión de imágenes fractales existentes se basan en el principio de almacenar una imagen comprimida en lugar de la imagen digital en sí. Para una imagen comprimida, la imagen principal sigue siendo un punto fijo. Microsoft utilizó una de las variantes de este algoritmo al publicar su enciclopedia, pero por una razón u otra esta idea no fue muy utilizada.
La base matemática de los gráficos fractales es la geometría fractal, donde el principio de herencia de los "objetos padres" originales es la base de los métodos para construir "imágenes herederas". Los conceptos mismos de geometría fractal y gráficos fractales aparecieron hace sólo unos 30 años, pero ya se han establecido firmemente en la vida cotidiana de los diseñadores de computadoras y matemáticos.
Los conceptos básicos de los gráficos por computadora fractales son:
- Triángulo fractal - figura fractal - objeto fractal (jerarquía en orden descendente)
- linea fractal
- composición fractal
- “Objeto padre” y “Objeto sucesor”
Al igual que en los gráficos vectoriales y tridimensionales, la creación de imágenes fractales se calcula matemáticamente. La principal diferencia con los dos primeros tipos de gráficos es que una imagen fractal se construye de acuerdo con una ecuación o sistema de ecuaciones; no es necesario almacenar nada más que la fórmula en la memoria de la computadora para realizar todos los cálculos, y esto La compacidad del aparato matemático permitió el uso de esta idea en gráficos por computadora. Simplemente cambiando los coeficientes de la ecuación, puede obtener fácilmente una imagen fractal completamente diferente: utilizando varios coeficientes matemáticos, se especifican superficies y líneas de formas muy complejas, lo que le permite implementar técnicas de composición como horizontales y verticales, simetría y asimetría. , direcciones diagonales y mucho más.
¿Cómo construir un fractal?
El creador de fractales desempeña el papel de artista, fotógrafo, escultor y científico-inventor al mismo tiempo. ¿Cuáles son las próximas etapas para crear un dibujo desde cero?
- establecer la forma del dibujo usando una fórmula matemática
- investigar la convergencia del proceso y variar sus parámetros
- seleccione el tipo de imagen
- elige una paleta de colores
Entre los editores gráficos fractales y otros programas gráficos podemos destacar:
- "Aficionado al arte"
- “Pintor” (sin una computadora, ningún artista alcanzará las capacidades establecidas por los programadores solo con un lápiz y un pincel)
- "Adobe Photoshop" (pero aquí la imagen no se crea "desde cero", sino que, por regla general, solo se procesa)
Consideremos la estructura de una figura geométrica fractal arbitraria. En su centro se encuentra el elemento más simple: un triángulo equilátero, que recibió el mismo nombre: "fractal". En el segmento medio de los lados construiremos triángulos equiláteros con un lado igual a un tercio del lado del triángulo fractal original. Con el mismo principio se construyen los triángulos sucesores de la segunda generación, aún más pequeños, y así hasta el infinito. El objeto resultante se denomina “figura fractal”, de cuyas secuencias obtenemos una “composición fractal”.
Fuente: http://www.iknowit.ru/
Fractales y mandalas antiguos
En principio, un mandala es un símbolo geométrico de una estructura compleja, que se interpreta como un modelo del Universo, un “mapa del cosmos”. ¡Esta es la primera señal de fractalidad!
Se bordan sobre tela, se pintan sobre arena, se elaboran con polvos de colores y se elaboran en metal, piedra, madera. Su apariencia brillante y fascinante lo convierte en una hermosa decoración para los pisos, paredes y techos de los templos de la India. En la antigua lengua india, “mandala” significa el círculo místico de la relación entre las energías espirituales y materiales del Universo, o en otras palabras, la flor de la vida.
Quería escribir una reseña muy breve de mandalas fractales, con un mínimo de párrafos, mostrando que la relación existe claramente. Sin embargo, al tratar de comprender y conectar información sobre fractales y mandalas en un todo único, tuve la sensación de un salto cuántico hacia un espacio desconocido para mí.
Demuestro la inmensidad de este tema con una cita: “Estas composiciones fractales o mandalas se pueden utilizar en forma de pinturas, elementos de diseño para espacios habitables y de trabajo, amuletos portátiles, en forma de cintas de vídeo, programas de ordenador…”. En general, el tema para el estudio de los fractales es simplemente enorme.
Una cosa que puedo decir con seguridad es que el mundo es mucho más diverso y más rico que las malas ideas que tenemos sobre él.
Animales marinos fractales
Mis conjeturas sobre los animales marinos fractales no carecían de fundamento. Aquí están los primeros representantes. El pulpo es un animal marino del orden de los cefalópodos que habita en el fondo marino.
Al mirar esta foto, me resultó evidente la estructura fractal de su cuerpo y las ventosas de los ocho tentáculos de este animal. El número de ventosas en los tentáculos de un pulpo adulto llega a 2000.
Un hecho interesante es que el pulpo tiene tres corazones: uno (el principal) impulsa la sangre azul por todo el cuerpo y los otros dos, branquias, empujan la sangre a través de las branquias. Algunos tipos de estos fractales de las profundidades marinas son venenosos.
Al adaptarse y camuflarse a su entorno, el pulpo tiene la muy útil capacidad de cambiar de color.
Los pulpos son considerados los más "inteligentes" de todos los invertebrados. Conocen a la gente y se acostumbran a quienes les dan de comer. Sería interesante observar pulpos que sean fáciles de entrenar, que tengan buena memoria e incluso reconozcan formas geométricas. Pero la vida útil de estos animales fractales es corta: un máximo de 4 años.
El hombre utiliza la tinta de este fractal vivo y de otros cefalópodos. Los artistas los buscan por su durabilidad y su hermoso tono marrón. En la cocina mediterránea, el pulpo es fuente de vitaminas B3, B12, potasio, fósforo y selenio. Pero creo que es necesario saber cocinar estos fractales marinos para poder disfrutar comiéndolos como alimento.
Por cierto, cabe señalar que los pulpos son depredadores. Con sus tentáculos fractales atrapan presas en forma de moluscos, crustáceos y peces. Es una lástima que un molusco tan hermoso se convierta en el alimento de estos fractales marinos. En mi opinión, también es un representante típico de los fractales del reino marino.
Este es un pariente de los caracoles, el nudibranquio gasterópodo Glaucus, también conocido como Glaucus, también conocido como Glaucus atlanticus, también conocido como Glaucilla marginata. Este fractal también es inusual porque vive y se mueve bajo la superficie del agua, manteniéndose en su lugar por la tensión superficial. Porque el molusco es hermafrodita, luego, después de aparearse, ambos "compañeros" ponen huevos. Este fractal se encuentra en todos los océanos de la zona tropical.
Fractales del reino del mar
Cada uno de nosotros, al menos una vez en la vida, tuvo en la mano una concha de mar y la examinó con auténtico interés infantil.
Normalmente las conchas son un bonito recuerdo que recuerda a un viaje al mar. Cuando se observa esta formación en espiral de moluscos invertebrados, no hay duda de su naturaleza fractal.
Los humanos somos algo así como estos moluscos de cuerpo blando, que vivimos en casas fractales de concreto bien equipadas, colocamos y movemos nuestros cuerpos en autos veloces.
Otro representante típico del mundo submarino fractal es el coral.
Existen más de 3.500 variedades de corales conocidas en la naturaleza, con una paleta de hasta 350 tonalidades de color.
El coral es el material esquelético de una colonia de pólipos de coral, también de la familia de los invertebrados. Sus enormes acumulaciones forman arrecifes de coral enteros, cuyo método de formación fractal es obvio.
El coral puede considerarse con total seguridad un fractal del reino marino.
También es utilizado por el ser humano como souvenir o materia prima para joyería y adornos. Pero es muy difícil replicar la belleza y perfección de la naturaleza fractal.
Una vez más, realizando el ritual en la cocina con un cuchillo y una tabla de cortar, y luego, mojando el cuchillo en agua fría, lloré y una vez más descubrí cómo lidiar con el fractal de lágrimas que aparece ante mis ojos casi todos los días. .
El principio de fractalidad es el mismo que el de la famosa muñeca rusa: la anidación. Por eso la fractalidad no se nota inmediatamente. Además, el color claro y uniforme y su capacidad natural de provocar sensaciones desagradables no contribuyen a la observación minuciosa del universo ni a la identificación de patrones matemáticos fractales.
Pero la cebolla para ensalada de color lila, por su color y ausencia de fitoncidas que producen lágrimas, me hizo pensar en la fractalidad natural de esta verdura. Por supuesto, es un fractal simple, círculos ordinarios de diferentes diámetros, incluso se podría decir el fractal más primitivo. Pero no estaría de más recordar que la pelota se considera una figura geométrica ideal dentro de nuestro Universo.
Se han publicado muchos artículos en Internet sobre las propiedades beneficiosas de la cebolla, pero de alguna manera nadie ha intentado estudiar este espécimen natural desde el punto de vista de la fractalidad. Sólo puedo afirmar la utilidad de utilizar un fractal en forma de cebolla en mi cocina.
PD Ya compré un cortador de verduras para picar fractales. Ahora tenemos que pensar en cuán fractal es una verdura tan saludable como la col blanca común. El mismo principio de anidamiento.
Fractales en el arte popular
Me llamó la atención la historia del mundialmente famoso juguete Matryoshka. Si lo miramos más de cerca, podemos decir con confianza que este juguete de recuerdo es un fractal típico.
El principio de fractalidad es obvio cuando todas las figuras de un juguete de madera están alineadas en fila y no encajadas unas dentro de otras.
Mi pequeña investigación sobre la historia de la aparición de este fractal de juguete en el mercado mundial mostró que las raíces de esta belleza son japonesas. La muñeca matrioska siempre se ha considerado un souvenir ruso original. Pero resultó que ella era el prototipo de la figura japonesa del viejo sabio Fukuruma, una vez traída a Moscú desde Japón.
Pero fue la industria juguetera rusa la que dio fama mundial a esta figura japonesa. Para mí, personalmente, sigue siendo un misterio de dónde surgió la idea del anidamiento fractal de un juguete. Lo más probable es que el autor de este juguete haya utilizado el principio de anidar figuras unas dentro de otras. Y la forma más sencilla de invertir son figuras similares de diferentes tamaños, y esto ya es un fractal.
Un objeto de estudio igualmente interesante es la pintura de un juguete fractal. Esta es una pintura decorativa: Khokhloma. Los elementos tradicionales de Khokhloma son los patrones herbáceos de flores, bayas y ramas.
De nuevo todos los signos de fractalidad. Al fin y al cabo, un mismo elemento se puede repetir varias veces en diferentes versiones y proporciones. El resultado es una pintura fractal popular.
Y si no sorprende a nadie con la novedosa pintura de ratones de computadora, cubiertas de computadoras portátiles y teléfonos, entonces el ajuste fractal de un automóvil en estilo popular es algo nuevo en el diseño de automóviles. Uno sólo puede sorprenderse de la manifestación del mundo de los fractales en nuestras vidas de una manera tan inusual en cosas tan comunes para nosotros.
Fractales en la cocina
En la mesa de mi cocina había un típico representante de un fractal del mundo vegetal.
Con todo mi amor por la coliflor, siempre me encontré con ejemplares con una superficie uniforme sin signos visibles de fractalidad, e incluso una gran cantidad de inflorescencias anidadas unas dentro de otras no me dieron motivo para ver un fractal en esta útil verdura.
Pero la superficie de este ejemplar en particular, con su geometría fractal claramente definida, no dejó la menor duda sobre el origen fractal de este tipo de col.
Otro viaje al hipermercado sólo confirmó el estatus fractal de la col. Entre la gran cantidad de vegetales exóticos se encontraba una caja entera de fractales. Era coliflor romanescu, o brócoli románico.
Resulta que los diseñadores y artistas 3D admiran sus exóticas formas fractales.
Los cogollos de repollo crecen en una espiral logarítmica. La primera mención de la col romanescu procede de Italia en el siglo XVI.
Y el brócoli y el repollo no son un invitado frecuente en mi dieta, aunque es muchas veces superior a la coliflor en cuanto a contenido de nutrientes y microelementos. Pero su superficie y forma son tan uniformes que nunca se me ocurrió ver en él un fractal vegetal.
Fractales en quilling
Habiendo visto artesanías caladas en la técnica de quilling, nunca perdí la sensación de que me recordaban algo. La repetición de los mismos elementos en diferentes tamaños es, por supuesto, el principio de fractalidad.
Después de ver otra clase magistral sobre quilling, ya no hubo dudas sobre la naturaleza fractal del quilling. De hecho, para hacer varios elementos para manualidades de quilling, se utiliza una regla especial con círculos de diferentes diámetros. A pesar de toda la belleza y singularidad de los productos, se trata de una técnica increíblemente sencilla.
Casi todos los elementos principales para las manualidades de quilling están hechos de papel. Para abastecerse de papel para quilling gratis, eche un vistazo a las estanterías de su casa. Seguramente encontrará allí un par de revistas brillantes y brillantes.
Las herramientas de quilling son sencillas y económicas. Todo lo que necesita para realizar trabajos de quilling amateur se puede encontrar entre los suministros de papelería de su hogar.
Y la historia del quilling comienza en el siglo XVIII en Europa. Durante el Renacimiento, los monjes de los monasterios franceses e italianos utilizaban quilling para decorar las portadas de los libros y ni siquiera eran conscientes de la naturaleza fractal de la técnica de enrollado de papel que habían inventado. Las chicas de la alta sociedad incluso tomaban cursos de quilling en escuelas especiales. Fue así como esta técnica comenzó a extenderse por países y continentes.
Esta clase magistral de quilling en video sobre cómo hacer un plumaje lujoso puede incluso llamarse "fractales de bricolaje". Con la ayuda de fractales de papel se obtienen maravillosas tarjetas de San Valentín exclusivas y muchas otras cosas interesantes. Después de todo, la fantasía, como la naturaleza, es inagotable.
No es ningún secreto que los japoneses tienen un espacio muy limitado en la vida y, por lo tanto, deben hacer todo lo posible para utilizarlo de manera eficaz. Takeshi Miyakawa muestra cómo esto se puede hacer de forma eficaz y estética. Su gabinete fractal confirma que el uso de fractales en el diseño no es solo un homenaje a la moda, sino también una solución de diseño armoniosa en condiciones de espacio limitado.
Este ejemplo del uso de fractales en la vida real, en relación con el diseño de muebles, me mostró que los fractales son reales no sólo en el papel, en fórmulas matemáticas y programas de computadora.
Y parece que la naturaleza utiliza el principio de fractalidad en todas partes. Sólo necesitas mirarlo más de cerca y se manifestará en toda su magnífica abundancia e infinidad de ser.
Fractales en la naturaleza
fractales(lat. fractus- aplastado) es un término que significa una figura geométrica que tiene la propiedad de autosemejanza, es decir, compuesta de varias partes, cada una de las cuales es similar a la figura completa.La naturaleza a menudo crea fractales asombrosos y hermosos, con una geometría ideal y tal armonía que simplemente te congelas de admiración.
Desde montañas gigantes hasta lo que comemos en el almuerzo, se puede ver una armonía perfecta en todas partes.
conchas de mar
Nautilus es uno de los ejemplos más famosos de naturaleza fractal.
Copos de nieve
Iluminación
Los relámpagos aterrorizan y asustan y al mismo tiempo deleitan con su belleza. Los fractales creados por los rayos no son arbitrarios ni regulares.
Romanesa
Este tipo especial de brócoli, un primo crucífero y sabroso del repollo, es un fractal particularmente simétrico. Puedes prepararlo para tu profesor de matemáticas favorito.
Helecho
El helecho es un buen ejemplo de fractal entre la flora.
Encaje de la reina Ana
La zanahoria silvestre Queen Anne's Lace es un ejemplo perfecto de fractal floral. Cada constelación se copia exactamente igual, sólo que más pequeña. La foto fue tomada desde abajo para verlo en todo su esplendor.
Brócoli
Aunque el brócoli no es tan geométrico como la romanessa, también es fractal.
Pavo real
Los pavos reales son conocidos por todos por su colorido plumaje, en el que se esconden fractales sólidos. ¿Has visto alguna vez un pavo real albino? Mirar
Una piña
La piña es una fruta inusual; de hecho, es un fractal. Aunque a menudo se asocia con Hawái, la fruta es originaria del sur de Brasil.
Nubes
Mira por la ventana ahora. Casi en cualquier momento puedes ver fractales en el cielo.
Cristales
Los patrones de hielo y escarcha en las ventanas también son fractales.
Montañas
Las grietas de las montañas y las costas, aunque arbitrarias en sus líneas, también son fractales.
Arboles y hojas
Desde una imagen ampliada de una hoja hasta las ramas de un árbol: los fractales se pueden encontrar en todo
Línea costera
Fragmentos individuales de la costa crean fractalidad. Y esto es florida
Ríos y fiordos
Desde el oeste de los Estados Unidos de América hasta los fiordos helados de Noruega, los pasajeros de las aerolíneas pueden verlo todo. Y agradecemos a algunos por tener el coraje de fotografiar tanta belleza.
Erizos de mar y estrellas de mar
Los erizos de mar son tan pequeños y compactos, como si salieran de la mano de un experto joyero. ¿Pero quién superará a la naturaleza? Y las estrellas de mar son como un reflejo de las celestiales.
Estalagmitas y estalactitas
Mientras las estalagmitas se elevan desde el suelo, las estalactitas se acercan a él.
