1. Linealidad. La transformada de Fourier es una de las operaciones integrales lineales, es decir espectro de suma de señal igual a la suma espectros de estas señales.
a n s n (t)? un norte S norte (n)
2. Propiedades de paridad
Las transformaciones están determinadas por las partes coseno (par, real) y seno (impar, imaginaria) de la expansión y la similitud de las transformaciones directas e inversas.
- 3. Cambiar el argumento de una función (compresión o expansión de la señal) conduce a un cambio inverso en el argumento de su transformada de Fourier y a un cambio inversamente proporcional en su módulo.
- 4. Teorema del retraso. El retraso (desplazamiento, desplazamiento) de la señal en el argumento de la función en el intervalo t o conduce a un cambio en la función de frecuencia de fase del espectro (ángulo de fase de todos los armónicos) en una cantidad - št o sin cambiar el módulo (función de amplitud) del espectro.
5. Transformación derivada (diferenciación de señales):
s(t) = d/dt = d/dt =Y(уж) dш= = jш Y(уж) exp(jшt) dш jш Y(уж).
Por lo tanto, la diferenciación de la señal se muestra en el dominio espectral simplemente multiplicando el espectro de la señal por operador de diferenciación de señales en el dominio de la frecuencia jш, lo que equivale a diferenciar cada armónico del espectro. La multiplicación por jн conduce al enriquecimiento del espectro de la señal derivada con componentes de alta frecuencia (en comparación con la señal original) y destruye componentes con frecuencia cero.
6. Transformación de la integral La señal en el dominio de la frecuencia con un espectro de señal conocido se puede obtener a partir de las siguientes consideraciones simples. Si s(t) = d/dt jшY(у) = S(у), entonces también se debe realizar la operación inversa: y(t) = s(t) dt Y(у) = S(у)/jш. Esto implica:
s(t)dt ? (1/jw)S(w).
Operador de integración en el dominio de la frecuencia. (1/j w) con w >1 debilita las altas frecuencias en el espectro de amplitud y con w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных.
7. Transformación de convolución de señal y(t) = s(t) * h(t):
Y(у) =y(t) exp(-jшt) dt =s(ф) h(t- ф) exp(-jшt) dфdt
Y(φ) =s(φ) dφ h(t-φ) exp(-jφt) dt.
Según el teorema del retraso:
h(t- ph) exp(-jscht) dt = H(t- ph) exp(-jscht).
Y(sq) =H(s) s(f) exp(-js f) df= H(s)·S(s).
s(t) * h(t)?S(w)H(w).
De este modo, la convolución de funciones en forma de coordenadas se muestra en representación de frecuencia mediante el producto de las imágenes de Fourier de estas funciones.
8. Transformación del producto de señales y(t) = s(t) h(t):
Y(?) =s(t) h(t) exp(-j?t) dt =s(t) [(1/2?)H(?") exp(j?"t) d?"] dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(-j(?-?")t) d?"dt = (1/2?)H(?") d?"s(t ) exp(-j(?-?")t) dt = (1/2?)H(?") S(?-?") d?" = (1/2?) H(?) * S(?).
El producto de funciones en forma de coordenadas se muestra en representación de frecuencia mediante la convolución de las imágenes de Fourier de estas funciones.
9. Multiplicar la señal por la función armónica llena la señal con la frecuencia armónica y genera un pulso de radio.
10. Espectros de potencia. Si la función s(t) tiene una transformada de Fourier S(?), entonces la densidad espectral de potencia de esta función está determinada por las expresiones:
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |S(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?).
El espectro de potencia es una función par real no negativa, que muy a menudo se denomina espectro de energía. El espectro de potencia, como el cuadrado del módulo del espectro de la señal, no contiene información de fase sobre los componentes de frecuencia y, por lo tanto, la reconstrucción de la señal a partir del espectro de potencia es imposible. Esto también significa que señales con diferentes características de fase pueden tener el mismo espectro de potencia. En particular, el cambio de señal no afecta su espectro de potencia. método matemático transformada de Fourier
11. La igualdad de Parseval. Energía total del espectro de la señal:
E s =W(f)df=|S(f)| 2 gl.
Dado que las representaciones de coordenadas y frecuencia son esencialmente representaciones matemáticas diferentes de la misma señal, la energía de la señal en las dos representaciones también debe ser igual, lo que implica la igualdad de Parseval:
|s(t)| 2dt =|S(f)| 2 gl,
aquellos. la energía de la señal es igual a la integral del módulo de su espectro de frecuencia, la suma de las energías de todos los componentes de frecuencia de la señal.
Habiendo aprendido a calcular las densidades espectrales de señales de pulso bastante simples pero que se encuentran con frecuencia, pasemos a un estudio sistemático de las propiedades de la transformada de Fourier.
Linealidad de la transformada de Fourier.
Esta propiedad tan importante se formula de la siguiente manera: si hay un determinado conjunto de señales, entonces la suma ponderada de las señales se transforma en Fourier de la siguiente manera:
Aquí hay coeficientes numéricos arbitrarios.
Para probar la fórmula (2.26), se debe sustituir la suma de las señales en la transformada de Fourier (2.16).
Propiedades de las partes real e imaginaria de la densidad espectral.
Sea una señal que tome valores reales. Su densidad espectral en el caso general es compleja:
Sustituimos esta expresión en la fórmula de la transformada de Fourier inversa (2.18):
Para que la señal obtenida mediante tal doble transformación siga siendo real, es necesario exigir que
Esto sólo es posible si la parte real de la densidad espectral de la señal es par y la parte imaginaria es una función impar de la frecuencia:
Densidad espectral de una señal en diferido.
Supongamos que se conoce la correspondencia de la señal, consideremos la misma señal, pero que ocurre segundos después. Tomando el punto como el nuevo origen del tiempo, denotamos esta señal desplazada como Demostremos que
La prueba es muy sencilla. En realidad,
El módulo de un número complejo es igual a uno para cualquier valor, por lo que las amplitudes de los componentes armónicos elementales que componen la señal no dependen de su posición en el eje del tiempo. La información sobre esta característica de la señal está contenida en la dependencia de la frecuencia del argumento de su densidad espectral (espectro de fase).
Dependencia de la densidad espectral de la señal de la elección de la escala de medición del tiempo.
Supongamos que la señal original está sujeta a un cambio de escala de tiempo. Esto significa que el papel del tiempo t lo desempeña una nueva variable independiente (k es algún número real). Si esto ocurre, se produce una “compresión” de la señal original; si la señal se “estira” en el tiempo.
Resulta que si entonces
En realidad,
de donde se sigue la fórmula (2.29).
Entonces, para, por ejemplo, comprimir una señal en el tiempo manteniendo su forma, es necesario distribuir los mismos componentes espectrales en un rango de frecuencia más amplio con la correspondiente disminución proporcional en sus amplitudes.
El siguiente problema está estrechamente relacionado con el tema aquí considerado.
Dado un pulso diferente de cero en un segmento y caracterizado por su densidad espectral, es necesario encontrar la densidad espectral de una señal "invertida en el tiempo", que es una "copia especular" de la oscilación del pulso original. Porque es obvio que
Después de realizar un cambio de variable, encontramos que
Densidad espectral de la derivada e integral indefinida.
Sea la señal s(t) y su densidad espectral. Estudiaremos la nueva señal y nos fijaremos el objetivo de encontrar su densidad espectral.
Priorato,
La transformada de Fourier es una operación lineal, lo que significa que la igualdad (2.31) también es cierta con respecto a las densidades espectrales. Teniendo en cuenta (2.28), obtenemos
Representando la función exponencial mediante una serie de Taylor: sustituyendo esta serie en (2.32) y limitándonos a los dos primeros términos, encontramos
Con la diferenciación, aumenta la tasa de cambio de la señal a lo largo del tiempo. Como consecuencia, el módulo del espectro de la derivada tiene valores mayores en la región de alta frecuencia en comparación con el módulo del espectro de la señal original.
La fórmula (2.33) se generaliza al caso del espectro de derivadas de orden. Es fácil demostrar que si , entonces
Entonces, diferenciar una señal con respecto al tiempo equivale a una simple operación algebraica de multiplicar la densidad espectral por un factor, por lo que se acostumbra decir que un número imaginario es un operador de diferenciación que opera en el dominio de la frecuencia.
La función considerada es una antiderivada (integral indefinida) con respecto a la función. De (2.33) se sigue formalmente que el espectro de la antiderivada
Por tanto, el multiplicador sirve como operador de integración en el dominio de la frecuencia.
Densidad espectral de la señal en la salida del integrador.
En muchos dispositivos de ingeniería de radio se utilizan los llamados integradores, sistemas físicos cuya señal de salida es proporcional a la integral de la acción de entrada. Consideremos específicamente un integrador que convierte la señal de entrada en una señal de salida de acuerdo con la siguiente ley:
Aquí hay un parámetro fijo.
La integral definida incluida en (2.36) es obviamente igual a la diferencia entre dos valores de la antiderivada de la señal, uno de los cuales se calcula con el argumento t y el otro con el argumento . Utilizando las relaciones (2.28) y (2.35), obtenemos la fórmula para la relación entre las densidades espectrales de las señales en la entrada y salida:
El factor entre paréntesis está limitado a cualquier frecuencia, mientras que la magnitud del denominador aumenta linealmente al aumentar la frecuencia. Esto indica que el integrador en cuestión actúa como un filtro de paso bajo, atenuando los componentes espectrales de alta frecuencia de la señal de entrada.
Como se desprende de la teoría de la serie de Fourier, es aplicable cuando se trata de funciones periódicas y de funciones con un intervalo limitado de variación de variables independientes (ya que este intervalo se puede extender a todo el eje extendiendo periódicamente la función). Sin embargo, las funciones periódicas son relativamente raras en la práctica. Esta situación requiere la creación de un aparato matemático más general para manejar funciones no periódicas, a saber, la integral de Fourier y, en base a ella, la transformada de Fourier.
Consideremos la función no periódica f(t) como el límite de una periódica de periodo T=2l para l®?.
Una función periódica con un período de 2l se puede representar como una expansión en serie de Fourier (usaremos su forma compleja)
donde las expresiones para los coeficientes tienen la forma:
Introduzcamos la siguiente notación para frecuencias:
Escribamos el desarrollo en la serie de Fourier en forma de una fórmula, sustituyendo en (1) la expresión por los coeficientes (2) y por la frecuencia (3):
Espectro discreto de una función periódica con período 2l.
Denotemos la distancia mínima entre los puntos del espectro, igual a la frecuencia fundamental de oscilaciones para, es decir
e introduzca esta notación en (4):
En esta notación, la serie de Fourier se parece a la suma integral de una función.
¿Ir al límite en T=2l®? a una función no periódica, encontramos que el intervalo de frecuencia se vuelve infinitesimal (lo denotamos como dw) y el espectro se vuelve continuo. Desde un punto de vista matemático, esto corresponde a reemplazar la suma sobre un conjunto discreto con la integración sobre la variable correspondiente sobre límites infinitos.
Esta expresión es la fórmula integral de Fourier.
2.2 Fórmulas de transformada de Fourier.
Es conveniente representar la integral de Fourier como una superposición de dos fórmulas:
La función F(w), comparable según la primera fórmula de la función f(t), se llama su Transformada de Fourier. A su vez, la segunda fórmula, que permite encontrar la función original a partir de su imagen, se llama transformada inversa de Fourier. Prestemos atención a la simetría de las fórmulas de las transformadas de Fourier directa e inversa con una precisión de un factor constante de 1/2p y el signo en el exponente.
Simbólicamente, las transformadas de Fourier directa e inversa se denotarán como f(t)~F(w).
Haciendo una analogía con la serie trigonométrica de Fourier, podemos llegar a la conclusión de que la imagen de Fourier (6) es un análogo del coeficiente de Fourier (ver (2)), y la transformada inversa de Fourier (7) es un análogo de la expansión. de una función en una serie trigonométrica de Fourier (ver (1) )).
Tenga en cuenta que el multiplicador, en lugar de la transformación inversa, se puede atribuir a la transformada directa de Fourier o hacer factores simétricos para las transformaciones directa e inversa. Lo principal es que ambas transformaciones juntas forman la fórmula integral de Fourier (5), es decir el producto de factores constantes durante la transformación directa e inversa debe ser igual.
Tenga en cuenta que para fines aplicados, no es la frecuencia angular w la más conveniente, sino la frecuencia n asociada a la primera por la relación w = 2pn. y medido en Hertz (Hz). En términos de esta frecuencia, las fórmulas de la transformada de Fourier se verán así:
Formulemos sin pruebas condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Fourier.
- 1) f(t) - limitado en t?(-?,?);
- 2) f(t) - absolutamente integrable en t?(-?,?);
- 3) El número de puntos de discontinuidad, máximo y mínimo de la función f(t) es finito.
Otra condición suficiente es el requisito de que la función sea cuadráticamente integrable en su eje real, lo que físicamente corresponde al requisito de una potencia de señal finita.
Así, utilizando la transformada de Fourier, tenemos dos formas de representar la señal: tiempo f(t) y frecuencia F(w).
- 2.3 Propiedades de la transformada de Fourier.
- 1. Linealidad.
Si f(t)~F(w),g(t)~G(w),
entonces аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
La prueba se basa en las propiedades lineales de las integrales.
- 2. Paridad.
- 2.1 Si f(t) es una función par real y f(t)~F(w), entonces F(w) también es una función par real.
Prueba:
Usando la definición (6), así como la fórmula de Euler, obtenemos
- -función uniforme.
- 2.2 Si f(t) es una función real impar, entonces F(w) es una función imaginaria impar.
2.3 Si f(t) es una función real arbitraria, F(w) tiene una parte real par y una parte imaginaria impar.
Prueba:
Las propiedades de la paridad 2 se pueden resumir en la fórmula:
3. Similitud
Si f(t)~F(w), entonces f(at)~.
- 4. Inclinación.
- 4.1 Si f(t)~F(w), entonces f(t-a)~.
Aquellos. El retardo de tiempo corresponde a la multiplicación por una exponencial compleja en el dominio de la frecuencia.
4.2 Si f(t)~F(w), entonces~.
Aquellos. el cambio de frecuencia corresponde a la multiplicación por una exponencial compleja en el dominio del tiempo.
- 5. Si f(t)~F(w), entonces
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
si f(t) tiene n derivadas continuas.
Prueba:
si F(w) tiene n derivadas continuas.
Prueba:
- 2.4 Los ejemplos más importantes de cómo encontrar la transformada de Fourier..
¿Dónde está el impulso rectangular?
Al mismo tiempo, tomamos en cuenta que es la integral de Poisson.
Encontrar la última integral se puede explicar de la siguiente manera. El contorno de integración C es una recta en el plano complejo (t,w), paralela al eje real (w es un número constante). La integral de una función escalar en un circuito cerrado es cero. Formamos un circuito cerrado formado por una recta C y un eje real t, que se cierra en el infinito. Porque en el infinito la función integrando tiende a cero, entonces las integrales a lo largo de las curvas de cierre son iguales a cero. Esto significa que la integral a lo largo de la recta C es igual a la integral tomada a lo largo del eje real real que pasa en dirección positiva.
2 .5 El principio de incertidumbre para la representación tiempo-frecuencia de la señal.
Usando el ejemplo de un pulso rectangular, mostraremos la validez. principio de incertidumbre consistente en el hecho de que es imposible localizar simultáneamente un pulso en el tiempo y mejorar su selectividad de frecuencia.
Según 5), la anchura del pulso rectangular en el dominio del tiempo DT es igual a 2T. Tomamos la distancia entre ceros adyacentes de la joroba central en el dominio de la frecuencia como el ancho de la imagen de Fourier de un pulso rectangular. Los primeros ceros de la función están en.
Así obtenemos
Por tanto, cuanto más localizado está un pulso en el tiempo, más se difumina su espectro. Por el contrario, para reducir el espectro, nos vemos obligados a estirar el pulso en el tiempo. Este principio es válido para cualquier forma de impulso y es universal.
2.6 Convolución y sus propiedades.
La convolución es el procedimiento principal al filtrar una señal.
Llamemos a una función h(t) la convolución de funciones no periódicas f(t) y h(t) si se define como la siguiente integral:
Denotaremos simbólicamente este hecho como.
La operación de convolución tiene las siguientes propiedades.
- 1. Conmutatividad.
La prueba de conmutatividad se puede obtener cambiando la variable t-t=t’
- 2. Asociatividad
Prueba:
- 3. Distributividad
La prueba de esta propiedad se deriva directamente de las propiedades lineales de las integrales.
Para el procesamiento de señales, lo más importante en el método de Fourier (después de las fórmulas de la transformada de Fourier) son los teoremas de convolución. Usaremos la frecuencia n en lugar de w, porque Los teoremas de convolución en esta representación serán mutuamente invertibles.
2.7 teoremas de convolución
Primer teorema de convolución.
La transformada de Fourier de un producto directo de funciones es igual a la convolución de las transformaciones
Prueba:
Que así sea entonces. Utilizando la definición de la transformada inversa de Fourier y cambiando el orden de integración, obtenemos:
En términos de frecuencia angular w, este teorema tiene una forma menos universal
Segundo teorema de convolución.
La transformada de Fourier de la convolución de funciones es igual al producto directo de las transformaciones.
Prueba:
Por ejemplo, considere la convolución de un pulso rectangular.
Por condición f(t)=0 en t<-T и приt>T. De manera similar, f(t-t)=0 para
t-t<-T и при t-t>Atar. att>t+T y att a -2T Combinando ambos casos, obtenemos la expresión de convolución: Por lo tanto, la convolución de un pulso rectangular consigo mismo será un pulso triangular (a veces esta función se llama función L). Usando el teorema de convolución, podemos obtener fácilmente la transformada de Fourier de la función L En la práctica, las situaciones físicas corresponden a funciones iguales a cero en t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Encuentra la convolución de las funciones f(t) y g(t) porque f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Introduzcamos el concepto de correlación mutua de dos funciones f(t) y g(t). donde t es un cambio de tiempo que cambia continuamente en el intervalo (-?,?). Un concepto importante es la correlación de una función consigo misma, lo que se denomina autocorrelación. Pasemos a considerar el concepto de potencia y energía de la señal. La importancia de estos conceptos se explica por el hecho de que cualquier transferencia de información es en realidad una transferencia de energía. Considere una señal compleja arbitraria f(t). La potencia instantánea de la señal p(t) está determinada por la igualdad La energía total es igual a la integral de la potencia instantánea durante todo el período de existencia de la señal: La potencia de la señal también se puede considerar en función de la frecuencia. En este caso, la potencia de frecuencia instantánea se denota como. La energía total de la señal se calcula mediante la fórmula. La energía total de la señal no debe depender de la representación seleccionada. Los valores de energía total calculados a partir de las representaciones de tiempo y frecuencia deben coincidir. Por tanto, igualando los lados derechos, obtenemos la igualdad: Esta igualdad constituye el contenido del teorema de Parseval para señales no periódicas. Se dará una demostración rigurosa de este teorema al estudiar el tema "Funciones generalizadas". De manera similar, expresando la energía de interacción de dos señales diferentes f(t) y g(t) en representación de tiempo y frecuencia, obtenemos: Descubramos el significado matemático del teorema de Parseval. Desde un punto de vista matemático, la integral es el producto escalar de las funciones f(t) y g(t), denotada como (f,g). La cantidad se llama norma de la función f(t) y se denota como. Por tanto, del teorema de Parseval se deduce que el producto escalar es invariante bajo la transformada de Fourier, es decir Potencia de señal instantánea considerada en función de la frecuencia, es decir , tiene otro nombre generalmente aceptado: espectro de potencia. El espectro de potencia es la principal herramienta matemática del análisis espectral, que permite determinar la composición frecuencial de una señal. Además del espectro de potencia de la señal, en la práctica se utilizan los espectros de amplitud y fase, definidos respectivamente como: La densidad del espectro de potencia de la señal f(t) es igual a la transformada de Fourier de la función de autocorrelación La densidad de señales transespectrales f(t) y g(t) es igual a la transformada de Fourier de la función de correlación. Ambas afirmaciones se pueden combinar en una: la densidad espectral es igual a la transformada de Fourier de la función de correlación. La prueba se dará más adelante, después de introducir el concepto de función generalizada. Creo que, en general, todo el mundo es consciente de la existencia de una herramienta matemática tan maravillosa como la transformada de Fourier. Sin embargo, por alguna razón se enseña tan mal en las universidades que relativamente pocas personas entienden cómo funciona esta transformación y cómo se debe utilizar correctamente. Mientras tanto, las matemáticas de esta transformación son sorprendentemente hermosas, simples y elegantes. Invito a todos a aprender un poco más sobre la transformada de Fourier y el tema relacionado de cómo las señales analógicas se pueden convertir efectivamente en señales digitales para procesamiento computacional. Sin utilizar fórmulas complejas ni Matlab, intentaré responder las siguientes preguntas: Partiré del supuesto de que el lector comprende qué es una integral, un número complejo (así como su módulo y argumento), la convolución de funciones, además de al menos una idea "práctica" de lo que es la función delta de Dirac. es. Si no lo sabe, no hay problema, lea los enlaces anteriores. A lo largo de este texto, por "producto de funciones" me referiré a "multiplicación puntual". Probablemente deberíamos comenzar con el hecho de que la transformada de Fourier habitual es algo que, como se puede adivinar por el nombre, transforma una función en otra, es decir, asocia cada función de una variable real x(t) con su espectro o imagen de Fourier y (w): Si damos analogías, entonces un ejemplo de transformación de significado similar puede ser, por ejemplo, la diferenciación, convirtiendo una función en su derivada. Es decir, la transformada de Fourier es esencialmente la misma operación que tomar la derivada y, a menudo, se denota de manera similar dibujando un “límite” triangular sobre la función. Sólo que, a diferencia de la diferenciación, que también se puede definir para números reales, la transformada de Fourier siempre “funciona” con números complejos más generales. Debido a esto, constantemente surgen problemas al mostrar los resultados de esta transformación, ya que los números complejos no están determinados por una, sino por dos coordenadas en un gráfico que opera con números reales. La forma más conveniente, por regla general, es representar números complejos en forma de módulo y argumento y dibujarlos por separado como dos gráficos separados: La gráfica del argumento del valor complejo a menudo se denomina en este caso “espectro de fase”, y la gráfica del módulo a menudo se denomina “espectro de amplitud”. El espectro de amplitud suele ser de mucho mayor interés y, por lo tanto, a menudo se omite la parte de “fase” del espectro. En este artículo también nos centraremos en los aspectos de la “amplitud”, pero no debemos olvidarnos de la existencia de la parte faltante de la fase del gráfico. Además, en lugar del módulo habitual de un valor complejo, a menudo se dibuja su logaritmo decimal multiplicado por 10. El resultado es un gráfico logarítmico, cuyos valores se muestran en decibeles (dB). Tenga en cuenta que los números no muy negativos en el gráfico logarítmico (-20 dB o menos) corresponden a números casi cero en el gráfico "normal". Por lo tanto, las "colas" largas y anchas de varios espectros en tales gráficos, cuando se muestran en coordenadas "ordinarias", por regla general, prácticamente desaparecen. La conveniencia de una representación tan extraña a primera vista surge del hecho de que las imágenes de Fourier de diversas funciones a menudo deben multiplicarse entre sí. Con esta multiplicación puntual de imágenes de Fourier de valores complejos, se suman sus espectros de fase y se multiplican sus espectros de amplitud. Lo primero es fácil de hacer, mientras que lo segundo es relativamente difícil. Sin embargo, los logaritmos de la amplitud se suman al multiplicar las amplitudes, por lo que los gráficos de amplitud logarítmica pueden, al igual que los gráficos de fase, simplemente sumarse puntualmente. Además, en problemas prácticos suele ser más conveniente operar no con la “amplitud” de la señal, sino con su “potencia” (el cuadrado de la amplitud). En una escala logarítmica, ambos gráficos (amplitud y potencia) parecen idénticos y difieren solo en el coeficiente: todos los valores en el gráfico de potencia son exactamente el doble que en la escala de amplitud. En consecuencia, para trazar un gráfico de distribución de energía por frecuencia (en decibeles), no se puede elevar nada al cuadrado, sino calcular el logaritmo decimal y multiplicarlo por 20. ¿Estas aburrido? Espera un poco más, pronto terminaremos con la parte aburrida del artículo que explica cómo interpretar gráficos :). Pero antes de eso, hay una cosa extremadamente importante que debemos entender: aunque todos los gráficos de espectro anteriores se dibujaron para algunos rangos limitados de valores (números positivos en particular), todos estos gráficos en realidad continúan hasta más y menos infinito. Los gráficos simplemente representan una parte "más significativa" del gráfico, que generalmente se refleja para los valores negativos del parámetro y, a menudo, se repite periódicamente con un cierto paso cuando se ve en una escala mayor. Habiendo decidido qué se dibuja en los gráficos, volvamos a la transformada de Fourier y sus propiedades. Hay varias formas diferentes de definir esta transformación, que se diferencian en pequeños detalles (diferentes normalizaciones). Por ejemplo, en nuestras universidades, por alguna razón, suelen utilizar la normalización de la transformada de Fourier, que define el espectro en términos de frecuencia angular (radianes por segundo). Utilizaré una formulación occidental más conveniente que define el espectro en términos de frecuencia ordinaria (hercios). Las transformadas de Fourier directa e inversa en este caso están determinadas por las fórmulas de la izquierda, y algunas propiedades de esta transformación que necesitaremos están determinadas por una lista de siete puntos de la derecha: La primera de estas propiedades es la linealidad. Si tomamos alguna combinación lineal de funciones, entonces la transformada de Fourier de esta combinación será la misma combinación lineal de las imágenes de Fourier de estas funciones. Esta propiedad permite reducir funciones complejas y sus imágenes de Fourier a otras más simples. Por ejemplo, la transformada de Fourier de una función sinusoidal con frecuencia f y amplitud a es una combinación de dos funciones delta ubicadas en los puntos f y -f y con coeficiente a/2: Si tomamos una función que consiste en la suma de un conjunto de sinusoides con diferentes frecuencias, entonces, según la propiedad de linealidad, la transformada de Fourier de esta función consistirá en un conjunto correspondiente de funciones delta. Esto nos permite dar una interpretación ingenua pero visual del espectro según el principio "si en el espectro de una función la frecuencia f corresponde a la amplitud a, entonces la función original se puede representar como una suma de sinusoides, una de las cuales será una sinusoide con frecuencia f y amplitud 2a”. Estrictamente hablando, esta interpretación es incorrecta, ya que la función delta y el punto en la gráfica son cosas completamente diferentes, pero como veremos más adelante, para las transformadas discretas de Fourier esto no estará tan lejos de la verdad. La segunda propiedad de la transformada de Fourier es la independencia del espectro de amplitud del desplazamiento temporal de la señal. Si movemos una función hacia la izquierda o hacia la derecha a lo largo del eje x, entonces solo cambiará su espectro de fase. La tercera propiedad es que estirar (comprimir) la función original a lo largo del eje de tiempo (x) comprime (estira) proporcionalmente su imagen de Fourier a lo largo de la escala de frecuencia (w). En particular, el espectro de una señal de duración finita es siempre infinitamente ancho y, a la inversa, el espectro de ancho finito siempre corresponde a una señal de duración ilimitada. Las propiedades cuarta y quinta son quizás las más útiles de todas. Permiten reducir la convolución de funciones a una multiplicación puntual de sus imágenes de Fourier, y viceversa: la multiplicación puntual de funciones a una convolución de sus imágenes de Fourier. Un poco más adelante mostraré lo conveniente que es esto. La sexta propiedad habla de la simetría de las imágenes de Fourier. En particular, de esta propiedad se deduce que en la transformada de Fourier de una función de valor real (es decir, cualquier señal "real"), el espectro de amplitud es siempre una función par, y el espectro de fase (si se lleva al rango -pi ...pi) es extraño. Es por esta razón que la parte negativa del espectro casi nunca se dibuja en los gráficos del espectro; para señales de valor real no proporciona ninguna información nueva (pero, repito, tampoco es cero). Finalmente, la última, séptima propiedad, dice que la transformada de Fourier preserva la "energía" de la señal. Sólo tiene sentido para señales de duración finita, cuya energía es finita, y sugiere que el espectro de tales señales en el infinito se aproxima rápidamente a cero. Es precisamente debido a esta propiedad que los gráficos del espectro generalmente representan solo la parte "principal" de la señal, que transporta la mayor parte de la energía; el resto del gráfico simplemente tiende a cero (pero, nuevamente, no es cero). Armados con estas 7 propiedades, veamos las matemáticas de la "digitalización" de señales, que le permite convertir una señal continua en una secuencia de números. Para hacer esto, necesitamos tomar una función conocida como “peine de Dirac”: Un peine de Dirac es simplemente una secuencia periódica de funciones delta con coeficiente unitario, comenzando en cero y continuando con el paso T. Para digitalizar señales, T se elige un número lo más pequeño posible, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: En lugar de una función continua, después de dicha multiplicación, se obtiene una secuencia de pulsos delta de cierta altura. Además, según la propiedad 5 de la transformada de Fourier, el espectro de la señal discreta resultante es una convolución del espectro original con el correspondiente peine de Dirac. Es fácil entender que, basándose en las propiedades de la convolución, el espectro de la señal original se "copia" un número infinito de veces a lo largo del eje de frecuencia con un paso de 1/T, y luego se suma. Tenga en cuenta que si el espectro original tenía un ancho finito y utilizamos una frecuencia de muestreo suficientemente alta, entonces las copias del espectro original no se superpondrán y, por lo tanto, no se sumarán entre sí. Es fácil entender que a partir de un espectro tan "colapsado" será fácil restaurar el original; bastará con tomar el componente del espectro en la región de cero, "cortando" las copias adicionales que van al infinito. La forma más sencilla de hacer esto es multiplicar el espectro por una función rectangular igual a T en el rango -1/2T...1/2T y cero fuera de este rango. Tal transformada de Fourier corresponde a la función sinc(Tx) y según la propiedad 4, tal multiplicación es equivalente a la convolución de la secuencia original de funciones delta con la función sinc(Tx) Es decir, usando la transformada de Fourier, tenemos una manera de reconstruir fácilmente la señal original a partir de una muestreada en el tiempo, siempre que usemos una frecuencia de muestreo que sea al menos el doble (debido a la presencia de frecuencias negativas en el espectro). mayor que la frecuencia máxima presente en la señal original. Este resultado es ampliamente conocido y se denomina “teorema de Kotelnikov/Shannon-Nyquist”. Sin embargo, como es fácil de notar ahora (entendiendo la prueba), este resultado, contrariamente a la idea errónea generalizada, determina suficiente, pero no necesario condición para restaurar la señal original. Todo lo que necesitamos es asegurarnos de que la parte del espectro que nos interesa después de muestrear la señal no se superponga entre sí, y si la señal es de banda lo suficientemente estrecha (tiene un pequeño "ancho" de la parte del espectro distinta de cero), entonces este resultado a menudo se puede lograr a una frecuencia de muestreo mucho menor que el doble de la frecuencia máxima de la señal. Esta técnica se denomina “submuestreo” (submuestreo, muestreo de paso de banda) y se utiliza bastante en el procesamiento de todo tipo de señales de radio. Por ejemplo, si tomamos una radio FM que opera en la banda de frecuencia de 88 a 108 MHz, para digitalizarla podemos usar un ADC con una frecuencia de solo 43,5 MHz en lugar de los 216 MHz supuestos por el teorema de Kotelnikov. En este caso, sin embargo, necesitarás un ADC de alta calidad y un buen filtro. Permítanme señalar que la "duplicación" de altas frecuencias con frecuencias de orden inferior (aliasing) es una propiedad inmediata del muestreo de señales que "estropea" irreversiblemente el resultado. Por lo tanto, si la señal puede, en principio, contener frecuencias de alto orden (es decir, casi siempre), se coloca un filtro analógico frente al ADC, "cortando" todo lo innecesario directamente en la señal original (ya que después del muestreo será demasiado tarde para hacer esto). Las características de estos filtros, como dispositivos analógicos, no son ideales, por lo que todavía se producen algunos "daños" en la señal y, en la práctica, se deduce que las frecuencias más altas del espectro, por regla general, no son fiables. Para reducir este problema, la señal a menudo se sobremuestre, configurando el filtro analógico de entrada en un ancho de banda más bajo y usando solo la parte inferior del rango de frecuencia teóricamente disponible del ADC. Por cierto, otro error común es que la señal en la salida del DAC se extrae en "pasos". Los “pasos” corresponden a la convolución de una secuencia de señal muestreada con una función rectangular de ancho T y alto 1: El espectro de la señal con esta transformación se multiplica por la imagen de Fourier de esta función rectangular, y para una función rectangular similar es nuevamente sinc(w), “estirado” cuanto más pequeño es el ancho del rectángulo correspondiente. El espectro de la señal muestreada con un “DAC” de este tipo se multiplica punto por punto por este espectro. En este caso, las altas frecuencias innecesarias con "copias adicionales" del espectro no se cortan por completo, sino que, por el contrario, se atenúa la parte superior de la parte "útil" del espectro. En la práctica, por supuesto, nadie hace esto. Hay muchos enfoques diferentes para construir un DAC, pero incluso en los DAC del tipo de ponderación más cercano, los pulsos rectangulares en el DAC, por el contrario, se eligen para que sean lo más cortos posible (acercándose a la secuencia real de funciones delta) para para evitar una supresión excesiva de la parte útil del espectro. Las frecuencias "extra" en la señal de banda ancha resultante casi siempre se cancelan haciendo pasar la señal a través de un filtro de paso bajo analógico, de modo que no haya "pasos digitales" ni "dentro" del convertidor ni, especialmente, en su salida. Sin embargo, volvamos a la transformada de Fourier. La transformada de Fourier descrita anteriormente aplicada a una secuencia de señal previamente muestreada se denomina Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT). El espectro obtenido mediante dicha transformación es siempre 1/T-periódico, por lo tanto el espectro DTFT está completamente determinado por sus valores en el segmento)
