- apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su vértice (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que desciende desde el centro del polígono regular hasta uno de sus lados);
- caras laterales (ASB, BSC, CSD, DSA) - triángulos que se encuentran en el vértice;
- costillas laterales ( COMO , BS , C.S. , D.S. ) — lados comunes de las caras laterales;
- cima de la pirámide (t.S) - un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
- altura ( ENTONCES ) - un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
- sección diagonal de la pirámide- una sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
- base (A B C D) - un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.
Propiedades de la pirámide.
1. Cuando todos los bordes laterales tengan el mismo tamaño, entonces:
- es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
- las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base;
- Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las costillas laterales se forman con el plano de la base ángulos iguales, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo, lo que significa que todos los bordes laterales de la pirámide son del mismo tamaño.
2. Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:
- es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
- las alturas de las caras laterales son de igual longitud;
- el área de la superficie lateral es igual a ½ producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.
3. Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide si en la base de la pirámide hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por el centro de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellas. De este teorema concluimos que tanto alrededor de cualquier triangular como alrededor de cualquier pirámide regular puede describir la esfera.
4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en el primer punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.
La pirámide más simple.
Según el número de ángulos, la base de la pirámide se divide en triangular, cuadrangular, etc.
Habrá una pirámide triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etcétera. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentagonal y así sucesivamente.
Al resolver el problema C2 utilizando el método de coordenadas, muchos estudiantes enfrentan el mismo problema. no pueden calcular coordenadas de puntos incluido en la fórmula producto escalar. Las mayores dificultades surgen pirámides. Y si los puntos base se consideran más o menos normales, entonces los puntos superiores son un auténtico infierno.
Hoy trabajaremos sobre una pirámide cuadrangular regular. ¿Hay algo más? Pirámide triangular(también conocido como - tetraedro). Es más diseño complejo, por lo que se le dedicará una lección aparte.
Primero, recordemos la definición:
Una pirámide regular es aquella que:
- La base es un polígono regular: triángulo, cuadrado, etc.;
- Por su centro pasa una altitud trazada hacia la base.
En particular, la base de una pirámide cuadrangular es cuadrado. Como Keops, sólo que un poco más pequeño.
A continuación se muestran cálculos para una pirámide en la que todas las aristas son iguales a 1. Si este no es el caso en su problema, los cálculos no cambian, solo los números serán diferentes.
Vértices de una pirámide cuadrangular
Entonces, démosle una pirámide cuadrangular regular SABCD, donde S es el vértice y la base ABCD es un cuadrado. Todas las aristas son iguales a 1. Debe ingresar un sistema de coordenadas y encontrar las coordenadas de todos los puntos. Tenemos:
Introducimos un sistema de coordenadas con origen en el punto A:
- El eje OX se dirige paralelo al borde AB;
- El eje OY es paralelo al AD. Como ABCD es un cuadrado, AB ⊥ AD;
- Finalmente, dirigimos el eje OZ hacia arriba, perpendicular al plano ABCD.
Ahora calculamos las coordenadas. Construcción adicional: SH - altura dibujada hasta la base. Por conveniencia, colocaremos la base de la pirámide en un dibujo aparte. Como los puntos A, B, C y D se encuentran en el plano OXY, su coordenada es z = 0. Tenemos:
- A = (0; 0; 0) - coincide con el origen;
- B = (1; 0; 0) - paso a 1 a lo largo del eje OX desde el origen;
- C = (1; 1; 0) - paso en 1 a lo largo del eje OX y en 1 a lo largo del eje OY;
- D = (0; 1; 0) - paso solo a lo largo del eje OY.
- H = (0,5; 0,5; 0) - el centro del cuadrado, la mitad del segmento AC.
Queda por encontrar las coordenadas del punto S. Tenga en cuenta que las coordenadas xey de los puntos S y H son las mismas, ya que se encuentran en una línea paralela al eje OZ. Queda por encontrar la coordenada z para el punto S.
Considere los triángulos ASH y ABH:
- AS = AB = 1 por condición;
- Ángulo AHS = AHB = 90°, ya que SH es la altura y AH ⊥ HB las diagonales del cuadrado;
- El lado AH es común.
Por lo tanto, los triángulos rectángulos ASH y ABH igual un cateto y una hipotenusa cada uno. Esto significa SH = BH = 0,5 BD. Pero BD es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Por lo tanto tenemos:
Coordenadas totales del punto S:
En conclusión, anotamos las coordenadas de todos los vértices de una pirámide rectangular regular:
Qué hacer cuando las costillas son diferentes.
¿Qué pasa si las aristas laterales de la pirámide no son iguales a las aristas de la base? En este caso, considere el triángulo AHS:
Triángulo AHS - rectangular, y la hipotenusa AS también es una arista lateral de la pirámide original SABCD. El tramo AH se calcula fácilmente: AH = 0,5 AC. Encontraremos el tramo restante SH. según el teorema de pitágoras. Esta será la coordenada z para el punto S.
Tarea. Dada una pirámide cuadrangular regular SABCD, en cuya base se encuentra un cuadrado de lado 1. Borde lateral BS = 3. Encuentre las coordenadas del punto S.
Ya conocemos las coordenadas xey de este punto: x = y = 0,5. Esto se desprende de dos hechos:
- La proyección del punto S sobre el plano OXY es el punto H;
- Al mismo tiempo, el punto H es el centro de un cuadrado ABCD, cuyos lados son iguales a 1.
Queda por encontrar la coordenada del punto S. Considere el triángulo AHS. Es rectangular, siendo la hipotenusa AS = BS = 3, siendo el cateto AH la mitad de la diagonal. Para más cálculos necesitamos su longitud:
Teorema de Pitágoras para el triángulo AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Tenemos:
Entonces, las coordenadas del punto S:
Vídeotutorial 2: Problema de pirámide. Volumen de la pirámide
Vídeotutorial 3: Problema de pirámide. Pirámide correcta
Conferencia: La pirámide, su base, nervaduras laterales, altura, superficie lateral; Pirámide triangular; pirámide regular
Pirámide, sus propiedades.Pirámide Es un cuerpo tridimensional que tiene un polígono en su base y todas sus caras están formadas por triángulos.
Un caso especial de pirámide es un cono con un círculo en su base.
Veamos los elementos principales de la pirámide:
Apotema- este es un segmento que conecta la parte superior de la pirámide con la mitad del borde inferior de la cara lateral. En otras palabras, esta es la altura del borde de la pirámide.
En la figura puedes ver los triángulos ADS, ABS, BCS, CDS. Si miras de cerca los nombres, puedes ver que cada triángulo tiene una letra común en su nombre: S. Es decir, esto significa que todas las caras laterales (triángulos) convergen en un punto, que se llama la cima de la pirámide. .
El segmento OS que conecta el vértice con el punto de intersección de las diagonales de la base (en el caso de triángulos, en el punto de intersección de las alturas) se llama altura de la pirámide.
Una sección diagonal es un plano que pasa por la cima de la pirámide, así como por una de las diagonales de la base.
Dado que la superficie lateral de la pirámide está formada por triángulos, para encontrar el área total de la superficie lateral es necesario encontrar el área de cada cara y sumarlas. El número y la forma de las caras depende de la forma y el tamaño de los lados del polígono que se encuentra en la base.
El único plano de una pirámide que no pertenece a su vértice se llama base pirámides.
En la figura vemos que la base es un paralelogramo, sin embargo, puede ser cualquier polígono arbitrario.
Propiedades:
Consideremos el primer caso de una pirámide, en la que tiene aristas de la misma longitud:
- Se puede dibujar un círculo alrededor de la base de dicha pirámide. Si proyecta la cima de dicha pirámide, su proyección estará ubicada en el centro del círculo.
- Los ángulos en la base de la pirámide son iguales en cada cara.
- En este caso, una condición suficiente para que se pueda describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, y también que todas las aristas sean de diferentes longitudes, pueden considerarse los mismos ángulos entre la base y cada arista de las caras.
Si te encuentras con una pirámide en la que los ángulos entre las caras laterales y la base son iguales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
- Podrás describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, cuyo vértice se proyecta exactamente en el centro.
- Si dibuja cada borde lateral de la altura hasta la base, tendrán la misma longitud.
- Para encontrar el área de la superficie lateral de dicha pirámide, basta con encontrar el perímetro de la base y multiplicarlo por la mitad de la altura.
- S pb = 0,5P oc H.
- Tipos de pirámide.
- Dependiendo de qué polígono se encuentre en la base de la pirámide, pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc. Si en la base de la pirámide se encuentra un polígono regular (con lados iguales), entonces dicha pirámide se llamará regular.
Pirámide triangular regular
