Primer nivel
Raíz y sus propiedades. Teoría detallada con ejemplos (2019)
Intentemos descubrir cuál es este concepto de "raíz" y "con qué se come". Para hacer esto, veamos ejemplos que ya ha encontrado en clase (bueno, o que está a punto de encontrar esto).
Por ejemplo, tenemos una ecuación. ¿Cuál es la solución de esta ecuación? ¿Qué números se pueden elevar al cuadrado y obtener? Al recordar la tabla de multiplicar, puedes dar fácilmente la respuesta: y (después de todo, cuando se multiplican dos números negativos, se obtiene un número positivo). Para simplificar, los matemáticos introdujeron el concepto especial de raíz cuadrada y le asignaron un símbolo especial.
Definamos la raíz cuadrada aritmética.
¿Por qué el número tiene que ser no negativo? Por ejemplo, ¿a qué es igual? Bueno, bueno, intentemos elegir uno. ¿Tal vez tres? Comprobemos: , no. Tal vez, ? Nuevamente comprobamos: . Bueno, ¿no encaja? Esto es de esperarse, ¡porque no hay números que, cuando se elevan al cuadrado, den un número negativo!
Esto es lo que debes recordar: ¡El número o expresión debajo del signo raíz no debe ser negativo!
Sin embargo, los más atentos probablemente ya se habrán dado cuenta de que la definición dice que la solución de la raíz cuadrada de “un número se llama así no negativo número cuyo cuadrado es igual a ". Algunos de ustedes dirán que al principio analizamos el ejemplo, seleccionamos números que se pueden elevar al cuadrado y obtener, la respuesta fue y, ¡pero aquí estamos hablando de algún tipo de "número no negativo"! Esta observación es bastante apropiada. Aquí solo necesitas distinguir entre los conceptos de ecuaciones cuadráticas y la raíz cuadrada aritmética de un número. Por ejemplo, no es equivalente a la expresión.
De ello se deduce que, es decir, o. (Lea el tema "")
Y se sigue de eso.
Por supuesto, esto es muy confuso, pero es necesario recordar que los signos son el resultado de resolver la ecuación, ya que al resolver la ecuación debemos escribir todas las x, las cuales, al sustituirlas en la ecuación original, darán resultado correcto. En nuestro ecuación cuadrática adecuado para ambos.
Sin embargo, si solo saca la raíz cuadrada de algo, entonces siempre obtenemos un resultado no negativo.
Ahora intenta resolver esta ecuación. Ya no todo es tan sencillo y fluido, ¿verdad? Intente repasar los números, ¿tal vez algo funcione? Empecemos desde el principio, desde cero: - no encaja, siga adelante - menos de tres, también deje a un lado, y si. Comprobemos: - tampoco es adecuado, porque... eso es más de tres. Es la misma historia con los números negativos. ¿Entonces que debemos hacer ahora? ¿La búsqueda realmente no nos dio nada? En absoluto, ahora sabemos con seguridad que la respuesta será algún número entre y, así como entre y. Además, obviamente las soluciones no serán números enteros. Además, no son racionales. Entonces, ¿qué sigue? Grafiquemos la función y marquemos las soluciones en ella.
¡Intentemos engañar al sistema y obtener la respuesta usando una calculadora! ¡Saquemosle la raíz! Oh-oh-oh, resulta que. Este número nunca termina. ¿¡Cómo puedes recordar esto, si no habrá calculadora en el examen!? Todo es muy sencillo, no es necesario que lo recuerdes, solo necesitas recordar (o poder estimar rápidamente) el valor aproximado. y las respuestas mismas. Estos números se llaman irracionales; fue para simplificar la escritura de tales números que se introdujo el concepto de raíz cuadrada.
Veamos otro ejemplo para reforzar esto. Veamos este problema: necesitas cruzar en diagonal. campo cuadrado con un lado de km ¿cuantos km tienes que caminar?
Lo más obvio aquí es considerar el triángulo por separado y utilizar el teorema de Pitágoras: . De este modo, . Entonces, ¿cuál es la distancia requerida aquí? Evidentemente, la distancia no puede ser negativa, lo entendemos. La raíz de dos es aproximadamente igual, pero, como señalamos anteriormente, ya es una respuesta completa.
Para resolver ejemplos con raíces sin causar problemas, es necesario verlos y reconocerlos. Para hacer esto, necesita conocer al menos los cuadrados de los números desde hasta y también poder reconocerlos. Por ejemplo, necesitas saber qué es igual a un cuadrado y también, a la inversa, qué es igual a un cuadrado.
¿Entendiste qué es una raíz cuadrada? Luego resuelve algunos ejemplos.
Ejemplos.
Bueno, ¿cómo resultó? Ahora veamos estos ejemplos:
Respuestas:
raíz cúbica
Bueno, parece que hemos resuelto el concepto de raíz cuadrada, ahora intentemos descubrir qué es una raíz cúbica y cuál es su diferencia.
La raíz cúbica de un número es el número cuyo cubo es igual. ¿Has notado que aquí todo es mucho más sencillo? No existen restricciones sobre los valores posibles tanto del valor bajo el signo de la raíz cúbica como del número que se extrae. Es decir, la raíz cúbica se puede extraer de cualquier número: .
¿Sabes qué es una raíz cúbica y cómo extraerla? Luego continúa y resuelve los ejemplos.
Ejemplos.
Respuestas:
Raíz - oh grado
Bueno, hemos entendido los conceptos de raíces cuadradas y cúbicas. Ahora resumamos el conocimiento adquirido con el concepto. 1ra raíz.
1ra raíz de un número es un número cuya ésima potencia es igual, es decir
equivalente.
Si incluso, Eso:
- con negativo, la expresión no tiene sentido (raíces pares de números negativos no se puede eliminar!);
- para no negativo() la expresión tiene una raíz no negativa.
Si - es impar, entonces la expresión tiene una raíz única para cualquiera.
No se alarme, aquí se aplican los mismos principios que con las raíces cuadradas y cúbicas. Es decir, los principios que aplicamos al considerar raíces cuadradas, se extiende a todas las raíces de grado par.
Y las propiedades que se usaron para la raíz cúbica se aplican a raíces de grado impar.
Bueno, ¿ha quedado más claro? Veamos ejemplos:
Aquí todo está más o menos claro: primero miramos: sí, el grado es par, el número bajo la raíz es positivo, lo que significa que nuestra tarea es encontrar un número cuyo cuarto poder nos dé. Bueno, ¿alguna suposición? Tal vez, ? ¡Exactamente!
Entonces, el grado es igual - impar, el número bajo la raíz es negativo. Nuestra tarea es encontrar un número que, elevado a una potencia, produzca. Es bastante difícil notar inmediatamente la raíz. Sin embargo, puedes limitar tu búsqueda inmediatamente, ¿verdad? En primer lugar, el número requerido es definitivamente negativo y, en segundo lugar, se puede notar que es impar y, por lo tanto, el número deseado es impar. Intenta encontrar la raíz. Por supuesto, puedes descartarlo con seguridad. Tal vez, ?
¡Sí, esto es lo que estábamos buscando! Tenga en cuenta que para simplificar el cálculo utilizamos las propiedades de los grados: .
Propiedades básicas de las raíces.
¿Está vacío? Si no es así, después de mirar los ejemplos, todo debería encajar.
Multiplicando raíces
¿Cómo multiplicar raíces? La propiedad más simple y básica ayuda a responder esta pregunta:
Comencemos con algo simple:
¿No se extraen exactamente las raíces de los números resultantes? No hay problema, aquí hay algunos ejemplos:
¿Qué pasa si no hay dos, sino más multiplicadores? ¡Lo mismo! La fórmula para multiplicar raíces funciona con cualquier número de factores:
¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde el tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!
¿Porqué necesitamos esto? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:
¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es exactamente correcto! Solo tienes que recordar eso Solo podemos ingresar números positivos bajo el signo raíz de un grado par.
Veamos en qué más puede ser útil esto. Por ejemplo, el problema requiere comparar dos números:
Que mas:
No puedes saberlo de inmediato. Bueno, usemos la propiedad desensamblada de ingresar un número debajo del signo raíz. Entonces adelante:
Bueno, sabiendo lo que numero mayor¡Bajo el signo de la raíz, más grande es la raíz misma! Aquellos. si, entonces, . De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!
Antes de esto, ingresamos un multiplicador bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas factorizarlo en factores y extraer lo que extraes!
Fue posible tomar un camino diferente y expandirse a otros factores:
No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide como desees.
Por ejemplo, aquí hay una expresión:
En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplica las propiedades de los exponentes y factoriza todo:
Todo parece claro con esto, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Aquí, por ejemplo, está esto:
Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:
Bueno, ¿está todo claro? Entonces aquí tienes un ejemplo:
Estos son los peligros, sobre ellos. siempre vale la pena recordar. En realidad, esto se refleja en los ejemplos de propiedades:
| para impar: para pares y: |
¿Está vacío? Reforzar con ejemplos:
Sí, vemos que la raíz está elevada a una potencia par, el número negativo debajo de la raíz también está elevado a una potencia par. Bueno, ¿funciona igual? Esto es lo que:
¡Eso es todo! Ahora aquí hay algunos ejemplos:
¿Entiendo? Luego continúa y resuelve los ejemplos.
Ejemplos.
Respuestas.
Si ha recibido respuestas, podrá seguir adelante con tranquilidad. Si no, entonces entendamos estos ejemplos:
Veamos otras dos propiedades de las raíces:
Estas propiedades deben analizarse en ejemplos. Bueno, ¿hagamos esto?
¿Entiendo? Asegurémoslo.
Ejemplos.
Respuestas.
RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. NIVEL PROMEDIO
raíz cuadrada aritmética
La ecuación tiene dos soluciones: y. Son números cuyo cuadrado es igual a.
Considere la ecuación. Resolvámoslo gráficamente. Dibujemos una gráfica de la función y una recta en el nivel. Los puntos de intersección de estas líneas serán las soluciones. Vemos que esta ecuación también tiene dos soluciones, una positiva y la otra negativa:
Pero en en este caso las soluciones no son números enteros. Además, no son racionales. Para anotar estas decisiones irracionales, introducimos un símbolo especial de raíz cuadrada.
raíz cuadrada aritmética es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a. Cuando la expresión no está definida, porque No existe ningún número cuyo cuadrado sea igual a un número negativo.
Raíz cuadrada: .
Por ejemplo, . Y sigue eso o.
Déjame llamar tu atención una vez más, esto es muy importante: Raíz cuadrada es siempre un número no negativo: !
raíz cúbica de un número es un número cuyo cubo es igual a. La raíz cúbica está definida para todos. Se puede extraer de cualquier número: . Como puedes ver, también puede tomar valores negativos.
La raíz enésima de un número es un número cuya enésima potencia es igual, es decir
Si es par, entonces:
- si, entonces la raíz enésima de a no está definida.
- si, entonces la raíz no negativa de la ecuación se llama raíz aritmética del ésimo grado de y se denota.
Si - es impar, entonces la ecuación tiene una raíz única para cualquiera.
¿Has notado que a la izquierda encima del signo de la raíz escribimos su grado? ¡Pero no para la raíz cuadrada! Si ves una raíz sin grado, significa que es cuadrada (grados).
Ejemplos.
Propiedades básicas de las raíces.
RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
Raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo se llama así número no negativo cuyo cuadrado es
Propiedades de las raíces:
Grado de raíz norte de un número real a, Dónde norte - número natural, tal número real se llama X, norte cuyo grado es igual a a.
Grado de raíz norte del numero a está indicado por el símbolo. Según esta definición.
Encontrar la raíz norte-ésimo grado de entre a llamado extracción de raíces. Número A se llama número radical (expresión), norte- indicador de raíz. por extraño norte hay una raíz norte-ésima potencia para cualquier número real a. Incluso cuando norte hay una raíz norte-ésima potencia solo para números no negativos a. Para desambiguar la raíz norte-ésimo grado de entre a, se introduce el concepto de raíz aritmética norte-ésimo grado de entre a.
El concepto de raíz aritmética de grado N.
Si norte- número natural, mayor 1 , entonces hay y sólo un número no negativo X, de modo que se cumpla la igualdad. Este número X llamada raíz aritmética norteésima potencia de un número no negativo A y es designado. Número A se llama número radical, norte- indicador de raíz.
Entonces, según la definición, la notación , donde , significa, en primer lugar, eso y, en segundo lugar, eso, es decir. .
El concepto de grado con exponente racional.
Grado con exponente natural: let A es un número real y norte- un número natural mayor que uno, norte-ésima potencia del número A llamar al trabajo norte factores, cada uno de los cuales es igual A, es decir. . Número A- la base del título, norte- exponente. Una potencia con exponente cero: por definición, si , entonces . Potencia cero de un número. 0 no tiene sentido. Un grado con un exponente entero negativo: asumido por definición si y norte es un número natural, entonces. Un grado con exponente fraccionario: se supone por definición si y norte- número natural, metro es un número entero, entonces.
Operaciones con raíces.
En todas las fórmulas siguientes, el símbolo significa una raíz aritmética (la expresión radical es positiva).
1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:
2. La raíz de una razón es igual a la razón entre las raíces del dividendo y el divisor:
3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número radical a esta potencia: 
4. Si aumenta el grado de la raíz n veces y al mismo tiempo eleva el número radical a la enésima potencia, entonces el valor de la raíz no cambiará: 
5. Si reduce el grado de la raíz n veces y simultáneamente extrae la enésima raíz del número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:
Ampliando el concepto de titulación. Hasta ahora hemos considerado grados sólo con exponentes naturales; pero las operaciones con potencias y raíces también pueden conducir a exponentes negativos, cero y fraccionarios. Todos estos exponentes requieren una definición adicional.
Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con exponente negativo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con exponente igual al valor absoluto del exponente negativo:
Ahora la fórmula a m: a n = a m - n se puede usar no solo para m mayor que n, sino también para m menor que n.
EJEMPLO un 4: un 7 = un 4 - 7 = un -3.
Si queremos que la fórmula a m: a n = a m - n sea válida para m = n, necesitamos una definición de grado cero.
Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es 1.
EJEMPLOS. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real a a la potencia m / n, es necesario extraer la raíz enésima de la potencia m de este número a:
Sobre expresiones que no tienen significado. Hay varias expresiones de este tipo.
Caso 1.
Donde a ≠ 0 no existe.
De hecho, si asumimos que x es un número determinado, entonces, de acuerdo con la definición de la operación de división, tenemos: a = 0 x, es decir a = 0, lo que contradice la condición: a ≠ 0
Caso 2.
Cualquier número.
De hecho, si asumimos que esta expresión es igual a un cierto número x, entonces según la definición de la operación de división tenemos: 0 = 0 · x. Pero esta igualdad es válida para cualquier número x, que es lo que había que demostrar.
En realidad,
Solución Consideremos tres casos principales:
1) x = 0 – este valor no satisface esta ecuación
2) para x > 0 obtenemos: x / x = 1, es decir 1 = 1, lo que significa que x es cualquier número; pero teniendo en cuenta que en nuestro caso x > 0, la respuesta es x > 0;
3) en x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
en este caso no hay solución. Por tanto x > 0.
Raíz aritmética de segundo grado.
Definición 1
La segunda raíz (o raíz cuadrada) de $a$ llama a un número que, cuando se eleva al cuadrado, se vuelve igual a $a$.
Ejemplo 1
$7^2=7 \cdot 7=49$, lo que significa que el número $7$ es la segunda raíz del número $49$;
$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, lo que significa que el número $0.9$ es la segunda raíz del número $0.81$;
$1^2=1 \cdot 1=1$, lo que significa que el número $1$ es la segunda raíz del número $1$.
Nota 2
En pocas palabras, para cualquier número $a
$a=b^2$ para $a$ negativo es incorrecto, porque $a=b^2$ no puede ser negativo para ningún valor de $b$.
Se puede concluir que Para numeros reales No puede haber una segunda raíz de un número negativo..
Nota 3
Porque $0^2=0 \cdot 0=0$, entonces de la definición se deduce que cero es la segunda raíz de cero.
Definición 2
Raíz aritmética del segundo grado del número $a$($a \ge 0$) es un número no negativo que, cuando se eleva al cuadrado, es igual a $a$.
Las raíces de segundo grado también se llaman raíces cuadradas.
La raíz aritmética del segundo grado del número $a$ se denota como $\sqrt(a)$ o puedes ver la notación $\sqrt(a)$. Pero la mayoría de las veces para la raíz cuadrada el número $2$ es exponente raíz- No especificado. El signo “$\sqrt( )$” es el signo de la raíz aritmética de 2º grado, que también se llama “ signo radical" Los conceptos “raíz” y “radical” son nombres del mismo objeto.
Si hay un número bajo el signo de la raíz aritmética, entonces se llama número radical, y si la expresión, entonces – expresión radical.
La entrada $\sqrt(8)$ se lee como “raíz aritmética del segundo grado de ocho” y la palabra “aritmética” a menudo no se utiliza.
Definición 3
Según la definición raíz aritmética de segundo grado puede ser escrito:
Para cualquier $a \ge 0$:
$(\sqrt(a))^2=a$,
$\sqrt(a)\ge 0$.
Mostramos la diferencia entre una segunda raíz y una segunda raíz aritmética. Además, consideraremos solo raíces de números y expresiones no negativos, es decir sólo aritmética.
Raíz aritmética de tercer grado.
Definición 4
Raíz aritmética de tercer grado (o raíz cúbica) del número $a$($a \ge 0$) es un número no negativo que, cuando se eleva al cubo, se vuelve igual a $a$.
A menudo se omite la palabra aritmética y dicen “la tercera raíz del número $a$”.
La raíz aritmética de tercer grado de $a$ se denota como $\sqrt(a)$, el signo “$\sqrt( )$” es el signo de la raíz aritmética de tercer grado, y el número $3$ en esta notación se llama índice raíz. El número o expresión que aparece debajo del signo raíz se llama radical.
Ejemplo 2
$\sqrt(3,5)$ – raíz aritmética de tercer grado de $3.5$ o raíz cúbica de $3.5$;
$\sqrt(x+5)$ – raíz aritmética de tercer grado de $x+5$ o raíz cúbica de $x+5$.
Raíz enésima aritmética
Definición 5
raíz aritmética enésimo grado del número $a \ge 0$ se llama un número no negativo que, elevado a la $n$ésima potencia, se vuelve igual a $a$.
Notación para la raíz aritmética de grado $n$ de $a \ge 0$:
donde $a$ es un número o expresión radical,
