Sabes que compartir número natural a por un número natural b significa encontrar un número natural c que, multiplicado por b, dé el número a. Esta afirmación sigue siendo cierta si al menos uno de los números a, b, c es una fracción decimal.
Veamos algunos ejemplos en los que el divisor es un número natural.
1,2: 4 = 0,3, ya que 0,3 * 4 = 1,2;
2,5: 5 = 0,5, ya que 0,5 * 5 = 2,5;
1: 2 = 0,5, ya que 0,5 * 2 = 1.
Pero, ¿qué hacer en los casos en que la división no se pueda realizar de forma oral?
Por ejemplo, ¿cómo se divide 43,52 entre 17?
Al aumentar el dividendo 43,52 100 veces, obtenemos el número 4.352. Entonces el valor de la expresión 4.352:17 es 100 veces mayor que el valor de la expresión 43,52:17. Al dividir con una esquina, puedes establecer fácilmente que 4,352: 17 = 256. Aquí el dividendo se incrementa 100 veces. Entonces, 43,52: 17 = 2,56. Tenga en cuenta que 2,56 * 17 = 43,52, lo que confirma que la división se realizó correctamente.
El cociente 2,56 se puede obtener de otra manera. Dividiremos 4352 entre 17 con una esquina, ignorando la coma. En este caso, la coma en el cociente debe colocarse inmediatamente antes del primer dígito después de que se utilice el punto decimal en el dividendo:
Si el dividendo es menor que el divisor, entonces la parte entera del cociente es cero. Por ejemplo:
Veamos otro ejemplo. Encontremos el cociente 3.1:5. Tenemos:
Paramos el proceso de división porque se acabaron los dígitos del dividendo y no nos quedó un cero como resto. Sabes que una fracción decimal no cambiará si se le agrega cualquier número de ceros a la derecha. Entonces queda claro que las cifras del dividendo no pueden terminar. Tenemos:
Ahora podemos encontrar el cociente de dos números naturales cuando el dividendo no es divisible por el divisor. Por ejemplo, encontremos el cociente 31:5. Evidentemente, el número 31 no es divisible por 5:
Detuvimos el proceso de división porque nos quedamos sin dígitos de dividendos. Sin embargo, si representa el dividendo como una fracción decimal, entonces la división puede continuar.
Tenemos: 31:5 = 31,0:5. A continuación, hagamos la división con una esquina:
Por lo tanto, 31:5 = 6,2.
En el párrafo anterior descubrimos que si la coma se mueve hacia la derecha 1, 2, 3, etc. dígitos, entonces la fracción aumentará en 10, 100, 1000, etc. veces, respectivamente, y si la coma se mueve hacia la izquierda en 1, 2, 3, etc. dígitos, entonces la fracción disminuirá en 10, 100, 1.000, etc., respectivamente, etc. veces.
Por tanto, en los casos en que el divisor sea 10, 100, 1.000, etc., utilice la siguiente regla.
Para dividir una fracción decimal entre 10, 100, 1000, etc., debes mover el punto decimal de esta fracción hacia la izquierda en 1, 2, 3, etc..
Por ejemplo: 4,23: 10 = 0,423; 2: 100 = 0,02; 58,63: 1.000 = 0,05863.
Entonces, aprendimos cómo dividir una fracción decimal por un número natural.
Demostremos cómo la división por una fracción decimal se puede reducir a división por un número natural.
$\frac(2)(5) km = 400 m$
,$\frac(20)(50) km = 400 m$
,$\frac(200)(500) km = 400 m$
.lo entendemos
$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$
Aquellos. 2:5 = 20:50 = 200:500.
Este ejemplo ilustra lo siguiente: si el dividendo y el divisor se incrementan simultáneamente en 10, 100, 1.000, etc. veces, entonces el cociente no cambiará .
Encontremos el cociente 43,52: 1,7.
Aumentemos 10 veces tanto el dividendo como el divisor. Tenemos:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .
Aumentemos 10 veces tanto el dividendo como el divisor. Tenemos: 43,52: 1,7 = 25,6.
Para dividir una fracción decimal por un decimal:
1) mueva las comas en el dividendo y el divisor hacia la derecha tantos dígitos como haya después del punto decimal en el divisor;
2) dividir por un número natural.
Ejemplo 1 . Vanya recogió 140 kg de manzanas y peras, de los cuales 0,24 eran peras. ¿Cuántos kilogramos de peras recogió Vanya?
Solución. Tenemos:
$0.24=\frac(24)(100)$
.1) 140: 100 = 1,4 (kg) - es
Manzanas y peras.
2) 1,4 * 24 = 33,6 (kg) - se recogieron peras.
Respuesta: 33,6 kg.
Ejemplo 2 . Para el desayuno, Winnie the Pooh se comió 0,7 barriles de miel. ¿Cuántos kilogramos de miel había en el barril si Winnie the Pooh comió 4,2 kg?
Solución. Tenemos:
$0.7=\frac(7)(10)$
.1) 4,2: 7 = 0,6 (kg) - es
Sólo cariño.
2) 0,6 * 10 = 6 (kg): había miel en el barril.
Respuesta: 6 kg.
La división por una fracción decimal se reduce a división por un número natural.
La regla para dividir un número por una fracción decimal.
Para dividir un número por una fracción decimal, debes mover el punto decimal tanto en el dividendo como en el divisor tantos dígitos hacia la derecha como haya en el divisor después del punto decimal. Después de esto, divide por un número natural.
Ejemplos.
Dividir por fracción decimal:
Para dividir por un decimal, debes mover el punto decimal tanto en el dividendo como en el divisor tantos dígitos hacia la derecha como haya después del punto decimal en el divisor, es decir, un dígito. Obtenemos: 35,1: 1,8 = 351: 18. Ahora realizamos la división con una esquina. Como resultado, obtenemos: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Para dividir fracciones decimales, tanto en el dividendo como en el divisor movemos la coma decimal un lugar hacia la derecha: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Ahora realizamos un número natural. Resultado: 14,76: 3,6 = 4,1.
Para dividir un número natural por una fracción decimal, debes mover tanto el dividendo como el divisor hacia la derecha tantos lugares como haya en el divisor después del punto decimal. Dado que en este caso no se escribe coma en el divisor, completamos el número faltante de caracteres con ceros: 70: 1,75 = 7000: 175. Dividimos los números naturales resultantes con una esquina: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .
4) 0,1218: 0,058
Para dividir una fracción decimal entre otra, movemos la coma decimal hacia la derecha tanto en el dividendo como en el divisor tantas cifras como haya en el divisor después de la coma decimal, es decir, tres cifras decimales. Así, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. La división por una fracción decimal fue reemplazada por la división por un número natural. Compartimos un rincón. Tenemos: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
I. Para dividir una fracción decimal por un número natural, debes dividir la fracción por este número, como se dividen los números naturales, y poner una coma en el cociente cuando se complete la división de la parte entera.
Ejemplos.
realizar división: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.
Solución.
Ejemplo 1) 96,25: 5.
Dividimos con una “esquina” de la misma forma que se dividen los números naturales. Después de anotar el número 2 (el número de décimos es el primer dígito después del punto decimal en el dividendo 96, 2 5), en el cociente ponemos una coma y continuamos la división.
Respuesta: 19,25.
Ejemplo 2) 4,78: 4.
Dividimos como se dividen los números naturales. En el cociente pondremos una coma en cuanto la quitemos 7
— la primera cifra después del punto decimal en el dividendo 4, 7
8. Continuamos la división más. Al restar 38-36 obtenemos 2, pero la división no se completa. ¿Como procedemos? Sabemos que se pueden agregar ceros al final de una fracción decimal; esto no cambiará el valor de la fracción. Asignamos cero y dividimos 20 entre 4. Obtenemos 5: la división terminó.
Respuesta: 1,195.
Ejemplo 3) 183,06: 45.
Dividimos como 18306 entre 45. En el cociente ponemos una coma en cuanto quitamos el número 0
— la primera cifra después del punto decimal en el dividendo 183, 0
6. Al igual que en el ejemplo 2), tuvimos que asignar cero al número 36, la diferencia entre los números 306 y 270.
Respuesta: 4,068.
Conclusión: al dividir una fracción decimal por un número natural en privado ponemos una coma inmediatamente después de que quitamos la cifra en el lugar de las décimas del dividendo. Tenga en cuenta: todo resaltado numeros en rojo en estos tres ejemplos pertenecen a la categoría décimos del dividendo.
II. Para dividir una fracción decimal entre 10, 100, 1000, etc., debes mover el punto decimal hacia la izquierda en 1, 2, 3, etc.
Ejemplos.
Realizar división: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.
Solución.
Mover el punto decimal hacia la izquierda depende de cuántos ceros después del uno hay en el divisor. Entonces, al dividir una fracción decimal por 10
trasladaremos el dividendo coma a la izquierda un dígito; cuando se divide por 100
- mover la coma quedan dos dígitos; cuando se divide por 1000
convertir a esta fracción decimal coma tres dígitos a la izquierda.
Sumar decimales es lo mismo que sumar números enteros. Veamos esto con ejemplos.
1) 0,132 + 2,354. Etiquetemos los términos uno debajo del otro.
Aquí, sumar 2 milésimas a 4 milésimas dio como resultado 6 milésimas;
de sumar 3 centésimas con 5 centésimas el resultado es 8 centésimas;
de sumar 1 décimo con 3 décimos -4 décimos y
de sumar 0 enteros con 2 enteros - 2 enteros.
2) 5,065 + 7,83.
No hay milésimas en el segundo término, por lo que es importante no cometer errores al etiquetar los términos uno tras otro.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Aquí, al sumar milésimas, el resultado es 21 milésimas; escribimos 1 debajo de las milésimas y sumamos 2 a las centésimas, por lo que en el lugar de las centésimas obtuvimos los siguientes términos: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; en total dan 19 centésimas, firmamos 9 bajo centésimas, y 1 cuenta como décimas, etc.
Así, al sumar fracciones decimales se debe observar el siguiente orden: firmar las fracciones una debajo de la otra de modo que en todos los términos los mismos dígitos se ubiquen uno debajo del otro y todas las comas estén en la misma columna vertical; A la derecha de los lugares decimales de algunos términos, se suma tal cantidad de ceros, al menos mentalmente, que todos los términos después del punto decimal tengan el mismo número de dígitos. Luego realice la suma por dígitos, comenzando desde lado derecho, y en la suma resultante se coloca una coma en la misma columna vertical en la que se ubica en estos términos.
§ 108. Resta de fracciones decimales.
Restar decimales funciona de la misma manera que restar números enteros. Demostremos esto con ejemplos.
1) 9,87 - 7,32. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo para que las unidades del mismo dígito queden una debajo de la otra:
2) 16,29 - 4,75. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo, como en el primer ejemplo:
Para restar décimos, había que tomar una unidad entera de 6 y dividirla en décimos.
3) 14.0213-5.350712. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo:
La resta se realizó de la siguiente manera: como no podemos restar 2 millonésimas de 0, debemos recurrir al dígito más cercano a la izquierda, es decir, cien milésimas, pero en lugar de cien milésimas también hay cero, por lo que tomamos 1 diezmilésima de 3 diez milésimas y lo dividimos en cien milésimas, obtenemos 10 cien milésimas, de las cuales dejamos 9 cien milésimas en la categoría de las cien milésimas, y dividimos 1 cien milésima en millonésimas, obtenemos 10 millonésimas. Así, en los últimos tres dígitos obtuvimos: millonésimas 10, cienmilésimas 9, diezmilésimas 2. Para mayor claridad y comodidad (para no olvidar), estos números se escriben encima de los dígitos fraccionarios correspondientes del minuendo. Ahora puedes empezar a restar. A 10 millonésimas le restamos 2 millonésimas, obtenemos 8 millonésimas; de 9 centenas de milésimas restamos 1 centena de milésimas, obtenemos 8 centenas de milésimas, etc.
Así, al restar fracciones decimales se observa el siguiente orden: firmar el sustraendo debajo del minuendo para que los mismos dígitos se ubiquen uno debajo del otro y todas las comas estén en la misma columna vertical; a la derecha suman, al menos mentalmente, tantos ceros en el minuendo o sustraendo para que tengan el mismo número de dígitos, luego restan por dígitos, empezando por el lado derecho, y en la diferencia resultante ponen una coma la misma columna vertical en la que se ubica en minuendo y resta.
§ 109. Multiplicación de fracciones decimales.
Veamos algunos ejemplos de multiplicación de fracciones decimales.
Para encontrar el producto de estos números, podemos razonar de la siguiente manera: si el factor se aumenta 10 veces, entonces ambos factores serán números enteros y luego podremos multiplicarlos según las reglas para multiplicar números enteros. Pero sabemos que cuando uno de los factores aumenta varias veces, el producto aumenta en la misma cantidad. Esto significa que el número que se obtiene al multiplicar los factores enteros, es decir, 28 por 23, es 10 veces mayor que el producto verdadero, y para obtener el producto verdadero, el producto encontrado debe reducirse 10 veces. Por lo tanto, aquí tendrás que multiplicar por 10 una vez y dividir por 10 una vez, pero multiplicar y dividir por 10 se hace moviendo el punto decimal un lugar hacia la derecha y hacia la izquierda. Por lo tanto, debes hacer esto: en el factor, mueve la coma un lugar hacia la derecha, esto lo hará igual a 23, luego debes multiplicar los números enteros resultantes:
Este producto es 10 veces más grande que el producto real. Por tanto, hay que reducirlo 10 veces, para lo cual movemos la coma un lugar hacia la izquierda. Así, obtenemos
28 2,3 = 64,4.
Para fines de verificación, puede escribir una fracción decimal con un denominador y realizar la acción de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias, es decir
2) 12,27 0,021.
La diferencia entre este ejemplo y el anterior es que aquí ambos factores se representan como fracciones decimales. Pero aquí, en el proceso de multiplicación, no prestaremos atención a las comas, es decir, aumentaremos temporalmente el multiplicando 100 veces y el multiplicador 1000 veces, lo que aumentará el producto 100.000 veces. Así, multiplicando 1.227 por 21, obtenemos:
1 227 21 = 25 767.
Considerando que el producto resultante es 100.000 veces mayor que el producto real, ahora debemos reducirlo 100.000 veces colocando correctamente una coma, entonces obtenemos:
32,27 0,021 = 0,25767.
Vamos a revisar:
Así, para multiplicar dos fracciones decimales basta, sin prestar atención a las comas, con multiplicarlas como números enteros y en el producto separar con coma del lado derecho tantas cifras decimales como había en el multiplicando y en el multiplicador juntos.
El último ejemplo resultó en un producto con cinco decimales. Si no se requiere tanta precisión, se redondea la fracción decimal. A la hora de redondear se debe utilizar la misma regla que se indicó para los números enteros.
§ 110. Multiplicación mediante tablas.
A veces se pueden multiplicar decimales utilizando tablas. Para ello, puede utilizar, por ejemplo, las tablas de multiplicar para números de dos dígitos, cuya descripción se dio anteriormente.
1) Multiplica 53 por 1,5.
Multiplicaremos 53 por 15. En la tabla, este producto es igual a 795. Encontramos el producto 53 por 15, pero nuestro segundo factor fue 10 veces menor, lo que significa que el producto debe reducirse 10 veces, es decir.
53 1,5 = 79,5.
2) Multiplica 5,3 por 4,7.
Primero, encontramos en la tabla el producto de 53 por 47, será 2491. Pero como aumentamos el multiplicando y el multiplicador un total de 100 veces, el producto resultante es 100 veces mayor de lo que debería ser; por lo que debemos reducir este producto 100 veces:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Multiplica 0,53 por 7,4.
Primero, encontramos en la tabla el producto 53 por 74; será 3922. Pero como aumentamos el multiplicando 100 veces y el multiplicador 10 veces, el producto aumentó 1000 veces; entonces ahora tenemos que reducirlo 1000 veces:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. División de fracciones decimales.
Veremos cómo dividir fracciones decimales en este orden:
1. Dividir una fracción decimal por entero,
1. Dividir una fracción decimal por un número entero.
1) Divide 2,46 entre 2.
Dividimos por 2 primero enteros, luego décimas y finalmente centésimas.
2) Divide 32,46 entre 3.
32,46: 3 = 10,82.
Dividimos 3 decenas entre 3, luego comenzamos a dividir 2 unidades entre 3; como el número de unidades del dividendo (2) es menor que el divisor (3), tuvimos que poner 0 en el cociente; además, al resto le tomamos 4 décimos y dividimos 24 décimos entre 3; recibió 8 décimos en el cociente y finalmente dividió 6 centésimas.
3) Divida 1,2345 entre 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Aquí en el cociente el primer lugar es cero números enteros, ya que un número entero no es divisible por 5.
4) Divide 13,58 entre 4.
La peculiaridad de este ejemplo es que cuando obtuvimos 9 centésimas en el cociente, encontramos un resto igual a 2 centésimas, dividimos este resto en milésimas, obtuvimos 20 milésimas y completamos la división.
Regla. La división de una fracción decimal por un número entero se realiza de la misma manera que la división de números enteros, y los restos resultantes se convierten en fracciones decimales, cada vez más pequeñas; La división continúa hasta que el resto es cero.
2. Dividir un decimal por un decimal.
1) Divida 2,46 entre 0,2.
Ya sabemos dividir una fracción decimal por un número entero. Pensemos, ¿es posible reducir este nuevo caso de división al anterior? En un momento consideramos la notable propiedad de un cociente, que consiste en que permanece sin cambios cuando el dividendo y el divisor aumentan o disminuyen simultáneamente el mismo número de veces. Podríamos dividir fácilmente los números que nos dieron si el divisor fuera un número entero. Para ello basta con aumentarlo 10 veces, y para obtener el cociente correcto es necesario aumentar el dividendo en la misma cantidad, es decir, 10 veces. Entonces la división de estos números se sustituirá por la división de los siguientes números:
Además, ya no será necesario realizar modificaciones en los detalles.
Hagamos esta división:
Entonces 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Divida 1,25 entre 1,6.
Aumentamos el divisor (1,6) 10 veces; para que el cociente no cambie, aumentamos el dividendo 10 veces; 12 números enteros no son divisibles por 16, entonces escribimos 0 en el cociente y dividimos 125 décimas entre 16, obtenemos 7 décimas en el cociente y el resto 13. Dividimos 13 décimas en centésimas asignando cero y dividimos 130 centésimas entre 16, etc. Tenga en cuenta lo siguiente:
a) cuando no hay números enteros en un particular, entonces se escriben cero números enteros en su lugar;
b) cuando, luego de sumar la cifra del dividendo al resto, se obtiene un número que no es divisible por el divisor, entonces se escribe cero en el cociente;
c) cuando, después de eliminar el último dígito del dividendo, la división no termina, entonces, sumando ceros al resto, la división continúa;
d) si el dividendo es un número entero, entonces al dividirlo por una fracción decimal, se aumenta sumándole ceros.
Por lo tanto, para dividir un número por una fracción decimal, debe descartar la coma en el divisor y luego aumentar el dividendo tantas veces como el divisor aumentó al descartar la coma, y luego realizar la división de acuerdo con la regla. para dividir una fracción decimal por un número entero.
§ 112. Cocientes aproximados.
En el párrafo anterior vimos la división de fracciones decimales, y en todos los ejemplos que resolvimos la división se completó, es decir, se obtuvo un cociente exacto. Sin embargo, en la mayoría de los casos, no se puede obtener un cociente exacto, por mucho que avancemos en la división. He aquí uno de esos casos: divide 53 entre 101.
Ya hemos recibido cinco dígitos en el cociente, pero la división aún no ha terminado y no hay esperanza de que termine alguna vez, ya que en el resto empezamos a tener números que ya se han encontrado antes. En el cociente también se repetirán números: es obvio que después del número 7 aparecerá el número 5, luego el 2, etc. hasta el infinito. En tales casos, la división se interrumpe y se limita a los primeros dígitos del cociente. Este cociente se llama los cercanos. Mostraremos con ejemplos cómo realizar la división.
Sea necesario dividir 25 entre 3. Obviamente, a partir de tal división no se puede obtener un cociente exacto, expresado como un número entero o una fracción decimal. Por tanto, buscaremos un cociente aproximado:
25: 3 = 8 y resto 1
El cociente aproximado es 8; es, por supuesto, menor que el cociente exacto, porque queda un resto 1. Para obtener el cociente exacto, es necesario sumar la fracción que se obtiene dividiendo el resto igual a 1 entre 3 al cociente aproximado encontrado, es decir, , a 8; esta será una fracción 1/3. Esto significa que el cociente exacto se expresará como un número mixto 8 1/3. Ya que 1/3 representa fracción correcta, es decir, fracción, menos que uno, entonces, descartándolo, permitiremos error, cual menos que uno. El cociente 8 será cociente aproximado hasta la unidad con desventaja. Si en lugar de 8 tomamos 9 en el cociente, entonces también permitiremos un error menor que uno, ya que no sumaremos la unidad completa, sino 2/3. Un testamento tan privado cociente aproximado dentro de uno con exceso.
Tomemos ahora otro ejemplo. Digamos que necesitamos dividir 27 entre 8. Como aquí no obtendremos un cociente exacto expresado como un número entero, buscaremos un cociente aproximado:
27: 8 = 3 y resto 3.
Aquí el error es 3/8, es menor que uno, lo que significa que se encontró que el cociente aproximado (3) es exacto a uno con desventaja. Sigamos la división: dividimos los 3 restantes en décimos, obtenemos 30 décimos; dividirlos por 8.
Obtuvimos 3 en el cociente en lugar de décimas y 6 décimas en el resto. Si nos limitamos al número 3,3 y descartamos los 6 restantes, entonces permitiremos un error inferior a una décima. ¿Por qué? Porque el cociente exacto se obtendría cuando sumamos a 3,3 el resultado de dividir 6 décimas entre 8; esta división daría 6/80, que es menos de una décima parte. (¡Comprueba!) Así, si en el cociente nos limitamos a décimas, entonces podemos decir que hemos encontrado el cociente. exacto a una décima(con desventaja).
Sigamos con la división para encontrar otro decimal. Para hacer esto, dividimos 6 décimas en centésimas y obtenemos 60 centésimas; dividirlos por 8.
En el cociente del tercer lugar resultó ser 7 y el resto 4 centésimas; si los descartamos permitiremos un error menor a una centésima, porque 4 centésimas dividido por 8 es menor que una centésima. En tales casos dicen que se ha encontrado el cociente. exacto a la centésima(con desventaja).
En el ejemplo que estamos viendo ahora, podemos obtener el cociente exacto expresado como una fracción decimal. Para ello basta con dividir el último resto, 4 centésimas, en milésimas y dividirlo entre 8.
Sin embargo, en la gran mayoría de los casos es imposible obtener un cociente exacto y hay que limitarse a sus valores aproximados. Ahora veremos este ejemplo:
40: 7 = 5,71428571...
Los puntos colocados al final del número indican que la división no está completa, es decir, la igualdad es aproximada. Por lo general, la igualdad aproximada se escribe de la siguiente manera:
40: 7 = 5,71428571.
Tomamos el cociente con ocho decimales. Pero si no se requiere tanta precisión, puede limitarse sólo a la parte entera del cociente, es decir, el número 5 (más precisamente, 6); para mayor precisión, se podrían tener en cuenta las décimas y tomar el cociente igual a 5,7; si por alguna razón esta precisión es insuficiente, entonces puedes detenerte en las centésimas y tomar 5,71, etc. Escribamos los cocientes individuales y nombremoslos.
El primer cociente aproximado exacto a uno 6.
Segundo » » » a una décima 5.7.
Tercero » » » a la centésima 5,71.
Cuarto » » » a la milésima 5.714.
Por lo tanto, para encontrar un cociente aproximado con precisión, por ejemplo, el tercer decimal (es decir, hasta una milésima), detenga la división tan pronto como encuentre este signo. En este caso, es necesario recordar la regla establecida en el artículo 40.
§ 113. Los problemas más simples que involucran porcentajes.
Después de aprender sobre los decimales, resolveremos algunos problemas de porcentajes más.
Estos problemas son similares a los que resolvimos en el departamento de fracciones; pero ahora escribiremos las centésimas en forma de fracciones decimales, es decir, sin un denominador designado explícitamente.
En primer lugar, debes poder pasar fácilmente de una fracción ordinaria a un decimal con un denominador de 100. Para hacer esto, debes dividir el numerador por el denominador:
La siguiente tabla muestra cómo un número con el símbolo % (porcentaje) se reemplaza por una fracción decimal con un denominador de 100:
Consideremos ahora varios problemas.
1. Encontrar el porcentaje de un número determinado.
Tarea 1. En un pueblo sólo viven 1.600 personas. Numero de niños edad escolar Representa el 25% del número total de residentes. ¿Cuántos niños en edad escolar hay en este pueblo?
En este problema necesitas encontrar el 25%, o 0,25, de 1600. El problema se resuelve multiplicando:
1.600 0,25 = 400 (niños).
Por lo tanto, el 25% de 1.600 son 400.
Para comprender claramente esta tarea, conviene recordar que por cada cien habitantes hay 25 niños en edad escolar. Por lo tanto, para encontrar el número de todos los niños en edad escolar, primero puedes averiguar cuántas centenas hay en el número 1600 (16) y luego multiplicar 25 por el número de centenas (25 x 16 = 400). De esta forma podrás comprobar la validez de la solución.
Tarea 2. Las cajas de ahorros ofrecen a los depositantes una rentabilidad del 2% anual. ¿Cuántos ingresos recibirá un depositante en un año si ingresa en la caja registradora: a) 200 rublos? b) 500 rublos? c) 750 rublos? d) 1000 rublos.?
En los cuatro casos, para resolver el problema será necesario calcular 0,02 de las cantidades indicadas, es decir, cada uno de estos números deberá multiplicarse por 0,02. Vamos a hacerlo:
a) 200 0,02 = 4 (frotar),
b) 500 0,02 = 10 (frotar),
c) 750 0,02 = 15 (frotar),
d) 1.000 0,02 = 20 (frotar).
Cada uno de estos casos puede verificarse mediante las siguientes consideraciones. Las cajas de ahorros dan a los inversores un 2% de ingresos, es decir, el 0,02 del importe depositado en ahorros. Si la cantidad fuera de 100 rublos, entonces 0,02 de ella serían 2 rublos. Esto significa que cada cien aporta al inversor 2 rublos. ingreso. Por lo tanto, en cada uno de los casos considerados, basta con calcular cuántas centenas hay en este número y multiplicar 2 rublos por este número de centenas. En el ejemplo a) hay 2 centenas, lo que significa
2 2 = 4 (frotar).
En el ejemplo d) hay 10 centenas, lo que significa
2 10 = 20 (frotar).
2. Encontrar un número por su porcentaje.
Tarea 1. La escuela graduó a 54 estudiantes en la primavera, lo que representa el 6% de su matrícula total. ¿Cuántos estudiantes había en la escuela el año pasado? año académico?
Primero aclaremos el significado de esta tarea. La escuela graduó a 54 estudiantes, lo que representa el 6% del número total de estudiantes, es decir, 6 centésimas (0,06) de todos los estudiantes de la escuela. Esto significa que conocemos la parte de los alumnos expresada por el número (54) y la fracción (0,06), y de esta fracción debemos encontrar el número entero. Por tanto, tenemos ante nosotros la tarea ordinaria de encontrar un número a partir de su fracción (§90, párrafo 6). Los problemas de este tipo se resuelven mediante división:
Esto significa que sólo había 900 estudiantes en la escuela.
Es útil comprobar este tipo de problemas resolviendo el problema inverso, es decir, después de resolver el problema, debes, al menos mentalmente, resolver un problema del primer tipo (encontrar el porcentaje de un número dado): tomar el número encontrado ( 900) como se da y encuentre el porcentaje del mismo indicado en el problema resuelto, a saber:
900 0,06 = 54.
Tarea 2. La familia gasta 780 rublos al mes en comida, lo que representa el 65% de los ingresos mensuales del padre. Determina su salario mensual.
Esta tarea tiene el mismo significado que la anterior. Da parte de los ingresos mensuales, expresados en rublos (780 rublos), e indica que esta parte es el 65%, o 0,65, de los ingresos totales. Y lo que buscas son todas las ganancias:
780: 0,65 = 1 200.
Por tanto, el ingreso requerido es de 1200 rublos.
3. Encontrar el porcentaje de números.
Tarea 1. Sólo hay 6.000 libros en la biblioteca de la escuela. Entre ellos se encuentran 1.200 libros de matemáticas. ¿Qué porcentaje de libros de matemáticas constituyen el número total de libros en la biblioteca?
Ya hemos considerado (§97) problemas de este tipo y llegamos a la conclusión de que para calcular el porcentaje de dos números, es necesario encontrar la razón entre estos números y multiplicarla por 100.
En nuestro problema necesitamos encontrar la proporción porcentual de los números 1200 y 6000.
Primero encontremos su proporción y luego multiplíquela por 100:
Por tanto, el porcentaje de los números 1200 y 6000 es 20. En otras palabras, los libros de matemáticas representan el 20% del número total de todos los libros.
Para comprobarlo, resolvamos el problema inverso: encuentre el 20% de 6000:
6 000 0,2 = 1 200.
Tarea 2. La planta debería recibir 200 toneladas de carbón. Ya se han entregado 80 toneladas ¿Qué porcentaje de carbón se ha entregado a la planta?
Este problema pregunta qué porcentaje es un número (80) de otro (200). La proporción de estos números será 80/200. Multiplíquelo por 100:
Esto significa que se ha entregado el 40% del carbón.
Tarde o temprano, todos los niños del colegio empiezan a aprender fracciones: su suma, división, multiplicación y todas las operaciones posibles que se pueden realizar con fracciones. Para brindar la asistencia adecuada al niño, los propios padres no deben olvidar cómo dividir números enteros en fracciones; de lo contrario, no podrá ayudarlo de ninguna manera, solo lo confundirá. Si necesitas recordar esta acción, pero no puedes poner toda la información en tu cabeza en una sola regla, entonces este artículo te ayudará: aprenderás a dividir un número entre una fracción y verás ejemplos claros.
Cómo dividir un número en una fracción
Escriba su ejemplo como un borrador para que pueda tomar notas y borrados. Recuerda que el número entero se escribe entre las celdas, justo en su intersección, y los números fraccionarios se escriben cada uno en su propia celda.
- EN este método debes darle la vuelta a la fracción, es decir, escribir el denominador en el numerador y el numerador en el denominador.
- El signo de división debe cambiarse por el de multiplicación.
- Ahora sólo te queda realizar la multiplicación según las reglas que ya has aprendido: el numerador se multiplica por un número entero, pero no tocas el denominador.
Por supuesto, como resultado de tal acción obtendrás muy Número grande en el numerador. No se puede dejar una fracción en este estado; el profesor simplemente no aceptará esta respuesta. Reduce la fracción dividiendo el numerador por el denominador. Escribe el número entero resultante a la izquierda de la fracción en el medio de las celdas y el resto será el nuevo numerador. El denominador permanece sin cambios.
Este algoritmo es bastante sencillo, incluso para un niño. Después de completarlo cinco o seis veces, el niño recordará el procedimiento y podrá aplicarlo a cualquier fracción.
Cómo dividir un número por un decimal
Hay otros tipos de fracciones: los decimales. La división en ellos se produce según un algoritmo completamente diferente. Si encuentra un ejemplo de este tipo, siga las instrucciones:
- Primero, convierte ambos números a decimales. Esto es fácil de hacer: tu divisor ya está representado como una fracción, y separas el número natural que estás dividiendo con una coma, obteniendo una fracción decimal. Es decir, si el dividendo fue 5, se obtiene la fracción 5,0. Debes separar un número por tantos dígitos como haya después del punto decimal y el divisor.
- Después de esto, debes convertir ambas fracciones decimales en números naturales. Puede parecer un poco confuso al principio, pero es lo más de manera rápida división, lo que te llevará unos segundos después de algunas prácticas. La fracción 5,0 se convertirá en el número 50, la fracción 6,23 se convertirá en 623.
- Haz la división. Si los números son grandes, o la división se producirá con resto, hazlo en una columna. De esta forma podrás ver claramente todas las acciones de este ejemplo. No es necesario que pongas una coma a propósito, ya que aparecerá sola durante el largo proceso de división.
Inicialmente, este tipo de división parece demasiado confuso, ya que es necesario convertir el dividendo y el divisor en una fracción y luego volver a convertirlos en números naturales. Pero después de una breve práctica, inmediatamente comenzarás a ver esos números que simplemente necesitas dividir entre sí.
Recuerda que la capacidad de dividir correctamente fracciones y números enteros entre ellos puede resultar útil muchas veces en la vida, por eso, conoce estas reglas y principios simples El niño necesita idealmente para que en los grados superiores no se conviertan en un obstáculo, por lo que el niño no puede resolver problemas más complejos.
