Пусть имеется функция у=f(x), Х - ее область определения, Y - область значений. Мы знаем, что каждому х 0 соответствует единственное значение у 0 =f(х 0), у 0 Y.
Может оказаться, что каждому у (или ее части 1) соответствует тоже единственное х из Х.
Тогда говорят, что на области (или ее части ) определена функция x=y обратная для функции у=f(x).
Например:
X
=();
Y=$
Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).
Вычислим $x$:
\ \
Выбираем подходящие $x$:
Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.
Задачи на нахождение обратных функций
В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.
Пример 2
Найти обратную функцию для функции $y=x+4$
Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:
Пример 3
Найти обратную функцию для функции $y=x^3$
Решение.
Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.
Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:
Находим подходящие значения $x$
Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
Пример 4
Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$
Решение.
Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.
Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:
Находим подходящие значения $x$
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
Пример 5
Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.
Решение.
Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:
Находим подходящие значения $x$
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?
Определение .
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
2) Из полученного равенства выразить y через x:
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — . Графиком линейной функции является . Для построения прямой берём две точки.
Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой
).
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — . На промежутке }
