Hər hansı bir təhsil kursunun bir hissəsi olaraq fizikanın öyrənilməsi mexanikadan başlayır. Nəzəri, tətbiqi və ya hesablamadan deyil, köhnə yaxşı klassik mexanikadan. Bu mexanikaya Nyuton mexanikası da deyilir. Rəvayətə görə, bir alim bağda gəzərkən bir almanın düşdüyünü görüb və məhz bu hadisə onu ümumdünya cazibə qanununu kəşf etməyə sövq edib. Əlbəttə ki, qanun həmişə mövcud olub və Nyuton ona yalnız insanlar üçün başa düşülən forma verib, lakin onun ləyaqəti əvəzsizdir. Bu yazıda biz Nyuton mexanikasının qanunlarını mümkün qədər təfərrüatlı şəkildə təsvir etməyəcəyik, lakin hər zaman əlinizdə ola biləcək əsasları, əsas bilikləri, tərifləri və düsturları təsvir edəcəyik.

Mexanika fizikanın bir sahəsi, maddi cisimlərin hərəkətini və onlar arasındakı qarşılıqlı əlaqəni öyrənən elmdir.

Bu sözün özü yunan mənşəlidir və “maşın tikmək sənəti” kimi tərcümə olunur. Amma maşınlar qurmazdan əvvəl biz hələ də Ay kimiyik, ona görə də gəlin atalarımızın yolu ilə gedək və üfüqə bucaq altında atılan daşların, h hündürlüyündən başımıza düşən almaların hərəkətini öyrənək.

Fizikanın öyrənilməsi niyə mexanikadan başlayır? Bu, tamamilə təbii olduğu üçün, termodinamik tarazlıqdan başlamalı deyilik?!

Mexanika ən qədim elmlərdən biridir və tarixən fizikanın öyrənilməsi məhz mexanikanın əsasları ilə başlamışdır. Zaman və məkan çərçivəsində yerləşdirilən insanlar, əslində, nə qədər istəsələr də, başqa bir şeydən başlaya bilməzdilər. Hərəkət edən cisimlər diqqət etdiyimiz ilk şeydir.

Hərəkət nədir?

Mexanik hərəkət zamanla cisimlərin bir-birinə nisbətən fəzadakı mövqeyinin dəyişməsidir.

Məhz bu tərifdən sonra biz tamamilə təbii olaraq istinad çərçivəsi anlayışına gəlirik. Kosmosda cisimlərin bir-birinə nisbətən mövqeyinin dəyişdirilməsi. Buradakı açar sözlər: bir-birinə nisbətən . Axı avtomobildə olan sərnişin müəyyən sürətlə yolun kənarında dayanan şəxsə nisbətən hərəkət edir və yanındakı oturacaqda qonşusuna nisbətən istirahət edir və sərnişinə nisbətən başqa sürətlə hərəkət edir. onları ötüb keçən avtomobildə.

Buna görə normal olaraq hərəkət edən obyektlərin parametrlərini ölçmək və qarışıq olmamaq üçün bizə lazımdır istinad sistemi - bir-biri ilə möhkəm bağlı olan istinad orqanı, koordinat sistemi və saat. Məsələn, Yer Günəş ətrafında heliosentrik istinad çərçivəsində hərəkət edir. Gündəlik həyatda biz demək olar ki, bütün ölçmələrimizi Yerlə əlaqəli geosentrik istinad sistemində həyata keçiririk. Yer avtomobillərin, təyyarələrin, insanların və heyvanların hərəkət etdiyi istinad orqanıdır.

Mexanikanın bir elm olaraq öz vəzifəsi var. Mexanikanın vəzifəsi istənilən vaxt cismin kosmosdakı mövqeyini bilməkdir. Başqa sözlə desək, mexanika hərəkətin riyazi təsvirini qurur və onu xarakterizə edən fiziki kəmiyyətlər arasında əlaqə tapır.

Daha da irəli getmək üçün bizə “konsept” lazımdır. maddi nöqtə " Onlar deyirlər ki, fizika dəqiq bir elmdir, lakin fiziklər bu dəqiqliklə razılaşmaq üçün nə qədər təxmini və fərziyyələr irəli sürməli olduqlarını bilirlər. Heç kim maddi nöqtə görməmişdir və ya ideal qazın iyini hiss etməmişdir, lakin onlar mövcuddur! Onlarla yaşamaq sadəcə olaraq daha asandır.

Maddi nöqtə bu problemin kontekstində ölçüsü və forması diqqətdən kənarda qala bilən cisimdir.

Klassik mexanikanın bölmələri

Mexanika bir neçə bölmədən ibarətdir

• Kinematika
• Dinamikalar
• Statika

Kinematika fiziki nöqteyi-nəzərdən bədənin necə hərəkət etdiyini öyrənir. Başqa sözlə, bu bölmə hərəkətin kəmiyyət xüsusiyyətlərindən bəhs edir. Sürəti, yolu tapın - tipik kinematik problemlər

Dinamikalar niyə belə hərəkət etdiyi sualını həll edir. Yəni bədənə təsir edən qüvvələri nəzərə alır.

Statika qüvvələrin təsiri altında cisimlərin tarazlığını öyrənir, yəni suala cavab verir: niyə ümumiyyətlə düşmür?

Klassik mexanikanın tətbiqi məhdudiyyətləri

Klassik mexanika artıq hər şeyi izah edən (keçən əsrin əvvəllərində hər şey tamamilə fərqli idi) və aydın tətbiqi çərçivəyə malik bir elm olduğunu iddia etmir. Ümumiyyətlə, klassik mexanikanın qanunları bizim ölçüdə (makrodünya) adət etdiyimiz dünyada keçərlidir. Kvant mexanikası klassik mexanikanı əvəz etdikdə, hissəciklər dünyası vəziyyətində işi dayandırırlar. Həmçinin, klassik mexanika cisimlərin hərəkətinin işıq sürətinə yaxın sürətlə baş verdiyi hallara şamil edilmir. Belə hallarda relativistik təsirlər özünü büruzə verir. Kobud desək, kvant və relativistik mexanika - klassik mexanika çərçivəsində, bu, bədənin ölçüləri böyük və sürəti kiçik olduqda xüsusi bir haldır.

Ümumiyyətlə, kvant və relativistik təsirlər heç vaxt keçmir, onlar həmçinin makroskopik cisimlərin işıq sürətindən çox aşağı sürətlə adi hərəkəti zamanı baş verir. Başqa bir şey, bu təsirlərin təsiri o qədər kiçikdir ki, ən dəqiq ölçmələrdən kənara çıxmır. Beləliklə, klassik mexanika öz əsas əhəmiyyətini heç vaxt itirməyəcək.

Gələcək məqalələrdə mexanikanın fiziki əsaslarını öyrənməyə davam edəcəyik. Mexanikanı daha yaxşı başa düşmək üçün həmişə müraciət edə bilərsiniz müəlliflərimizə, ən çətin işin qaranlıq nöqtəsinə tək-tək işıq salacaq.

Statika nəzəri mexanikanın qüvvələrin təsiri altında maddi cisimlərin tarazlıq şərtlərini, habelə qüvvələrin ekvivalent sistemlərə çevrilməsi üsullarını öyrənən bir sahəsidir.

Statikada tarazlıq vəziyyəti mexaniki sistemin bütün hissələrinin bəzi inertial koordinat sisteminə nisbətən sükunətdə olduğu bir vəziyyət kimi başa düşülür. Statikanın əsas obyektlərindən biri qüvvələr və onların tətbiq nöqtələridir.

Digər nöqtələrdən radius vektoru olan maddi nöqtəyə təsir edən qüvvə, digər nöqtələrin nəzərdən keçirilən nöqtəyə təsirinin ölçüsüdür, bunun nəticəsində inertial istinad sisteminə nisbətən sürətlənmə alır. Böyüklük güc düsturla müəyyən edilir:
,
burada m nöqtənin kütləsi - nöqtənin özünün xüsusiyyətlərindən asılı olan kəmiyyətdir. Bu düstur Nyutonun ikinci qanunu adlanır.

Statikanın dinamikada tətbiqi

Mütləq sərt cismin hərəkət tənliklərinin mühüm xüsusiyyəti qüvvələrin ekvivalent sistemlərə çevrilə bilməsidir. Bu çevrilmə ilə hərəkət tənlikləri öz formasını saxlayır, lakin bədənə təsir edən qüvvələr sistemi daha sadə sistemə çevrilə bilər. Beləliklə, qüvvənin tətbiqi nöqtəsi onun hərəkət xətti boyunca hərəkət edə bilər; qüvvələr paraleloqram qaydasına uyğun olaraq genişləndirilə bilər; bir nöqtədə tətbiq olunan qüvvələr onların həndəsi cəmi ilə əvəz edilə bilər.

Belə çevrilmələrə misal cazibə qüvvəsidir. Bərk bir cismin bütün nöqtələrində hərəkət edir. Lakin bütün nöqtələr üzərində paylanmış cazibə qüvvəsi bədənin kütlə mərkəzində tətbiq olunan bir vektorla əvəz edilərsə, bədənin hərəkət qanunu dəyişməyəcək.

Belə çıxır ki, cismə təsir edən əsas qüvvələr sisteminə qüvvələrin istiqamətlərinin əksinə dəyişdiyi ekvivalent sistem əlavə etsək, bu sistemlərin təsiri altında cisim tarazlıq vəziyyətində olar. Beləliklə, ekvivalent qüvvələr sistemlərinin təyin edilməsi vəzifəsi tarazlıq probleminə, yəni statik problemə endirilir.

Statikanın əsas vəzifəsi qüvvələr sisteminin ekvivalent sistemlərə çevrilməsi üçün qanunların yaradılmasıdır. Beləliklə, statik üsullardan təkcə tarazlıqda olan cisimlərin öyrənilməsində deyil, həm də sərt cismin dinamikasında, qüvvələrin daha sadə ekvivalent sistemlərə çevrilməsində istifadə olunur.

Maddi nöqtənin statikası

Tarazlıqda olan maddi nöqtəni nəzərdən keçirək. Və ona n qüvvə təsir etsin, k = 1, 2, ..., n.

Əgər maddi nöqtə tarazlıqdadırsa, ona təsir edən qüvvələrin vektor cəmi sıfıra bərabərdir:
(1) .

Tarazlıqda bir nöqtəyə təsir edən qüvvələrin həndəsi cəmi sıfırdır.

Həndəsi şərh. Əgər siz ikinci vektorun başlanğıcını birinci vektorun sonuna, üçüncü vektorun əvvəlini isə ikinci vektorun sonuna yerləşdirsəniz və sonra bu prosesi davam etdirsəniz, sonuncu, n-ci vektorun sonu düzlənəcək. birinci vektorun başlanğıcı ilə. Yəni qapalı həndəsi fiqur alırıq, tərəflərin uzunluqları vektorların modullarına bərabərdir. Bütün vektorlar eyni müstəvidə yerləşirsə, onda qapalı çoxbucaqlı alırıq.

Çox vaxt seçmək rahatdır düzbucaqlı koordinat sistemi Oxyz. Onda bütün qüvvə vektorlarının koordinat oxları üzrə proyeksiyalarının cəmi sıfıra bərabərdir:

Əgər hansısa vektor tərəfindən müəyyən edilmiş hər hansı istiqaməti seçsəniz, güc vektorlarının bu istiqamətə proyeksiyalarının cəmi sıfıra bərabərdir:
.
(1) tənliyini vektora skalyar şəkildə vuraq:
.
Burada və vektorlarının skalyar hasilidir.
Qeyd edək ki, vektorun vektorun istiqamətinə proyeksiyası düsturla müəyyən edilir:
.

Sərt bədən statikası

Nöqtə ətrafında güc anı

Qüvvə momentinin təyini

Bir anlıq güc, sabit O mərkəzinə nisbətən A nöqtəsində bədənə tətbiq olunan vektorların vektor məhsuluna bərabər vektor adlanır və:
(2) .

Həndəsi şərh

Qüvvə anı F qüvvəsi ilə qolun OH məhsuluna bərabərdir.

Vektorlar və rəsm müstəvisində yerləşsinlər. Vektor məhsulunun xassəsinə görə vektor vektorlara perpendikulyar və yəni çertyoj müstəvisinə perpendikulyardır. Onun istiqaməti düzgün vida qaydası ilə müəyyən edilir. Şəkildə fırlanma momenti vektoru bizə doğru yönəldilmişdir. Mütləq fırlanma anı dəyəri:
.
O vaxtdan bəri
(3) .

Həndəsədən istifadə edərək, güc anının fərqli bir şərhini verə bilərik. Bunun üçün qüvvə vektorundan AH düz xətti çəkin. O mərkəzindən OH perpendikulyarını bu düz xəttə endiririk. Bu perpendikulyarın uzunluğu deyilir güc çiyin. Sonra
(4) .
olduğundan, (3) və (4) düsturları ekvivalentdir.

Beləliklə, qüvvə momentinin mütləq qiyməti mərkəzə nisbətən O bərabərdir çiyin başına güc məhsulu seçilmiş mərkəzə nisbətən bu qüvvə O.

Torku hesablayarkən, gücü iki komponentə bölmək çox vaxt rahatdır:
,
Harada. Qüvvət O nöqtəsindən keçir. Buna görə də onun momenti sıfırdır. Sonra
.
Mütləq fırlanma anı dəyəri:
.

Düzbucaqlı koordinat sistemində moment komponentləri

O nöqtəsində mərkəzi olan düzbucaqlı Oxyz koordinat sistemini seçsək, qüvvə momenti aşağıdakı komponentlərə malik olacaqdır:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Seçilmiş koordinat sistemində A nöqtəsinin koordinatları belədir:
.
Komponentlər müvafiq olaraq oxlar üzrə qüvvə momentinin dəyərlərini təmsil edir.

Mərkəzə nisbətən qüvvə momentinin xassələri

Bu mərkəzdən keçən qüvvəyə görə O mərkəzinə aid moment sıfıra bərabərdir.

Əgər qüvvənin tətbiqi nöqtəsi qüvvə vektorundan keçən xətt boyunca hərəkət edərsə, belə hərəkətlə an dəyişməyəcəkdir.

Bədənin bir nöqtəsinə tətbiq olunan qüvvələrin vektor cəmindən an eyni nöqtəyə tətbiq olunan qüvvələrin hər birinin momentlərinin vektor cəminə bərabərdir:
.

Eyni şey davam xətləri bir nöqtədə kəsişən qüvvələrə də aiddir.

Əgər qüvvələrin vektor cəmi sıfırdırsa:
,
onda bu qüvvələrdən gələn anların cəmi anların hesablandığı mərkəzin mövqeyindən asılı deyil:
.

Bir neçə qüvvə

Bir neçə qüvvə- bunlar mütləq miqyasda bərabər və əks istiqamətə malik olan, bədənin müxtəlif nöqtələrinə tətbiq olunan iki qüvvədir.

Bir cüt qüvvə yaratdıqları an ilə xarakterizə olunur. Cütliyə daxil olan qüvvələrin vektor cəmi sıfır olduğundan, cütün yaratdığı moment momentin hesablandığı nöqtəyə nisbətən asılı deyil. Statik tarazlıq nöqteyi-nəzərindən cütlükdə iştirak edən qüvvələrin təbiəti əhəmiyyət kəsb etmir. Müəyyən bir dəyərdə bir qüvvə momentinin cismə təsir etdiyini göstərmək üçün bir neçə qüvvə istifadə olunur.

Verilmiş ox ətrafında qüvvə anı

Çox vaxt elə hallar olur ki, bizə seçilmiş nöqtə haqqında qüvvənin momentinin bütün komponentlərini bilmək lazım deyil, sadəcə seçilmiş ox ətrafında qüvvənin momentini bilmək lazımdır.

O nöqtəsindən keçən ox ətrafında qüvvənin momenti O nöqtəsinə nisbətən qüvvə momentinin vektorunun oxun istiqamətinə proyeksiyasıdır.

Oxa görə qüvvə momentinin xassələri

Bu oxdan keçən qüvvənin ox ətrafında momenti sıfıra bərabərdir.

Bu oxa paralel olan qüvvənin ox ətrafında momenti sıfıra bərabərdir.

Bir ox ətrafında qüvvə momentinin hesablanması

A nöqtəsində bədənə bir qüvvə təsir etsin. Bu qüvvənin O′O′′ oxuna nisbətən momentini tapaq.

Düzbucaqlı koordinat sistemini quraq. Oz oxu O′O′′ ilə üst-üstə düşsün. A nöqtəsindən OH perpendikulyarını O′O′′-yə endiririk. O və A nöqtələri vasitəsilə Ox oxunu çəkirik. Ox və Oz-a perpendikulyar olan Oy oxunu çəkirik. Gücü koordinat sisteminin oxları boyunca komponentlərə ayıraq:
.
Qüvvət O′O′′ oxu ilə kəsişir. Buna görə də onun momenti sıfırdır. Qüvvət O′O′′ oxuna paraleldir. Buna görə də onun momenti də sıfırdır. (5.3) düsturundan istifadə edərək tapırıq:
.

Qeyd edək ki, komponent mərkəzi O nöqtəsi olan çevrəyə tangensial yönəldilmişdir. Vektorun istiqaməti sağ vida qaydası ilə müəyyən edilir.

Sərt cismin tarazlığının şərtləri

Tarazlıq vəziyyətində bədənə təsir edən bütün qüvvələrin vektor cəmi sıfıra bərabərdir və bu qüvvələrin ixtiyari sabit mərkəzə nisbətən momentlərinin vektor cəmi sıfıra bərabərdir:
(6.1) ;
(6.2) .

Qüvvələrin momentlərinin hesablandığı nisbi O mərkəzinin özbaşına seçilə biləcəyini vurğulayırıq. O nöqtəsi ya bədənə aid ola bilər, ya da ondan kənarda yerləşə bilər. Adətən hesablamaları asanlaşdırmaq üçün mərkəzi O seçilir.

Tarazlıq şərtləri başqa bir şəkildə formalaşdırıla bilər.

Tarazlıqda ixtiyari bir vektor tərəfindən müəyyən edilmiş hər hansı istiqamət üzrə qüvvələrin proyeksiyalarının cəmi sıfıra bərabərdir:
.
İxtiyari O′O′′ oxuna nisbətən qüvvələrin momentlərinin cəmi də sıfıra bərabərdir:
.

Bəzən belə şərtlər daha əlverişli olur. Baltaları seçməklə hesablamaları asanlaşdıra biləcəyi hallar var.

Bədənin ağırlıq mərkəzi

Ən vacib qüvvələrdən birini - cazibə qüvvəsini nəzərdən keçirək. Burada qüvvələr bədənin müəyyən nöqtələrində tətbiq edilmir, lakin onun bütün həcminə davamlı olaraq paylanır. Sonsuz kiçik həcmli bədənin hər sahəsi üçün ΔV, cazibə qüvvəsi fəaliyyət göstərir. Burada ρ bədən maddəsinin sıxlığıdır və cazibə qüvvəsinin sürətlənməsidir.

Bədənin sonsuz kiçik hissəsinin kütləsi olsun. Və A k nöqtəsi bu hissənin mövqeyini müəyyən etsin. (6) tarazlıq tənliklərinə daxil olan cazibə qüvvəsi ilə əlaqəli kəmiyyətləri tapaq.

Bədənin bütün hissələrinin yaratdığı cazibə qüvvələrinin cəmini tapaq:
,
bədən kütləsi haradadır. Beləliklə, bədənin ayrı-ayrı sonsuz kiçik hissələrinin cazibə qüvvələrinin cəmini bütün bədənin cazibə qüvvəsinin bir vektoru ilə əvəz etmək olar:
.

Seçilmiş O mərkəzi üçün nisbətən ixtiyari şəkildə cazibə momentlərinin cəmini tapaq:

.
Burada biz adlanan C nöqtəsini təqdim etdik Qravitasiya mərkəzi orqanlar. O nöqtəsində mərkəzləşmiş koordinat sistemində ağırlıq mərkəzinin mövqeyi düsturla müəyyən edilir:
(7) .

Beləliklə, statik tarazlığı təyin edərkən, bədənin ayrı-ayrı hissələrinin cazibə qüvvələrinin cəmini nəticə ilə əvəz etmək olar.
,
mövqeyi (7) düsturu ilə təyin olunan C cismin kütlə mərkəzinə tətbiq edilir.

Müxtəlif həndəsi fiqurlar üçün ağırlıq mərkəzinin mövqeyi müvafiq istinad kitablarında tapıla bilər. Əgər cismin oxu və ya simmetriya müstəvisi varsa, o zaman ağırlıq mərkəzi bu oxda və ya müstəvidə yerləşir. Beləliklə, kürənin, dairənin və ya dairənin ağırlıq mərkəzləri bu fiqurların dairələrinin mərkəzlərində yerləşir. Düzbucaqlı paralelepipedin, düzbucaqlının və ya kvadratın ağırlıq mərkəzləri də onların mərkəzlərində - diaqonalların kəsişmə nöqtələrində yerləşir.

Vahid (A) və xətti (B) paylanmış yük.

Cazibə qüvvəsinə bənzər hallar da var ki, qüvvələr bədənin müəyyən nöqtələrində tətbiq edilmir, lakin onun səthi və ya həcminə davamlı olaraq paylanır. Belə qüvvələr adlanır paylanmış qüvvələr və ya .

(Şəkil A). Həmçinin, cazibə vəziyyətində olduğu kimi, diaqramın ağırlıq mərkəzində tətbiq olunan nəticə qüvvəsi ilə əvəz edilə bilər. Şəkil A-dakı diaqram düzbucaqlı olduğundan, diaqramın ağırlıq mərkəzi onun mərkəzində - C nöqtəsində yerləşir: | AC| = | CB|.

(Şəkil B). O, həmçinin nəticə ilə əvəz edilə bilər. Nəticənin böyüklüyü diaqramın sahəsinə bərabərdir:
.
Tətbiq nöqtəsi diaqramın ağırlıq mərkəzindədir. Üçbucağın ağırlıq mərkəzi, hündürlüyü h, təməldən bir məsafədə yerləşir. Buna görə də .

Sürtünmə qüvvələri

Sürüşən sürtünmə. Bədən düz bir səthdə olsun. Səthin bədənə təsir etdiyi səthə perpendikulyar qüvvə (təzyiq qüvvəsi) olsun. Sonra sürüşmə sürtünmə qüvvəsi səthə paralel və yan tərəfə yönəldilir, bədənin hərəkətinə mane olur. Onun ən böyük dəyəri:
,
burada f sürtünmə əmsalıdır. Sürtünmə əmsalı ölçüsüz kəmiyyətdir.

Yuvarlanan sürtünmə. Dəyirmi formalı gövdə yuvarlansın və ya səthdə yuvarlana bilsin. Səthin bədənə təsir etdiyi səthə perpendikulyar təzyiq qüvvəsi olsun. Sonra sürtünmə qüvvələrinin bir anı bədənə, səthlə təmas nöqtəsində hərəkət edərək bədənin hərəkətinə mane olur. Sürtünmə momentinin ən böyük dəyəri bərabərdir:
,
burada δ yuvarlanan sürtünmə əmsalıdır. Uzunluq ölçüsünə malikdir.

İstinadlar:
S. M. Tarq, nəzəri mexanika üzrə qısa kurs, “Ali məktəb”, 2010.

Nöqtənin kinematikası.

1. Nəzəri mexanikanın mövzusu. Əsas abstraksiyalar.

Nəzəri mexanika- maddi cisimlərin mexaniki hərəkətinin və mexaniki qarşılıqlı təsirinin ümumi qanunauyğunluqlarının öyrənildiyi elmdir

Mexanik hərəkətcismin başqa cismə münasibətdə məkan və zamanda baş verən hərəkətidir.

Mexanik qarşılıqlı əlaqə onların mexaniki hərəkətinin xarakterini dəyişən maddi cisimlərin qarşılıqlı təsiridir.

Statika qüvvələr sistemlərinin ekvivalent sistemlərə çevrilməsi üsullarının öyrənildiyi və bərk cismə tətbiq edilən qüvvələrin tarazlığı şərtlərinin qurulduğu nəzəri mexanikanın bir sahəsidir.

Kinematika - tədqiq edən nəzəri mexanikanın bir sahəsidir maddi cisimlərin onlara təsir edən qüvvələrdən asılı olmayaraq həndəsi nöqteyi-nəzərdən fəzada hərəkəti.

Dinamikalar maddi cisimlərin fəzada hərəkətini onlara təsir edən qüvvələrdən asılı olaraq öyrənən mexanikanın bir sahəsidir.

Nəzəri mexanikanın tədqiqat obyektləri:

maddi nöqtə,

maddi nöqtələr sistemi,

Tamamilə möhkəm bədən.

Mütləq məkan və mütləq zaman bir-birindən müstəqildir. Mütləq məkan - üçölçülü, bircinsli, hərəkətsiz Evklid fəzası. Mütləq vaxt - keçmişdən gələcəyə davamlı olaraq axır, homojendir, kosmosun bütün nöqtələrində eynidir və maddənin hərəkətindən asılı deyildir.

2. Kinematikanın mövzusu.

Kinematika - bu, cisimlərin hərəkətinin həndəsi xassələrinin onların ətaləti (yəni kütləsi) və onlara təsir edən qüvvələri nəzərə almadan öyrənilən mexanikanın bir sahəsidir.

Hərəkət edən bir cismin (və ya nöqtənin) bu cismin hərəkətinin öyrənildiyi cisimlə mövqeyini müəyyən etmək üçün bədənlə birlikdə əmələ gələn bəzi koordinat sistemi sərt şəkildə əlaqələndirilir. istinad sistemi.

Kinematikanın əsas vəzifəsi verilmiş cismin (nöqtənin) hərəkət qanununu bilərək, onun hərəkətini xarakterizə edən bütün kinematik kəmiyyətləri (sürət və təcil) müəyyən etməkdir.

3. Nöqtənin hərəkətini təyin etmək üsulları

· Təbii yol

Bilinməlidir:

Nöqtənin trayektoriyası;

İstinadın mənşəyi və istiqaməti;

Verilmiş trayektoriya üzrə nöqtənin hərəkət qanunu (1.1)

· Koordinat metodu

(1.2) tənlikləri M nöqtəsinin hərəkət tənlikləridir.

M nöqtəsinin trayektoriyası üçün tənliyi zaman parametrini aradan qaldırmaqla əldə etmək olar « t » tənliklərdən (1.2)

· Vektor üsulu

(1.3) Nöqtənin hərəkətini təyin etmək üçün koordinat və vektor üsulları arasında əlaqə (1.4)

Nöqtənin hərəkətini təyin etmək üçün koordinat və təbii üsullar arasında əlaqə

(1.2) tənliklərindən vaxtı xaric etməklə nöqtənin trayektoriyasını müəyyən edin;

-- nöqtənin trayektoriya boyunca hərəkət qanununu tapın (qövsün diferensialı üçün ifadədən istifadə edin)

İnteqrasiyadan sonra nöqtənin verilmiş trayektoriya üzrə hərəkət qanununu alırıq:

Nöqtənin hərəkətini təyin etmək üçün koordinat və vektor üsulları arasındakı əlaqə (1.4) tənliyi ilə müəyyən edilir.

4. Hərəkətin təyin edilməsinin vektor üsulu ilə nöqtənin sürətinin təyini.

Bir anda icazə verintnöqtənin mövqeyi radius vektoru ilə və zaman anında müəyyən edilirt 1 – radius vektoru, sonra müəyyən müddət üçün nöqtə hərəkət edəcək.

(1.5) orta nöqtə sürəti, vektorun istiqaməti vektorun istiqaməti ilə eynidir

Müəyyən bir zamanda bir nöqtənin sürəti

Müəyyən bir zamanda bir nöqtənin sürətini əldə etmək üçün limitə keçid etmək lazımdır

(1.6)

(1.7)

Verilmiş vaxtda nöqtənin sürət vektoru zamana görə radius vektorunun birinci törəməsinə bərabərdir və verilmiş nöqtədə trayektoriyaya tangensial yönləndirilir.

(vahid¾ m/s, km/saat)

Orta sürətlənmə vektoru vektorla eyni istiqamətə malikdirΔ v , yəni trayektoriyanın konkavliyinə doğru yönəldilmişdir.

Verilmiş vaxtda nöqtənin sürətlənmə vektoru sürət vektorunun birinci törəməsinə və ya nöqtənin radius vektorunun zamana görə ikinci törəməsinə bərabərdir.

(vahid - )

Nöqtənin trayektoriyasına münasibətdə vektor necə yerləşir?

Düzxətli hərəkətdə vektor nöqtənin hərəkət etdiyi düz xətt boyunca yönəldilir. Nöqtənin trayektoriyası düz əyridirsə, sürət vektoru, eləcə də ср vektoru bu əyrinin müstəvisində yerləşir və onun konkavliyinə doğru yönəlir. Əgər trayektoriya müstəvi əyri deyilsə, onda ср vektoru trayektoriyanın konkavlığına doğru yönələcək və nöqtədə trayektoriyaya toxunandan keçən müstəvidə yatacaq.M və bitişik nöqtədə tangensə paralel xəttM 1 . IN nöqtə olduqda məhdudlaşdırınM 1 üçün səy göstərir M bu müstəvi sözdə oskulyar müstəvi mövqeyini tutur. Buna görə də, ümumi halda, sürətlənmə vektoru təmas müstəvisində yerləşir və əyrinin əyriliyinə doğru yönəldilir.

20-ci nəşr. - M.: 2010.- 416 s.

Kitabda maddi nöqtənin mexanikasının əsasları, maddi nöqtələr sistemi və sərt cisim texniki universitetlərin proqramlarına uyğun olan həcmdə verilmişdir. Çoxlu misallar və problemlər verilmiş, onların həlli müvafiq metodiki göstərişlərlə müşayiət olunmuşdur. Texniki universitetlərin əyani və qiyabi tələbələri üçün.

Format: pdf

Ölçü: 14 MB

Baxın, endirin: drive.google

MÜNDƏRİCAT
On üçüncü nəşrə ön söz 3
Giriş 5
BİRİNCİ BÖLMƏ MƏRK CİSİMİN STATİKASI
I fəsil. 9-cu maddələrin əsas anlayışları və ilkin müddəaları
41. Mütləq sərt bədən; güc. Statika problemləri 9
12. Statikanın ilkin müddəaları » 11
$ 3. Əlaqələr və onların reaksiyaları 15
II fəsil. Qüvvələrin əlavə edilməsi. Birləşən Qüvvələr Sistemi 18
§4. Həndəsi olaraq! Qüvvələr əlavə etmək üsulu. Birləşən qüvvələrin nəticəsi, qüvvələrin genişlənməsi 18
f 5. Qüvvənin oxa və müstəviyə proyeksiyaları, Qüvvələrin təyini və toplanmasının analitik üsulu 20
16. Yaxınlaşan qüvvələr sisteminin tarazlığı_. . . 23
17. Statika məsələlərinin həlli. 25
III fəsil. Mərkəz ətrafında güc anı. Güc cütü 31
i 8. Mərkəzə (və ya nöqtəyə) nisbətən qüvvənin momenti 31
| 9. Qüvvələr cütü. Cütlük anı 33
f 10*. Ekvivalentlik və cütlərin toplanması haqqında teoremlər 35
IV fəsil. Qüvvələr sisteminin mərkəzə gətirilməsi. Tarazlıq şərtləri... 37
f 11. Qüvvənin paralel ötürülməsi haqqında teorem 37
112. Qüvvələr sisteminin verilmiş mərkəzə gətirilməsi - . , 38
§ 13. Qüvvələr sisteminin tarazlığının şərtləri. Nəticə 40-ın momenti haqqında teorem
Fəsil V. Yastı qüvvələr sistemi 41
§ 14. Qüvvənin cəbri momentləri və cütləri 41
115. Müstəvi qüvvələr sisteminin ən sadə formasına endirilməsi.... 44
§ 16. Müstəvi qüvvələr sisteminin tarazlığı. Paralel qüvvələrin işi. 46
§ 17. Məsələlərin həlli 48
118. Cismlərin sistemlərinin tarazlığı 63
§ 19*. Statik təyin olunan və statik olaraq qeyri-müəyyən bədən sistemləri (quruluşları) 56"
f 20*. Daxili səylərin tərifi. 57
§ 21*. Paylanmış qüvvələr 58
E22*. Düz trussların hesablanması 61
VI fəsil. Sürtünmə 64
! 23. Sürüşmə sürtünmə qanunları 64
: 24. Kobud bağların reaksiyaları. Sürtünmə bucağı 66
: 25. Sürtünmə qüvvəsinin mövcudluğunda tarazlıq 66
(26*. Silindrik səthdə sapın sürtünməsi 69
1 27*. Yuvarlanan sürtünmə 71
VII fəsil. Məkan güc sistemi 72
§28. Ox ətrafında qüvvə anı. Əsas vektorun hesablanması
və güc sisteminin əsas momenti 72
§ 29*. Qüvvələrin məkan sisteminin ən sadə formasına gətirilməsi 77
§otuz. İxtiyari məkan qüvvələr sisteminin tarazlığı. Paralel qüvvələrin işi
VIII fəsil. Ağırlıq mərkəzi 86
§31. Paralel Qüvvələr Mərkəzi 86
§ 32. Güc sahəsi. Sərt cismin ağırlıq mərkəzi 88
§ 33. Bircins cisimlərin ağırlıq mərkəzlərinin koordinatları 89
§ 34. Cismlərin ağırlıq mərkəzlərinin koordinatlarının təyini üsulları. 90
§ 35. Bəzi homojen cisimlərin ağırlıq mərkəzləri 93
İKİNCİ BÖLMƏ NÖQTƏ VƏ MƏRT CİSİMİN KİNEMATİKASI
IX fəsil. 95-ci nöqtənin kinematikası
§ 36. Kinematikaya giriş 95
§ 37. Nöqtənin hərəkətini təyin etmək üsulları. . 96
§38. Nöqtə sürət vektoru. 99
§ 39. “100 nöqtəsinin fırlanma anı” vektoru
§40. Hərəkəti təyin etmək üçün koordinat metodundan istifadə edərək nöqtənin sürətini və sürətini təyin etmək 102
§41. Nöqtə kinematikası məsələlərinin həlli 103
§ 42. Təbii üçbucağın oxları. Sürətin rəqəmsal dəyəri 107
§ 43. Nöqtənin tangensi və normal sürətlənməsi 108
§44. PO nöqtəsinin hərəkətinin bəzi xüsusi halları
§45. Nöqtənin hərəkəti, sürəti və təcilinin qrafikləri 112
§ 46. Problemlərin həlli< 114
§47*. Qütb koordinatlarında nöqtənin sürəti və sürəti 116
Fəsil X. Sərt cismin translational və fırlanma hərəkətləri. . 117
§48. İrəli hərəkət 117
§ 49. Sərt cismin ox ətrafında fırlanma hərəkəti. Bucaq sürəti və bucaq sürəti 119
§50. Vahid və vahid fırlanma 121
§51. Fırlanan cismin nöqtələrinin sürətləri və təcilləri 122
XI fəsil. Sərt cismin müstəvi-paralel hərəkəti 127
§52. Müstəvi-paralel hərəkət tənlikləri (müstəvi fiqurun hərəkəti). Hərəkətin tərcümə və fırlanmaya parçalanması 127
§53*. Müstəvi nöqtələrinin trayektoriyalarının təyini 129 rəqəmi
§54. Müstəvidə nöqtələrin sürətlərinin təyini Şəkil 130
§ 55. Cismdəki iki nöqtənin sürətlərinin proyeksiyaları haqqında teorem 131
§ 56. Sürətlərin ani mərkəzindən istifadə etməklə müstəvi fiqurun nöqtələrinin sürətlərinin təyini. Mərkəzlər anlayışı 132
§57. Problemin həlli 136
§58*. Müstəvi nöqtələrinin təcillərinin təyini 140 rəqəmi
§59*. Ani sürətləndirmə mərkəzi "*"*
XII fəsil*. Sərt cismin sabit nöqtə ətrafında hərəkəti və sərbəst sərt cismin hərəkəti 147
§ 60. Bir sabit nöqtəsi olan sərt cismin hərəkəti. 147
§61. Eylerin kinematik tənlikləri 149
§62. Bədən nöqtələrinin sürətləri və təcilləri 150
§ 63. Sərbəst bərk cismin hərəkətinin ümumi halı 153
XIII fəsil. Kompleks nöqtə hərəkəti 155
§ 64. Nisbi, daşınan və mütləq hərəkətlər 155
§ 65, Sürətlərin toplanması haqqında teorem » 156
§66. Sürətlərin toplanması haqqında teorem (Korioln teoremi) 160
§67. Problemin həlli 16*
XIV fəsil*. Sərt cismin mürəkkəb hərəkəti 169
§68. Tərcümə hərəkətlərinin əlavə edilməsi 169
§69. İki paralel ox ətrafında fırlanmaların əlavə edilməsi 169
§70. Düz dişlilər 172
§ 71. Kəsişən oxlar ətrafında fırlanmaların əlavə edilməsi 174
§72. Tərcümə və fırlanma hərəkətlərinin əlavə edilməsi. Vida hərəkəti 176
ÜÇÜNCÜ BÖLMƏ NÖQTƏNİN DİNAMİKASI
XV fəsil: Dinamikaya giriş. Dinamika qanunları 180
§ 73. Əsas anlayışlar və təriflər 180
§ 74. Dinamikanın qanunları. Maddi nöqtənin dinamikası məsələləri 181
§ 75. Bölmələrin sistemləri 183
§76. Əsas qüvvələrin növləri 184
XVI fəsil. Nöqtənin hərəkətinin diferensial tənlikləri. Nöqtələrin dinamikası məsələlərinin həlli 186
§ 77. Diferensial tənliklər, maddi nöqtənin hərəkəti No 6
§ 78. Dinamikanın birinci məsələsinin həlli (verilmiş hərəkətdən qüvvələrin təyini) 187
§ 79. Nöqtənin düzxətli hərəkəti üçün dinamikanın əsas məsələsinin həlli 189
§ 80. Məsələlərin həlli nümunələri 191
§81*. Bədənin müqavimət göstərən mühitə düşməsi (havada) 196
§82. Nöqtənin əyri xətti hərəkəti ilə dinamikanın əsas probleminin həlli 197
XVII fəsil. Nöqtə dinamikasının ümumi teoremləri 201
§83. Bir nöqtənin hərəkət miqdarı. Güc impulsu 201
§ S4. Nöqtənin impulsunun dəyişməsi haqqında teorem 202
§ 85. Nöqtənin bucaq impulsunun dəyişməsi haqqında teorem (momentlər teoremi) " 204
§86*. Mərkəzi qüvvənin təsiri altında hərəkət. Sahələr qanunu.. 266
§ 8-7. Güc işi. Güc 208
§88. Hesablama işinin nümunələri 210
§89. Nöqtənin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem. “... 213J
XVIII fəsil. Sərbəst deyil və 219-cu nöqtənin hərəkətinə nisbətən
§90. Nöqtənin sərbəst hərəkəti. 219
§91. Nöqtənin nisbi hərəkəti 223
§ 92. Yerin fırlanmasının cisimlərin tarazlığına və hərəkətinə təsiri... 227
§ 93*. Yerin fırlanması ilə əlaqədar düşmə nöqtəsinin şaquli istiqamətdən kənara çıxması “230
XIX fəsil. Nöqtənin düzxətli salınımları. . . 232
§ 94. Müqavimət qüvvələrini nəzərə almadan sərbəst vibrasiyalar 232
§ 95. Özlü müqavimətli sərbəst rəqslər (sönümlü salınımlar) 238
§96. Məcburi vibrasiya. Rezonayas 241
XX fəsil*. Cazibə sahəsində cismin hərəkəti 250
§ 97. Yerin qravitasiya sahəsində atılmış cismin hərəkəti «250
§98. Süni Yer peykləri. Elliptik trayektoriyalar. 254
§ 99. Çəkisizlik anlayışı."Yerli istinad çərçivələri 257
DÖRDÜNCÜ BÖLMƏ SİSTEMİN DİNAMİKASI VƏ MƏKTƏK CİSİM
G i a v a XXI. Sistem dinamikasına giriş. Ətalət anları. 263
§ 100. Mexanik sistem. Xarici və daxili qüvvələr 263
§ 101. Sistemin kütləsi. Kütlə mərkəzi 264
§ 102. Cismin oxa nisbətən ətalət anı. Ətalət radiusu. . 265
$ 103. Cismin paralel oxlara nisbətən ətalət momentləri. Huygens teoremi 268
§ 104*. Mərkəzdənqaçma ətalət anları. Cismin baş ətalət oxları haqqında anlayışlar 269
$105*. Cismin ixtiyari ox ətrafında ətalət anı. 271
XXII Fəsil. Sistemin kütlə mərkəzinin hərəkəti haqqında teorem 273
$ 106. Sistemin diferensial hərəkət tənlikləri 273
§ 107. Kütlə mərkəzinin hərəkəti haqqında teorem 274
$ 108. Kütlə mərkəzinin hərəkətinin qorunma qanunu 276
§ 109. Məsələlərin həlli 277
XXIII fəsil. Daşınan sistemin kəmiyyətinin dəyişməsi haqqında teorem. . 280
$ AMMA. Sistem hərəkətinin miqdarı 280
§111. İmpulsun dəyişməsi haqqında teorem 281
§ 112. İmpulsun saxlanması qanunu 282
$113*. Teoremin mayenin (qazın) hərəkətinə tətbiqi 284
§ 114*. Dəyişən kütləli bədən. Raket hərəkəti 287
Qdava XXIV. Sistemin bucaq impulsunun dəyişdirilməsi haqqında teorem 290
§ 115. Sistemin impulsunun əsas momenti 290
$ 116. Sistemin hərəkət kəmiyyətlərinin baş momentinin dəyişməsi haqqında teorem (momentlər teoremi) 292
117 dollar. Baş bucaq impulsunun saxlanma qanunu. . 294
$118. Problemin həlli 295
$119*. Momentlər teoreminin mayenin (qazın) hərəkətinə tətbiqi 298
§ 120. Mexanik sistem üçün tarazlıq şərtləri 300
XXV fəsil. Sistemin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem. . 301.
§ 121. Sistemin kinetik enerjisi 301
122 dollar. İşin hesablanmasının bəzi halları 305
$123. Sistemin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem 307
$124. Məsələlərin həlli 310
$125*. Qarışıq problemlər "314
$126. Potensial qüvvə sahəsi və qüvvə funksiyası 317
$127, Potensial Enerji. Mexanik enerjinin saxlanması qanunu 320
XXVI fəsil. “Ümumi teoremlərin sərt cisim dinamikasına tətbiqi 323
$12&. Sərt cismin sabit ox ətrafında fırlanma hərəkəti ". 323"
$129. Fiziki sarkaç. Ətalət anlarının eksperimental təyini. 326
130 dollar. Sərt cismin müstəvi-paralel hərəkəti 328
$131*. Qiroskopun elementar nəzəriyyəsi 334
$132*. Sərt cismin sabit nöqtə ətrafında hərəkəti və sərbəst sərt cismin hərəkəti 340
XXVII fəsil. D'Alembert prinsipi 344
$ 133. Nöqtə və mexaniki sistem üçün Dalember prinsipi. . 344
$134. Baş vektor və baş ətalət anı 346
$135. Məsələlərin həlli 348
$136*, fırlanan cismin oxuna təsir edən didemik reaksiyalar. Fırlanan gövdələrin balanslaşdırılması 352
XXVIII fəsil. Mümkün yerdəyişmələr prinsipi və dinamikanın ümumi tənliyi 357
§ 137. Əlaqələrin təsnifatı 357
§ 138. Sistemin mümkün hərəkətləri. Sərbəstlik dərəcələrinin sayı. . 358
§ 139. Mümkün hərəkətlər prinsipi 360
§ 140. Məsələlərin həlli 362
§ 141. Dinamikanın ümumi tənliyi 367
XXIX fəsil. Ümumiləşdirilmiş koordinatlarda sistemin tarazlıq şərtləri və hərəkət tənlikləri 369
§ 142. Ümumiləşdirilmiş koordinatlar və ümumiləşdirilmiş sürətlər. . . 369
§ 143. Ümumiləşdirilmiş qüvvələr 371
§ 144. Ümumiləşdirilmiş koordinatlarda sistemin tarazlığının şərtləri 375
§ 145. Laqranj tənlikləri 376
§ 146. Məsələlərin həlli 379
XXX fəsil*. Sabit tarazlıq mövqeyi ətrafında sistemin kiçik salınımları 387
§ 147. Tarazlığın sabitliyi anlayışı 387
§ 148. Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin kiçik sərbəst rəqsləri 389
§ 149. Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin kiçik sönümlü və məcburi rəqsləri 392
§ 150. İki sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin kiçik birləşmiş rəqsləri 394
XXXI fəsil. Elementar Təsir Nəzəriyyəsi 396
§ 151. Təsir nəzəriyyəsinin əsas tənliyi 396
§ 152. Təsir nəzəriyyəsinin ümumi teoremləri 397
§ 153. Zərbənin bərpası əmsalı 399
§ 154. Cismin stasionar maneəyə təsiri 400
§ 155. İki cismin birbaşa mərkəzi zərbəsi (topların zərbəsi) 401
§ 156. İki cismin qeyri-elastik toqquşması zamanı kinetik enerjinin itirilməsi. Karno teoremi 403
§ 157*. Fırlanan bədənə vurmaq. Təsir Mərkəzi 405
Mövzu indeksi 409

Cismlər sisteminin dinamikası haqqında ümumi teoremlər. Kütlə mərkəzinin hərəkəti, impulsun dəyişməsi, əsas bucaq impulsunun dəyişməsi, kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teoremlər. D'Alembert prinsipləri və mümkün hərəkətlər. Dinamikanın ümumi tənliyi. Laqranj tənlikləri.

Məzmun

Gücün gördüyü iş, qüvvə vektorlarının skalyar hasilinə və onun tətbiqi nöqtəsinin sonsuz kiçik yerdəyişməsinə bərabərdir:
,
yəni F və ds vektorlarının mütləq qiymətlərinin onların arasındakı bucağın kosinusu ilə hasilidir.

Güc anında görülən iş, fırlanma momenti vektorlarının skalyar hasilinə və sonsuz kiçik fırlanma bucağına bərabərdir:
.

d'Alember prinsipi

D'Alembert prinsipinin mahiyyəti dinamika problemlərini statik problemlərə endirməkdir. Bunun üçün sistemin cisimlərinin müəyyən (bucaqlı) sürətlənmələri olduğu güman edilir (yaxud əvvəlcədən məlumdur). Sonra, mexanika qanunlarına görə verilmiş sürətlənmələri və ya bucaq sürətlərini yarada biləcək qüvvələrin qüvvələrinə və momentlərinə böyüklüyünə bərabər və istiqamətinə əks olan ətalət qüvvələri və (və ya) ətalət qüvvələrinin momentləri təqdim olunur.

Bir nümunəyə baxaq. Bədən translyasiya hərəkətinə məruz qalır və xarici qüvvələr tərəfindən təsirlənir. Bundan əlavə, bu qüvvələrin sistemin kütlə mərkəzinin sürətlənməsini yaratdığını fərz edirik. Kütlə mərkəzinin hərəkəti ilə bağlı teoremə görə, cismə qüvvə təsir etsəydi, cismin kütlə mərkəzi də eyni sürətə malik olardı. Sonra ətalət qüvvəsini təqdim edirik:
.
Bundan sonra dinamika problemi:
.
;
.

Fırlanma hərəkəti üçün eyni şəkildə davam edin. Bədən z oxu ətrafında fırlansın və M e zk qüvvəsinin xarici momentləri ilə hərəkət etsin. Bu anların ε z bucaq sürətini yaratdığını fərz edirik. Sonra M И = - J z ε z ətalət qüvvələrinin momentini təqdim edirik. Bundan sonra dinamika problemi:
.
Statik problemə çevrilir:
;
.

Mümkün hərəkətlər prinsipi

Statika məsələlərini həll etmək üçün mümkün yerdəyişmələr prinsipindən istifadə olunur. Bəzi məsələlərdə tarazlıq tənliklərini tərtib etməkdən daha qısa həll yolu verir. Bu, xüsusilə çoxlu gövdələrdən ibarət birləşmələri olan sistemlər üçün doğrudur (məsələn, yivlər və bloklarla birləşdirilmiş orqanlar sistemləri)

Mümkün hərəkətlər prinsipi.
İdeal əlaqələri olan mexaniki sistemin tarazlığı üçün sistemin istənilən mümkün hərəkəti üçün ona təsir edən bütün aktiv qüvvələrin elementar işlərinin cəminin sıfıra bərabər olması zəruri və kifayətdir.

Sistemin mümkün yerdəyişməsi- bu, sistemə qoyulan əlaqələrin qırılmadığı kiçik bir hərəkətdir.

İdeal əlaqələr- bunlar sistem hərəkət edərkən iş görməyən əlaqələrdir. Daha dəqiq desək, sistemin hərəkəti zamanı birləşmələrin özləri tərəfindən görülən işlərin həcmi sıfıra bərabərdir.

Dinamikanın ümumi tənliyi (D'Alembert - Lagrange prinsipi)

D'Alembert-Lagrange prinsipi D'Alembert prinsipinin mümkün hərəkətlər prinsipi ilə birləşməsidir. Yəni dinamik məsələni həll edərkən biz ətalət qüvvələri təqdim edirik və məsələni mümkün yerdəyişmələr prinsipindən istifadə edərək həll etdiyimiz statik məsələyə endiririk.

D'Alembert-Lagrange prinsipi.
İdeal əlaqələri olan mexaniki sistem hərəkət etdikdə, zamanın hər anında sistemin hər hansı mümkün hərəkətinə tətbiq olunan bütün aktiv qüvvələrin və bütün ətalət qüvvələrinin elementar işlərinin cəmi sıfıra bərabərdir:
.
Bu tənlik adlanır dinamikanın ümumi tənliyi.

Laqranj tənlikləri

Ümumiləşdirilmiş q koordinatları 1 , q 2 , ..., q n sistemin mövqeyini unikal şəkildə təyin edən n kəmiyyətlər toplusudur.

Ümumiləşdirilmiş koordinatların sayı n sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə üst-üstə düşür.

Ümumiləşdirilmiş sürətlər t zamanına görə ümumiləşdirilmiş koordinatların törəmələridir.

Ümumiləşdirilmiş qüvvələr Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Sistemin mümkün hərəkətini nəzərdən keçirək ki, bu zaman q k koordinatı δq k hərəkətini alacaq. Qalan koordinatlar dəyişməz olaraq qalır. Belə bir hərəkət zamanı xarici qüvvələrin gördüyü iş δA k olsun. Sonra
δA k = Q k δq k, və ya
.

Sistemin mümkün hərəkəti ilə bütün koordinatlar dəyişirsə, belə hərəkət zamanı xarici qüvvələrin gördüyü iş aşağıdakı formada olur:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Sonra ümumiləşdirilmiş qüvvələr yerdəyişmələr üzərində işin qismən törəmələridir:
.

Potensial qüvvələr üçünΠ potensialı ilə,
.

Laqranj tənlikləriümumiləşdirilmiş koordinatlarda mexaniki sistemin hərəkət tənlikləridir:

Burada T kinetik enerjidir. Bu, ümumiləşdirilmiş koordinatların, sürətlərin və ehtimal ki, zamanın funksiyasıdır. Buna görə də onun qismən törəməsi həm də ümumiləşdirilmiş koordinatların, sürətlərin və zamanın funksiyasıdır. Sonra, koordinatların və sürətlərin zamanın funksiyaları olduğunu nəzərə almalısınız. Buna görə də, zamana görə ümumi törəməni tapmaq üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq etməlisiniz:
.

İstinadlar:
S. M. Tarq, nəzəri mexanika üzrə qısa kurs, “Ali məktəb”, 2010.